七数培优竞赛讲座第18讲__乘法公式

知识模块Ⅰ：平方差公式1、平方差：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即()()22a b a b a b +-=-.公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）. 2、平方差公式的结构特征：（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数. （2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差. 3、公式的应用：（1）公式中的字母a b 、可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，乘法公式（3）解方程：【例9】解不等式：【例10】计算下列各题：（1） （2） （3）【例11】（1）如果，则的值（2）已知：求的值（3） 若，求的值【例12】运用平方差公式计算:（1）()()()()()()132121232215+->+---+x x x x x x 22)3(x x -+22)(y x y +-9,3x y x y +=-=2222x y -,9,4522=+=-y x y x y x ,2,1222=-=-b a b a b a +222222100999897...21-+-++-（2）（3）（4） (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)知识模块Ⅱ：完全平方公式1、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.即()222a+2b a ab b =++，或()2222a b a ab b -=-+，公式中的a 、b 可以是任意的数或代数式（单项式、多项式）.2、平方差公式的结构特征：（1）左边是一个两项式的完全平方，右边都是一个二次三项式；（2）其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边两项式中两项乘积的两倍，其符号由左边括号内的符号决定；1111111...14925100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()32168422-121212123++++2212312412912101【例14】（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）【例15】（1） （2）【例16】（1） （2） （3）【例17】（1）若 ，则k =_______________（2）若是完全平方式，则k = _______________（3）若 是完全平方式，则m = _______________（4）若是完全平方式，则k = _______________（5）若 是完全平方式，则k = _______________（6）若是一个完全平方式，则 = _______________()22b a +-()223b a --2)3110(29.19))((x y y x --))((b a a b +--22100+100×102×2-102222010+2009×4020-200922)3()3(b a b a +--()()2222a b a b --+()()2222b a b a +-22)2(4+=++x k x x k x x ++2222+6+m x x 962++x kx 92++kx x 223649x mxy y -+m（4）若，求；；的值（5）若，求的值。

高斯 1777 1855 ，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍布数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有创始性贡献，他十分着重数学的应用，并且在对天文学、大地丈量学和磁学的研究中也着重于用数学方法19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有必定关系的特别多项式相乘，结果经常简短而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特别性又有适用性的详细结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特点；2．认识公式的变形与发展；3．灵巧运用公式，既能正用、又能逆用，并且还可以适合变形或从头组合，综合运用公式； 4．掌握公式的几何意义，意会数形联合的思想．问题解决例 1 假如正整数 x ， y 知足方程 x 2 y 264 ，则这样的正整数对x , y 的个数是 ______．试一试 a 2b 2a b a b ， a b 以 a b 的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例 2 已知 a 、 b 、 c 知足 a 22b 7 ， b 22c 1， c 26a 17 则 ab c 的值等于（）A ． 9B ． 3C ． 4D ． 5试一试 由条件等式联想到完整平方式，解题的切入点是整体考虑． 例 3计算1 2 4 8 16 （ ） 212 12 1212112 1（ 2）200420032220042002 2004200433（ 3）45.1 13.945.1 13.931.2试一试关于（ 1），经过对待求式适合变形，使之切合平方差公式的结构特点；关于（ 2），用字母表示数，将数值计算转变为式的计算．例 4 老师在黑板上写出三个算式52328 2，927 2 8 4 ，152 32 8 27 ，王华接着又写了两个拥有相同规律的算式： 112 52 8 12 ， 152 7 2 8 22（ 1）请你再写出两拥有上述规律的版式； （ 2）用文字写出上述算式反应的规律；（ 3）证明这个规律的正确性．试一试 由特别到一般，用字母表示算式反应的规律并证明．5 1 ）已知 x 2y 2 z 2 2 x 4 y 6z 14 0 ，求 x y z的值．例 （（2）26 52 12，53 7 2 22， 26 53 1378 ， 1378 372 32随意精选此外两个近似 26 、 53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍旧是 两个平方数的和吗？你能说出此中的道理吗？x ， y， z ，的值：关于（ 2），剖析 关于（ 1），由平方和联想到完整平方公式及其逆用， 利用配方求出 从试验下手，而后给出一般情况的证明．解（ 1）由条件得x 22z20 ， x 1 ， y2 ， z3 ，原式 2．1y 23（ 2）一般地，设 m a 2b 2 ， nc 2d 2 ，则 mna 2b 2c 2d 2a 2c 2b 2d 2 b 2c 2 a 2d 2a 2c 2b 2 d 22abcd b 2 c 2 2abcd a 2 d 2ac bd或 ac bd22bc ad22bc ad智慧数例 6 整数问题常是饶有兴趣又发人思虑的，若对整数作一些特别的规定， 就会获得一些特别定义下的新数，并由此产生令人思虑的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如16 52 32 ，则 16 称为智慧数．请判断：在自然数列中，从数 1起，第 2000 个智慧是哪个数？剖析与解 要确立第 2000 个智慧数，应先找到智慧数的特点及散布规律．由于 2k 24 ，并且是 4 的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除 2的1 k 1 k2 ，明显，每个大于 偶数都不是智慧数．所以， 自然数列中最小的智慧数是 3 ，第 2 个智慧数是 5 ，从 5 起，挨次是 5 ，7 ，8 ；9 ，11 ，12；13 ， 15 ， 16 ； 17 ， 19 ， 20 ； 即按 2 个奇数，一个 4 的倍数，三个一组地挨次摆列下去．依据这个结论，我们简单知道： 由于 2000 1 3 666 1 ，所以第 1999 个智慧数是 4 666 4 2668 ，故第 2000 个智慧数 是 2669 ． 数学冲浪知识技术广场 1．若 a 22ab b20 ，则代数式a a4ba 2b a 2b 的值为．2．已知 m 28， m n 2n2=______． n 2，则 m 23．已知 x 22x 2y1 0 ，则 xy 999=______ ．y4 ．已知 a 2 b 2 2a 4b5 0 ，则 2a 24b 3 的值为 _______．5．已知以 a 、 b 、 x 、 y 知足 ax by 3 ， ay bx 5 ，则 a 2 b 2 x 2 y 2 的值为 ______．6．如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，而后将节余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能考证的等式是（ ）ababA ． a 2 b 2ab a bB ． a 2a 2 2ab b 2bC ． a b 222ab b 2D ． a 2ab a a ba7．已知 a1 x 20 ， b 1 x 19 ， c 1 x 21 ，则代数式 a2 b 2c 2 ab bcac 的值是（）20 20 20 A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 8．已知xy 1 ， x 2 y 22 ，那么 x 4 y 4 的值是（ ）A ． 4B ． 3C ．7D ．5229．若 a、 b 为有理数，且 2a 22ab b 2 4a 4 0 ，则 a 2b ab 2 =（ ）A ． 8B ． 16C ． 8D ．1610．在 2004 ， 2005 ， 2006 ， 2007 这四个数中，不可以表示为两个整数平万的数是（ ）A ． 2004B ． 2005C ． 2006D ． 2007 11．计算（ 1）671721741781 1（ 2）24690 12345 12347 123462 （3） 20052004222220052003 2005200512 ． 一个自然数减去 45后是一个完整平方数，这个自然数加上 44后还是一个完整平方数，试求这个自然数． 思想方法天地13 ．已知 2007a 2005 a 222006 ，那么 2007 a2005 a =_____ ．14 ．已知 a b4 ， ab c 2 4 0 ，则 a b =______．n15．杨辉三角是一个由数字摆列成昀三角形数表， 一般形式如下图， 此中每一横行都表示 a b （此处 n 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4， 5 ， 6 ）的睁开式中的系数，杨辉三角最实质的特点是，它的两条斜边都是由数字 1构成的，而其他的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 51 01 0 5 1161 5 201 561a 01ba b 1 a ba 2a 2 2ab b 2ba 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3ba 4 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4ba 5a 5 5a 4b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5ba 6a 6 5a 5b 15a 4 b 2 20a 2 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 6b上图的构成规律你看懂了吗？7______．请你直接写出 a b杨辉三角还有另一个特点（ 1）从第二行到第五行，每一行数字构成的数（如第三行为 121）都是上一行的数与 ______积．（ 2）由此你可写出 115 =______．（ 3）由第 _____行可写出 118 =______．16．假如 a 2b 3c 12 ，且 a 2 b 2 c 2ab bc ca ，则 a b 2c 3 的值是（ ）A ． 12B ． 14C 16D ． 18．17 ．假如 xy 1 ， x 2 y 2 3 ，那么 x 3 y 3 的值为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 518 ．把 2009 表示成两个整数的平方差的形式，则不一样的表示法有（ ）A ．16 种B ． 14种 C ． 12种 D ．10种 22 02 ，19 ．假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数” ，如 412 42 22，20 6242 ，所以 4 ， 12 ， 20这三个数都是神奇数．（ 1） 28 和 2012 这两个数是神奇数吗？为何？（2）设两个连续偶数为 2k 2 和 2k （此中 k 取非负整数），由这两个连续偶数结构的神奇数是 4 的倍数吗？为何？ （3）两个连续奇数的平方差（取正当）是神奇数吗？为何？ 20 ．已知 a b c 0 ， a 2 b 2 c 2 1（ 1）求 ab bc ca 的值；（4442）求 a b c 的值．应用研究乐园21 ．（ 1）证明：奇数的平方被 8除余 1．（ 2）请你进一步证明：2006不可以表示为 10 个奇数的平方之和．22．某校举行春天运动会时，由若干名同学构成一个 8 列的长方形行列．假如原行列中增 120 人，就能构成一个正方形行列；假如原行列中减少 120 人，也能构成一个正方形行列．问原长方形行列有多少名同学？19 乘法公式问题解决例 1 2 对 x y x y 64， x y xy 0 且xy 与 xy 的奇偶性相同，得x y 32 x y 16x y2 ， y 4 ， x 则 x 17 x 10y ， 615 y 例 2B 三等式相加得：a 3 2b1 2 c 1 2 0a3 ， b 1， c 1例 3（1）原式2 1 2 1 221 241 281 216 1122 1 22 1 241 28 1 216 11232 1 1232a 2（ 2）设 200420003a ，则原式1a 1 2a 21a211 2 a 2 12（ 3）原式45.1 13.9 45.12 45.1 13.9 13.9245.1 13.945.1 13.945.1213.93481例 4（1）略（ 2）规律：随意两个奇数的平方差等于 8 的倍数（ 3）设 m 、 n 为整数，2m 1 22n 24 m n m n 11当 m 、 n 同奇或同偶， 4 m n 是 8 的倍数，当 m 、 n 一奇一偶， 4 mn 1 是 8 的倍数．数学冲浪1． 0 2． 523． 1 由条件得 x y 14． 75． 34 原式 a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 y 2ax2ay2bybx6． A17．B 原式ab 2b c 2c a 228． C9． Ba2a2 2b 10 ． C 形如 4k 或 2k 1 的数为“智慧数” 11 1 16 2 24690 3 1） 7 ；（ ）．（；（） 2 2①12．设这个自然为x ，由题意得 x 45 m x 44 n 2② ② -①得 n 2 m 2 89，即 n m n m 89 1 进而n m 89 ，解得n 45nm 1m44故 x452 44 198113． 4016 原式 2007 a22005 a2 2007 a 2005 a14． 0把 a b4 代入 ab c 24 0得 b 2c 2 0 ， b 2 ，2C 0 ， a24 2 ， a b 015．略（ 1） 11 （ 2） 161051 （ 3） 9 ； 21435888116． B 由 a 2 b 2 c 2 ab bc ac ，得1a b 2bc 2a c 2 0 ，进而 abc 22217． C2xyxx 2y 22yxy1 ， x 3 y 3x y x 2 xy y 2418 ． C提示：xy x y2009 241有 6 个正因数，分别是 1， 7，41，49，287和 2009 ，7 所以对应的方程组为：x y1,7 , 41, 49 , 2872009 , 1, 7 , 41, 49 , 287 , 2009x y2009 , 287 , 49 , 41,7 , 1,2009, 287, 49, 41, 7, 1故 x , y 共有 12 组不一样的表示19．（ 1） 28 4 7 82 62 ， 2012 4 503 5042 5022 故 28 和 2012 都是神奇数．（2） 2k 2 22k 24 2k1 ，为 4 的倍数．（ 3）神奇数是4 的倍数，但必定不是8 的倍数，但 2n 22n 1 28n ，1故两个连续奇数的平方差不是神奇数20 ．（ 1） a b c 2a 2 b2c22ab 2bc 2ac ，得 ab bc ca12（ 2）由 abbc ca 12，得 ab bc ca 21 ，即 a 2b2 b 2c 2 c 2a22abc a bc 144得 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 14又 a 2b 2c 2 1 ，平方得 a 4 b 4 c 42a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 1故44422 22 221 2 1 1a b c 1 2 a b b c c a4 2221 ．（ 1）2n 1 4n n 1 18| 4n n 1 ，故奇数的平方被 8 除余 1x 2 x 3x 10 2006．（ 此中 x ，x（ ）假定 2006 能够表示为 10 个奇数的平方之和， 也就是 x 1， ，2222212 x 10 是奇数）等式左侧被 8 除余 2 ，而 2006 被 8 除余 6 ，矛盾．故 2006 不可以表示为 10 个奇数的平方之和．8x120222．设m ①， m 、 n 均为正整数，且 m n ，① -②8x 120=n2②得 mn n n240 24 3 522都是8 的倍数，则 m 、 n 能被 4 整除， m n 、 m n 均能被 4 整除，m ， n。

七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n　4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

18.整式的乘除例1 （1）（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）若n 为不等式2003006n >的解，则n 的最小正整数的值为_______．（2）（“华罗庚杯”邀请赛试题）已知21x x +=，那么42222005x x x x 3+--+=_______． 【答案】（1）210031002()(6)216n n n >>，，的最小值为15； （2）2004例2 （广西竞赛题）把554433222356，，，这4个数从小到大排列，正确的是（ ）． A ．554433222356<<< B ．553322442563<<< C ．552233442653<<< D ．552244332635<<<【答案】D 555111144411113331111222111122(2)323(3)815(5)1256(6)36========，，，． 例3 （江苏省竞赛题）设a b c d 、、、都是正整数，并且543219a b c d c a ==-=，，，求d b -的值．【答案】4623a m b m c n d n ====，，，，由19c a -=得2419n m -=，即22()()19n m n m +-=，因19是质数，22n m n m +-、是自然数，且22n m n m +>-，得22191n m n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得103n m ==，，所以35103757d b -=-=． 例4 设55432543210(31)x a x a x a x a x a x a -=+++++． 求：（1）543210a a a a a a -+-+-的值； （2）54321||||||||||a a a a a ++++的值．【答案】（1）当1x =-时，得5543210[3(1)1]1024a a a a a a -+-+-+=⨯--=-．故原式=1024．（2）由（31x -）5展开并比较系数的符号，得543210000000a a a a a a ><><><，，，，，，则原式=54321010241023a a a a a a -+-+=+=（显然01a =-）．例5 （2012年四川省竞赛题）已知多项式子321x ax ++能被1x -整除，求a 的值． 解法一 用赋值法解设321(1)x ax x A ++=-，其中A 为多项式． 令1x =代入上式，得3110 2.a a ++=∴=-，解法二 用待定系数法解设3221(1)(1)x ax x x mx ++=---，即 32321(1)(1)1x ax x m x m x ++=-++-+， 对比得10(1)12m a m m a -==-+∴==-，，，． 例6 （2012年珠海市中考题）观察下列等式：12231132211334114331⨯=⨯⨯=⨯，， 23352353323447337443⨯=⨯⨯=⨯，， 6228668226⨯=⨯ ，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．分析与解 观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明．（1）①275，572；②63，36． （2）一般规律的式子为(10)[10010()][10010()](10)a b b a b a a a b b b a ++++=++++ 证明 左边(10)(11011)11(10)(10)a b b a a b b a =++=++， 右边(11011)(10)11(10)(10)a b b a a b b a =++=++，∴左边=右边．数学冲浪知识技能广场1．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为_______． 【答案】7 23(1)3x ->2．（“希望杯”邀请赛试题）如果210x x +-=，那么3223x x ++=_______． 【答案】4 3．（长沙市中考题）探索规律：133=，个位数字是3；239=，个位数字是9；3327=，个位数字是7；4381=，个位数字是1；53243=，个位数字是3；63729=，个位数字是9，… 那么73的个位数字是_______，303的个位数字是_______． 【答案】7；9 4．计算（1）（广西竞赛题）24234(0.25)1⨯--=_______； （2）（“希望杯”邀请赛试题）1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯= ⎪+⎝⎭_______．【答案】（1）5- （2）9495．（福州市中考题）如果210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值为（ ）． A ．6 B ．8 C ．-6 D ．-8 【答案】C6．已知31416181279a b c ===，，，则a b c 、、的大小关系是（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．a b c << D ．b c a >> 【答案】A7．（广西竞赛题）已知2326212a b c ===，，，则a b c 、、的关系是（ ）． A ．2b a c <+ B ．2b a c =+ C ．2b a c >+ D ．a b c +> 【答案】B 2222236(2)2636a c b b ⋅====，，得2b a c =+． 8．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ）．A ．1128n +-B ．12n +-C ．78D ．74【答案】C9．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++，试确定a b c 、、的值． 【答案】441a b c ===，，10．（江苏省镇江市中考题）探究、研究 仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上．．．．依次为第一层、第二层……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放食品箱的个数n a 与层数n 之间满足关系式2n a n =-32n + 247，116n n <，≤为整数．（1）例如：当2n =时，222322247187a =-⨯+=，则56______________a a ==，．（2）第n 层比第（1n +）层多堆放多少个仪器箱？（用含n 的代数式表示） （3）如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由． （4）设每个仪器箱重54N （牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N ，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．①若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的平均压力． ②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？ 【答案】（1）112；91． （2）221(32247)[(1)32(1)247]312n n a a n n n n n +-=-+-+-++=-，即第n 层比第(1)n +层多堆放(312)n -个仪器箱．（第10题）（3）22(32256)247256(16)9n a n n n =-++-=--，由条件得，当13n ≤时，0n a ≥，故仪器箱最多可以堆放12层．（4）①46.75N ②仪器箱最多可以堆放5层． 思维方法天地11．（首届青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）如果555555555555555444466666633322++++++++⨯=+++2n ，那么n =_______． 【答案】1212．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++=_______． （“五羊杯”竞赛题）【答案】512 令2x =±代入．13．（“希望标”邀请赛试题）（1）1615与1333的大小关系是1615_______1333（填“>”、“<”或“=”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是200020013131++_______200120023131++（填“<”、“>”或“=”）．【答案】（1）< 1616641313656415162333222<=>=>，． （2）> 提示：设20003x =． 14．已知252000802000x y ==，，则11x y+等于（ ）． A ．2 B ．1 C ．12 D ．32【答案】B 252000xy y =①，802000xy x =②，①×②，得(2580)2000.xy x yxy x y +⨯==+，得15．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 由22010n n n +=--≠且，得2n =-；由211n n --=，得12;n n =-=，由221n n --=-且2n +是偶数，得0n =．16．（第20届“五羊杯”竞赛题）若2612111012111010(2)x x a x a x a x a x a --=+++++ ，则12108642a a a a a a +++++=( )．A ．32-B ．0C ．32D ．64【答案】A17．是否存在整数a b c 、、满足910162?8915nbc⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若存在，求出a b c 、、的值；若不存在，说明理由．【答案】原式可化为3422100235235a b c a b c b c -++---⋅⋅=⨯⨯，得3412200a b c a b c b c -++=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得322.a b c =⎧⎪=⎨⎪-⎩18．设a b c d 、、、都是非零自然数，且543217a b c d a c ==-=，，，求d b -的值． 【答案】269 参见例3得35353883269.m n d b n m ==-=-=-=，， 应用探究乐园19．（世界数学团体锦标赛试题）已知x y z ，，是整数，且222 4.625x y z x y z >>++=，，求xyz 的值．【答案】方程两边同乘以8，得33322237x y z +++++=．因为x y z >>，要使上式左边为奇数，只有321z +=，即3z =-．则332236x y +++=， 即11229x y +++=．要使上式左边为奇数，只有121y +=，即1y =-． 从而有128x +=，即2x =．故有213x y z ==-=-，，．则6xyz =．20．纪念活动中的数学题1976年，在美国举行了建国200周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：2001776的最后两位数字是什么？黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷．小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟！1776的200次方，1776年，美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念．但是要把1776连乘200次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知道要用掉多少草稿纸哩．”请读者研究一下1776这个数的特点，不用小马克的呆办法，而立即把答案说出来？ 【答案】“76”是一个很特殊的数，任何两个自然数，只要它们的最后两位数字是76，那么其乘积的最后两位数字也必是“76”． 我们还是来作一个一般的证明吧：设两个数分别为1007610076a b ++与，这里a b 、是任意自然数，则(10076)(10076)10000760076005776100(100767657)76.a b ab a b ab a b ++=+++=++++由于a b 、是任意自然数，显然最后两位数字一定是76．所以2001776这个数的最后两位数毫无疑问的也是76．19.乘法公式问题解决例1 （全国初中数学联赛题）如果正整数x y ，满足方程2264x y -=，则这样的正整数对()x y ，的个数是_______．【答案】2对 ()()640x y x y x y x y +-=+>->，且x y x y +-与的奇偶性相同，得 321624x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩，，则171015 6.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， 例2 （河北省竞赛题）已知a b c 、、满足2222721617a b b c c a +=-=--=-，，，则a b c ++的值等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 三等式相加得：222(3)(1)(1)0311a b c a b c -+++-===-=，，，． 例3 （北京市竞赛题）计算（1）24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++；（2）2222004200312004200220042004++； （3）3345.113.945.113.931.2-+⨯．【答案】（1）原式=248162(21)(21)(21)(21)(21)(21)1(21)-++++++=-24(21)(21)++ 81632001132(21)(21)122-++++==．（2）设20042003=a ，则原式=22222111(1)(1)2(1)2a a a a a ++==-+++．（3）原式=222(45.113.9)(45.145.113.913.9)45.113.9(45.113.9)3481.45.113.9-+⨯++⨯=+=-例4 （安徽省中考题）老师在黑板上写出三个算式：222253829784-=⨯-=⨯，， 22153827-=⨯，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯， 22157822-=⨯……（1）请你再写出两个具有上述规律的算式；（2）用文字写出上述算式反映的规律； （3）证明这个规律的正确性． 【答案】（1）略；（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）设m n 、为整数，22(21)(21)4()(1)m n m n m n +-+=-⨯++，当m n 、同奇或同偶，4()m n -是8的倍数，当m n 、一奇一偶，4(1)m n ++是8的倍数．例5 （1）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值． （2）22222226515372265313781378373=+=+⨯==+，，， 任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？ 分析 对于（1），由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出x y z ，，的值；对于（2），从试验入手，然后给出一般情形的证明．解 （1）由条件得222(1)(2)(3)0123x y z x y z -+++-====，，，，原式 2.= （2）一般地，设2222m a b n c d =+=+，，则222222()()mn a b c d a c =++=+222222222222222222()()b d b c a d a c b d abcd b c abcd a d ac bd bc ad ++=+++-+=++-或 22()()ac bd bc ad -++．智慧数例6 整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题．我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”．如221653=-，则16称为智慧数．请判断：在自然数列中，从数1起，第2000个智慧数是哪个数？分析与解 要确定第2000个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律．因为2221(1)k k k +=+-，显然，每个大于4，并且是4的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除2的偶数都不是智慧数．所以，自然数列中最小智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．根据这个结论，我们容易知道：因为2000=1+36661⋅+，所以第1999个智慧数是4⋅666+4=2668，故第2000个智慧数是2669．数学冲浪知识技能广场1．（北京市中考题）若2220a ab b ++=，则代数式(4)(2)(2)a a b a b a b +-+-的值为_______． 【答案】02．（2012年江西省中考题）已知22(1)8()2m m n -=+=，，则22m n +=_______． 【答案】53．（广西竞赛题）已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y +=_______． 【答案】1 由条件得2(1)0x y +-=4．（江苏省徐州市中考题）已知222450a b a b ++-+=，则2243a b +-的值为_______． 【答案】75．（河北省竞赛题）已知a b x y 、、、满足35ax by ay bx +=-=，，则2222()()a b x y ++的值为_______．【答案】34 原式=2222222222()()a x a y b x b y ax by ay bx +++=++-6．（福州市中考题）如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能验证的等式是（ ）． A ．22()()a b a b a b -=+- B ．222()2a b a ab b -=-+ C ．222()2a b a ab b +=++ D ．2()a ab a a b +=+ 【答案】A7．（河南省中考题）已知111201921202020a xb xc x =+=+=+，，，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 原式=2221[()()()]2a b b c c a -+-+-8．（“CASIO 杯”河南省竞赛题）已知2212x y x y +=+=，，那么44x y +的值是（ ）． A ．4 B ．3 C ．72 D ．52【答案】C9．（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=（ ）．A ．8-B ．16-C ．8D ．16 【答案】B 22()(2)0a b a -++=10．（广州市竞赛题）在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．A ．2004B ．2005C ．2006D ．2007 【答案】C 形如4k 或21k +的数都为“智慧数” 11．计算（1）2486(71)(71)(71)(71)1+++++； （2）224690123461234512347-⨯；（3）2222005200420052003200520052+-．【答案】（1）167；（2）24690；（3）12． 12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．【答案】设这个自然数为x ，由题意得224544x m x n⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②②-①得2289n m -=， 即()()891n m n M +-=⨯．从而891n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得4544n m =⎧⎨=⎩，故245441981x =-=．思维方法天地13．已知(2007)(2005)2006a a --=，那么22(2007)(2005)a a -+-=_______． 【答案】4016 原式=2[(2007)(2005)]2(2007)(2005)a a a a ---+--14．（《时代学习报》数学文化节试题）已知2440a b ab c -=++=，，则a b +=_______． 【答案】0 把4a b =+代入240ab c ++=，得22(2)020b c b c ++==-=，，， 2420a a b =-+=+=，．15．杨辉三角是一个数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示()n a b +（此处0123456n =，，，，，，）的展开式中的系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 0()1a b += 1()a b a b +=+ 222()2a b a ab b +=++ 3323()33a b a a b ab b 2+=+++ 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++ 554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ 66542332456()51520156a b a a b a b a b a b ab b +=++++++……上图的构成规律你看懂了吗？请你直接写出7()a b +=_____________________．杨辉三角还有另一个特征：（1）从第二行第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与_______的积．（2）由此你可以写出511=_______．11 112 113 3 114 6 4 115 10 10 5 116 15 20 15 6 1（3）由第_______行可写出811=_______． 【答案】略 （1）11；（2）161051；（3）9；214358881．16．（四川省内江市中考题）如果2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++的值是（ ）．A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】B 由222a b c ab bc ac ++=++，得2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，从而2a b c ===．17．（武汉市“CASIO 杯”选拔赛试题）如果2213x y x y +=+=，，那么33x y +的值为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 22233222()()21()()4xy x y x y xy x y x y x xy y =+-+=-=-+=+-+=，，． 18．（北京市竞赛题）把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）． A ．16种 B ．14种 C ．12种 D ．10种【答案】C 提示：2()()2009741x y x y +-==⨯有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：17414928720091741492872006;2009287494171200928749417 1.x y x y +=-----⎧⎪-⎪⎨-=----⎪⎪--⎩，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故()x y ，共有12组不同的表示．19．（浙江省中考题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如02420=-，222212422064=-=-，，因此41220，，这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？【答案】（1）28=4×7=22228620124503504502-=⨯=-，，故28和2012都是神秘数． （2）22(22)(2)4(21)k k k +-=+，为4的倍数．（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数，但2(21)n +2(21)8n n --=，故两个连续奇数的平方差不是神秘数．20．（北京市竞赛题）已知22201a b c a b c ++=++=，． （1）求ab bc ca ++的值；（2）求444a b c ++的值．【答案】（1）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，得12ab bc ca ++=-．（2）由12ab bc ca ++=-，得21()4ab bc ca ++=， 即22222212()4a b b c c a abc a b c +++++=，得22222214a b b c c a ++=， 又2221a b c ++=，平方得4442222222221a b c a b b c c a +++++=， 故4442222221112()1242a b c a b b c c a ++=-++=-⨯=． 应用探究乐园21．（“希望杯”邀请赛试题）（1）证明：奇数的平方被8除余1．（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．【答案】（1）2(21)4(1)18|4(1)n n n n n +=+=+，，故奇数的平方被8除余1．（2）假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2123102006x x x x 222++++= ．（其中1210x x x ，，，是奇数） 等式左边被8除余2，而2006被8除余6，矛盾．故2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．（“CASIO 杯”全国初中数学竞赛题）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学．【答案】设2281208120x m m n x n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，、①②均为正整数，且m n >，①–②得4()()240235m n m n +-==⨯⨯．22m n ，都是8的倍数，则m n 、能被4整除，m n m n +-、均能被4整除，得604m n m n +=⎧⎨-=⎩或2012m n m n +=⎧⎨-=⎩，∴3228m n =⎧⎨=⎩或164.m n =⎧⎨=⎩ 2812904x m =-=，或28120136x m =-=．。

第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。

七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式乘法公式是数学中一种重要的运算法则，它能够帮助我们计算两个或多个数的乘积。

在数学的学习过程中，乘法公式是一个非常基础和必须掌握的知识点。

掌握了乘法公式，能够帮助我们更好地解决数学题目，提高计算能力。

在初等数学中，我们学过了乘法公式的一些基本形式，如乘法分配律、乘法交换律、乘法结合律等。

乘法分配律告诉我们，当一个数与两个数的和相乘时，可以先分别将这个数与两个加数相乘，然后将乘积相加。

乘法交换律告诉我们，两个数的乘积与这两个数的顺序无关，即a*b=b*a。

乘法结合律告诉我们，三个或三个以上数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再将积与第三个数相乘，逐次进行下去，结果不变。

这些乘法公式在解决数学题目时经常用到。

比如，在进行代数运算时，我们常常需要使用乘法分配律将一个代数式分解成两个因子的和的形式；在计算乘方时，也要使用乘法结合律将多个相同的因子相乘。

此外，在解决实际问题时，也常常需要使用乘法公式。

例如，在计算商品的总价格时，我们需要将商品的单价与数量相乘；在计算面积和体积时，我们需要将各个边长相乘。

在乘法公式的运用中，还有一些常见的小技巧可以帮助我们更快地进行计算。

比如，当计算一个数与10的倍数相乘时，我们可以利用移位法，将这个数的位数向左移动相应的倍数；当计算一个数与11的倍数相乘时，我们可以利用11的特殊性质，将这个数的各个位上的数字相加，并在相加的过程中保留进位，最终得到的数字就是乘积。

此外，在乘法题目中，我们还常常遇到一些特殊的乘法公式，如差的平方公式、和的平方公式等。

这些特殊的乘法公式在解决数学题目时能够帮助我们简化计算步骤，节省时间。

总之，乘法公式是数学中重要的基础知识，不仅在学习中起着重要的作用，而且在实际生活中也有广泛的应用。

掌握乘法公式，能够提高我们的计算能力，更好地解决数学题目。

因此，在学习数学过程中，我们要重视对乘法公式的学习，不断巩固和运用，提高自己的数学水平。

第18讲 二元一次方程组及其解法考点·方法·破译1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析【例1】 已知下列方程2x m －1＋3y n ＋3＝5是二元一次方程，则m ＋n ＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.【解】根据二元一次方程的概念可知：⎩⎨⎧=+=-1311n m ，解得m ＝2,n ＝ －2,故m ＋n ＝0.【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3)x1＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 02．若方程2x a ＋1＋3＝y 2b－5是二元一次方程，则a ＝ ,b ＝ .03．在下列四个方程组①⎩⎨⎧=-=+94210342y x y x ，②⎩⎨⎧==+297124xy y x ，③⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x，④⎩⎨⎧=-=+045587y x y x 中，是二元一次方程组的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例2】（十堰中考）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ． ⎩⎨⎧==24y x D ． ⎩⎨⎧==13y x 【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D ． 【变式题组】01．（杭州）若x =1，y =2是方程ax －y ＝3的解，则a 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．2D ．1 02．（盐城）若二元一次方程的一个解为⎩⎨⎧-==12y x ，则此方程可以是 （只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x °,y °,下列方程组中符合题意的是 （ ）A ． ⎩⎨⎧-==+30180y x y x B ．⎩⎨⎧+==+30180y x y x C ． ⎩⎨⎧+==+3090y x y x D ． ⎩⎨⎧-==+3090y x y x 4．（连云港）若⎩⎨⎧==12y x ，是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋2b 的值为 .【例3】解方程组⎩⎨⎧=+=+17537y x y x【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y ＝7－x ③,将③带入②可消去y ,从而求解.解：由①得，y ＝7－x ③将③带入②，得 3x ＋5(7－x )＝17, 即35－2x ＝17 x ＝9 故此方程组的解是⎩⎨⎧-==29y x【变式题组】 1.解方程组：（南京）⑴⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （海淀）⑵⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x①②（花都）⑶⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （朝阳）⑷⎩⎨⎧=+=-232553y x y x2．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足x ＋y ＋a ＝0,则a 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 【例4】解方程组⎩⎨⎧=-=+115332y x y x【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.本题中，y 的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.解：①×5得，y ＝7－x ③③＋②,得 ，13x ＝26 ∴x ＝2 将x ＝2代入①得 y ＝－1 ∴此方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x .【变式题组】01．(广州)以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是 （ ）A ．⎩⎨⎧=-=+10y x y x B ．⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C ．⎩⎨⎧=-=+2y x y x D ．⎩⎨⎧-=-=+20y x y x02．解下列方程组：（日照）⑴⎩⎨⎧=-=-138332y x y x （宿迁）⑵⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x03．（临汾）已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==12y x ，则2a －3b 的值为 （ ）A ．4B ．6C ．－6D ．－4 04．已知⎩⎨⎧=+=+6252y x y x ，那么x －y 的值为 ，x ＋y 的值为 .①②①②【例5】已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k 的值.【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k 而得一个二元一次方程，此方程与x ＋y ＝6联立，求得x 、y 的值，从而代入①或②可求得k 的值；另一种是直接由方程组解出x 、y ，其中x 、y 含有k ,即用含k 的代数式分别表示x 、y ，再代入x ＋y ＝6得以k 为未知数的一元一次方程，继而求k 的值.解：①×2，得， 6x ＋4y ＝4k ＋24 ③ ③－②,得 2x ＋7y ＝22 ④ 由x ＋y ＝6，得2x ＋2y ＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y ＝－10 ∴y ＝2 将y ＝2代入x ＋y ＝6得 x ＝4 将⎩⎨⎧==24y x 带入①得 3×4＋2×2＝2k ＋12 ∴k ＝2. 【变式题组】 01．已知⑴⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx 与⑵⎩⎨⎧=+=-82463y x y x 有相同的解，则m ＝ ,n ＝ .02．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足方程x ＋y －a ＝0, 那么a 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－3 03．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.【例6】解方程组⎩⎨⎧=--+=-++12)(5)3(316)(3)3(4y x y x y x y x【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x ＋3y ）和（x －y ）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x ＋3y 和x －y 的值后，再组成新的方程组可求出x 、y 的值，此种方法称为换元法.解：设x ＋3y ＝a , x －y ＝b , 则原方程组可变形为⎩⎨⎧=-=+12531634b a b a ①②①② ③ ④③×3，得 12a ＋9b ＝12 ⑤ ④×4, 得 12a －20b ＝48 ⑥－⑤,得 29b ＝0,∴b ＝0 将b ＝0代入③，得 a ＝4 ∴可得方程组⎩⎨⎧=-=+043y x y x 故原方程组的解为⎩⎨⎧==11y x .【变式题组】 01．解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2)(5)(4632y x y x y x y x ⑵（湖北十堰）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034yxyx02．（淄博）若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=--+=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(4y x y x 的解是 （ ） A ． ⎩⎨⎧==2.23.6y x B ．⎩⎨⎧==2.13.8y x C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x 03．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-0121221136211y x x x 【例7】（第二十届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==108y x ，小明解此题时把c 抄错了，因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a 2＋b 2＋c 2的值为 .【解法辅导】⎩⎨⎧-==108y x 是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c 的方程，由题意分析可知：⎩⎨⎧-==1312y x 是方程ax ＋by ＝－16的解，由此可得关于a 、b 的又一个方程，由此三个方程可求得a 、b 、c 的值.① ②解：34 【变式题组】 01．方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则a 、c 、d 的值是 （ ）A ．不能确定B ．a ＝3, c ＝1, d ＝1C ． c 、d 不能确定D ． a ＝3, c ＝2, d ＝ －202．甲、乙良人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C 的值.演练巩固 反馈提高01．已知方程2x －3y ＝5,则用含x 的式子表示y 是 ，用含y 的式子表示x 是 . 02．(邯郸)已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+241by x by ax 的解，则a ＋b ＝ .03．若(x －y )2＋|5x －7y －2|＝0, 则x ＝ , y ＝ . 04．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+147by x by ax 的解，则a －b 的值为 .05．若x 3m －n ＋y 2n －m＝－3是二元一次方程，则m ＝ ,n ＝ .06.关于x 的方程（m 2－4）x 2＋(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＝m ＋5, 当m ＝ 时，它是一元一次方程，当m ＝ 时，它是二元一次方程. 07．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+574973y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧=-=12y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=732y x C ． ⎪⎩⎪⎨⎧-==732y x D ． ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x 08．（杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是 （ ）A ．1B ．3C ．－3D ． －1 09．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+521y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧=-=21y xB ．⎩⎨⎧=-=32y x C ． ⎩⎨⎧==12y x D ． ⎩⎨⎧-==12y x 10．（山东）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ky x ky x 95的解也是二元一次方程3x ＋3y ＝6的解，则k 的值为 （ ） A ．－43 B ． 43 C ．34 D ．－ 34 11．（怀柔）已知方程组⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==23y x ，求b a ba 22-+的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⎩⎨⎧-=+=-22622y x y x ⑵（青岛）⎩⎨⎧=-=+41943y x y x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+5)32(5)3(186)3(7)32(6y x x y13．已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.14． 已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.15．（希望杯试题）m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，求m 2的值.培优升级 奥赛检测 01．当k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y b kx y⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解02．.当k 、m 的取值符合条件 时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y mkx y 至少有一组解.03．已知：m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=+266634my x y x 有整数解，求m 的值.04．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0, (xyz ≠0),则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于 （ ）A ．－21 B ．－219 C ．－15 D ．－13 05．（信利杯赛题）已知：三个数a 、b 、c 满足b a ab +＝31，c a bc +＝41，a c ca +＝51，则cabc ab abc ++的值为 （ ） A ．61 B ．121 C ．152D ．20106． （广西赛题）已知：满足方程2x －3y ＋4m ＝11和3x ＋2y ＋5m ＝21的x 、y 满足x ＋3y＋7m ＝20,那么m 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．307．（广西赛题）若|a ＋b ＋1|与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是 （ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a≥b08.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的解的组数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．409．对任意实数x 、y 定义运算x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．14①②10．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m＋1）x＋(2－3m)y ＋1－5m＝0可以得到10个关于x和y的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.11．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝… ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,求x1，x2，…x100，x101的值.。

本节教材是初中数学的重要内容之一．一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的之后，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础．因此，本节课起着承前启后的作用．一、分式的乘除：1.分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2.分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．【例1】计算：（1）2234a ba⋅；（2）223y xx y⋅．【难度】★【答案】（1）ab61；（2）y32．【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．分式的乘除知识结构知识精讲内容分析模块一：分式的乘法例题解析【例2】 计算：()()2332339y x x x y +-⋅-． 【难度】★【答案】()yx y x 362332+=+． 【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．【例3】 计算：（1）323⎛⎫⎪⎝⎭；（2）222x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）278；（2）244x y ．【解析】考察分式乘方的法则．【例4】 计算：422ab a b ⎛⎫⎪⎝⎭．【难度】★【答案】44ab ．【解析】442424=ab b b a b a a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例5】 计算：242212x x x x -+⋅+-． 【难度】★★ 【答案】42--x ．【解析】()()()22221422=241212x x x x x x x x x x+-+-+⋅⋅=--+-+-． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例6】 计算：224422x xy y xx y x y-+⋅+-．【难度】★★ 【答案】yx xyx 222+-．【解析】()()222222442222222x y x x y x xy y x xx xy x y x y x y x y x y x y---+-⋅=⋅==+-+-++．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例7】 计算：2422368()(4x xx y y x y⋅-⋅． 【难度】★★ 【答案】236yx -．【解析】242422222368368()()3644x x x y x xx y x y y x y y x y⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例8】 计算：32422329yz xz x x y yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★★【答案】3432x z y -．【解析】324236224343244323481298812yz xz x y z x z x x z x y yz x y y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅=-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例9】 计算：当99a =时，()221121614a a a-⋅-+的值是多少？【难度】★★★【答案】10750【解析】∵()()()()()()221111112161428128a a a a a a a a a +-⋅=+-⋅=-++-+，∴当99a =时，原式=()107508992199=+⨯+．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．一、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC ÷=⋅=．【例10】 计算：（1）25103m m n n -⎛⎫÷⎪⎝⎭；（2）2236102y y x x÷；（3）2222()()64y y x x÷-．【难度】★ 【答案】（1）m 23-；（2）y x 10；（3）2294yx ．【解析】主要考察分式的除法法则的运用．【例11】 计算：（1）211231x x x x x ++÷+--；（2）222222242a b a b a ab b ab a b--÷-+-； （3）221()1+1x x x -÷+． 【难度】★【答案】（1）31+x ；（2）(2)()ab a b b a +-；（3）142-x ．【解析】（1）()()2111112313113x x x x x x x x x x x +++-÷=⋅=+--+-++；（2）()()()()2222222242222(2)()ab b a a b a b a b aba ab b ab a b a b a b a b b a a b ----÷=⋅=-+-+-+--； （3）()()()222214144()1+111111x x x x x x x x x -+÷=⋅==+-+--+． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．模块二：分式的除法知识精讲例题解析【例12】 代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（ ）． A 、1x ≠B 、10x x ≠≠且C 、21x x ≠-≠且D 、20x x ≠-≠且【难度】★ 【答案】B【解析】考察分式有意义的条件分母不为0．【例13】 计算：34222a ab a b c ac ⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】()()47b a b a ca -+-．【解析】()()()()()34332224474443a ab a ab a b ac a cc ac c a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+-÷=-⋅=- ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例14】 计算：22222662x x x x x x x x --+-÷--+-．【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++--+-．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例15】 计算：222221211(()22x x x x x x x x --+÷÷---+． 【难度】★★ 【答案】xx -22．【解析】原式()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例16】 求值：已知6,2a b ab +==-，求代数式()()224466a b a b a b ab+-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()()()6612222b a ab b a b a ab b a b a b a +=-⋅+⋅+-+=已知62a b ab +==-，，∴原式=2662-=⨯-． 【总结】本题一方面考查分式的除法的运算，另一方面考查整体代入思想的运用．一、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．模块三：分式的乘除混合运算知识精讲【例17】 桶中装有液状纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为（ ）升． A 、32aB 、4(8)a a -C 、24(8)a a - D 、48a - 【难度】★ 【答案】B【解析】这4升混合药液中的含药量百分比为aa 8-． 【总结】本题主要考查了学生对含药量的理解．【例18】 大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率（ ）倍． A 、a b B 、nmC 、anbmD 、ab mn【难度】★【答案】C【解析】bmann b m a =÷．【总结】本题主要考查分式的除法的运用．【例19】 在下列各式中：①222()mn a b -；②42528m n an a b bm -⋅；③2222()()m nb ab a-⋅；④2322mn a ab m ÷， 相等的两个式子是（ ）．A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【难度】★ 【答案】B【解析】①22224224(mn m n a b a b -=；②4223524288m n an m n a b bm a b-⋅=-；③2222222224242244(()m nb m n b m n ab a a b a a b -⋅=⋅=； ④2322222342222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，在计算时要注意法则的准确运用．例题解析【例20】 下列各式计算正确的是（）． A 、1x y x y÷⋅=B 、1x y x y ⋅÷⋅=C 、21111x x x÷⋅=D 、211x x x÷÷= 【难度】★★ 【答案】C【解析】A 正确答案为211x xx y y y y y÷⋅=⋅=； B 正确答案为2x y x y y y y ⋅÷⋅=⋅=；D 正确答案为2221x x x x x x x÷÷=⋅÷=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例21】 计算：31a a a÷⋅． 【难度】★★ 【答案】a ． 【解析】3211a a a a a a÷⋅=⋅=． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例22】 计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】6b a．【解析】()2323423461a a a a a a b b b b b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-÷-=⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例23】 计算：22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy-+++-÷⋅-----． 【难度】★★【答案】x y zx y--+．【解析】22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy -+++-÷⋅-----()()()()()()()()()2x y x y x y x x y z x y z x y z x y z x y z x x y -+++-=÷⋅-++----+-()()()()()()()()()2x y x y x y z x y z x x y z x y z x y z x x y x y -+---++-=⨯⋅-++--+ x y zx y--=+． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一要注意运算顺序，二要注意先约分后化简．【例24】 若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值． 【难度】★★★ 【答案】1±【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭=()34334x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪+-⎝⎭1x=． ∵1x x=， ∴1±=x ． ∴1=±原式． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例25】 先化简，后求值：222221221()214841x x x x x x x --÷⋅++++-，其中13x =．【难度】★★★【答案】29．【解析】原式()()()()()()222112111()1141x x x x x x x +-+-=÷⋅-++()()()()()()22211411()21111x x x x x x x +-+=⋅⋅+--+()221x =-．当31=x 时，原式=22912(1)3=-． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例26】 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且2()0x a y b -++=，求代数式2222a ay bxb a ax by b x y a b+-+++-÷++的值．【难度】★★★【答案】21【解析】由题意有：a x =，b y -=． 原式()222222a a b ba b a a b b a ba b +⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+ ()()()22a b a b a ba b a b -+=⋅-+-12=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用，另外还要注意几个非 负数的和为零时，则每个非负数都为零．【习题1】 下列计算中，错误的是（）．A 、332628y y x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 、2362441639b b c c ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ C 、22222x y x y x y x y ⎛⎫--=⎪++⎝⎭D 、22436n nn b b a a⎛⎫= ⎪-⎝⎭【难度】★ 【答案】C【解析】正确答案为2222222x y x y xyx y x y xy ⎛⎫-+-= ⎪+++⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用．【习题2】 计算：2361053x y y x-⋅． 【难度】★【答案】24xy-．【解析】考察分式的乘法法则，先约分后计算．【习题3】 下列运算中正确的是（ ）．A 、m n m m ÷⋅=B 、1m n m n÷⋅=C 、11m m m÷⋅=D 、n m m n ÷⋅=【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为2m m m n m m n n÷⋅=⋅= ；B 正确答案为211m mm n n n n n ÷⋅=⋅= ；C 正确答案为1111m m m m m m m÷⋅=⋅⋅=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．随堂检测【习题4】 计算：（1）3222x x y y ⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）223328ab a bc cd-÷．【难度】★【答案】（1）y x 4；（2）234acbd-． 【解析】（1）322644232x x x y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫-÷=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）222332238428233ab a b ab cd bdc cd c a b ac -÷=⨯=--． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【习题5】 计算：（1）222222105x y a ba b x y +⋅-；（2）24334x x x x x -+⋅+-． 【难度】★ 【答案】（1）yx -4；（2）x ． 【解析】（1）()()()2222222221010455x y x y a b a b a b x y a b x y x y x y++⋅=⋅=-+--；（2）()244333434x x x x x x x x x x x --++⋅=⋅=+-+-．【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．【习题6】 计算：（1）；（2）45a b a a b a -⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★ 【答案】（1）122--a a ；（2）a b a-．【解析】（1）()()()()()()()()1211221331222333442222--=+--=++-⋅---+=++-⋅+--a a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（2）()()445554a b a b a a a a b a a b a b a --⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭-． 【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．222434332a a a a a a --⋅-+++【习题7】 计算：11x y y y⋅÷⋅． 【难度】★★ 【答案】xy ． 【解析】111x y x y y xy y y y⋅÷⋅=⋅⋅⋅=． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题8】 计算：22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-．【难度】★★ 【答案】2 【解析】原式()()()2233(2)1(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题9】 计算： 22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--． 【难度】★★ 【答案】1【解析】22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--()()()()()()222222111121x x x x x x x x x x --++-=⋅÷⋅++---()()()()()()222112112221x x x x x x x x x x -+-+-=⋅⋅⋅+-+--1=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题10】 计算：若代数式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是_______． 【难度】★★【答案】2-≠x 且3-≠x 且4-≠x ． 【解析】考察分式有意义的条件【习题11】 计算：2111a b c d b c d÷÷÷⨯÷⨯．【难度】★★★【答案】222dc a ．【解析】2222211111111a a b c d a b b c d b c c d d c d ÷÷÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题12】 已知x 为整数，且分式2221x x +-的值为整数，则x 可取的值有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【难度】★★★ 【答案】D 【解析】∵()()()2212221111x x x x x x ++==-+--， ∴要使分式值为整数，则11111212x x x x -=-=--=-=-或或或，∴x 的值为2，0，3，-1．【总结】本题主要考查分式值为整数的条件．【习题13】 已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-.的值是____________． 【难度】★★★ 【答案】2 【解析】()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x --+--+-==--+=-=--．【总结】本题一方面考查分式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用．【习题14】 计算：已知234a b c==，求22a ab ac a b c a b c --⋅---+的值． 【难度】★★★【答案】34【解析】设k a 2=，k b 3=，k c 4=．则()22222242343a a b c a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】本题主要是考查利用设k 法求分式的值．【习题15】 阅读理解：符号“a cb d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ac bd=ad bc -，例如32 54的计算方法为32 54=342512102⨯-⨯=-=.请根据阅读理解，化简下面的二阶行列式：1aaa-211a -．【难度】★★★ 【答案】a a 22+．【解析】1aa a-211a -()()a aa a a aa a a 211122+=++=-⋅--=．【总结】本题属于阅读理解题，计算时要注意对法则的正确理解和运用．【作业1】 下列各式计算正确的是（）． A 、222a ab b a b b a-+=--B 、2232()x xy y x y x y ++=++C 、23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、11x y x y-=-+- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为()()2222a b a ab b a b b a a b --+==-+--- ；B 正确答案为()2223321()()x y x xy y x y x y x y+++==+++；C 正确答案为23648x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的化简和分式乘法法则的运用．【作业2】计算：（1）232384xx y y⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（2）2221x x xx x +⋅-． 【难度】★【答案】（1）y x 36-；（2）11-x ． 【解析】（1）原式36x y =-；（2）原式2(1)(1)(1)x x x x x x +=⋅-+11x =-． 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．【作业3】 计算：（1）28123aba b x ÷ ；（2）2222111x x x x x x-+-÷-+． 【难度】★【答案】（1）ax92；（2）x ． 【解析】（1）2288121233129ab ab a b x x a b ax ÷=⋅=； （2）原式2(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -+=⋅=+-- 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．课后作业【作业4】 计算：（1）()()222211x xy x yx x x x -+⋅--；（2）222()a b ab b ab b a b ⎡⎤++÷-⎢⎥--⎣⎦．【难度】★★ 【答案】（1）x y；（2）2bb a --． 【解析】（1）()()()()()()()222221111111x x xy x xy x yy x xx x x x x x x x --++⋅=⋅=-+---；（2）()()22222()()a b ab b a b a b a bab b a b b a b b a b b ⎡⎤⎡⎤+++--÷-=⋅-=-⎢⎥⎢---+⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业5】 计算：()()422222a a b a a b b b aa b +-÷⋅-．【难度】★★ 【答案】ba b -4．【解析】()()()()()()24222224222a a b a a b a b a a b b b b b b a a a b a a b a b a b +-+-÷⋅=⋅⋅=+---． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业6】 若某分式乘以2m m -所得的积为214m -，求这个分式．【难度】★★【答案】212m m +．【解析】()()()2211211422222m m m m m m m m m m m -÷=⋅==--+-++． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，注意对题意的理解．【作业7】 先化简后求值：()()()22515a a a a a a-+÷+-，其中13a =-．【难度】★★ 【答案】9 【解析】()()()22515a a a a a a-+÷+-()()()()51151a a a a a a -+=⨯-+21a =．当31-=a 时，原式=9．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业8】 阅读理解：计算1(2)2x x x ÷-⋅-时，小虎给出了他的解答过程如下：解：12(2)122x x x x x x x x -÷-⋅=÷=÷=--. 试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程． 【难度】★★★【答案】不正确．运算顺序有错误．正确解答过程如下： ()2111(2)2222x x x x x x x x ÷-⋅=⋅⋅=----． 【解析】注意运算顺序是按照从左到右的顺序计算．【作业9】 先化简，再求值：22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+，其中21a a =-． 【难度】★★★ 【答案】-1【解析】22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+()()()()2221(1)211a a a a a a a -+-=⋅⋅++-+()()21a a =-+ 22a a =--．∵21a a =-， ∴21a a -=-．∴原式123=--=-．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．【作业10】 甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y 的比值． 【难度】★★★【答案】54【解析】()()yx yx y x y x +-++=++％％10140101504050 y x y x 36554050+=+ y x 45=54:=y x ． 【总结】本题主要是对之前所学知识的一个综合运用，注意解题方法的选择．。