高等数学一元微积分学课后练习题含答案

《微积分（1）》练习题一•单项选择题1 •设广（心）存在，则下列等式成立的有（）A.B . liin /（Vo-Ax ）-/（A o ） =AD Ax AtO zkv 07C •亦/仇+2力）-/仇）D .曲心+2"）-/仇）=丄 D h» h 2 2・下列极限不存在的有（）丄 C . lim e x.YT U3 •设/（Q 的一个原函数是厂二贝IJ/W =（）A . —2E 亠B .广”C ・ 4水"D . - 2xe^lx2y ［x. 0 < X < 14 •函数/（A-）= 1, X = 1在［O,P ）上的间断点兀=1为（）间断点。

1 +X. X > 1A.跳跃间断点；B.无穷间断点；C.可去间断点；D.振荡间断点 5 .设函数/⑴在［o,b ］上有定义，在b ）内可导 则下列结论成立的有（）A .当 f （a ）f （b ）< 0 时，至少存在一点使/（^） = 0 ；B . 对任何壮（“）,有lim ［/M-/（^）］ = O ； C. 当/⑷=/0）时，至少存在一点歹5）,使/W=o ；D .至少存在一点弘（“）,使 ；A . lim xsin XT （）B . lim 亘女 VTg X + 1 1(1)七•单项选择题(3) lim ln(1 + A -2) i (> xsin 3x(5) e xy + y 3-5x = O 又x = 0=> y = —1. 亠 一。

\ 「b(l + sinx) + o + 2, xhO 亠 —九.试确疋"，》使函数f(x) = \ 心 在x = 0处连续且可导。

e -1, x < 0(8分)解:/(0 + 0)= liin [/?(1 + sin x)+a + ?] = a + h + 2 /(o-o)= lim 『_lj = o, 函数/(x)在x = 0处连续/(O + O )= /(O-O) a + b + 2 = 0,函数/(x)在龙=0处可导昇(O) = /J(o).故a = b⑵ 由(1) (2)知“="=一1 十.试证明不等式：当兀>1时，e-x<e x <-(xe x +e) (8分) (B ) 2 . (C)3. ( A ) 4. (C) 5. (B) 6. (B) 八 •填空：(每小题3分，共15分)11 r ".1) arcsin — k x)1 \x\ylx2 -1 J 2 . y ⑹=03 . y = 2x +14 . y = 一2 , X = 05 . 广(x)=l + * /(x) = x + e x +c三,计算题：⑴吧lim x-2(4) y = [in (1 一 2x)]2 求 dy求加1 T -1证：(法一)设f(t) = e'则由拉格朗曰中值定理有整理得：e x<e x <l(xe x+e)2法二：设/(A)=e x-exf\x) = e x -e>0(x > 1)故f(x)=e x -ex在x>l 时，为增函数，f(x)= e x -ex> /(1) = 0,即e x > ex 设= " - £(加+e)f z(x) = e x - -(6»1 + xe x ) = - ^v (1 - x) < 0 (x > 1)故/(兀)=『一丄(xe，+e)在x>l 时，为2 2 2减函数，f(x) = e x --(e x +xe x)< /(l) = 0,即e51 <i(xe x+e)2 2综上，e-x <e x < -(xe x +e)H■—•设F(x)=丿⑴二2"(工>a),其中/⑴在［"，代)上连续，广'⑴在仏也)x-a内存在且大于零，求证F⑴在仏加3)内单调递増。

高三数学微积分基础练习题集与答案注：本练习题集共包含20道微积分基础题目，每道题后面附有详细的解答和答案。

希望能对高三学生复习微积分有所帮助。

1. 题目：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分。

解答：首先，我们计算f(x)的原函数F(x)。

F(x) = ∫(2x^3 - 3x^2)dx = 1/2x^4 - x^3 + C根据定积分的性质，f(x)在区间[a, b]上的定积分可以写成原函数F(x)在点b和点a处的函数值之差，即：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)代入a = -1，b = 2，得到：∫[-1, 2](2x^3 - 3x^2)dx = F(2) - F(-1) = (1/2 * 2^4 - 2^3) - (1/2 * (-1)^4 - (-1)^3)= 8 - 7/2= 9/2所以，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分为9/2。

2. 题目：计算函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分。

解答：由于e^x的原函数为e^x，即F(x) = e^x，根据定积分的性质，我们有：∫[0, ln2]e^xdx = F(ln2) - F(0) = e^(ln2) - e^0= 2 - 1= 1所以，函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分为1。

3. 题目：计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分。

解答：sin(x)的原函数为-cos(x)，即F(x) = -cos(x)。

根据定积分的性质，我们有：∫[0, π]sin(x)dx = F(π) - F(0) = (-cos(π)) - (-cos(0))= -(-1) - (-1)= 2所以，函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分为2。

4. 题目：计算函数f(x) = x/x^2 + 3在区间[1, 3]上的定积分。

《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。

•单项选择题《微积分（1）》练习题1•设f X o存在，则下列等式成立的有A. li X m0 f X0 X f X0 f X0 X f X0 rf X0 B. lim fxx°C」h叫f x0 2h f x0X o D.lim 山h 02h f x0 h 2f x。

2•下列极限不存在的有（）A. lim xsin -42x 0 x2B.limX2 小x 2xx 11C. lim e'x 0D.limX2 33x 13•设f（X）的一个原函数就是2x,则f (x)2 xA. 2eB.e 2X2xC. 4eD. 2xe 2x4•函数f (X) 2 x,1,1 X,0, 上的间断点1为（）间断点。

A.跳跃间断点；C.可去间断点；B.无穷间断点；D.振荡间断点5.设函数f a,b 上有定义，在a,b内可导，则下列结论成立的有（）A.当fa 0时,至少存在一点a,b ,使f0;B •对任何a,b，有lim fxX0;C.当fa f b时,至少存在一点a,b ,使f0;D.至少存在一点a,b ,使fb6.已知f X的导数在X a处连续若lim x a xa1,则下列结论成立的有（）A. x a就是f x的极小值点； B. X a就是f X的极大值点；C. a, f a就是曲线y f x的拐点；二.填空:《微积分》练习题参考答案七•单项选择题1.( B )2.( C )3.( A )4.( C )5.( B )6.( B )八•填空:(每小题3分,共15分), 1 r ■ 11.f arcs in x|』x 21 x2. y 6D. x a 不就是f x的极值点，a, f a 也不就是曲线y f x 的拐点；1.设 yf arcs in x,f 可微，则y2若 y 3x 5 2x 23,则 y 63.过原点0,1作曲线y e 2x 的切线，则切线方程为4 x 14.曲线y ―l 2的水平渐近线方程为 2 x铅垂渐近线方程为 5.设 f (ln x) 1 x 则 f三.计算题：1 2x 3 x⑵ lim x2mln(1 x 2) xsin 3x2⑷ y In 1 2x 求 dyxy 3__(5)e y 5x 0求dy四. 试确定a ,b,使函数fbl sinx2, 五. 试证明不等式：当x 1时, 六.且大于零，求证F x 在a,1, xxea ,其中f x 在a,内单调递增。

《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。

二、一元函数微分学 练习题（A ） 一．选择题1．()1sin,00,0x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )A ． 极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导但不连续 2．设()2421,f x x x =++则 ()=-'1f ( ) A ．1 B ．3 C ． -1 D ． -3 3．设()()ln 1f x x =+，则()()5f x = ( ) A ．()54!1x + B ．()54!1x -+C ．()55!1x + D ．()55!1x -+4．设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )A ．2B ． -2C ．12 D ． -125．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,则(0lim x df dx+→= ( )A ． 1B ． -1C ． 2D ．-26. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 ( )A. 1)]([!+n x f nB. 1)]([+n x f nC. n x f 2)]([D. n x f n 2)]([!7．设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于 ( )A.－1B. 0 C .1 D. ∞8. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 ( ) A.a = 1, b = 0 B. a = 0, b 为任意常数 C. a = 0, b = 0 D.a = 1, b 为任意常数 9. 曲线2211x x ee y ---+=（ ）A.没有渐近线；B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 10. 设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→xx f x 0lim( )A ．()x f 'B ．()0f 'C ．不存在D ．∞ 11. 当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =（ ） A ．-2 B． CD ．212. 曲线y =322(1)x x -（ ） A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线 B ．只有水平渐近线 C ．有垂直渐近线x=1D ．没有渐近线13. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ）A ．0()f x 是()f x 极大值；B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点14. 已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（ ）实根A 一个B 两个C 三个D 四个15. 设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的 （ ）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件 二．填空题1．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的一条切线，则k =2． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭3． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点坐标是 4．()y f x =由方程33sin 60x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 5．设()10110n n n f x a x a x a x a --=++⋯++，则 ()()0n f = 6 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.7. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则=dxdy____ __ 8. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ____ __9. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000___ ____10. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_____ __ 11. x xx f +-=11)(, 则)()(x f n = ___ ____12．设()f x =()f e '= 13． 7186223---=x x x y 单调区间_____ __14． )0(82>+=x x x y 单调区间___________ 15． x x x y 6941023+-=单调区间___________ 16． )1ln(2x x y ++=单调区间___________17． 53523++-=x x x y 拐点及凹或凸区间 __________ 18． )1ln(2+=x y 拐点及凹或凸区间___________ 19．)1ln(x x y +-=的极值___________ 20．x x y -+=1的极值____________21. 曲线32x y x =+的铅直渐近线为三、计算题 1.求下列函数的导数 (1)．531-=x y (2)．x x e y x+=1(3)．1004)13(-=x y (4)．122-+-=x x e y(5)．bx e y ax sin =（b a ,为常数） (6)．3cos 12e ey x x ++= (7)．xxy --+=1111 (8)．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=(9)．)1lg()1(22x e x y x -++=- (10)．)1ln(2x x y ++=(11)．xy 1tan 2= (12)． 322)13(+=x y(13)．101010lg 10x y x x =+++ (14).(2)a b y u +=(15).3333x y x =+ (16).3y =(17).2()(21)f t t t =- (18).y =(19). ln(y x = (20)．4)sin(=++xy e y x(21). x y x = (22). 22arctan()1xy x=-(23) ln(y x x = (24) 21(1)arctan cos 2y x x x =++(25) 2cos 3y x = (26) 22sin 0y x y --=(27) ln()y xy = (28) x y e y ln =2. 求下列函数的高阶导数（1）()2ln 1y x =-，求y ''； （2）()2y f x b =+，求y ''；（3）arcsin y x =，求y ''； （4）22arctan 1xy x=-，求y ''；（5）3ln y x x =，求 (4)y ； （6）11xy x-=+，求()n y ；（7）．已知2sin()0xy y π-=，求01|x y y =='及01|x y y ==-''；（8）.223=-y x y ，求22dxyd ；（9）. ln y x x = , 求 y ''.3.根据导数定义，求下列函数的导数 （1）12+=x y ，求1='x y ； （2）()ln f x x =，求()f x '.4. 求下列函数的微分 (1) 设 )ln(ln x y =，求 dy ；(2) 设ln tan 2xy =, 求dy ；(3) sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy ；(4) 221cos 5ln xx y -+= ，求 y ' 及 dy ；(5) y e = y ' 及 dy ；(6) xy e y x -=, 求 y ' 及 dy ；(7) 求 13cos x y e x -= 的微分；(8) 设 cos 2x y e = ，求 dy ；(9) 3cos cos x y x x e =+，求 dy ；(10) 求 2xe y x= 的微分.5.求下列函数的极限(1)．x xx 5tan 3sin lim π→ (2). 求02lim sin x x x e e x x x-→---(3)．22)2(sin ln lim x xx -→ππ (4)．)0(lim ≠--→a a x a x nnm m a x(5)．xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→ (6)．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→(7). xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→ (8). 0lim sin x xx e e x-→-(9). 2ln cos 2lim()x x x ππ→- (10). cot limcot 3x xx π→(11). 0ln lim ln cot x xx+→ (12). 2lim x x x e -→+∞四．综合题1．设()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=⎡⎤⎣⎦，求()()n f x .2. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=.3. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '.4. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '.5. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''.6. 判断函数的单调性（1）判断函数x y e x =-的单调性.（2）判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.7．求下列函数的单调区间(1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x = (4) 2()1xf x x=+.8.求拐点及凹凸区间（1）求曲线32231214y x x x =+-+的拐点；（2）问曲线 4y x =是否有拐点；（3）求曲线y =（4）求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸的区间。

《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ）A ． ()()()0000lim x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．()()()00002lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ）A ．201sin lim x x x →B ．12lim 2+-+∞→x xx xC ． x x e 10lim →D ．()x x x x +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）A ．x e 22--B ．x e 2-C ．x e 24-D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。

A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ； C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→a x x f a x ，则下列结论成立的有（）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；二．填空：1．设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三．计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x （3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy （5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy四．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。

综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

A . x a 是f x 的极小值点；B . x a 是f x 的极大值点;《微积分（1）》练习题一.单项选择题1 •设f X 。

存在，则下列等式成立的有（ ）3 .设f （x ）的一个原函数是e 2x ，则f （x ）（A . 当f a f b 0时，至少存在一点 a,b ，使 f0 ；B . 对任何a,b ，有lim f x fx0 ；C. 当fa f b 时，至少存在一点 a,b ，使 f 0;D. 至少存在一点 a, b ，使f b fa fba;6.已知f x 的导数在x a 处连续，f x右lim1，则下列结论成立的有x0x0-Tolimx0-Tx0olimx0x0-T叫Hhx0x0叫Hh).limx 22xxx 123.lim3x 1x2x 6x2.下列极限不存在的有（1A . lim xsin 2B1C. lim e xx 0DA .2e 2xB2x4e 2xD2xe2x2、x, 0 x 14.函数 f(x) 1, x 1 在 0,1 x, x 1上的间断点x 1为（ ）间断点A .跳跃间断点;B •无穷间断点; C.可去间断点;D.振荡间断点5.设函数f x 在a,b 上有定义，在a,b 内可导，则下列结论成立的有（x0C. a, f a 是曲线y f x 的拐点;D. x a 不是f x 的极值点，a, f a 也不是曲线y f x 的拐点;填空: 山i1 .设 y f arcsin, f 可微，贝U y x ________________________________x2 .若 y 3x 52x 2 x 3，贝卩 y 6______________________3.过原点0,1作曲线y e 2x 的切线，则切线方程为 _________________________________4 x 14 .曲线y——2— 2的水平渐近线方程为 ________________________________________x铅垂渐近线方程为 __________________________________5 .设 f (ln x) 1 x ，贝卩 f x _____________________ f x __________________________计算题:于零，求证F x 在a, 内单调递增(1)x 2 1x 2 2x 3(2) limx(3)ln(1 x ) lim(4)yln 1x 0 xs in 3x(5)e xy y 3 5x求 dy x 0dx四.试确定a ， b ， 使函数 f xb 1 si nxax1,a 2, xex 五.试证明不等 式: 当x1时， xe x e1 xe x e2六. 设F x 丄x f ax a，其中fx 在 a,上连续, x 在a, 内存在且大x a在x 0处连续且可导。