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第二章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013～2014学年度河北玉田县高二期中测试)推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是() A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．合情推理[答案] C[解析]演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理．2．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，显然成立，所以不等式2＋3> 5.上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法[答案] B[解析]根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法．3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(αβ)类比，则有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]只有③正确，故选B.4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g (－x )＝－g (x )． 5．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14 [答案] B[解析] (3122＝3a ·3b ＝3a ＋b，∴a ＋b ＝11a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥21＋2＝4 当且仅当b a ＝ab 即a ＝b 时等号成立，故选B.6．a 、b 、c 、d 均为正实数，设S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dd ＋a ＋b，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4[答案] B[解析] 令a ＝b ＝c ＝d ＝1知S ＝13＋13＋13＋13＝43，因1<43<2，故选B.7．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( ) A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角 D ．没有一个内角是钝角 [答案] C[解析] 逻辑中“最多有n 个”的反面是“至少有(n ＋1)个”，故选C.8．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3[答案] A[解析] 由a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，故猜a n ＝3n －1.9．在十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制(逢5进1)中数码2 004折合成十进制为( )A ．29B ．254C ．602D ．2 004[答案] B[解析] 2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.10．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] 如果a >b ，则c ＋1－c >c －c －1. ∴c ＋1＋c －1>2c ， ∴c ＋1＋c －1＋2c 2－1>4c ； 即c 2－1>c 矛盾，∴选B. 11．观察下列等式：1＝1， 13＝1， 1＋2＝3, 13＋23＝9， 1＋2＋3＝6, 13＋23＋33＝36，1＋2＋3＋4＝10, 13＋23＋33＋43＝100， 1＋2＋3＋4＋5＝15, 13＋23＋33＋43＋53＝225. … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3可表示为( ) A.12n (n ＋1) B.12n 2(n ＋1)2 C.14n 2(n －1)2 D.14n 2(n ＋1)2 [答案] D[解析] 由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2＝n 2(n ＋1)24，故选D.12．如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M (x )恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1；②f (x )＝x 2；③f (x )＝(sin x ＋cos x )x ；④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中属于有界泛函数的是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④[答案] D[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴存在常数M ≥2成立|sin x ＋cos x |≤M ， ∴|x (sin x ＋cos x )|≤M (x )， 即|f (x )|≤M (x )成立， ∴③是有界泛函数； ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，∴|1x 2＋x ＋1|≤43， ∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M (x )，即|f (x )|≤M (x )成立，∴④是有界泛函数，因此选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是______________________________________．[答案] 表面积一定的空间体中，球的体积最大[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．14．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于__________．[答案] 1[解析] 因为f (x )＝a (2x＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数，则f (－x )＋f (x )＝a (2－x＋1)－22－x ＋1＋a (2x＋1)－22x ＋1＝0，所以a ＝1.15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为______________，猜想a n ＝____________.[答案] 37，38，39，310 3n ＋5[解析] 每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．16．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________． [答案] 32[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5， ∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2. ∵a n >0，∴q ＝2. ∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1qn －1＝16a 21，∴qm ＋n －2＝16，即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16·(5＋n m ＋4m n )≥32，等号在n m ＝4m n ，即m ＝2，n＝4时成立．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知a 是整数，a 2是偶数．求证：a 是偶数． [证明] 假设a 不是偶数，即a 是奇数，则设a ＝2n ＋1(n ∈Z )． ∴a 2＝4n 2＋4n ＋1.∵4(n 2＋n )是偶数，∴4n 2＋4n ＋1是奇数， 这与已知a 2是偶数矛盾，故假设错误， 从而a 一定是偶数．18．(本题满分12分)观察下列数表：1， 2,3， 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15，……(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 008是第几行的第几个数？[解析] (1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n ＋1行的第一个数为2n ，第n 行的最后一个数为2n －1.(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n－1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得S n ＝2n －1(2n －1＋2n －1)2＝22n －3＋22n －2－2n －2.(3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差数列的通项公式得2 008＝1 024＋(n －1)·1，所以n ＝985，所以2 008是第11行的第985个数．19．(本题满分12分)已知a 、b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证1<a ＋b <43[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2，a ≠b ， ∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b .又∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ， 即(a ＋b )2>a ＋b ，且a >0，b >0， ∴a ＋b >1.要证a ＋b <43，只需证3(a ＋b )<4， 即证3(a ＋b )2<4(a ＋b )，也就是要证3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 即需证(a －b )2>0.而(a －b )2>0显然成立，∴1<a ＋b <43.20．(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan(x ＋π4)＝1＋tan x1－tan x；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．[解析] (1)tan(x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝1＋tan x1－tan x.(2)f (x )是以4为其一个周期的周期函数． ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期函数，其中一个周期为4.21．(本题满分12分)已知f (x )＝－x 3－x ＋1(x ∈R )． (1)求证：y ＝f (x )是定义域上的减函数；(2)求证：满足f (x )＝0的实数根x 至多只有一个． [证明] (1)∵f ′(x )＝－3x 2－1 ＝－(3x 2＋1)<0(x ∈R )， ∴y ＝f (x )是定义域上的减函数．(2)假设f (x )＝0的实数根x 至少有两个，不妨设x 1≠x 2，且x 1、x 2∈R ， f (x 1)＝f (x 2)＝0.∵y ＝f (x )在R 上单调递减， ∴当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)，这与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，故假设不成立， 所以f (x )＝0至多只有一个实数根．22．(本题满分14分)(1)已知x 、y ∈R ，求证下列不等式： ①12x 2＋12y 2≥⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2； ②13x 2＋23y 2≥⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2； ③14x 2＋34y 2≥⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2. (2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论． [解析] (1)证明：①12x 2＋12y 2－⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2 ＝12x 2＋12y 2－14x 2－12－14y 2 ＝14x 2－12xy ＋14y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －12y 2≥0，∴12x 2＋12y 2≥⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2.②13x 2＋23y 2－⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2＝29x 2＋29y 2－49＝29(x 2－2xy ＋y 2)＝29(x －y )2≥0，∴13x 2＋23y 2≥⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2.③14x2＋34y2－⎝⎛⎭⎫14x＋34y2＝14x2＋34y2－⎝⎛⎭⎫116x2＋38xy＋916y2＝316(x－y)2≥0，∴14x2＋34y2≥⎝⎛⎭⎫14x＋34y2.(2)一般的结论是：已知x、y∈R，a、b都是正数，且a＋b＝1，则(ax2＋by2)≥(ax＋by)2.证明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2.。
