必修1 第二章 基本初等函数

第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：m na=)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数.2（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x=⇔=log ；③注意对数的书写格式．两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ； ②自然对数：以 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化（如右图） （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；② =NMalog M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

第二章 基本初等函数第二节 指数函数及其性质 （第2课时）参考答案【自主认知】 1.y 与x 之间满足y=2x (x ∈N *).2.y 与x 之间满足y= (x ∈N *).3.因为对于每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系式都可构成函数.它们与函数y=x 2的区别在于前者的自变量都在指数的位置上,而y=x 2的自变量在底数的位置上.y=a x (a>0且a ≠1) 自变量 R【合作探究】不能.因为当a<0时,a x 不一定有意义,如(-2)x ;当a=0时,0x 不一定有意义,如00,0-2,故a 的取值范围不能小于或等于0.2.不一定,当限定a>0且a ≠1时,才是指数函数3.因为指数函数的解析式为y=a x (a>0,且a ≠1),故要确定指数函数的解析式,只需确定a 的值.【典型例题】 1.选B.y=2-x = 故此函数是指数函数,且为减函数,故选B. 2. 要使函数f(x)有意义,需2x -1≥0,即2x ≥1,故x ≥0.答案:[0,+∞)3.【解题指南】(1)观察函数解析式的形式看是否满足指数函数的定义,然后再下结论.(2)已知是指数函数时,需紧扣指数函数解析式的特点,让a x 的系数为1,列出a 的方程,进而求出a 的值,检验可得答案.【解析】(1)选B.函数y=2·3x ,y=3x+1,y=x x 均不符合指数函数解析式的特征,不是指数函数,而y=πx 符合指数函数的定义,是指数函数.(2)由题意a 2-3a+3=1,即a 2-3a+2=0.解得a=1或a=2,而a=1不符合指数函数的定义,故a=2.答案:24.选C.令(a-2)2=1,得a=3或a=1,当a=1时不符合题意舍去,故a=3.【变式拓展】【解题指南】1.取特殊值,令x=1,得到的y 值即为a,b,c,d 的值,通过观察图象即可确定大小关系.2.先考虑去掉绝对值,然后画出函数的图象求解.【解析】1.选D.过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交,可知1<d<c,b<a<1,故b<a<1<d<c.2.当x ≥0时,y=5|x|=5x ;当x<0时,y=5|x|=5-x = .所以函数y=5|x|的图象如图所示.四、随堂检测x 1(),2x 1()5x 1()21. 选C.①不是指数函数,自变量不在指数上;②中2x的系数为-1,故不是指数函数;③自变量不在指数上,不是指数函数;④⑤符合指数函数定义的形式,是指数函数.2. 选D.点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以3a=9,a=2,所以tan=tan60°=.3. 选B.因为3x>0,所以3x+1>1,即函数的值域是(1,+∞).4. 选B.由函数的图象在第一、三、四象限可知,此函数应为递增的,故a>1,又过定点(0,-b),此点应在y轴的负半轴上,则-b<0,即b>0.5. 令t=x2-2x+2,则y=,又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为0≤x≤3,所以当x=1时,t min=1;当x=3时,t max=5.故1≤t≤5,所以≤y≤,故所求函数的值域为.。