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4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点一 圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含. 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切. 如图：2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：的关系d >r ＋r d ＝r ＋r|r －r |<d <r ＋rd ＝|r －r |d <|r －r |(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？ 答 不一定，也有可能是内切.知识点二 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”题型一 两圆位置关系的应用例1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切？(2)圆C 1与圆C 2内含？ 解 将圆C 1、圆C 2的方程配方，得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4. (1)若圆C 1与圆C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25，m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝－5或m ＝2. (2)若圆C 1与圆C 2内含，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＜3－2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＜1，m 2＋3m ＋2＜0， 解得－2＜m ＜－1.反思与感悟 判断两圆的位置关系一般用几何法，用几何法判断两圆的位置关系的步骤： (1)分别计算两圆的半径长r ，R ； (2)计算两圆的圆心距d ；(3)根据d 与r ，R 之间的关系得出结论.跟踪训练1 已知圆C 1的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，圆C 2的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解 方法一 将圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，①x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0.②两式相减，得6x －18＝0，即x ＝3. 将x ＝3代入①或②，解得y 1＝－5，y 2＝1.因此圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点，故两圆相交.方法二 把圆C 1的方程化成标准方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25， ∴圆C 1的圆心坐标为(－1，－2)，半径长为r 1＝5.把圆C 2的方程化成标准方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝10， ∴圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，半径长为r 2＝10. ∵圆C 1与圆C 2的圆心距为(－1－2)2＋(－2＋2)2＝3， |r 1－r 2|＝5－10，r 1＋r 2＝5＋10，且5－10＜3＜5＋10， ∴|r 1－r 2|＜3＜r 1＋r 2，∴两圆相交. 题型二 与两圆相切有关的问题例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1，① b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思与感悟 两圆相切时常用的性质有：①设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2.②两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪训练2 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 (a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③ 联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 题型三 与两圆相交有关的问题例3 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95.∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.反思与感悟 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. 2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练3 已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程.解 设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2， 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 题型四 直线与圆的方程的实际应用例4 设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，CD 所在直线的方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ＞3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝bv .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75km 时甲、乙两人相遇.反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练4 已知一个圆形的公园，其半径为2 km ，有两个村庄A 和B ，其中村庄A 在公园的正东方向4 km 处，村庄B 在公园的西北方向22km 处(A ，B 相对于公园的位置都是指相对于公园的中心位置).现在要修一条连接村庄A 和村庄B 的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点.两种方案哪种更好？解 如图所示，以公园中心O 为坐标原点，以连接公园中心与村庄A 的直线为x 轴建立平面直角坐标系.由已知得圆的方程为x 2＋y 2＝4，A (4,0)，B (－2,2)，由A 向圆作切线，切点为D ，过B 向圆作切线，切点为E ，两切线相交于C ，易知E (0,2)， 直线BC 的方程为y ＝2.连接OD ，则OD ⊥AC ，在Rt △OAD 中，OD ＝2，OA ＝4. ∴∠OAD ＝30°，∴直线AC 的斜率为k ＝tan 150°＝－33，直线AC 的方程为y ＝－33(x －4). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－33(x －4)，解得⎩⎨⎧x ＝4－23，y ＝2， 即C 点的坐标为(4－23，2)， ∴|BC |＝6－23，|AC |＝4.如果按方案一修路，那么公路的长度为l 1＝|BC |＋|AC |＝10－23(km).过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，可求得|DF |＝3，|OF |＝1，即D (1，3)，∴|AD |＝2 3. 由题意知∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝30°， ∴DEl＝30180·π·2＝π3. 如果按方案二修路，那么公路的长度为l 2＝|AD |＋DEl ＋|BE |＝23＋π3＋2(km).∵l 1－l 2＞0，∴采用方案二更好.利用圆系方程求圆的方程例5 求过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点，且与直线x －3y －6＝0相切的圆的方程.分析 过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆的方程可设为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0，通过整理，利用直线与此圆相切，则该圆的圆心到此直线的距离等于半径长，求得λ. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)， 整理，得x 2＋y 2－4λ1＋λx －11＋λ＝0，配方，得⎝⎛⎭⎫x －2λ1＋λ2＋y 2＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2，因为圆与直线x －3y －6＝0相切，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪2λ1＋λ－3×0－61＋32＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2.化简得11λ＋8＝0，λ＝－811.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0. 经检验x 2＋y 2－4x ＝0也与直线x －3y －6＝0相切.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0或x 2＋y 2－4x ＝0.解后反思 因为过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆系方程x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)中不包含圆x 2＋y 2－4x ＝0，所以解答此题时容易漏掉圆x 2＋y 2－4x ＝0也适合的条件.因此，在解答完后，应专门对圆系之外的圆x 2＋y 2－4x ＝0进行检验.1.两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交C.内切 D.外切 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2＝9的圆心为C 1(0,0)，半径长为r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16，圆心为C 2(4，－3)，半径长为r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝42＋(－3)2＝5. 因为|r 1－r 2|＜|C 1C 2|＜3＋4＝r 1＋r 2，所以两圆相交.2.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1) C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.3.若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 因为直线通过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，故圆心位于第二象限. 4.圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B.6C.2 5 D.2 6 答案 C解析 x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0.圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝|2×0＋0－15|22＋12＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.5.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是_____. 答案 x ＋3y ＝0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：一、选择题1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( ) A.x ＋y ＋3＝0 B.2x －y －5＝0 C.3x －y －9＝0 D.4x －3y ＋7＝0答案 C解析 根据题意作出图形，由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心的坐标是(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是(3,0)，则所求直线方程为y －0－3－0＝x －32－3，即3x －y －9＝0.2.集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A.(0，2－1)B.(0,1]C.(0,2－2]D.(0,2]答案 C解析由已知M∩N＝N，知N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥2，∴0＜r≤2－ 2.3.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A.21B.19C.9D.－11答案 C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4.已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是()A.9B.14C.14－6 5D.14＋6 5答案 D解析方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2,1)，r＝3，而x2＋y2＝((x－0)2＋(y－0)2)2.所以x2＋y2的最大值为((－2－0)2＋(1－0)2＋3)2＝14＋6 5.5.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4 2C.8D.8 2答案 C解析因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x21，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x22，即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根.即x2－10x＋17＝0.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以|C1C2|＝2|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝8.6.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米答案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6).代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米).7.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x －5)2＋(y －7)2＝25B.(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C.(x －5)2＋(y －7)2＝9D.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9 答案 D解析 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 二、填空题8.过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0解析 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3,1)代入，得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.9.台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为________. 答案 1 h解析 如图，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0).台风中心在直线y ＝x 上移动.则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离.则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，圆B 与直线y ＝x 截得弦长为CD ＝2·302－⎝⎛⎭⎫4022＝20(km).故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h).10.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________. 答案 4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5，∴AC ＝5×255＝2，∴AB ＝4.11.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______________.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝2解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 三、解答题12.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y ＝52x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围.解 直线方程是5x －2y ＋2b ＝0. 当直线与圆C 1相切时，|2b |5＋4＝2， 解得b ＝±3.当直线与圆C 2相切时，|－16＋2b |5＋4＝2，解得b ＝5或b ＝11. 结合图，知3＜b ＜5.13.求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程. 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ).又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝－(x －1).第11页 共11页 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.。
