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《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，则A∩B的结果是（）A. {1,2,3,4,5}B. {2,4}C. {1,3,5}D. {1,2,3,4,5,6,8,10}答案：B2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. ≤B. ≠C. |D. ≠答案：A3. 设图G有5个顶点，每两个顶点之间都有一条边相连，则图G的边数是（）A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C4. 下列哪一个图是欧拉图？（）A. 无向图B. 有向图C. 树D. 环答案：D5. 下列哪一个命题是正确的？（）A. 若p→q为真，则p为真B. 若p∧q为假，则p为假C. 若p∨q为真，则q为真D. 若p→q为假，则p为假答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 设集合A={a,b,c,d}，B={c,d,e}，则A-B=________。
答案：{a,b}2. 设p是命题“今天是晴天”，q是命题“我去公园玩”，则命题“如果今天不是晴天，那么我不去公园玩”可以表示为________。
答案：¬p→¬q3. 设图G有n个顶点，e条边，则图G的度数之和为________。
答案：2e4. 一个连通图至少有________个顶点。
答案：25. 设图G的邻接矩阵为A，则A的转置矩阵表示________。
答案：图G的转置图三、判断题（每题5分，共25分）1. 离散数学是研究离散结构的数学分支。
（）答案：正确2. 两个集合的笛卡尔积是这两个集合的直积。
（）答案：正确3. 有向图中，顶点u和顶点v之间的长度为2的路径是指路径上有3条边。
（）答案：错误4. 树是一种无向图。
（）答案：正确5. 哈夫曼编码是一种贪心算法。
（）答案：正确四、应用题（每题25分，共50分）1. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8,10}，C={3,6,9,12,15}，求A∪(B∩C)。
离散数学考试试题(A、B卷及答案)离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔ (A∧(P↔Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔(⌝P∨⌝Q∨⌝A∨C)∧(⌝A∨P∨Q∨C)⇔((⌝P∨⌝Q∨⌝A)∧(⌝A∨P ∨Q))∨C反用分配律⇔⌝((P∧Q∧A)∨(A∧⌝P∧⌝Q))∨C⇔⌝(A∧((P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)))∨C再反用分配律⇔⌝( A∧(P↔Q))∨C⇔(A∧(P↔Q))→C⇔(⌝P∨Q∨R)∧(((⌝P∨Q)∧(⌝P∨R))∨(⌝Q∧⌝R))分配律⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝Q)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨R∨⌝Q)∧(⌝P∨R ∨⌝R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔4M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制为4⇔0m∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R Q↔R P→(Q∨R)⌝P∨(Q↔R) (P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 111111111111111 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 11111111由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P ∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
三、推理证明题（10分）1）⌝P∨Q，⌝Q∨R，R→S P→S。
证明：(1)P附加前提(2)⌝P∨Q P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）(4)⌝Q∨R P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)R→S P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)P→S CP2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x)(2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)∃x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）证明：因为x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)－C⇔x∈(A∪B)∧x∉C⇔(x∈A∨x∈B)∧x∉C⇔(x∈A∧x∉C)∨(x∈B ∧x∉C)⇔x∈(A－C)∨x∈(B－C)⇔x∈(A－C)∪(B－C) 所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1, 2, 3, 4}中，子集{1, 2}的补集是（）。
A. {3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：A2. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆否命题是（）。
A. 若x² ≤ 0，则x ≤ 0B. 若x² > 0，则x > 0C. 若x ≤ 0，则x² ≤ 0D. 若x² ≤ 0，则x < 0答案：C3. 函数f(x) = x² + 2x + 1的值域是（）。
A. {x | x ≥ 0}B. {x | x ≥ 1}C. {x | x ≥ 2}D. {x | x ≥ -1}答案：B4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 有向树D. 无向树答案：B5. 以下哪个图是二分图（）。
A. 完全图B. 非完全图C. 任意两个顶点都相连的图D. 任意两个顶点都不相连的图答案：C6. 以下哪个是哈密顿回路（）。
A. 经过每个顶点恰好一次的回路B. 经过每个顶点至少一次的回路C. 经过每个顶点恰好两次的回路D. 经过每个顶点至少两次的回路答案：A7. 以下哪个是欧拉回路（）。
A. 经过每条边恰好一次的回路B. 经过每条边至少一次的回路C. 经过每条边恰好两次的回路D. 经过每条边至少两次的回路答案：A8. 以下哪个是二进制数（）。
A. 1010B. 1020C. 1102D. 1120答案：A9. 以下哪个是格雷码（）。
A. 0101B. 1010C. 1100D. 1110答案：B10. 以下哪个是素数（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}与{2, 3, 4}的交集是______。
答案：{2, 3}12. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆命题是：若x² > 0，则______。
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个命题是正确的？A. 如果p，则qB. 如果不p，则不qC. 如果q，则pD. 如果不q，则不p2. 设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∪B等于？A. {1,2,3,4,6,8}B. {1,2,3,4}C. {2,4,6,8}D. {1,3}3. 一个图的欧拉回路是指？A. 从一个顶点出发，经过每条边一次且仅一次，回到该顶点的回路B. 从一个顶点出发，经过每个顶点一次且仅一次，回到该顶点的回路C. 从一个顶点出发，经过每条边两次，回到该顶点的回路D. 从一个顶点出发，经过每个顶点两次，回到该顶点的回路4. 以下哪个图是二分图？A. K3,3B. C5C. K4D. Q35. 以下哪个命题是正确的？A. 如果p∧q为假，则p为假B. 如果p∨q为假，则q为假C. 如果p→q为真，则q→p为真D. 如果p→q为假，则q→p为假二、填空题（每题5分，共30分）6. 设p是“今天下雨”，q是“我去图书馆”，则命题“如果今天下雨，那么我不去图书馆”可以用逻辑符号表示为______。
7. 设集合A={a,b,c}，B={a,b,d}，则A-B的元素是______。
8. 设图G有6个顶点，每两个顶点之间都有边相连，则该图的边数是______。
9. 一个具有5个顶点的连通图至少需要______条边。
10. 设p是“我生病了”，q是“我去医院”，则命题“如果我生病了，那么我可能去医院”可以用逻辑符号表示为______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B。
12. 给定图G如下，请判断G是否为二分图，并说明理由。
```1 --2 -- 3| | |4 --5 -- 6```13. 设p是“我睡觉”，q是“我醒着”，r是“现在是晚上”。
请用逻辑符号表示以下命题：- 如果我睡觉，那么不是晚上。
离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。
答案：命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。
若命题P和Q等价，则记作P⇔Q。
蕴含关系是指如果命题P为真，则命题Q也为真，但Q为真时P不一定为真。
若命题P蕴含Q，则记作P→Q。
2. 证明：若集合A和B的交集非空，则它们的并集包含A和B。
答案：设x属于A∩B，即x同时属于A和B。
根据并集的定义，若元素属于A或B，则它属于A∪B。
因此，x属于A∪B。
由于x是任意属于A∩B的元素，所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素，即A∪B包含A和B。
3. 给定一个有向图G，如何判断G中是否存在环？答案：判断有向图G中是否存在环，可以采用深度优先搜索（DFS）算法。
在DFS过程中，记录每个顶点的访问状态，如果遇到一个已访问过的顶点，且该顶点不是当前路径的直接前驱，则表示存在环。
4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。
答案：有限自动机由以下几部分组成：输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。
输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合；状态集合包含了自动机所有可能的状态；转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下，自动机如何转移到下一个状态；初始状态是自动机开始工作时的状态；接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。
5. 什么是图的连通分量？如何确定一个无向图的连通分量？答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。
在一个无向图中，如果两个顶点之间存在路径，则称这两个顶点是连通的。
确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法。
从任一顶点开始搜索，搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。
重复此过程，直到所有顶点都被访问过，即可确定图中所有连通分量。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学二零二 至二零二 学年第 二 学期期 末 考试离散数学 课程考试题 B 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 年 月 日课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 分一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计一、单选题（四选一）（10×1＝10分）1. 如果命题公式G=P ∧Q ，则下列之一哪一个成立（）。
1).G=⌝(P →Q)2).G=⌝(P →⌝Q) 3).G=⌝(⌝P →Q) 4).G=⌝(⌝P →⌝Q)2. 设Φ是一个空集，则下列之一哪一个不成立（）。
1).Φ∈Φ2).Φ⊆Φ3).Φ∈{Φ}4).Φ⊆{Φ} 3. 谓词逻辑的推理中，)()()(x G x x G ∀⇒使用的是规则（）。
1). ES2).US3).UG4).EG4. 在集合｛0，1｝上可定义（ ）个不同的二元运算。
1).2 2).4 3).84).165. 设集合A ＝{a,b,c}，A 上的二元关系R ＝{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<c,b>}，则R 是A上的（ ）关系。
1).拟序2).偏序3).全序4).良序6. 设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001000110，则G 中长度为2的回路总数为（）。
1).1 2).2 3).4 4).57. 下列图中（ ）即非欧拉图又非哈密尔顿图。
8. 设G 是一个7阶群，则该群一定有（）个不变子群。
1).2 2).4 3).6 4).89. 设G 是连通的平面图，设n 、m 、r 分别为G 的顶点数，边数和面数，则有：n －m ＋r ＝( )。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……1).1 2).2 3).3 4).410.设G是一个24阶群，a是G中任意一个元素，则a的周期一定不是（）。
西安电子科技大学博士入学考试考博试题离散数学2010秋
一、
1、一个表决器有3个按钮A,B,C, 只有当B 按下，再按A 或C时灯亮，写出它的命题逻辑公式。
2、S={a,b,c},T={p,q},S到T的映射有个满射。
二、x-y=min(x,y),x ·y=max(x,y),判断这个代数系统(1)是布尔代数(2)是格还是分配格(3)是环
三、证明：题目中分别给出了2个二元运算⊙和V, 证明a⊙(bVc)=(a⊙b)V
(a ⊙c)
四、证明：根据命题计算A=┐(p1→p2)→ p3 的真度值。
五、证明：2个集合S 和T所含元素个数分别是s 和t,S∩T和S UT 的个数分别
是u,v, 证明st≥uv
六、小王做采访，共50天假期，要求每天至少访问一个，证：其中必有若
干天，这些天采访的总人数是50的倍数。
七、证明：一个无向图能被2个颜色填色是当且仅当图中没有含有长度为奇
数的回路。
八、设p,q 为正数，q是素数，p<q
1、证：pq 阶群最多有一个q 阶子群，该群是正规子群吗?
2、pq阶群是否最多有一个p 阶子群?。
