推荐学习K122018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第10节导数的概念及计算习题理

第五课时利用导数研究函数零点专题f(x)=-ln x+ax2+bx.(1)若b=1-a,讨论f(x)的单调性;(2)若a=0时函数有两个不同的零点,求实数b的取值范围.解:(1)若b=1-a,则f(x)=-ln x+ax2+(1-a)x,f′(x)=-+ax+1-a==(x>0).(ⅰ)当a≥0时,x∈(0,1),f′(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减,x∈(1,+∞),f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.(ⅱ)当a<0时,令ax+1=0,得x=-.①当->1,即-1<a<0时,x∈(0,1)或x∈(-,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(1,-)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.②当-<1,即a<-1时,x∈(0,-)或x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;在x∈(-,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.③当-=1,即a=-1时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,综上当a≥0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当-1<a<0时,f(x)在(0,1),(-,+∞)上单调递减,在(1,-)上单调递增;当a<-1时,f(x)在(0,-),(1,+∞)上单调递减,在(-,1)上单调递增;当a=-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)若a=0,f(x)=-ln x+bx,令f(x)=0,得b=.设g(x)=,则g′(x)==,所以当0<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=.又因为当x>e时,g(x)>0恒成立;当0<x<1时,g(x)<0,函数g(x)的大致图象为所以b的取值范围为(0,).f(x)=xe ax+ln x-e(a∈R).设g(x)=ln x+-e,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点,求实数a的范围.解:设h(x)=f(x)-g(x)=xe ax+ln x-e-(ln x+-e)=xe ax-=,由两函数图象有两个交点知,函数h(x)在(0,+∞)内有两个零点,令ϕ(x)=x2e ax-1,ϕ′(x)=ax2e ax+2xe ax=xe ax(ax+2).(1)当a≥0时,ϕ′(x)=xe ax(ax+2)>0,所以ϕ(x)在(0,+∞)上单调递增,由零点存在定理,ϕ(x)在(0,+∞)至多一个零点,与题设发生矛盾.(2)当a<0时,xe ax(ax+2)=0,则x=-.当x变化时,ϕ(x),ϕ′(x)变化情况如下表:) ,++ 0ϕϕ所以要使ϕ(x)=x2e ax-1在(0,+∞)内有两个零点,则ϕ(-)>0即可,得a2<,又因为a<0,所以-<a<0.综上可知,a的取值范围为(-,0).3.已知函数f(x)=e x+mx-2,g(x)=mx+ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m=-1时,试推断方程:|g(x)|=+是否有实数解.解:(1)由题意可得f′(x)=e x+m.当m≥0时,f′(x)>0,所以当m≥0时,函数f(x)的单调递增区间为R.当m<0时,令f′(x)>0,即e x+m>0,可得x>ln(-m),令f′(x)<0,即e x+m<0,可得x<ln(-m),所以当m<0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln(-m),+∞),单调递减区间为(-∞,ln(-m)).(2)当m=-1时,g(x)=-x+ln x(x>0).易得g′(x)=-1,令g′(x)>0,可得0<x<1,令g′(x)<0,可得x>1,故g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值.即g(x)≤g(1)=-1,所以|g(x)|≥1.令h(x)=+,所以h′(x)=,令h′(x)>0,可得0<x<e,令h′(x)<0,可得x>e,故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值.所以h(x)≤h(e)=+<1,所以方程|g(x)|=+无实数解.4.(2015·江苏卷)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.解:(1)f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-.当a=0时,因为f′(x)=3x2>0(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,x∈(-∞,-)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(-,0)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,-),(0,+∞)上单调递增,在(-,0)上单调递减;当a<0时,x∈(-∞,0)∪(-,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,-)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0),(-,+∞)上单调递增,在(0,-)上单调递减. (2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-)=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f(-)=b(a3+b)<0,从而或又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),则在(-∞,-3)上g(a)<0,且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g()=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞).综上c=1.。

第11节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性基础对点练(时间:30分钟)1.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是( D )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1)解析:y′=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3),由y′>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1,所以函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).故选D.2.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的图象如图所示,则下列叙述正确的是( C )(A)f(b)>f(c)>f(d)(B)f(b)>f(a)>f(e)(C)f(c)>f(b)>f(a)(D)f(c)>f(e)>f(d)解析:由导函数的图象可知,在(-∞,c]上导函数f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,c]上是增函数,又因为c>b>a,所以f(c)>f(b)>f(a).故选C.3.(2016·兰州一中期中)设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( A )(A)(1,2] (B)[4,+∞)(C)(-∞,2] (D)(0,3]解析:当f′(x)=x-≤0时,0<x≤3,即在(0,3]上f(x)是减函数,因为f(x)在[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1<a≤2,故A正确.4.(2016·江西省临川区一中高三期中)若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是( C )(A)[0,+∞) (B)(-∞,0](C)(-∞,0) (D)(0,+∞)解析:由题意知x>0,f′(x)=1+,要使函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则需方程1+=0在x>0上有解,即x=-a,所以a<0,故选C.5.(2017·河北石家庄市高三9月摸底)若函数f(x)=-x2+x+1在区间(,3)上单调递减,则实数a的取值范围为( C )(A)(,) (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)[2,+∞)解析:f′(x)=x2-ax+1,函数f(x)=-x2+x+1在区间(,3)上单调递减⇔f′(x)=x2-ax+1≤0在区间(,3)上恒成立⇔解之得a≥.故选C.6.(2017·河南郑州一中高三入学测试)定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)>f′(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为( C )(A)(-∞,0) (B)(-∞,2) (C)(0,+∞) (D)(2,+∞)解析:构造函数F(x)=,F′(x)=<0,所以F(x)在R上单调递减,故f(x)<2e x等价于<2=,所以x>0.故选C.7.(2016·江苏淮安市模拟)已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围是.解析:对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,即函数f(x)在R上为增函数,即有f′(x)≥0在R上恒成立.f(x)=x3-x2+mx+2的导数为f′(x)=3x2-2x+m,则3x2-2x+m≥0恒成立,可得判别式Δ=4-12m≤0,解得m≥,则所求m的范围是[,+∞).答案:[,+∞)f(x)=-x3+x2+2ax在区间(,+∞)上存在单调递增区间,则a的取值范围是.解析:法一因为f(x)=-x3+x2+2ax,所以f′(x)=-x2+x+2a,其对称轴方程为x=>,因为函数f(x)=-x3+x2+2ax在区间(,+∞)上存在单调递增区间.所以f′()>0,即-()2++2a>0,解得a>-.法二由法一知f′(x)=-x2+x+2a>0在(,+∞)内有解.即2a>x2-x在(,+∞)内有解.记h(x)=x2-x,则h(x)≥-,所以2a>-,即a>-.答案:(-,+∞)f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是.解析:由题意知f′(x)=-x+4-==-,由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)∪(2,3)10.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性.解:(1)f′(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x.f′(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)(e x-).令f′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016·湖南郴州市一模)若b>a>3,f(x)=,则下列各结论中正确的是( D )(A)f(a)<f()<f()(B)f()<f()<f(b)(C)f()<f()<f(a)(D)f(b)<f()<f()解析:因为f(x)=,所以f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=e.当x≥e时,f′(x)<0,为减函数,当0<x<e时,f′(x)>0,为增函数.因为b>a>3>e,所以ab>b>>>a>e,所以f(a)>f()>f()>f(b)>f(ab).故选D.f(x)=sin 2x+acos x在(0,π)上是增函数,则实数a的取值范围为( B )(A)[-1,+∞) (B)(-∞,-1](C)(-∞,0) (D)(0,+∞)解析:f(x)=sin 2x+acos x在(0,π)上是增函数,所以f′(x)=cos 2x-asin x≥0在(0,π)上恒成立,所以1-2sin2x-asin x≥0,设t=sin x,t∈(0,1],即-2t2-at+1≥0,t∈(0,1],所以a≤-2t+.令g(t)=-2t+,则g′(t)=-2-<0,所以g(t)在(0,1]上单调递减,所以a≤g(1)=-1,故选B.13.(2016·成都一诊)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是.解析:f′(x)=-4x+,因为函数f(x)在[1,2]上为单调函数,即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥或≤3,又a>0,所以0<a≤或a≥1.答案:(0,]∪[1,+∞)14.(2016·山东卷改编)已知f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.讨论f(x)的单调性.解:f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=a--+=.当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当a>0时,f′(x)=·(x-)(x+).①0<a<2时,>1,当x∈(0,1)或x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.②a=2时,=1,在x∈(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增.③当a>2时,0<<1,当x∈(0,)或x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,当0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减,在(,+∞)内单调递增,当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增,当a>2时,f(x)在(0,)内单调递增,在(,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.好题天天练1.(2016·安徽淮南市第二次高考模拟)已知y=f(x)为定义在R上的单调递增函数,y=f′(x)是其导函数,若对任意x∈R总有<x,则下列大小关系一定正确的是( B )(A)> (B)<(C)> (D)<解题关键:将已知条件式<x变形为<0,构造函数,利用函数单调性比较大小.解析:因为y=f(x)为定义在R上的单调递增函数,所以y=f′(x)>0,<x,即-x<0,整理得<0,由复合函数求导法则可知f′(x-1)=f′(x)>0,所以f(x-1)-xf′(x-1)<0,设g(x)=,x≠0,g′(x)=,因为xf′(x-1)-f(x-1)>0,所以g′(x)>0,所以g(x)单调递增,因为e+1<π+1,所以g(e+1)<g(π+1),即<.故选B.2.(2017·河南郑州一中高三入学测试)已知函数f(x)=x-存在单调递减区间,且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切,符合情况的切线l( D )(A)有3条(B)有2条(C)有1条(D)不存在解题关键:分类讨论,数形结合.解析:f′(x)=1-,依题意,f′(x)<0在R上有解.当a<0时,f′(x)<0在R上无解,不符合题意;当a>0时,f′(x)<0,a<,x>aln a符合题意,故a>0.易知曲线y=f(x)在x=0处的切线为y=(1-)x-1.假设该直线与y=e x相切,设切点为(x0,y0),即有=1-=(1-)x0-1,消去a化简得=x0-1.即1=(x0-1).在同一直角坐标系内作出y1=e x与y2=的图象如图,可知两函数图象交点横坐标x0>1.此时>e 这与1-<1矛盾.故不存在.故选D.。

第二课时利用导数研究函数的极值与最值基础对点练(时间:30分钟)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:①-3是函数y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的极小值点;③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是( B )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④解析:由导数的图象知①f′(-3)=0,且两边异号,-3是函数y=f(x)的极值点,正确;②x=-1处,f′(-1)=0,但左右同号,错误;③x=0处切线的斜率应该大于零,错误;④f′(x)在(-3,1)上大于等于零,是增函数,正确.故选B.2.下列命题中正确的是( B )(A)函数y=x3-x2+x有两个极值点(B)函数y=48x-x3有两个极值点(C)函数y=x3有且只有一个极值点(D)函数y=e x-x无极值点解析:函数y=x3-x2+x求导得y′=3x2-2x+1,Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以y′>0恒成立,函数单调递增,不存在极值点,A错误;函数y=48x-x3求导得y′=48-3x2=3(4-x)(4+x),存在两个变号零点,所以函数y=48x-x3有两个极值点,B正确;函数y=x3求导得y′=3x2≥0恒成立,所以函数y=x3单调递增,不存在极值点,C错误;函数y=e x-x的导数y′=e x-1,令y′=0得x=0,且当x<0时,y′<0,当x>0时,y′>0,也就是说函数y=e x-x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以x=0是一个极小值点,D错误.故选B.3.已知a≥1,f(x)=x3+3|x-a|,若函数f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M,m,则M-m的值为( C )(A)8 (B)-a3-3a+4(C)4 (D)-a3+3a+2解析:当x∈[-1,1]时,f(x)=x3+3(a-x)=x3-3x+3a(a≥1),对函数求导得f′(x)=3(x-1)(x+1).当-1≤x≤1时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以M=f(-1)=3a+2,m=f(1)=3a-2,所以M-m=4.故选C.4.已知f(x)=x3-ax2+4x有两个极值点x1,x2,且f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则实数a的取值范围是( A )(A)(,+∞) (B)[,+∞)(C)(-∞,) (D)(-∞,]解析:由题意得f′(x)=3x2-2ax+4.因为f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,所以f′(x)=0的两个根中x1∈(0,1),x2>1,所以f′(0)=4>0,f′(1)=7-2a<0,解得a>.故选A.5.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( B )(A)-10 (B)-71 (C)-15 (D)-22解析:因为f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f′(x)=0,解得x=-1或3.由表格可知当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=-1-3+9+k=5+k,而f(4)=43-3×42-9×4+k=k-20<5+k,故最大值为f(-1)=5+k,所以5+k=10,解得k=5.所以f(x)=x3-3x2-9x+5.又极小值为f(3)=-22,区间端点值f(-4)=-71.所以函数f(x)在x=-4取得最小值-71.故选B.6.(2016·广西北海市高考一模)已知函数f(x)=ax-ln x,当x∈(0,e](e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为( B )(A)e (B)e2(C)2e (D)2e2解析:函数的定义域为(0,+∞),函数的导数f′(x)=,①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e]上单调递减,最小值f(e)<0,与题意不符;②当a>0时,f′(x)=0的根为.当0<<e,即a>时,f(x)在x∈(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增.f(x)min=f()=1-ln=3,解得a=e2,③当≥e,即0<a≤时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上单调递减,f(e)<0,与题意不符.综上所述a=e2,故选B.7.已知函数f(x)=-k(+ln x),若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为( A )(A)(-∞,e] (B)[0,e](C)(-∞,e) (D)[0,e)解析:因为函数f(x)=-k(+ln x),所以函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=-k(-+)=.因为x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,所以x=2是导函数f′(x)=0的唯一根.所以e x-kx=0在(0,+∞)无解,k≤e.故选A.8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是.解析:依题意,f(x)的单调递减区间为(-1,1),由f′(x)=3x2-3a=3(x-)(x+),可得a=1,由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2,可得1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6.答案:69.(2017·湖北襄阳四中高三模拟)若函数f(x)=x2-ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.解析:函数的定义域为(0,+∞),令f′(x)=2x-==0,解得x=或x=-(舍去),所以函数在子区间(a-1,a+1)内存在极值等价于∈(a-1,a+1) (0,+∞),即解得1≤a<.答案:[1,)·安徽合肥联考)已知函数y=f(x)=.(1)求y=f(x)的最大值;(2)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=.令f′(x)==0,得x=e,因为当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(e,+∞)上为减函数.所以f(x)max=f(e)=.(2)因为a>0,由题知F(x)=在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以F(x)在[a,2a]上的最小值F(x)min=min{F(a),F(2a)}.因为F(a)-F(2a)=ln ,所以当0<a≤2时,F(a)-F(2a)≤0,F(x)min=F(a)=ln a.当a>2时,F(a)-F(2a)>0,F(x)min=F(2a)=ln 2a.能力提升练(时间:15分钟)P(a,a)与曲线f(x)=xln x相切的直线有两条,则实数a的取值范围是( B )(A)(-∞,e) (B)(e,+∞)(C)(0,) (D)(1,+∞)解析:设切点为(m,mln m),由f(x)=xln x的导数为f′(x)=1+ln x,可得直线的斜率为1+ln m.由切线经过点P(a,a),可得1+ln m=,化简可得=,(*)由题意可得方程(*)有两解.设g(m)=,可得g′(m)=,当m>e时,g′(m)<0,g(m)递减;当0<m<e时,g′(m)>0,g(m)递增.可得g(m)在m=e处取得最大值,且m→0时,g(m)→-∞,m→+∞时,g(m)→0,即有0<<,解得a>e.故选B.12.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( C )(A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值(B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值(C)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值(D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:①当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),此时f′(x)=e x(x-1)+(e x-1)=e x·x-1,所以A,B项均错.②当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,此时f′(x)=e x(x-1)2+(2x-2)(e x-1)=(x-1)[e x(x+1)-2],易知g(x)=e x(x+1)-2的零点介于0,1之间,不妨设为x0,则有故f(x)在x=1处取得极小值.故选C.13.已知函数f(x)=ln x-(m∈R)在区间[1,e]取得最小值4,则m=.解析:因为f′(x)=+=,当m≥0时,f′(x)>0,f(x)是[1,e]上的增函数,函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当m<0,-m>0时,当-m≤1,即-1≤m<0时,f′(x)>0,f(x)是增函数,故函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当-m≥e时,即m≤-e时,f′(x)<0,f(x)是减函数,函数f(x)在x=e处取最小值,则1-=4,故m=-3e合题意;当1<-m<e,即-e<m<-1时,函数f(x)在x=-m处取最小值,则ln(-m)+1=4,即m=-e3,不合题意.综上m=-3e.答案:-3e14.已知函数f(x)=xe x+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)-1在[-2,2]上的值域.解:(1)f′(x)=e x+xe x+2ax+2,因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f′(-1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,所以f(x)=xe x+x2+2x+1,f′(x)=(x+1)(e x+2),当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1);当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).(2)因为g(x)=f(x)-1=xe x+x2+2x,所以g′(x)=f′(x)=e x+xe x+2x+2.由(1)知g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,故g(x)在[-2,2]上的极小值也是最小值.g(x)min=g(-1)=--1.又g(-2)=-,g(2)=8+2e2>g(-2),所以g(x)max=8+2e2,所以函数g(x)在[-2,2]上的值域为[--1,8+2e2].好题天天练1.(2016·河北衡水中学高考模拟)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象在A,B两点处的切线重合,则实数a的取值范围是( C )(A)(-2,-1) (B)(1,2)(C)(-1,+∞) (D)(-ln 2,+∞)解题关键:利用导数几何意义求出两段函数的切线,根据切线重合, 将其中一个切点横坐标表示为a的函数,求最值.解析:当x<0时,f(x)=x2+x+a的导数为f′(x)=2x+1;当x>0时,f(x)=ln x的导数为f′(x)=,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2,当x1<x2<0或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y-(+x1+a)=(2x1+1)(x-x1);函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-ln x2=(x-x2).两直线重合的充要条件是=2x1+1,①ln x2-1=-+a,②由①及x1<0<x2得0<<1,由①②得a=ln x2+(-1)2-1,令t=,则0<t<1,且a=-ln t+t2-t-,设h(t)=-ln t+t2-t-(0<t<1),则h′(t)=-+t-<0,即h(t)在(0,1)上为减函数,则h(t)>h(1)=-ln 1-1=-1,则a>-1,可得函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-1,+∞).故选C.f(x)=2e x+ax2+ax+1有两个极值,则实数a的取值范围为.解析:因为f′(x)=2e x+ax+a,又函数f(x)=2e x+ax2+ax+1有两个极值,即f′(x)=2e x+ax+a=0有2个不等实根,设a=g(x)=(x≠-1),求导g′(x)==(x≠-1),可知函数g(x)只有一个极值点x=0,则函数g(x)在(-∞,-1),(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且当x<-1时,g(x)>0,当x>-1时,g(x)≤-2,故要使函数y=a和函数y=g(x)有2个不同交点,就要a<-2.答案:(-∞,-2)。

第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。