高考物理大一轮复习第五章第3讲机械能守恒定律及应用讲义含解析教科版

第3讲机械能守恒定律及应用一、重力做功与重力势能的关系1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．(2)重力做功不引起物体机械能的变化．2．重力势能(1)表达式：E p＝mgh.(2)重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即W G＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p. 自测1关于重力势能，下列说法中正确的是()A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功答案 D二、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔE p.自测2(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是()A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关答案AB三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式：mgh 1＋12m v 12＝mgh 2＋12m v 22.3．机械能守恒的条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功． (3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零． (4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化． 自测3 (2018·山东省泰安市上学期期中)下列几种运动中，机械能一定守恒的是( ) A ．做匀速直线运动的物体 B ．做匀变速直线运动的物体 C ．做平抛运动的物体 D ．做匀速圆周运动的物体 答案 C解析 做匀速直线运动的物体，动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故A 错误；若是在水平面上的匀加速直线运动，动能增大，重力势能不变，则机械能不守恒，故B 错误；做平抛运动的物体，只有重力做功，机械能必定守恒，故C 正确；若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能在变化，机械能不守恒，故D 错误．自测4 教材P78第3题改编 (多选)如图1所示，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )图1A ．重力对物体做的功为mghB ．物体在海平面上的重力势能为mghC ．物体在海平面上的动能为12m v 02－mghD ．物体在海平面上的机械能为12m v 02答案 AD命题点一 机械能守恒的判断1．只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等． 2．只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒． 3．只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．4．除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面向下的拉力F 的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒．例1 如图2所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A 点的正上方由静止开始下落，小球从A 点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )图2A ．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B ．小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态C ．小球从A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D ．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒 答案 C解析 小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒；小球从A 点至到达槽最低点过程中，小球先失重，后超重；小球由最低点向右侧最高点运动的过程中，半圆形槽也向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒，故选项C正确．变式1如图3所示，用一轻绳系一小球悬于O点．现将小球拉至水平位置，然后释放，不计阻力，小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是()图3A．小球的机械能守恒B．小球所受的合力不变C．小球的动能不断减小D．小球的重力势能增加答案 A解析小球在下落的过程中，受到重力和绳的拉力的作用，绳的拉力与小球的运动方向垂直，对小球不做功，只有重力做功，故在整个过程中小球的机械能守恒，选项A正确；由于小球的速度变大，动能增加，所需的向心力变大，故小球所受的合力变大，选项B、C错误；小球的高度下降，重力势能减小，选项D错误．命题点二单物体的机械能守恒问题1．表达式2．一般步骤3．选用技巧在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．例2 (2016·全国卷Ⅲ·24)如图4所示，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接．AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R2.一小球在A 点正上方与A 相距R4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动．图4(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点． 答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析解析 (1)设小球的质量为m ，小球在A 点的动能为E k A ，由机械能守恒得 E k A ＝mg ·R4①设小球在B 点的动能为E k B ，同理有 E k B ＝mg ·5R4②由①②式得E k BE k A＝5③(2)若小球能沿轨道运动到C 点，小球在C 点所受轨道的正压力F N 应满足F N ≥0④ 设小球在C 点的速度大小为v C ，由牛顿第二定律和向心加速度公式有 F N ＋mg ＝m v C 2R 2⑤由④⑤式得mg ≤m 2v C 2R ⑥v C ≥Rg 2⑦ 对全程由机械能守恒定律得mg ·R 4＝12m v C ′2⑧由⑦⑧式可知，v C ＝v C ′，即小球恰好可以沿轨道运动到C 点．变式2 (2018·湖南省株洲市上学期质检一)如图5所示，半径为R 的光滑圆周轨道AB 固定在竖直平面内，O 为圆心，OA 与水平方向的夹角为30°，OB 在竖直方向．一个可视为质点的小球从O 点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从A 点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达B 点．已知重力加速度为g ，求：(不计空气阻力)图5(1)小球初速度的大小；(2)小球运动到B 点时对圆轨道压力的大小． 答案 (1)gR2(2)6mg 解析 (1)设小球的初速度为v 0，飞行时间为t ，则在水平方向有R cos 30°＝v 0t 在竖直方向有h 1＝12gt 2，v y ＝gt小球运动到A 点时与轨道无碰撞，故tan 30°＝v 0v y联立解得v 0＝gR 2，h 1＝34R .(2)抛出点距轨道最低点的高度h ＝R ＋R sin 30°＋h 1设小球运动到最低点B 时速度为v ，圆轨道对小球的弹力为N ， 根据机械能守恒有mgh ＋12m v 02＝12m v 2根据牛顿第二定律有N －mg ＝m v 2R联立解得N ＝6mg由牛顿第三定律得在B 点时小球对圆轨道的压力大小为N ′＝N ＝6mg .命题点三 连接体的机械能守恒问题1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒． 2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式．例3 如图6所示，左侧竖直墙面上固定半径为R ＝0.3 m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O 等高处固定一光滑直杆．质量为m a ＝100 g 的小球a 套在半圆环上，质量为m b ＝36 g 的滑块b 套在直杆上，二者之间用长为l ＝0.4 m 的轻杆通过两铰链连接．现将a 从圆环的最高处由静止释放，使a 沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a 、b 均视为质点，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图6(1)小球a 滑到与圆心O 等高的P 点时的向心力大小；(2)小球a 从P 点下滑至杆与圆环相切的Q 点的过程中，杆对滑块b 做的功． 答案 (1)2 N (2)0.194 4 J解析 (1)当a 滑到与圆心O 等高的P 点时，a 的速度v 沿圆环切线竖直向下，b 的速度为零， 由机械能守恒可得：m a gR ＝12m a v 2解得v ＝2gR在P 点对小球a ，由牛顿第二定律可得： F ＝m a v 2R＝2m a g ＝2 N(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a 的速度沿杆方向，设此时b 的速度为v b ，则知v a ＝v b cos θ由几何关系可得：cos θ＝l l 2＋R2＝0.8球a 下降的高度h ＝R cos θa 、b 及杆组成的系统机械能守恒：m a gh ＝12m a v a 2＋12m b v b 2－12m a v 2对滑块b ，由动能定理得：W ＝12m b v b 2＝0.194 4 J变式3 (多选)(2018·贵州省贵阳市5月适应性二)如图7所示，不可伸长的轻绳通过定滑轮将物块甲、乙(均可视为质点)连接，物块甲套在固定的竖直光滑杆上，用外力使两物块静止，轻绳与竖直方向夹角θ＝37°，然后撤去外力，甲、乙两物块从静止开始运动，物块甲恰能上升到最高点P ，P 点与滑轮上缘O 在同一水平线上，甲、乙两物块质量分别为m 、M ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g ，不计空气阻力，不计滑轮的大小和摩擦．设物块甲上升到最高点P 时加速度为a ，则下列说法正确的是( )图7A ．M ＝2mB ．M ＝3mC ．a ＝gD ．a ＝0 答案 AC解析 设QP 间的距离为h ，OQ 间的绳长L ＝h cos 37°＝5h 4，则乙下降的高度为h ′＝L －h tan 37°＝h2，则根据机械能守恒定律可知mgh ＝Mgh ′，解得M ＝2m ，故A 正确，B 错误．甲上升到最高点P 时，由于不受摩擦力，所以在竖直方向上只受重力，水平方向上弹力与绳子的拉力平衡，因此甲的加速度为g ，故C 正确，D 错误．命题点四 含弹簧类机械能守恒问题1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．例4 (2016·全国卷Ⅱ·25)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l .现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图8所示．物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g .图8(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围． 答案 (1)6gl 22l (2)53m ≤M <52m解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律知，弹簧长度为l 时的弹性势能为E p ＝5mgl ①设P 到达B 点时的速度大小为v B ，由能量守恒定律得 E p ＝12m v B 2＋μmg (5l －l )②联立①②式，并代入题给数据得 v B ＝6gl ③若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足m v 2l－mg ≥0④ 设P 滑到D 点时的速度为v D ，由机械能守恒定律得 12m v B 2＝12m v D 2＋mg ·2l ⑤ 联立③⑤式得v D ＝2gl ⑥v D 满足④式要求，故P 能运动到D 点，并从D 点以速度v D 水平射出．设P 落回到轨道AB 所需的时间为t ，由运动学公式得2l ＝12gt 2⑦P 落回到AB 上的位置与B 点之间的距离为s ＝v D t ⑧ 联立⑥⑦⑧式得s ＝22l ⑨(2)设P 的质量为M ，为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度必须大于零．由①②式可知5mgl >μMg ·4l ⑩要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C .由机械能守恒定律有12M v B ′2≤Mgl ⑪ E p ＝12M v B ′2＋μMg ·4l ⑫联立①⑩⑪⑫式得53m ≤M <52m .变式4 (2019·安徽省巢湖市质检)如图9所示，光滑水平轨道AB 与光滑半圆形轨道BC 在B 点相切连接，半圆轨道半径为R ，轨道AB 、BC 在同一竖直平面内．一质量为m 的物块在A 处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C .已知物块在到达B 点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g .求：图9(1)物块由C 点平抛出去后在水平轨道的落点到B 点的距离； (2)物块在B 点时对半圆轨道的压力大小；(3)物块在A 点时弹簧的弹性势能．答案 (1)2R (2)6mg (3)52mgR 解析 (1)因为物块恰好能通过C 点，则有：mg ＝m v C 2Rx ＝v C t,2R ＝12gt 2 解得x ＝2R即物块在水平轨道的落点到B 点的距离为2R ；(2)物块由B 到C 过程中机械能守恒，则有12m v B 2＝2mgR ＋12m v C 2 设物块在B 点时受到的半圆轨道的支持力为N ，则有：N －mg ＝m v B 2R， 解得N ＝6mg由牛顿第三定律可知，物块在B 点时对半圆轨道的压力大小N ′＝N ＝6mg .(3)由机械能守恒定律可知，物块在A 点时弹簧的弹性势能为E p ＝2mgR ＋12m v C 2，解得E p ＝52mgR .1．(多选)(2018·河南省郑州市质检)下列说法正确的是( )A ．如果物体受到的合力为零，则其机械能一定守恒B ．如果物体受到的合力做功为零，则其机械能一定守恒C ．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒D ．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒答案 CD解析 物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，选项C 正确；做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，如自由落体运动，选项D 正确．2．(2018·山东省日照市校际联合质检)蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动．北京青龙峡蹦极跳塔高度为68米，身系弹性蹦极绳的蹦极运动员从高台跳下，下落高度大约为50米．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点．下列说法正确的是()A．运动员到达最低点前加速度先不变后增大B．蹦极过程中，运动员的机械能守恒C．蹦极绳张紧后的下落过程中，动能一直减小D．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力一直增大答案 D解析蹦极绳张紧前，运动员只受重力，加速度不变，蹦极绳张紧后，运动员受重力、弹力，开始时重力大于弹力，加速度向下，后来重力小于弹力，加速度向上，则蹦极绳张紧后，运动员加速度先减小为零再反向增大，故A错误．蹦极过程中，运动员和弹性绳组成的系统的机械能守恒，故B错误．蹦极绳张紧后的下落过程中，运动员加速度先减小为零再反向增大，运动员速度先增大再减小，运动员动能先增大再减小，故C错误．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性绳的伸长量增大，弹力一直增大，故D正确．3．(多选)如图1所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是()图1A．物体的重力势能减少，动能增加B．斜面体的机械能不变C．斜面体对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒答案AD解析物体下滑过程中重力势能减少，动能增加，A正确；地面光滑，斜面体会向右运动，动能增加，机械能增加，B错误；斜面体对物体的弹力垂直于接触面，与物体的位移并不垂直，弹力对物体做负功，C错误；物体与斜面体组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，D正确．4．如图2所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )图2A ．2R B.5R 3 C.4R 3 D.2R 3答案 C解析 设B 球质量为m ，则A 球质量为2m ，A 球刚落地时，两球速度大小都为v ，根据机械能守恒定律得2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2，得v 2＝23gR ，B 球继续上升的高度h ＝v 22g ＝R 3，B 球上升的最大高度为h ＋R ＝43R ，故选C. 5．(2019·江西省景德镇市模拟)如图3所示，将一质量为m 的小球从A 点以初速度v 斜向上抛出，小球先后经过B 、C 两点．已知B 、C 之间的竖直高度和C 、A 之间的竖直高度都为h ，重力加速度为g ，取A 点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力，则( )图3A ．小球在B 点的机械能是C 点机械能的两倍B ．小球在B 点的动能是C 点动能的两倍C ．小球在B 点的动能为12m v 2＋2mgh D ．小球在C 点的动能为12m v 2－mgh 答案 D6．如图4所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v 射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( )图4A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 B7.(2018·河南省南阳市上学期期末)如图5所示，固定在竖直平面内的圆管形轨道的外轨光滑，内轨粗糙．一小球从轨道的最低点以初速度v 0向右运动，球的直径略小于圆管的直径，球运动的轨道半径为R ，空气阻力不计，重力加速度大小为g ，下列说法一定正确的是( )图5A ．若v 0<2gR ，小球运动过程中机械能不可能守恒B ．若v 0＝3gR ，小球运动过程中机械能守恒C ．若v 0<5gR ，小球不可能到达最高点D ．若v 0＝2gR ，小球恰好能到达最高点答案 B解析 若小球运动过程中机械能守恒，当小球恰好上升到与圆心等高处时，有：12m v 02＝mgR ，解得v 0＝2gR <2gR ，故A 错误；如果小球不挤压内轨，则小球到达最高点速度最小时，有mg ＝m v 2R ，从最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律得：12m v 02＝12m v 2＋mg ·2R ，解得：v 0＝5gR ，则小球要不挤压内轨且做完整圆周运动，初速度应大于等于5gR ，此时小球机械能守恒，故B 正确；若小球的速度小于5gR ，也有可能做完整的圆周运动到达最高点，只是最终在圆心下方做往复运动，故C 错误；如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：12m v 02＝mg ·2R ，解得：v 0＝2gR ，由于内轨粗糙，如果小球运动到最高点时速度为0，一定受到摩擦力作用，故小球在到达最高点以前速度已为零，不能到达最高点，故D 错误．8．(多选)(2018·山东省日照市校际联合质检)如图6，水平地面上固定一足够长的光滑斜面，斜面顶端有一光滑定滑轮，一轻绳跨过滑轮，绳两端分别连接小物块A 和B .已知斜面倾角θ＝30°，小物块A 的质量为m ，小物块B 的质量为0.8m ，小物块B 距离地面的高度为h ，小物块A 距离定滑轮足够远．开始时，小物块A 和小物块B 位于同一水平面上，用手按住小物块A ，然后松手．则下列说法正确的是(重力加速度为g )( )图6A ．松手瞬间，小物块A 的加速度大小为16g B ．松手后，小物块A 的机械能守恒C ．小物块B 落地前瞬间的速度大小为2gh 3D ．小物块A 能够上升到的最高点与地面的距离为5h 3答案 AD解析 松手瞬间，对B 受力分析可得0.8mg －T ＝0.8ma ，对A 受力分析可得T －mg sin 30°＝ma ，联立解得：a ＝16g ，故A 正确．松手后，绳的拉力对A 做正功，小物块A 的机械能增加，故B 错误．物块B 从开始下落到落地有v 2－0＝2ah ，解得：v ＝gh 3，故C 错误．物块A 从开始运动到滑行h 时获得的速度v ＝gh 3，接下来继续滑行x 速度减为零，则12m v 2＝mgx sin 30°，解得：x ＝h 3，小物块A 能够上升到的最高点与地面的距离为h ＋h sin 30°＋h 3sin 30°＝53h ，故D 正确． 9．(多选)(2018·四川省成都市新都区摸底)如图7甲所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上．一质量为m 的小球，从离弹簧上端一定距离的位置由静止释放，接触弹簧后继续向下运动．小球运动的v －t 图像如图乙所示，其中OA 段为直线，AB 段是与OA 相切于A 点的平滑曲线，BC 是平滑曲线，不考虑空气阻力，重力加速度为g .关于小球的运动过程，下列说法正确的是( )图7A ．小球在tB 时刻所受弹簧弹力等于12mg B ．小球在t C 时刻的加速度大于12g C ．小球从t C 时刻所在的位置由静止释放后，能回到出发点D ．小球从t A 时刻到t C 时刻的过程中重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量答案 ABC解析 小球在t B 时刻速度达到最大，此时弹簧的弹力等于小球重力沿斜面的分力，则F 弹＝mg sin 30°＝12mg ，故A 正确；由题图可知，t A 时刻所在位置关于t B 时刻所在位置对称处小球的加速度大小为g 2，弹簧弹力大小为mg ，故到达t C 时刻所在位置时弹簧的弹力大于mg ，根据牛顿第二定律可知F 弹－mg sin θ＝ma ，解得a ＞12g ，故B 正确；整个过程中，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，故从t C 时刻所在的位置由静止释放，小球能到达原来的出发点，故C 正确；小球从t A 时刻到t C 时刻的过程中，由系统机械能守恒知小球重力势能的减小量与小球动能的减小量之和等于弹簧弹性势能的增加量，故D 错误．10．(2019·陕西省商洛市调研)如图8甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB 和圆轨道BCD 组成，AB 和BCD 相切于B 点，CD 连线是圆轨道竖直方向的直径(C 、D 为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC ＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB 上高H 处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D 时对轨道的压力为F ，并得到如图乙所示的压力F 与高度H 的关系图像，取g ＝10 m/s 2.求：图8(1)滑块的质量和圆轨道的半径；(2)是否存在某个H 值，使得小滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点？若存在，请求出H 值；若不存在，请说明理由．答案 (1)0.1 kg 0.2 m (2)存在 0.6 m解析 (1)设小滑块的质量为m ，圆轨道的半径为R根据机械能守恒定律得mg (H －2R )＝12m v D 2，由牛顿第三定律得轨道对小滑块的支持力F ′＝F ，由牛顿第二定律得，F ＋mg ＝m v D 2R得：F ＝2mg (H －2R )R－mg 取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：m ＝0.1 kg ，R ＝0.2 m(2)假设小滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的E 点，如图所示，由几何关系可得OE ＝R sin 30°设小滑块经过最高点D 时的速度为v D ′由题意可知，小滑块从D 点运动到E 点，水平方向的位移为OE ，竖直方向上的位移为R ，则OE ＝v D ′t ，R ＝12gt 2 解得v D ′＝2 m/s而小滑块过D 点的临界速度v D 0＝gR ＝ 2 m/s由于v D ′＞v D 0，所以存在一个H 值，使得小滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点，由机械能守恒定律得mg (H －2R )＝12m v D ′2 解得H ＝0.6 m.11．(2018·内蒙古包头市模拟)如图9所示，在竖直方向上A 、B 两物体通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，A 放在水平地面上，B 、C 两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C 放在固定的光滑斜面上．用手拿住C ，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab 段的细线竖直、cd 段的细线与斜面平行．已知A 、B 的质量均为m ，C 的质量为4m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C 后C 沿斜面下滑，A 刚离开地面时，B 获得最大速度．求：图9(1)斜面倾角α；(2)B 的最大速度v .答案 (1)30° (2)2g m 5k解析 (1)当物体A 刚离开地面时，设弹簧的伸长量为x A ，对A 有kx A ＝mg ，此时B 受到重力mg 、弹簧的弹力kx A 、细线拉力T 三个力的作用，设B 的加速度为a ，根据牛顿第二定律，对B 有T －mg －kx A ＝ma ，对C 有4mg sin α－T ＝4ma ，当B 获得最大速度时，有a ＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°.(2)开始时弹簧压缩的长度为x B ＝mg k，显然x A ＝x B .当物体A 刚离开地面时，B 上升的距离以及C 沿斜面下滑的距离均为x A ＋x B .由于x A ＝x B ，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，而且物体A 刚离开地面时，B 、C 两物体的速度相等，设为v ，由机械能守恒定律得4mg (x A ＋x B )sin α－mg (x A ＋x B )＝12(4m ＋m )v 2，代入数值解得v ＝2g m 5k .。

第3讲机械能守恒定律及其应用板块一主干梳理·夯实基础【知识点1】重力做功与重力势能Ⅱ1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小，重力对物体做负功，重力势能就增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即W G＝－(E p2－E p1)＝E p1－E p2＝－ΔE p。

(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。

【知识点2】弹性势能Ⅰ1．定义发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。

2．弹力做功与弹性势能变化的关系(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔE p。

(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。

【知识点3】机械能守恒定律及其应用Ⅱ1．内容：在只有重力(或系统内弹力)做功的情况下，物体系统内的动能和重力势能(或弹性势能)发生相互转化，而机械能的总量保持不变。

2．常用的三种表达式(1)守恒式：E1＝E2或E k1＋E p1＝E k2＋E p2。

E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。

(2)转化式：ΔE k＝－ΔE p或ΔE k增＝ΔE p减。

表示系统势能的减少量等于动能的增加量。

(3)转移式：ΔE A＝－ΔE B或ΔE A增＝ΔE B减。

表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。

3．对机械能守恒定律的理解(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。

(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。

(3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，机械能仍守恒。

高考物理总复习讲义第5章第3讲机械能守恒定律及其应用1、重力势能(1)重力做功的特点①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关、②重力做功不引起物体机械能的变化、(2)重力势能①公式：Ep＝mgh、②矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同、③系统性：重力势能是物体和地球共有的、④相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关、重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关、(3)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加、②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量、即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp、2、弹性势能(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关、(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加、对于弹性势能，一般取物体的弹性形变为零时的弹性势能为零、当弹簧的伸长量与压缩量相等时，其弹性势能相等、知识二机械能守恒定律1、内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变、2、机械能守恒的条件只有重力或弹力做功、3、守恒表达式观点表达式守恒观点E1＝E2，Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2转化观点ΔEk＝－ΔEp转移观点ΔEA减＝ΔEB增(1)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒、()(2)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化、()(3)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒、(√)1、(多选)下列运动中能满足机械能守恒的是()A、手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)B、子弹射穿木块C、细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动D、吊车将货物匀速吊起【解析】手榴弹从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A正确；子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一部分转化为内能，机械能不守恒，B不正确；小球在光滑的水平面上运动，受到重力，水平面对小球的支持力，还有细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C正确；吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，故D所指的运动过程机械能不守恒，D不正确、【答案】AC2、图5－3－1如图5－3－1所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是()A、重力势能和动能之和总保持不变B、重力势能和弹性势能之和总保持不变C、动能和弹性势能之和总保持不变D、重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变【解析】在小球与弹簧相互作用过程中，重力势能、弹性势能和动能相互转化，总和保持不变，D正确；重力势能一直减小，故动能和弹性势能之和一直增大，C错误；动能先增大后减小，故重力势能与弹性势能之和先减小后增大，B错误；因弹性势能一直增大，故重力势能与动能之和一直减小，A错误、【答案】 D3、图5－3－2(多选)“蹦极”是一项非常刺激的体育运动、如图5－3－2所示，运动员身系弹性绳自高空中Q点自由下落，图中a是弹性绳的原长位置，c是运动员所到达的最低点，b是运动员静止地悬吊着时的平衡位置、则()A、由Q到c的整个过程中，运动员的动能及重力势能之和守恒B、由a下降到c的过程中，运动员的动能一直减小C、由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小D、由a下降到c的过程中，弹性绳的弹性势能一直增大【解析】由Q到c的整个过程中，运动员的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之和守恒，A错误；由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小，B错误，C正确；由a下降到c的过程中，弹性绳的伸长量不断增加，故弹性势能一直增大，D选项也正确、【答案】CD4、图5－3－3(xx安徽高考)伽利略曾设计如图5－3－3所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点、如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点、这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )A、只与斜面的倾角有关B、只与斜面的长度有关C、只与下滑的高度有关D、只与物体的质量有关【答案】C5、图5－3－4(xx上海高考)如图5－3－4，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍、当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高、将A由静止释放，B上升的最大高度是( )A、2RB、5R/3C、4R/3D、2R/3【解析】如图所示，以A、B两球为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋3mv2，A落地后B 将以v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R、则B上升的高度为R＋R＝R，故选项C正确、【答案】C考点一[42] 机械能守恒的判断一、机械能守恒的条件只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：1、物体只受重力或弹力作用、2、存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功、3、其他力做功，但做功的代数和为零、4、存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化、二、机械能守恒的判断方法1、利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化、2、用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒、3、用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒、在如图5－3－5所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动、则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()甲乙丙丁图5－3－5A、甲图中小球机械能守恒B、乙图中小球A的机械能守恒C、丙图中两车组成的系统机械能守恒D、丁图中小球的机械能守恒【解析】甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图过程中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当做一个系统，机械能才守恒、【答案】 A (1)对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒、(2)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断、考点二[43] 机械能守恒定律的表达式及应用一、三种守恒表达式的比较表达角度表达公式表达意义注意事项守恒观点Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′系统初状态的机械能的总和与末状态机械能的总和相等应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk＝－ΔEp 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE增＝ΔE减若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题二、应用机械能守恒的一般步骤1、选取研究对象2、根据受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件、3、确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况、4、选择合适的表达式列出方程，进行求解、5、对计算结果进行必要的讨论和说明、[1个示范例] 图5－3－6如图5－3－6所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，一根轻质弹簧上端固定在斜面上，下端拴一质量为m的物块，物块放在光滑斜面上的P点并保持静止，弹簧与斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep，已知弹簧的劲度系数为k，现将物块缓慢沿斜面向上移动，到弹簧刚恢复至原长位置时，由静止释放物块，求在以后的运动过程中物块的最大速度、【解析】由题意可知，物块将以P点为平衡位置往复运动，当物块运动到位置P点时有最大速度，设为vm，从物块在弹簧原长位置由静止释放至物块刚好到达P点的过程中，由系统机械能守恒得：mgx0sin θ＝Ep＋mv当物块自由静止在P点时，物块受力平衡，则有：mgsin θ＝kx0联立解得：vm＝【答案】[1个预测例] 图5－3－7如图5－3－7所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，并都可看作质点，且m<M<2m、三物块用细线通过滑轮连接，物块B与物块C的距离和物块C到地面的距离都是L、现将物块A下方的细线剪断，若物块A距滑轮足够远且不计一切阻力、求：(1)物块A上升时的最大速度；(2)若B不能着地，求满足的条件、【审题指导】解答该题应注意、(1)物块C在落地之前，A、B、C三者组成的系统机械能守恒、(2)C在落地之后，物块B 在落地之前，A、B组成的系统机械能守恒、【解析】(1)A上升L时速度达到最大，设为v，由机械能守恒定律有2mgL－MgL＝(M＋2m)v2得v＝、(2)C着地后，若B恰能着地，即B物块再下降L时速度为零、对A、B组成的系统由动能定理得－MgL＋mgL＝0－(M＋m)v2解得M＝m若使B不着地，应有M>m，即>、【答案】(1)(2)>轻杆模型中的机械能守恒一、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型、二、模型条件1、忽略空气阻力和各种摩擦、2、平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等、三、模型特点1、杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒、2、对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒、[1个示范例] 质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图5－3－8所示、现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求：图5－3－8(1)小球P的速度大小；(2)在此过程中小球P 机械能的变化量、【规范解答】(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v、由机械能守恒定律得2mgL－mgL＝mv2＋2m(2v)2，解得v＝、(2)小球P机械能增加量为ΔE，ΔE＝mgL＋mv2＝mgL、【答案】(1) (2)增加mgL[1个模型练]图5－3－9如图5－3－9所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L 的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h、两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；(2)整个运动过程中杆对A球所做的功、【解析】(1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：2mg(h＋sin θ)＝2mv2解得：v＝、(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果、B增加的机械能为ΔEkB＝mv2－mgh＝mgLsin θ因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以杆对A球做的功W＝－mgLsin θ、【答案】(1) (2)－mgLsin θ在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：(1)本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒、(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒、⊙重力势能、弹性势能与机械能守恒的判断1、(多选)(xx新课标全国高考)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离、假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )A、运动员到达最低点前重力势能始终减小B、蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C、蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D、蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关【解析】到达最低点前高度始终在降低，所以重力势能始终减小，故A 正确、绳张紧后的下落过程，伸长量逐渐增大，弹力做负功，弹性势能增大，故B正确、在蹦极过程中，只有重力与系统内弹力做功，故系统机械能守恒，C正确、重力势能的改变与重力做功有关，重力做功只与始末位置高度差有关，与零势能面的选取无关，故D错误、【答案】ABC2、(xx江苏无锡模拟)如图5－3－10所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()图5－3－10A、斜劈对小球的弹力不做功B、斜劈与小球组成的系统机械能守恒C、斜劈的机械能守恒D、小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量【解析】不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功，系统机械能守恒，故B正确，C错误；小球重力势能的减少量应等于小球和斜劈动能的增加量之和，D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移间夹角大于90，故此弹力做负功，A错误、【答案】B⊙机械能守恒与功率的综合3、用长度为l的细绳悬挂一个质量为m的小球，将小球移至和悬点等高的位置使绳自然伸直、放手后小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点的势能取作零，则小球运动过程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为()A、mgB、mgC、mgD、mg【解析】设第一次小球动能与势能相等时的速度大小为v，由机械能守恒定律得：mgl＝mv2＋Ep，Ep＝mv2，解得v＝，此时v与水平方向夹角为60，故P＝mgvsin60＝mg，C正确、【答案】C⊙系统的机械能守恒4、图5－3－11(多选)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B 端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球、AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动、现将杆置于水平位置，如图5－3－11所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是()A、AB杆转到竖直位置时，角速度为B、AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgLC、AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功D、AB杆转动过程中，C球机械能守恒【解析】在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有：mg2L＋2mg(2L)＝mgL＋2m(ω2L)2＋m(ωL)2，解得角速度ω＝，A项正确、在此过程中，B端小球机械能的增量为：ΔEB＝E末－E初＝2m(ω2L)2－2mg(2L)＝mgL，B项正确、AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB对C球做负功，对B球做正功，C项错、C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错、【答案】AB⊙机械能守恒定律在平抛运动中的应用5、图5－3－12(xx大纲全国高考)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状、此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面、如图5－3－12所示，以沟底的O点为原点建立坐标系xOy、已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2，探险队员的质量为m、人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g、(1)求此人落到坡面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？【解析】(1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y、由运动学公式和已知条件得x＝v0t①2h－y＝gt2②根据题意有y＝③由机械能守恒，落到坡面时的动能为mv2＝mv＋mg(2h－y)④联立①②③④式得mv2＝m(v＋)、⑤(2)⑤式可以改写为v2＝(－)2＋3gh⑥v2取极小的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得v0＝⑦此时v2＝3gh，则最小动能为(mv2)min＝mgh、⑧【答案】(1)m(v＋) (2)v0＝时落坡动能最小为mgh。