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《概率论与数理统计》模拟试卷一、填空题1．三只考签由三个学生轮流放回抽取一次,每次取一只,设i A 表示第i 只考签被抽到(1,2,3)i =,则“至少有一只考签没有．．被抽到”这一事件可表示为 . 2．设()0.4P A =,()0.3P B =,()0.6P A B =U ,则()P AB = .3．已知一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次不放回从袋中各取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .4．已知随机变量X 的分布函数为0,0()0.4,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则{1}P X == .5．设随机变量~(,25)X N μ,且{5}0.5P X >=,则μ= .6．设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩其它,则常数A = .7．设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,且16n =,()4D X =,则p = . 8．设二维随机变量(,)X Y 的分布律为则{}P X Y == .9．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则2{()}P X E X == .10．设随机变量~(1,1),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则2[()]E X Y -= . 11．已知()1D X =,()9D Y =,0.5XY ρ=,则(321)D X Y -+= .12．设X 和Y 的方差DX 和DY 都存在,且满足()()D X Y D X Y +=-,则X 与Y 的相关系数XY ρ= .13．设1210,,,X X X L 是来自总体(0,1):X N 的简单随机样本,则统计量2221210X X X +++L 服从自由度n = 的2χ分布. 14．设来自总体~(,1)X N μ的容量为16的样本的样本均值 5.11x =,其未知参数μ的置信水平为1α-的置信区间为(4.62,5.60),则α= .15．设正态总体2~(,)X N μσ,其中2,μσ均未知,12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则检验假设01:0,:0H H μμ=≠的t 检验方法使用统计量t = .二、计算题1．设随机变量X 的概率密度函数,01()2,120,x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 ,求⑴{1}P X ≥;⑵分布函数()F x .2．设随机变量X 的概率密度函数1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,⑴求XY e =的概率密度函数()Y f y ;⑵求Y 的数学期望()E Y .3．设,X Y 的联合概率密度函数为,01,01(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他,⑴求X 和Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ;⑵判断X 与Y 的是否独立?4．将两封信随意投入3个邮筒,设X 和Y 分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目,⑴求X 和Y 的联合分布律;⑵求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y .5．设总体X 的概率密度函数22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,其中0θ>为未知参数,n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本.⑴求未知参数θ的矩估计量ˆθ;⑵判断所求的估计量ˆθ是否为θ的无偏估计量. 6．设总体X 的概率密度函数||1(;)()2x f x e x θθθ-=-∞<<+∞,其中0θ>为未知参数,6,3,1,2,4,7,8,9---为来自总体的X 样本值,求θ的极大似然估计值．参考答案一、填空题1．123A A A 2．0.3 3．0.3 4．0.6 5．56．2 7．0.5 8．0.4 9．12e10．6 11．27 12．0 13．10 14．0.05 15X三、计算下列概率问题1．解：⑴1{1}1{1}10.5P X P X xdx ≥=-<=-=⎰⑵当0x <时,()0F x =; 当01x ≤<时,2()2xx F x xdt ==⎰;当12x ≤<时,211()(2)212xx F x xdx x dx x =+-=--⎰⎰; 当2x ≥时,()1F x =;所以2200,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩，. 2．解：⑴()1,01,0,x f x <<⎧=⎨⎩其他 (){}{}XY F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时,()0Y F y =; 当0,y ≥时,(){ln }(ln )Y X F y P X y F y =≤=, ()()Y Y f y F y '=,于是1,1()0,Y y eyf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ⑵1()()1XxE Y E e e dx e ===-⎰3．解：⑴当01x <<时,101()(,)()2X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=+⎰⎰；1,01()20,X x x f x ⎧+<<⎪∴=⎨⎪⎩其他当01y <<时,11()(,)()2Y f y f x y dx x y dx y +∞-∞==+=+⎰⎰； 1,01()20,Y y y f y ⎧+<<⎪∴=⎨⎪⎩其他 ⑵ (,)()()X Y f x y f x f y ≠∴Q X 与Y 不是相互独立的。
考研数学三（概率统计）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．以下4个结论：(1)教室中有r个学：生，则他们的生日都不相同的概率是(2)教室中有4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是(3)将C，C，E，E，J，N，S共7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词SCIENCE的概率是(4)袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，则3个球的最小号码为5的概率为正确的个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：对于4个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题．任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将r个球随机放入不同的r个盒子中的概率”．设A1=“他们的生日都不相同”，则(2)设A2=“至少有两个人的生日在同一个月”，则考虑对立事件，(3)设A1=“恰好排成SCIENCE”，将7个字母排成一列的一种排法看做基本事件，所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，共有C72种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C52种占法，字母I，N，S剩下的3个位置上全排列的方法共3 !种，故基本事件总数为C72C523 !=1 260，而A3中的基本事件只有一个，故(4)设A4=“最小号码为5”，则综上所述，有3个结论正确，选择(C)．知识模块：概率论与数理统计2．设X1，X2为独立的连续型随机变量，分布函数分别为F1(x)，F2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为( )A．F1(x)+F2(x)B．F1(x)一F2(x)C．F1(x)F2(x)D．F1(x)／F2(x)正确答案：C解析：用排除法．因为F1(x)，F2(x)都是分布函数，所以知识模块：概率论与数理统计3．设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y —X的概率密度fZ(z)为( )A．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z-x)dxB．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，x-x)dxC．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z+x)dxD．fZ(z)=∫-∞+∞f(-x，z+x)dx正确答案：C解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则其中Dz={(x，y)|y—x≤z)如图3-1的阴影部分所示，将②代入①得FZ(z)=∫-∞+∞dx∫-∞z f(x，u+x)du=∫-∞z du ∫-∞+∞f(x，u+x)dx．知识模块：概率论与数理统计4．设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X与Y的相关系数为，则( )A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：概率论与数理统计填空题5．事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致A 与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为________ ．正确答案：(1一a)(1—b)解析：知识模块：概率论与数理统计6．已知每次试验“成功”的概率为p，现进行n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为________．正确答案：解析：这是独立重复试验概型，记A=“成功”，则P(A)=p，X=“n次试验中A发生的次数”，则X～B(n，p)，“在没有全部失败的条件下，‘成功’不止一次”的概率为知识模块：概率论与数理统计7．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则对x＞0，fY|X(y|x)=________．正确答案：解析：由f(x，y)的表达式知X与y相互独立，且关于X与关于Y的边缘概率密度分别为知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y均服从，且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系ρ=________．正确答案：1解析：由题设知识模块：概率论与数理统计9．设二维随机变量(X，Y)的分布律为则X与Y的协方差Cov(X，Y)为________．正确答案：解析：关于X与关于Y的边缘分布律分别为知识模块：概率论与数理统计10．设X1，X2是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，则查表得概率等于________ ．正确答案：0.9解析：(X1，X2)服从二维正态分布，所以(X1+X2，X1一X2)也服从二维正态分布，并且由X1+X2～N(0，2σ2)，X1一X2～N(0，2σ2)知Cov(X1+X2，X1一X2)=D(X1)一D(X2)=0，即X1+X2与X1一X2相互独立．此外，知识模块：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为________ ．正确答案：解析：似然函数为知识模块：概率论与数理统计12．设总体X～N(a，2)，y～N(b，2)，且独立，由分别来自总体X和Y 的容量分别为m和n的简单随机样本得样本方差SX2和SY2，则统计量服从的分布是________ ．正确答案：γ2(m+n一2)解析：因为由题设条件知，T1和T2分别服从自由度为m一1和n一1的γ2分布且相互独立，所以T服从自由度为(m一1)+(n一1)=m+n一2的γ2分布．知识模块：概率论与数理统计13．设总体X的密度函数为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2， (x)是X的一组样本值，则参数θ的最大似然估计值为________ ．正确答案：解析：似然函数为知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
安阳工学院 概率论与数理统计考试复习题二一、填空题1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,中至少有一个不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．一个口袋中装有6个球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2个球，取到的球的最大号码是3的概率为 ．3．掷两颗骰子，则“点数之和不超过8”的概率是___________________．4．甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们能独立译出的概率分别0.2，0.3，0.3，此密码能被译出的概率为__________________ 5．100件产品中有3件次品，从中任取两件，至少有一件次品的概率为 ． 6．设10)(=X D ，20)(=Y D ，3.0,=Y X ρ，则=+)(Y X D ． 7．若)(~λP X ，=)(X E ，=)(X D ， 8．若)(~λE X ，=)(X E ，=)(X D ， 9．n X X X ,,,21 为取自),(2σμN 的样本，若σ未知，则参数μ的α-1置信区间为 ．10．假设检验中的第一类、第二类错误是指 ．二、解答题1、一项血液化验被用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病的患者仅占人口的0.5%，若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率。
2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种零件，每个车间的产量，分别占该厂该种零件总产量的20%，30%，50%，每个车间生产的次品占该车间生产量的百分比分别为1%，2%，3%. 如果从全厂该种零件的总产品中抽取一件产品, 试求：(1) 抽到次品的概率(2) 如果抽到次品，这件次品是乙车间生产的概率。
3．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它,00,2)(A x x x f ，试求：（1）常数A 的值；（2）X 的分布函数； （3）()5.00<<x P4．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 试求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．5．某商店经销商品的利润率X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它,010,2)(x x x f ，求：（1）)(X E ；（2）)(X D ．6．设321,,X X X 为总体X 的样本，总体X 的均值为μ，3211414121ˆX XX ++=μ，3212313131ˆX XX ++=μ，（1）证明：21ˆ,ˆμμ都是μ的无偏估计； （2）21ˆ,ˆμμ中，哪一个估计更有效？为什么？YX1 2 3 1 0.20.3 0.05 2 a0 0 30.1。
(A) P(A 8) = 032 (B) P(AB) = 0・2 (C) P (B-A) = 04 (D) P(P4) = O ・487•有6本中文书和4 [D 1 本外文书.任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的槪率是,、4!・6! (A) -----10!二、填空题:7(B)—1010!1.设P(A) = P(B) = P(C) = -, P{AB) = 0 ,P(AC) = P{BC}=-,则 A. B. C 全不发 4 8概率论与数理统计练习题（公共） 系 _______ 专业______ 班姓名—第一章 威机事件及其概率（一）2.甲、乙两人进行射击，久B 分别表示甲、乙射中目标，则Aug 表示3-以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销5 则其对应事件A 为.（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销m （B ） “甲、乙两种产品均畅销 （C ） “甲种产品滞销”；（D ） “甲种产品滞销或乙种产品畅销4.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个 温控器显示的温度不低于临界温度F 。
，电炉就断电0以f 表示事件“电炉断电”，设 人"＜7；2）＜7；3）＜：＞为4个温控器显示的按递增排列的温度值, 2000) （C ）｛丁⑶｝ — ^0一・选择题1.对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 【C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件学号（A ）二人都没射中 （C ）二人没有都射着（B ）二人都射中 （D ）至少一个射中则事件f 等于（考研题(A)(A)掷两颗均的骰子•事件“点数之和36事件，若P(A Q B) = 0・8,P(A) = 02P(P) = 0・4 . 则生的概率为4 2.设人和 B 是两事件，BuA ，P(A) = 0.9,P(B)= 0.36 •则 P(AB)= 3.在区间（0/1）内随机取两个数，则两个数之差的绝对值小于一的概率为的 。
《概率论与数理统计》模拟题一及参考答案一、填空题1.（1842）已知事件,A B 互不相容，()0P B >，则(|)P A B = .2. 已知,A B 两个事件满足条件()()P AB P AB =，且()3P A =，则()P B = .3. 一口袋中有三个黑球、四个白球，今从中无放回地任意取三个球，则恰有一个白球的概率为 ；若从中有放回地任意取三个球，则恰有一个白球的概率为 .4.一批零件共100个，次品率为0.1，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回，则第三次才取得正品的概率为 . 5. 某地进行体育彩票抽奖，10000张彩票中有100个奖票.今有10人先到抽奖，则第10人取到中奖票的概率是 . 6. 设,A B 是相互独立的事件，()0.6P A B =，()0.4P A =，则()P B = .7.（1841）设,A B 是相互独立的事件，()0.2P A =，()0.6P B =，则()P A B = .8.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率为 . 9.（1741）同时掷两枚均匀硬币，则都出现正面的概率为 . 10.（1741）设随机变量X 的分布律为则常数c = .11.（1842）设随机变量~(3,0.4)X B ，令2Y X =，则{9}P Y == . 12. 设~()X P λ（或~()X πλ），若{1}{2}P X P X ===，则{5}P X == . 13.（1842）设随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1,1,x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩记X 的概率密度为()f x ，则当01x <<时，()f x = . 14. 若X 服从区间[1,6]上的均匀分布，且1216x x <<<，则12{}P x X x ≤≤= . 15. 设2~(2,)X N σ，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .16. 若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12，则μ= . 17.若(,)X Y 的概率密度为(34),0,0,(,)0,x y Ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它, 则C =12，分布函数(,)F x y = ，{01,0P X Y <≤< 2}≤= .18. 设随机变量(,)X Y 的分布律为若,X Y 独立，则α= ，β= .19. 设二维随机变量(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布，其中G 是由曲线2y x =和y x =所围成的区域，则(,)X Y 的概率密度为(,)x y ϕ= .20.（1841）设随机变量,X Y 相互独立，~(1,2)X N ，~(3,4)Y N ，则{4}P X Y +≤= .21. 设随机变量X 的分布律为则()E X = ，2()E X = ，()D X = .22.（1741）设随机变量~(20,0.1)X B ，随机变量Y 服从参数为2的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则()E X Y += . 23.（1741）设随机变量~(2,4)X N ，且32Y X =-，则()D Y = .24. 设随机变量,X Y 独立，且()()0E X E Y ==，()()1D X D Y ==，则2[()]E X Y += . 25. 掷n 颗骰子，则出现的点数之和的数学期望与方差分别为 与 .26（1741）已知()25D X =，()36D Y =，X 与Y 的相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y += .27. 在每次试验中事件A 出现的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A 发生的次数为X ，则利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率至少为 . 28.（1842）设随机变量序列12,,,,n X X X 独立同分布，且()i E X μ=，2()i D X σ=，1,2,i =，则对任意0ε>，都有11lim {|||ni n i P X n με→∞=-<=∑ . 29. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(0,1)(1,2,,)i X N i n =，则222212n X X X χ=+++服从 分布.30. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσX 服从 分布. 31.（1741）设总体~(1,5)X N ，1220,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，201120i i X X ==∑，则()E X = .32.（1841）设12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσ，2S 为样本方差，若22(1)n S σ-服从分布2(99)χ，则样本容量n = .33.（1841）设123,,X X X 为来自总体X 的一个样本，记()E X μ=，若12311ˆ33X aX X μ=++是μ的无偏估计，则常数a = . 34.（1741）设总体X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，其样本均值3x =，则λ的矩估计ˆλ= . 35.（1741）已知某厂生产的零件直径服从(,4)N μ，现随机取16个零件测其直径，并算得样本均值21x =，做假设检验01:20,:20H H μμ=≠，则检验统计量的值为 .二、单项选择题:1.（1842）设随机事件,A B 独立，()0.2P A =，()0.6P B =，则()P AB =()A 0.12. ()B 0.32. ()C 0.68. ()D 0.88. 答 【 】2. 设()P A a =，()P B b =，()P A B c =，则()P AB 为()A a b -. ()B c a -. ()C (1)a b -. ()D b a -. 答 【 】3. 设,A B 为任意两个事件，并适合A B ⊂，()0P A >，则下列结论中必然成立的是()A ()()P A P A B <. ()B ()()P A P A B >. ()C ()()P A P A B ≤. ()D ()()P A P A B ≥. 答【 】4. 设,A B 为两个事件，则下列命题中正确的是()A 若A 与B 独立，则A 与B 互斥. ()B 若A 与B 互斥，则A 与B 独立.()C 若A 与B 互逆，则A 与B 独立. ()D 若A 与B 独立，则A 与B 独立. 答 【 】 5. 设~(0,1)X N ，2~(,)Y N a σ，则Y 与X 之间的关系是()A Y a X σ=+. ()B 2Y a X σ=+. ()C 2X aY σ-=. ()D X aY σ-=. 答 【 】6. 已知随机变量X 的分布律为则2{4}P X <=()A 1. ()B 15. ()C 25. ()D 3. 答【 】 7.（1841）设随机变量X的概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它,则11{}22P X -<<= ()A 0. ()B14. ()C 12. ()D 1. 答 【 】 8.（1841）设随机变量X 的分布函数为()F x ，则下列结论中正确的是()A ()1F +∞=-. ()B ()0F +∞=. ()C ()0F -∞=. ()D ()1F -∞=. 答【 】 9. 设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)X Y 关于X 的边缘分布函数()X F x =()A (,)F x +∞. ()B (,)F y +∞. ()C (,)F x -∞. ()D (,)F y -∞. 答【 】 10. 设随机变量(,)X Y 的分布律为则{3}P X Y +==()A 0.1. ()B 0.2. ()C 0.3. ()D 0.4. 答 【 】11. 设X 在(1,2)上服从均匀分布，则下列结论中正确的是()A 3()12E X =. ()B 3()2D X =. ()C 1()2E X =. ()D 1()12D X =. 答 【 】 12. 设X 是一随机变量，()E X μ=，22()(,0D X σμσ=>为常数)，则对任意常数c ，必有()A 222[()]()E X c E X c -=-. ()B 22[()][()]E X c E X μ-=-.()C 22[()][()]E X c E X μ-<-. ()D 22[()][()]E X c E X μ-≥-. 答【 】 13. 若随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,6)X N ，~(1,2)Y N ，则Z X Y =-服从()A(0,N . ()B (0,4)N . ()C (0,8)N . ()D (0,N . 答【 】 14.（1842）设,X Y 为随机变量，()()1E X E Y ==，(,)2Cov X Y =，则(2)E XY =()A 6-. ()B 2-. ()C 2. ()D 6. 答【 】15. 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中μ未知，2σ已知，则下面不是统计量的是()A ___11n i i X X n ==∑. ()B ___2211()1n ii S X X n ==--∑. ()C ___2211()ni i X X σ=-∑. ()D 211()ni i X n μ=-∑. 答 【 】 16. 设12,,,n X X X 是取自总体2~(,)X N μσ的样本，则11ni i X X n ==∑服从分布()A 2(,)N nσμ. ()B 2(,)N μσ. ()C (0,1)N . ()D 2(,)N n n μσ. 答 【 】17. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2χ分布.()C 2X 和2Y 都服从2χ分布. ()D 22X Y 服从F 分布. 答 【 】 18.样本12,,,n X X X 取自标准正态分布(0,1)N 总体，___X 及2S 分别为样本的平均值及样本方差，则以下结果不成立的是()A ~(0,1)(1)i X N i n ≤≤. ()B ~(0,1)X N . ()C~(1)t n S -. ()D 221~()ni i X n χ=∑. 答 【 】 19.（1841）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，___X 是样本均值，2S 是样本方差，则μ的极大似然估计为()A ___X . ()B S . ()C 2X . ()D 2S . 答【 】 20. 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，2σ未知，___X 是样本均值，___2211()1ni i S X X n ==--∑.若用(X kX k -+作为μ的α-1置信区间，则k 应取分位数 ()A 121.96uα-=，或t 分布的分位数. ()B 1(1)t n α--. ()C 1t α-. ()D 2(1)t n α-. 答 【 】21. 设12,X X 是来自正态总体(,2)N μ的容量为2的样本，则下列四个估计量中最优的是()A 11213ˆ44X X μ=+. ()B 11223ˆ55X X μ=+. ()C 11211ˆ22X X μ=+. ()D 11243ˆ77X X μ=+. 答 【 】 22. 样本12,,,n X X X 来自总体2(,)N μσ，则总体方差2σ的无偏估计为()A ___22111()1n i i S X X n ==--∑. ()B ___22211()2n i i S X X n ==--∑. ()C ___22311()n i i S X X n ==-∑. ()D ___22411()1n i i S X X n ==-+∑. 答 【 】 23.（1842）设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，1n >，___X 为样本均值，则未知参数p 的无偏估计ˆp= ()AX n . ()B 1Xn -. ()C X . ()D nX . 答 【 】 24.（1842）在假设检验过程中，增大样本容量，则犯两类错误的概率()A 都增大. ()B 都减小. ()C 都不变. ()D 一个增大，一个减小. 答 【 】三、计算题：1. 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%，各车间产品的次品率 分别为0.08,0.05,0.04，求全厂产品的次品率.2.（1741）某工厂甲、乙两台机床生产同一型号产品，产量分别占总产量的40%,60%，并且各自产品中的次品率分别为1%,2%.求：(1) 从该产品中任取一件是次品的概率. (2) 在取出一件是次品的条件下，它是由乙机床生产的概率.3.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：(1) 常数k .(2) {0.250.75}P X <<.(3) X 的概率密度. 4. 设随机变量~(0,1)X N ，求21Y X =-+的概率密度，并指出分布的名称. 5.（1741）设随机变量X 的概率密度为,02,()0,,cx x f x <<⎧=⎨⎩其它 令1Y X =+. 求：(1) 常数c . (2) {01}P X <<. (3) Y 的概率密度()Y f y .6. 今有5件产品，其中2件是次品，3件是正品.从这5件中依次取出2件，每次取一件，取出一件再放回去，用,X Y 分 别表示每次取得的次品件数，求(,)X Y 的分布律.7.设二维随机变量(,)X Y 只能取下列各值：(0,0)，(1,1)-，1(1,)3-，(2,0)，且取这些值的概率依次是16，13，112，512， 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律.8. 设随机变量(,)X Y 的分布律为(1) 求(,)X Y关于X 和关于Y 的边缘分布律. (2) 验证,X Y 不是独立的.9.（1741）设随机变量(,)X Y 的分布律为求：(1) (,)X Y 的边缘分布律. (2) {2}P X =，{1}P X Y -=，{0}P XY =. (3) ()E X Y +.10. 设二维随机变量(,)X Y 概率密度,0,(,)0,y e y x f x y -⎧>>=⎨⎩其它,求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度和边缘分布函数. 11. 若(,)X Y 的概率密度为2,01,01,(,)0,Cxy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它, (1) 求常数C . (2) 证明：X 与Y 相互独立. 12. 设(,)X Y 的概率密度为33,02,0,(,)20,ye x yf x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其它. (1) 求{||}P Y X>. (2) 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度. (3) 问X 与Y 是否相互独立？13.（1841）设某投资项目的收益率X 是一个随机变量，其分布律为(1) 求该投资项目的平均收益率. (2) 若有一位投资者在该项目上投资10万元，问他预期获得多少利润？14.（1841）某社交网站有10000个相互独立的用户，且每个用户在任一时刻访问该网站的概率为0.5，求在任一时刻有超 过5100个用户访问该网站的概率.（()x Φ为标准正态分布函数，(2)0.9772Φ=）15.某工厂生产的一批滚珠的直径服从正态分布，总体方差20.05σ=.今从中抽取八个，测得的直径（单位：毫米）分别 为：14.7、15.1、14.8、14.9、15.2、14.4、14.6、15.1，求直径均值的95%的置信区间.16.（1841）加工某种鲜果饮品，每瓶饮品中维生素C 的含量为随机变量X （单位：mg ）.设2~(,)X N μσ，其中2,μσ均 未知.现随机抽查了16瓶饮品进行测试，测得维生素C 的平均含量20.80x =，样本标准差 1.60s =，试求μ的置信度为95%的置信区间.（0.025(15) 2.13t =）17. 设总体X 的概率密度为(1),01,()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它, 其中1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.18.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,55.4(2N .现在测了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.问：若标准差不变，总体均值有无显著变化？（取05.0=α）《概率论与数理统计》模拟题（一）参考答案一、填空题1.1.2.25.3.12，108343.4.91078. 5.0.01. 6.1. 7.0.88. 8.0.75. 9.14. 10.58.11.0.064.12.2415e . 13.2x . 14.215x -. 15.0.2. 16.4. 17.34(1)(1),0,0,0,x y e e x y --⎧-->>⎨⎩其它.38(1)(1)e e ----. 18.220，420. 19.6,(,),0,x y G ∈⎧⎨⎩其它.. 20.0.5. 21.118，318，12764. 22.4. 23.16. 24.2. 25.72n ，3512n . 26.85. 27.0.75. 28.1. 29.2()n χ. 30.(1)t n -. 31.1. 32.100. 33.13. 34.13. 35.2.二、单项选择题1.B .2.B .3.C .4.D .5.A .6.D .7.B .8.C .9.A . 10.D . 11.D . 12.D . 13.C . 14.D . 15.D . 16.A . 17.C . 18.B . 19.A . 20.D . 21.C . 22.A . 23.C . 24.B . 二、计算题：1.解 设{A =从中任取一件次品}，123,,B B B 分别表示事件“任取一件产品是由甲、乙、丙三个车间生产的”，则1()0.25P B = 1()0.08P A B =，2()0.35P B =，2()0.05P A B =，3()0.4P B =，3()0.04P A B =.故由全概率公式31()()()i i i P A P B P A B ===∑0.250.080.350.050.40.040.0535⨯+⨯+⨯=.2.解 设{A =任取一件为次品}，12,B B 分别表示事件“任取一件产品是由甲、乙机床生产的”，则1()0.4P B =，1()0.01P A B =，2()0.6P B =，2()0.02P A B =.(1) 由全概率公式得1122()()(|)()(|)0.40.010.60.020.016P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=. (2) 由贝叶斯公式，得取出的次品是由乙机床生产的概率为222()(|)0.60.02(|)0.75()0.016P B P A B P B A P A ⨯===.3.解 (1) （法一）21010lim ()lim x x F x kx k →-→-==，1010lim ()lim 11x x F x →+→+==，由1010lim ()lim ()x x F x F x →-→+=，得1k =.（法二）因()F x 在1x =处右连续，知10lim ()(1)x F x F k →+==.而1010lim ()lim 11x x F x →+→+==，故1k =.(2) {0.250.75}(0.75)(0.25)0.5P X F F <<=-=.(3) 2,01,()()0, 1.x x f x F x x ≤<⎧'==⎨>⎩ 4.解 X的概率密度为22()()x x x ϕ-=-∞<<+∞.由21y x =-+，得12yx -=，且2y '=-.故21Y X =-+的概率密度为221()(1)2821()12()()22y y y f y y ϕ-----===-∞<<+∞-，（或11()()22y f y ϕ-=-，这里12x '=-）即~(1,4)Y N . 5.解 (1)由()1f x dx +∞-∞=⎰，得222001()212cxdx c x c ===⎰，故12c =.(2) 111200011{01}()244x P X f x dx dx x <<====⎰⎰.(3) 当02x <<时，113y x <=+<，且1x y =-，1y '=，此时，(1)1()|1|2Y f y y f y --==.故1,13,()20,Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它. 6.解 X 与Y 都可能取值为0,1，因而(,)X Y 可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(,)X Y 的分布律为339{0,0}{0}{0}5525P X Y P X P Y ======⨯=，326{0,1}{0}{1}5525P X Y P X P Y ======⨯=， 236{1,0}{1}{0}5525P X Y P X P Y ======⨯=，224{1,1}{1}{1}5525P X Y P X P Y ======⨯=， 即7.解 依题设知(,)X Y 的分布律为故(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为8.解 (1) (,)X Y 的关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) 由于138p =，138p =，1118p =，所以，1111p p p ≠⋅，故,X Y 不是独立的.9.解 (1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) {2}0.6P X ==，{1}{1,0}{2,1}0.10.10.2P X Y P X Y P X Y -====+===+=，{0}{1,0}{2,P XY P X Y P X ====+=0}0.10.20.3Y ==+=.(3) ()10.420.6 1.6E X =⨯+⨯=，()00.310.320.4 1.1E Y =⨯+⨯+⨯=，故()()() 1.6 1.1 2.7E X Y E X E Y +=+=+=.10.解 (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为,0,,0,()(,)0,0,y x x X e dy x e x f x f x y dy +∞--+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它0,0,,0,()(,)0,0,yy y Y e dx y ye y f y f x y dx --+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它当0x <时，()()0x X X F x f t dt -∞==⎰.当0x ≥时，0()()1x x xt t x X X F x f t dt e dt e e ----∞===-=-⎰⎰.故(,)X Y 关于X 的边缘分布函数为0,0,()1,0.X xx F x e x -<⎧=⎨-≥⎩ 当0y <时，()()0y Y Y F y f t dt -∞==⎰.当0y ≥时，0()()1y yt y y Y Y F y f t dt te dt ye e ----∞===--⎰⎰.故(,)X Y 关于Y 的边缘分布函数为0,0,()1,0.Y y yy F y ye e y --<⎧=⎨--≥⎩11.解 (1) 由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，即1111220()()1Cxy dxdy C xdx y dy ==⎰⎰⎰⎰，得6C =.(2) 证明 1206,01,2,01,()(,)0,0,X xy dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它,其它1206,01,()(,)0,Y xy dx y f y f x y dx +∞-∞⎧<<⎪===⎨⎪⎩⎰⎰其它23,010,y y ⎧<<⎨⎩其它.由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 与Y 相互独立. 12.解 (1) 222233336000||311111{||}(,)()()(1)222236y y x x xxy xP Y X f x y dxdy dx e dy e dx e dx e e +∞+∞----->>===-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为3031,02,,02,()(,)220,0,y X e dy x x f x f x y dy +∞-+∞-∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它.23303,0,3,0,()(,)20,0,y yY e dx y e y f y f x y dx --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它 (3) 由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 和Y 相互独立.13.解 (1) ()1%0.12%0.23%0.14%0.35%0.26%0.1 3.6%E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2) 投资者预期获得的利润为3.6%100.36⨯=（万元）.14.解 设在任一时刻访问社交网站的用户个数为X ，则~(10000,0.5)X B ，()100000.55000E X =⨯=，()100000.5D X =⨯⨯ (10.5)2500-=.由中心极限定理，得所求概率为{510010000}{2100}P X P P <<=<<=<<(100)(2)10.97720.0228≈Φ-Φ=-=.15.解 81114.858i i x x ===∑，10.95α-=，0.05α=，0.0252 1.96z z α==，故所求的置信区间为2()(14.85x z α= 1.96)，即(14.7,15.01).16.解 μ的置信度为95%的置信区间为2(1)x n α⎛⎫- ⎪⎝⎭.依题意，知20.80x =，16n =， 1.60s =，10.95α-=，0.05α=，20.025(1)(15) 2.13t n t α-==，代入上述区间得所求的置信区间为(19.948,21.652).17.解 (Ⅰ) 11120011()(;)(1)22E X xf x dx x dx x θθθθθθθθ∞++-∞++==+==++⎰⎰，得12()()1E X E X θ-=-，故θ的矩估计量为12ˆ1X X θ-=-. (Ⅱ) 样本的似然函数为111(1),01,(1)(),01,()(;)0,,0,n nn ni i i i i i i i x x x x L f x θθθθθθ===⎧⎧+<<+<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩∏∏∏其它其它.当01(1,2,,)i x i n <<=时，()0L θ>，且11ln ()ln(1)ln()ln(1)ln nni i i i L n x n x θθθθθ===++=++∑∏，令ln ()0dL d θθ=，即1ln 01ni i n x θ=+=+∑，解得θ的 最大似然估计值为1ˆ1ln nii nxθ==--∑.θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nXθ==--∑.18.解 依题意，需检验假设0010: 4.55,:H H μμμμ==≠.由已知得511 4.3645i i x x ===∑，20.025 1.96z z α==.因||||x z ==0.0253.85 1.96z ≈>=，所以z 的值落在拒绝域中，应拒绝0H ，即认为铁水含碳量均值比原来有显著变化.。
概率论与数理统计3中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.盒中有N个形状相同的球，其中有M个红球，今任意取出n个，恰得k个红球的概率是（）.答案:2.设与为两个事件，，且，则下列必成立的是（）.答案:3.设与是两个互不相容的事件，且，，则下列结论成立的是（）.答案:4.下列函数中，可以作为某个随机变量分布函数的是（）.答案:5.已知随机变量的分布律为，则等于（）.答案:6.在下面的数列中，能成为某一离散型随机变量分布律的是（）.答案:7.已知随机变量的概率密度为，则常系数的值为（）.答案:8.设随机变量的密度函数为，则等于（）.答案:9.下列函数可以作为二维随机变量的分布函数的是（）答案:10.设是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为则的分布函数是( ).答案:11.设随机变量,且相互独立，根据切比雪夫不等式有（）答案:12.设相独立且都服从,则下式成立的是（）答案:13.设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数（）.答案:恰好有一个间断点14.设总体，是从总体中抽取的样本，为使为总体方差的无偏估计，则等于( ).答案:15.设总体,其中未知，是从总体中抽取的样本，为使得是的置信水平为95%的置信区间，则样本容量至少为 ( ).。
答案:2516.设总体，未知，已知，原假设，备择假设，则在显著性水平下，拒绝域为( ).答案:17.设总体服从正态分布，是从总体中抽取的样本。
考虑假设检验问题：，若检验的拒绝域为，则该检验犯第二类错误的概率为( ).答案:18.对总体未知参数，用矩估计法和极大似然估计法所得到的估计量( ).答案:有时相同，有时不同19.设总体，是从总体中抽取的样本，则的矩估计量是（）.答案:20.设是从正态总体中抽取的样本，为使是总体方差的无偏估计，则k=（）答案:21.设随机事件A和B满足P(AB)=0，则AB一定为不可能事件.答案:错误22.设随机变量,则与相互独立的充要条件是.答案:正确23.若不线性相关，则的相关系数小于零。
考研数学三概率论与数理统计（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(总分：86.00，做题时间：90分钟)一、<B>选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
</B>(总题数：10，分数：20.00)1.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立，S n =X 1 +X 2+…+X N，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时S N近似服从正态分布，只要X 1，X 2，…，X N（分数：2.00）A.有相同期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一均匀分布．√D.服从同一连续型分布．解析：解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，…，X n独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在。
选项(A)不成立，因为X 1，X 2，…，X n有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．2.假设随机变量X 1，X 2，…相互独立且服从同参数A的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1，X 2，…，X n，…B.X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…C.X 1，2X 2，…nX n,…√解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X 1，…，X n，…，还是X 1 +1，X 2 +2，…，X n +n，…；X 1，2X 2，…，nX n，…以及X 1，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EX n =λ，DX2λ，．因此四个备选答案都n =λ，E(X n +n)=λ+n，D(X n +n)=λ，E(nX n )=nλ，D(nX n )=n满足第二个条件；第三个条件是方差DX 1，…，DX n，…有公共上界，即DX n＜c，c是与n无关的常数．对于(A)=DX n =λ＜λ+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =λ＜λ+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2λ没有公共上界；对于(D)：综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．3.设随机变量序列X 1，…X n，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时学期望，只要{X n，n≥1}（分数：2.00）A.有相同的数学期望．B.有相同的方差．C.服从同一泊松分布．√D.服从同一连续型分布，一∞＜x＜+∞)．解析：解析：辛钦大数定律要求：{X n，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．4.设X n表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1-α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}= 所以=F 1-α(4，3)，即因此选(A)．6.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4x2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2 )且相互独立，所以X 1 -2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当时，Y～χ2(2)；(2)当b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．7.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．8.设随机变量X～t(n)(n＞1)，（分数：2.00）A.Y～χ2 (n)．B.Y～χ2 (n一1)．C.Y～F(n，1)．√D.Y～F(1，n)．解析：解析：根据t分布的性质，如果随机变量X～t(n)，则X 2～F(1，n)，又根据F分布的性质，如果X 2～F(1，n)，则～F(n，1)．因此～F(n，1)，故应选(C)．9.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α }=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1-b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}= 根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知应选(D)．10.假设总体X的方差DX存在，X 1，…，X n是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则EX 2的矩估计量是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：按定义，EX 2的矩估计量是由于所以EX 2的矩估计量，选(D)．二、填空题(总题数：20，分数：40.00)11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1。
《概率论与数理统计》模拟题（二）及参考答案一、填空题1. 已知()()()14P A P B P C ===，()0P AB =，()()19P AC P BC ==，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .2.（1842）设事件123,,A A A 是样本空间的一个划分，且1()0.5P A =，2()0.3P A =，则3()P A = .3.（1842）设,A B 是随机事件，()0.8P A =，()0.6P AB =，则(|)P B A = .4.（1741）已知()0.5P A =，()0.6P B =，(|)0.8P B A =，则()P A B = .5. 设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为 .6. 电路由元件A 与两个并联的元件,B C 串联而成，若,,A B C 损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1，则电路断路的概率为 .7.（1841）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，1{0}P X e -==，则λ= . 8.（1841）设()F x 是随机变量X 的分布函数，且{1}0.15P X >=，则(1)F = .9.（1842）设随机变量X 的概率密度为,04,()0,,a x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它其中常数a 未知，则{11}P X -<<= . 10. 设2~(,)X N μσ，已知标准正态分布函数值(1)0.8413Φ=，则{}P X μσμσ-<<+= .11. 设2~(1,4)X N -，(0.125)0.5498Φ=，则{ 1.5}P X >-= .12.（1841）设随机变量,X Y 独立，且X 服从区间[0,1]上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则当01,0x y ≤≤>时，二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y = .13.（1841）设随机变量(,)X Y 的分布律为则{1,2}P X Y =≤= .14. 设(,)X Y 的概率密度为1,01,02,(,)20,x y x y ϕ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它, 则X 与Y 中至少有一个小于12的概率为 . 15.（1842）设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则(2)D X -= .16.（1842）设随机变量,X Y 独立，且分别服从参数为2,3的指数分布，则()D X Y -= .17.设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，则由切比雪夫（Chebyshev ）不等式，有{3}P X μσ-≥≤ . 18. 已知总体2~(2)X χ，2~(3)Y χ，且X 与Y 相互独立，则X Y +服从 分布.19.（1841）设总体X 在区间[1,3]上服从均匀分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且11ni i X X n ==∑，则()E X = . 20.（1842）设总体2~(,4)X N μ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，则211[()]ni i E X n μ=-=∑ .21.（1841）设总体X 的分布律为其中p 为未知参数，01p <<，设12,,,n X X X 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，则p 的矩估计ˆp = . 22.（1841）设总体~(,1)X N μ，1216,,,X X X 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，对假设检验问题01:0,:H H μ=0μ≠，应采用检验统计量的表达式为 . 二、单项选择题:1.（1841）设随机事件,A B 满足()0.2P A =，()0.4P B =，()0.6P B A =，则()P B A -=()A 0.16. ()B 0.2. ()C 0.28. ()D 0.32. 答 【 】2. 设,A B 为两个互斥事件，且()0P A >，()0P B >，则下列结论中正确的是()A (|)0P B A >. ()B (|)()P A B P A =. ()C (|)0P A B =. ()D ()()()P AB P A P B =. 答【 】 3. 设,A B 为两个事件，且B A ⊂，则下列结论中正确的是()A ()()P A B P A =. ()B ()()P AB P A =. ()C ()()P B A P B =. ()D ()()()P B A P B P A -=-. 答 【 】 4. 袋中有5个球（3个新球2个旧球），每次取一个，无放回地取三次，则第三次取到新球的概率为 ()A 310. ()B 34. ()C 12. ()D 35. 答 【 】5. 已知随机变量2~(,)X N a σ，记(){}g P X a σσ=-<，则随着σ的增大，()g σ之值()A 保持不变. ()B 单调增大. ()C 单调减小. ()D 增减性不确定. 答【 】 6. 已知随机变量X 的分布律为X 的分布函数为()F x ，则(0.5)F =()A 0. ()B 0.2. ()C 0.25. ()D 0.3. 答【 】 7.（1010）设随机变量~(1,4)X N ，()F x 为X 的分布函数，()x Φ为标准正态分布函数，则(3)F =()A (0.5)Φ. ()B (0.75)Φ. ()C (1)Φ. ()D (3)Φ. 答【 】 8. 随机变量,X Y 都服从二项分布，且~(2,)X B p ，~(4,)Y B p ，已知{1}5P X ≥=，则{1}P Y ≥=()A 65. ()B 5681. ()C 8081. ()D 1. 答 【 】9.（1010）设下列函数的定义域均为(,)-∞+∞，则其中可以作为概率密度的是()A ()x f x e -=-. ()B ()x f x e -=. ()C ||1()2x f x e -=. ()D ||()x f x e -=. 答【 】10. 设(,)X Y 的分布函数1,0,0,(,)0,,x y x y e e e x y F x y ----⎧--+>>=⎨⎩其它 则下列结论中错误的是 ()A X 与Y 一定相互独立. ()B X 与Y 一定都服从指数分布.()C 1()2E X Y +=. ()D ()2D X Y -=. 答 【 】 11.（1841）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为则{}P X Y ==()A 0.16. ()B 0.36. ()C 0.48. ()D 0.52. 答 【 】12.（1841）设随机变量X 满足2()20E X =，()4D X =，则(2)E X =()A 4. ()B 8. ()C 16. ()D 32. 答【 】 13. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是()A 8. ()B 16. ()C 28. ()D 44. 答 【 】14. 设随机变量~(0,1)X N ，2~(5)Y χ，且X 与Y~ ()A (5)t . ()B (4)t . ()C (1,5)F . ()D (5,1)F . 答【 】15.设12,,,n X X X 及12,,,m Y Y Y 分别是来自两个独立的正态总体21(,)N μσ及22(,)N μσ的两个样本，其样本方差分别为21S 及22S ，则统计量2212F S S =服从F 分布的自由度为()A (1,1)n m --. ()B (,)n m . ()C (1,1)n m ++. ()D (1,1)m n --. 答【 】 注 样本方差比的抽样分布：2211122222~(1,1)S F n n S σσ--.16.（1741）设总体X 的概率密度为1,2,()0,,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（0θ>）12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，___X 为样本均值，则参数θ的无偏估计为()A 12X . ()B 23X . ()C X . ()D 1X. 答【 】 17.（1841）某假设检验的拒绝域为W ，当原假设0H 成立时，样本值12(,,,)n x x x 落入W 的概率为0.05，则犯第一类错误的概率为()A 0.05. ()B 0.1. ()C 0.9. ()D 0.95. 答【 】三、计算题：1.（1842）设商店有某商品10件，其中一等品8件，二等品2件，售出2件后，从剩余的8件中任取一件，求取得一等品的概率.2. 设连续型随机变量X的概率密度为||1,()0,||1,x f x x <=≥⎩求：(1) 常数k . (2) 1{}2P X <. (3) X 的分布函数. 3.（1842）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，31Y X =+，求Y 的概率密度.4. 设随机变量(,)X Y 的分布律为求：(1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. (2) 2X Y +的分布律.5.（1841）设随机变量(,)X Y 的分布律为且{0}0.4P Y ==，求：(1) 常数,a b . (2) (),()E X D X . (3) ()E XY .6. 设(,)X Y 的概率密度为(5)2,01,5,(,)0,y xe x y f x y --⎧≤≤>=⎨⎩其它. (1) 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度. (2) 问X 与Y 是否相互独立？为什么？ (3) 求()E X .7.（1841）设随机变量X 的分布律为令3Y X =，求：(1) ()E X ，()D X . (2) ()E Y ，()D Y . (3) X 与Y 的相关系数XY ρ.8.（1741）设某批零件的长度~(,0.09)X N μ（单位：cm ），现从这批零件中抽取9个，测其长度作为样本，并算得样本均值为43x =，μ的置信度为0.95的置信区间.（0.025 1.96u =）9. 设总体X 的概率密度为(1),1,()0,x x f x ββ-+⎧>=⎨⎩其它,其中(0)ββ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n的简单随机样本，12,,,n x x x 是一相应的样本值，求参数β的最大似然估计量和最大似然估计值.10.（1842）某水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋水泥重量服从正态分布，当包装机正常工作时，每袋水泥的平均重量为50kg .某日开工后，随机抽取9袋，测得样本平均值49.9x kg =，样本标准差0.3s kg =.问当日水泥包装机工作是否正常？（显著性水平0.05α=，0.025(8) 2.306t =）《概率论与数理统计》模拟题（二）参考答案一、填空题1.1736.2.0.2.3.0.25.4.0.7.5.13.6.0.314.7.1.8.0.85.9.14. 10.0.6826.11.0.5498. 12.y e -. 13.0.3. 14.58. 15.12. 16.1336. 17.1. 18.2(5)χ. 19.2. 20.16. 21.1X -. 22.4X .二、单项选择题1.C .2.C .3.A .4.D .5.A .6.D .7.C .8.A .9.C . 10.C . 11.D . 12.B . 13.D . 14.A . 15.A . 16.B . 17.A . 二、计算题：1.解 设{B =任取一件为一等品}，{i A =售出的2件商品中有i 件一等品}，0,1,2i =，则2202101()45C P A C ==，08(|)18P B A == 1128121016()45C C P A C ==，17(|)8P B A =，28221028()45C P A C ==，263(|)84P B A ==，由全概率公式得2()()()0.8i i iP B P A P B A ===∑. 2.解 (1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰，得111(arcsin )[()]122k x k k πππ--==--==⎰，故1k π=.(2)0.50.50.51111{}{0.50.5}(arcsin )[()]2663P X P X x ππππ--<=-<<===--=⎰. (3) 设X 的分布函数为()F x ，则当1x <-时，()()0x F x f t dt -∞==⎰.当11x -≤<时，()()x xF x f t dt -∞-===⎰⎰11111(arcsin )(arcsin )arcsin 22xt x x ππππ-=+=+.当1x ≥时，1()()1x F x f t dt -∞-===⎰⎰.综上X 的分布函数为 0,1,11()arcsin ,11,21,1.x F x x x x π<-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩3.解 X 的概率密度,0,()0,0,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当0x >时，311y x =+>，得1(1)3x y =-，3y '=，此时131()13()|3|3y X Y y f f y e ---==，故Y 的概率密度131,1,()30,y Y ey f y --⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.4.解 (1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) 由题设有故2X Y +的分布律为5.解 (1) 由{0}{0,0}{1,0}0.10.4P Y P X Y P X Y b ====+===+=，得0.3b =.再由分布律的定义知0.10.20.1a ++++0.21b +=，得0.1a =.综上0.1a =，0.3b =.(2) (,)X Y 关于X 的边缘分布律为则()0.6E X =，()0.6(10.6)0.24D X =-=.(3) ()1(1)0.1110.20.1E XY =⨯-⨯+⨯⨯=.6.解 (1) (5)52,01,2,01,()(,)0,0,y X xe dy x x x f x f x y dy +∞--+∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它1(5)(5)02,5,,5,()(,)0,0,y y Y xe dx y e y f y f x y dx ----+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它(2) 由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 和Y 相互独立.(3) 102()()23X E X xf x dx x xdx +∞-∞==⋅=⎰⎰. 7.解 (1) 111()(1)010333E X =-⨯+⨯+⨯=，22221112()(1)013333E X =-⨯+⨯+⨯=，222()()[()]3D XE X E X =-=.(2) 由题设得随机变量Y 与X 具有相同的分布，则()0E Y =，2()3D Y =.(3) 4X 的分布律为则42()3E X =，故4()()231()()2XY E XY E X D X D X ρ=====.8.解 43x =，20.09σ=，9n =，10.95α-=，0.05α=，20.025 1.96u u α==，所求置信区间为()(43 1.96)x α±=±， 即(42.804,43.196).9.解 样本的似然函数(1)(1)111,1,(),1,()()0,,0,,n n n nii i i i i i i x x x x L f x βββββ-+-+===⎧⎧>>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩∏∏∏其它其它当1(1,2,,)i x i n >=时，()0L β>，且11ln ()ln (1)ln()ln (1)ln nni i i i L n x n x θββββ===-+=-+∑∏，令ln ()0dL d ββ=，即1ln 0n i i n x β=-=∑，解得θ的最大似然估计 值为1ˆln nii nxθ==∑.θ的最大似然估计量为1ˆln nii nXθ==∑.10.解 依题意，需检验假设0010:50,:H H μμμμ==≠.统计量~(1)X t t n =-，0.05α=时，拒绝域为||(1)t t n α≥-= 0.025(8) 2.306t =.由于||1 2.306x t ===<，所以应接受0H ，即认为当日水泥包装机工作正常.。
2008－2009学年 第1学期 概率论与数理统计(46学时) A一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
1、A B 、为两个随机事件，若()0P AB =，则（A ）A B 、一定是互不相容的； （B ）AB 一定是不可能事件； （C ）AB 不一定是不可能事件； （D ）()0P A =或()0P B =.2、二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为(,)F x y 为(,)X Y 的联合分布函数，则(1.5,1.5)F 等于（A ）1/6； （B ）1/2； （C ）1/3； （D ）1/4.3、X Y 、是两个随机变量，下列结果正确的是 （A ）若()E XY EXEY =,则X Y 、独立； （B ）若X Y 、不独立,则X Y 、一定相关；（C ）若X Y 、相关,则X Y 、一定不独立； （D ）若()D X Y DX DY -=+,则X Y 、独立.YX 0 1 2 1 1/61/3 0 21/41/61/124、总体2212~(,),,,,,n X N X X X μσμσ均未知，为来自X 的一个简单样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。
若μ的置信度为0.98的置信区间为(X c X c -+，则常数c 为（A ）0.01(1)t n -； （B ）0.01()t n ；（C ）0.02(1)t n -； （D ）0.02()t n .5、随机变量12,,,n X X X 独立且都服从(2,4)N 分布，则__11ni i X X n ==∑服从（A ）(0,1)N ； （B ）(2,4)N n ；（C ）(2,4)N n n ； （D ）4(2,)N n .二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
6、已知A B 、为两个随机事件，若()0.6,()0.1,P A P AB ==则(|)P A AB =1.7、已知随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布，则(2)E X =（ ）.8、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则概率(||12)P X <=（ ）.9、随机变量12(3,),(3,)33Xb Yb ,且,X Y 独立，则()D X Y -=（ ）.10、已知随机变量,1,2,3i X i =相互独立，且都服从(0,9)N 分布，若随机变量2222123()(3)Y a X X X χ=++，则常数a =（ ）.三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
