高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法学案 新人教A版选修12

2.2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习综合法和分析法体现了数学逻辑推理的素养，提升学生的数学运算的素养.1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P Q1→Q1Q2→Q2Q3→…→Q n Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．] 2．要证明A >B ，若用作差比较法，只要证明________． A －B >0 [要证A >B ，只要证A －B >0.]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．a 2＋b 2－2ab ≥0(a －b )2≥0(a －b )2≥0[用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．]综合法的应用C ＋cos 2B ＝1.求证：a ，b ，c 成等差数列．[证明] 因为sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1， 所以sin B (sin A ＋sin C )＋(cos 2B －1)＝0， 即sin B (sin A ＋sin C )－2sin 2B ＝0， 所以sin B (sin A ＋sin C －2sin B )＝0， 由于在△ABC 中，sin B ≠0， 因此sin A ＋sin C －2sin B ＝0， 由正弦定理可得 a 2R ＋c 2R －2b2R ＝0， 于是a ＋c ＝2b ， 故a ，b ，c 成等差数列．综合法的解题步骤[跟进训练]1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )·S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比为q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列． [证明] (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， 得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ， ∴a n ＋1a n ＝2mm ＋3(m ≠－3)， 又m 为常数，∴{a n }为等比数列． (2)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3，又m ≠－3， ∴a 1＝1，∴b 1＝a 1＝1，由(1)，可得q ＝f (m )＝2mm ＋3(m ≠－3)，∴n ∈N *且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，又易知b n ≠0， ∴1b n －1b n －1＝13. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列.分析法的应用【例2】 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．[证明] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b ＞0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2. 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．用分析法证明不等式的三个关注点(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等. (2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要证……，只要证……，只需证……，……显然成立，所以……成立”.[跟进训练]2．已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 而该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b .综合法和分析法的综合应用[探究问题]1．在实际解题时，综合法与分析法是否可以结合起来使用？提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？ 提示：用框图表示如下：其中P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论． 【例3】 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明． [证明] 要证明： log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．1．(变条件)删掉本例条件“0<x <1”，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .[证明] 要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a·b·c)，即证a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，c＋a2≥ac＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立，所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c成立．2．(变条件)把本例条件“0<x<1”换成“abc＝1”，求证：1a＋1b＋1c>a＋b＋c.[证明]法一：由左式推证右式．∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ac＋ab＝bc＋ac2＋ac＋ab2＋ab＋bc2>bc·ac＋ac·ab＋ab·bc＝c＋a＋b.∴1a＋1b＋1c>a＋b＋c.法二：由右式推证左式．∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ac＋1ab<1b＋1c2＋1a＋1c2＋1a＋1b2(基本不等式)＝1a＋1b＋1c.分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．实际证题时，常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．1．判断正误(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)分析法就是从结论推向已知．()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．()[答案](1)×(2)×(3)×2．欲证2－3<6－7成立，只需证()A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2C[∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－72＋7<3＋6(2＋7)2<(3＋6)2.]3．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x 求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．[答案]综合法4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)[证明]法一(综合法)：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二(分析法)：要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．。

综合法一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·三明高二检测)在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选C.因为在△ABC中,sinAsinB<cosAcosB即cos(A+B)>0.即cosC<0,所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.2.(2016·济宁高二检测)命题“对任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了( )A.分析法B.综合法C.分析法与综合法D.演绎法【解析】选 B.证明过程是由已知条件入手利用有关公式进行证明的,属于综合法,即证明过程应用了综合法.3.(2016·德州高二检测)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选B,由题意知x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0.解得-2<x<1.4.(2016·东营高二检测)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )A.8B.4C.1D.【解析】选B.因为是3a与3b的等比中项,所以3a·3b=3,即a+b=1.又a>0,b>0,所以≤=,得ab≤.故+==≥=4.即+的最小值为4.5.(2016·阜阳高二检测)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )A.1-≤m≤1+B.1-≤m≤2C.-2≤m≤2D.-2≤m≤1-【解析】选B.因为f(x)为“局部奇函数”,所以存在实数x满足f(-x)=-f(x),即4-x-2m2-x+m2-3=-4x+2m2x-m2+3,令t=2x(t>0),则+t2-2m+2m2-6=0,-2m+2m2-8=0在t∈(0,+∞)上有解,再令h=+t(h≥2),则g(h)=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2,+∞)上有解,函数关于h的对称轴为h=m,①当m≥2时,g(h)≥g(m),所以g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0,解得2≤m≤2;②当m<2时,则g(2)=4-4m+2m2-8≤0,即m2-2m-2≤0,解得1-≤m<2.综合①②,可知1-≤m≤2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·江阳高二检测)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x).则f(9)的值为________. 【解析】因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4.所以f(9)=f(1)=-f(-1)=-f(1),所以f(1)=0即f(9)=0.答案:07.(2016·石家庄高二检测)若lgx+lgy=2lg(x-2y),则lo=________.【解析】由题设条件知即x2-5xy+4y2=0,解得=1或=4,因为x>2y,所以=4,即log=lo4=4.答案:48.(2016·烟台高二检测)设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.则++的最小值为________.【解题指南】应用a+b+c=1代换应用基本不等式.【解析】因为a>0,b>0,c>0且a+b+c=1所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c时等号成立.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.【证明】因为x+y=1,所以===5+2.又因为x>0,y>0,所以>0,>0.所以+≥2,当且仅当=,即x=y=时取等号.则有≥5+2×2=9成立.【一题多解】因为x>0,y>0,1=x+y≥2,当且仅当x=y=时等号成立, 所以xy≤.则有=1+++=1++=1+≥1+8=9成立.10.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC= 60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE.(2)证明:PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为点E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·济南高二检测)在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有a n a n+1a n+2=K(K为常数),那么这个数列叫做等积数列,K叫做这个数列的公积,已知数列{a n}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积K=8则a1+a2+a3+……+a12= ( )A.24B.28C.32D.36【解析】选B.由已知a n a n+1a n+2=8,a n+1a n+2a n+3=8,两式相除得=1即a n+3=a n,即此数列是一个以3为周期的数列.由a1a2a3=8得a3=4,所以a1+a2+a3=7,所以a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×7=28.2.(2016·大连高二检测)在非等边三角形ABC中,∠A为钝角,则三边a,b,c满足的条件是( )A.b2+c2≥a2B.b2+c2>a2C.b2+c2≤a2D.b2+c2<a2【解题指南】应用余弦定理cosA<0.【解析】选D.由余弦定理得cosA=.因为A为钝角,所以cosA<0,即b2+c2<a2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·武昌高二检测)已知函数f(x)=2x,a,b∈(0,+∞).A=f, B=f,C=f则A,B,C 从小到大排列为________.【解析】因为a>0,b>0,所以≥,所以≤1,所以≤,故≤≤,又f(x)=2x为增函数,所以f≤f()≤f,即C≤B≤A,当且仅当a=b=c时取等号.答案:C≤B≤A4.(2016·郑州高二检测)若不等式(-1)n a<2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】当n为偶数时,a<2-.而2-≥2-=.故a<,①当n为奇数时,a>-2-.而-2-<-2,故a≥-2,②由①,②得-2≤a<.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤.【解题指南】不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a+b+c=1,将已知平方可得a,b,c两两乘积及a,b,c的平方和的形式,然后可用基本不等式证明.【证明】因为a+b+c=1,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.又因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.所以1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).所以ab+bc+ca≤.6.(2014·山东高考)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,点E,F分别为线段AD,PC 的中点.(1)求证:AP∥平面BEF.(2)求证:BE⊥平面PAC.【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,来证明线面平行.(2)本题考查了线面垂直的判定,在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可.【证明】(1)连接AC交BE于点O,连接OF,CE,不妨设AB=BC=1,则AD=2,因为AB=BC=AD,AD∥BC,E为AD的中点,所以四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点, 因为O,F分别为AC,PC中点,所以OF∥AP,又因为OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)因为AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AP⊥CD,因为BC∥ED,BC=ED,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,所以BE⊥PA,又因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC,又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.。

§2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程一、课前准备5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. ※ 动手试试练 1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c x y +=.练2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.三、总结提升 ※ 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.※ 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m nm n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）. A ．a ，b 均为负数，则2a b ba+≥B 22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n5. 已知:23)0p <, 则p 是q 的 条件.1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.111a b c<++.2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.。

2.2.1 综合法与分析法一、教学目标知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点。

三、教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

课时安排：一课时四、教学过程： 学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞a b 成立。

(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a ≠b ，有a-b ≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)∵a ≠b ，∴a-b ≠0，∴(a-b)2＞0，即a 2-2ab+b 2＞0亦即a 2-ab+b 2＞ab由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a 2-ab+b 2)＞(a+b)ab即a 3+b 3＞a 2b+ab 2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++2424233331222x x x x x x x =++------432(1)x x x =--+222(1)(1)x x x =-++22132(1)[()].24x x =-++ ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

2.2.1综合法与分析法一，教法分析●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实例，了解直接证明的根本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．2．过程与方法会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发其学习数学的兴趣，端正严谨治学的态度，提高逆向思维的论证能力．●重点难点重点：掌握分析法的思维过程、特点与其解题步骤，会用分析法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．分析法是从结论到条件的逻辑推理方法，即从题目结论入手索证结论成立的充分条件，经过一系列的中间推理索证，最后要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(条件、定理、定义、公理等)，所以对结论变形、转化是问题解决的关键，也是问题的突破点，应该重点讲解．二，方案设计●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导〞“点拨〞，让学生自主思考分析法的证明特点，掌握分析法的证明格式与解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何进展逆向推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会由结论去索证问题成立的充分条件，从结论入手并不是说证明就不需要条件，而是证明过程要时时处处关注，将证明引向或明显成立的式子是证明的关键．证明过程每一步都需可逆．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图，然后再由学生给出证明．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——分析法．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解分析法的证明格式、步骤等．引导学生分析例题1中所证结论的转化条件与转化方向，师生共同探究逆向推理思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成互动探究．学生分组探究例题2的证明思路，总结分析法证明数列问题的规律方法．完成变式训练中三角恒等问题的证明．完成当堂双基达标，巩固所学知识与应用方法．并进展反应矫正．归纳整理，进展课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3，总结分析法综合法相结合综合应用的特点．并仿照例题3完成变式训练．让学生自主分析例题3，教师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．教师组织解法展示，引导学生总结解题规律．三、自主导学课标解读1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤．(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题．(难点)分析法【问题导思】证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进展．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2.展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立． ∴3＋22<2＋7成立．1．此题证明从哪里开始？ 【提示】 从结论开始． 2．证题思路是什么？【提示】 寻求每一步成立的充分条件． 1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件四、互动探究应用分析法证明不等式设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．【思路探究】 分析：讨论a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立的条件，分a ＋b ≥0和a ＋b <0两种情况．【自主解答】 假如a ＋b <0，a 2＋b 2≥22(a ＋b )显然成立． 假如a ＋b ≥0，要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立， 只需证a 2＋b 2≥12(a ＋b )2成立，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋2ab ＋b 2)成立，即证12(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即12(a －b )2≥0成立， 因为12(a －b )2≥0成立，且以上每步都可逆．所以a ＋b ≥0时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立，综上可知：a ，b 为实数时，a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．1．分析法证明不等式的依据是不等式的根本性质、的重要不等式和逻辑推理的根本理论． 2．用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是(或已证)的不等式．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐〞或“要证明〞、“只需证明〞、“即证明〞等词语．a >0，b >0，证明不等式a 2b ＋b 2a≥a ＋b .【证明】 要证a 2b＋b 2a≥a ＋b ，只需证a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ， 只需证a 3＋b 3－a 2b －b 2a ≥0， 即证(a －b )2(a ＋b )≥0.又a ＞0，b ＞0，(a －b )2(a ＋b )≥0显然成立． 因此，原不等式成立.用分析法证明其他问题在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1，设b n ＝2n a n ，证明：数列{b n }是等差数列．【思路探究】 分析{b n }成为等差数列的条件是否成立． 【自主解答】 要证{b n }为等差数列， 只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)， 即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数． 即证2n ＋1(12a n ＋12n ＋1)－2n a n 为常数，而2n a n ＋1－2n a n ＝1为常数成立． ∴{b n }是等差数列．1．利用分析法证明时，在表示过程中“要证〞“只需证〞“即要证〞这些词语必不可少，否如此会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sin 2β，求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β.【证明】 1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β⇐1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β21＋sin 2βcos 2β⇐cos 2α－sin 2α＝cos 2β－sin 2β2⇐2(1－2sin 2α)＝1－2sin 2β ⇐4sin 2α－2sin 2β＝1，由得：4sin 2α＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ， ＝1＋2sin θcos θ， 2sin 2β＝2sin θcos θ， ∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立， ∴1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β成立.综合法和分析法的综合应用△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边． 求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【思路探究】 利用分析法得出c 2＋a 2＝b 2＋ac ，再利用综合法证明其成立． 【自主解答】 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3.化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．1．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路． 2．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．a 、b 、c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1.求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)＜log x (abc )．由0＜x ＜1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc .由公式a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2＞abc 成立．∴log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2＜log x a ＋log x b ＋log x c 成立.五、易误辨析因逻辑混乱而出错设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，假如tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴sin αcos α·sin βcos β＝16， ∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】 以上证明混淆了和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，此题用综合法书写证明过程更简洁．【防X 措施】 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【正解】 分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)， ∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β， ∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线， ∴a ∥b . 六、课堂小结1．综合法的特点是：从看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比拟自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，表示较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表示出来．七、双基达标1．直接证明中最根本的两种证明方法是( )A．类比法和归纳法B．综合法和分析法C．比拟法和二分法D．换元法和配方法【解析】根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．【答案】 B2．欲证2－3＜6－7，只需要证( )A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)2【解析】∵2－3＜0，6－7＜0，∴要证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】 C3．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ〞的过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ〞中应用了( )A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法【解析】符合综合法的证明思路．【答案】 B4．a >b >0，试用分析证明a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.【证明】 要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)．只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )， 只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0， 因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立． 因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b成立.八、知能检测一、选择题 1．如下表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．【答案】 C 2．要证明a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4(a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法【解析】 要证a ＋a ＋7＜a ＋3＋a ＋4， 只需证2a ＋7＋2a a ＋7＜2a ＋7＋2a ＋3a ＋4， 只需证a a ＋7＜a ＋3a ＋4， 只需证a (a ＋7)＜(a ＋3)(a ＋4)，只需证0＜12，应当选用分析法最合理．【答案】 C3．f (x )＝a 2x ＋1－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【解析】 当a ＝1时，f (x )＝2x －12x ＋1，f (－x )＝1－2x2x ＋1＝－f (x )，f (x )为奇函数． a ＝－1,0时得不出f (x )为奇函数，故A 正确．【答案】 A4．如下函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)〞的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】 假如满足题目中的条件，如此f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由根本函数性质知，A 是减函数，应当选A.【答案】 A5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，如此实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)【解析】 用别离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立． 【答案】 C二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，如此A 、B 的大小关系为________． 【解析】A －B ＝a ＋b2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab2ab a ＋b ≥0.【答案】 A ≥B7．假如抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，如此点P 的坐标为________．【解析】 数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行． 设l ：y ＝4x ＋b .将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0，令Δ＝0，得b ＝－1.∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，∴y ＝1. 【答案】 (12，1) 8．补足下面用分析法证明根本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．【解析】 要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证a2＋b2－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0三、解答题9．如图2－2－3所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.图2－2－3求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.【证明】要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1.要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF的中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．10．设a，b>0，且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2. 【证明】要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，如此(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．11．a>0，b>0，用两种方法证明：ab＋ba≥a＋b.【证明】法一(综合法)：因为a>0，b>0，所以ab＋ba－a－b＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝(a－b)(1b－1a)＝a＋b a－b2ba所以ab＋ba≥a＋b.法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a －b )(a －b )≥0， 因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号， 所以(a －b )(a －b )≥0成立， 所以ab ＋ba ≥a ＋b 成立.九、备课资源函数f (x )＝lg(1x －1)，x ∈(0，12)， 假如x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)． 【思路探究】 用分析法，逆推所证不等式成立的充分条件．【自主解答】 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)， 只需证lg(1x 1－1)＋lg(1x 2－1)＞2lg(2x 1＋x 2－1)， 只需证(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2.∵(1x 1－1)(1x 2－1)－(2x 1＋x 2－1)2＝x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22.由于x 1，x 2∈(0，12)，且x 1≠x 2， ∴x 1－x 221－x 1－x 2x 1x 2x 1＋x 22＞0，即(1x 1－1)(1x 2－1)＞(2x 1＋x 2－1)2，∴12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f (x 1＋x 22)．此题依托对数函数，考查分析法的应用，对对数函数的性质要会灵活运用．非零向量a ，b 且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 【证明】 要证|a |＋|b ||a －b |≤2， 只要证|a |＋|b |≤2|a －b |，即证|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a 2－2a ·b ＋b 2|.①∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴①⇔|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2|a |2＋2|b |2⇔(|a |－|b |)2≥0成立，∴原不等式成立．。

2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论) 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．( × ) 2．分析法就是从结论推向已知．( × )3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b2＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 类型二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2 已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ， 求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即证(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1.即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． 引申探究本例改为求证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c .证明 要证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c，只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ， 即证a ＋b >c . 而a ＋b >c 显然成立，所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证 log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ，由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 B2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值不同而不同考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a . 3．要证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， 只需证2＋7<6＋3， 即证(2＋7)2<(3＋6)2.4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.5．已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 D解析 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0， 即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 C解析 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 C解析 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 又a ＝ln 44，∴b >a >c .7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负B．恒等于零C．恒为正D．无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.二、填空题8．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案综合法9．如果a a＋b b>a b＋b a，则正数a，b应满足的条件是________．考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案a≠b解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有a a＋b b>a b＋b a.10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案a>c>b解析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，a>0，c>0，∴a>c.∵c >0，b >0，c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b .∴a >c >b . 11．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )____________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝2ab －(a ＋b )≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 12.如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．三、解答题 13．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 四、探究与拓展14．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32； 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

§2.2.1 综合法和分析法(二) 学习目标.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 学习过程一、课前准备4850复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例13526变式：求证3725小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224--+≥c a b ab三、总结提升※学习小结,P P⋅⋅⋅，直到所有的分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么A.22x y x y xy +<<<B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .1. 已知0a b >>,求证:22()()828a b a b a b a b-+-<.2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+。