2013叶盛标数二模考

上海2013届高三理科最新数学试题精选（13份含16区二模）分类汇编2：函数及其应用一、选择题1 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,设2()()F x x f x =⋅,则()F x 是 （ ）A ．奇函数,在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数,在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数,在(),0-∞上递减,在()0,+∞上递增D ．偶函数,在(),0-∞上递增,在()0,+∞上递减2 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知集合{})(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合: ① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ②{}2),(-==xe y y x M ③{}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(== 其中所有“Ω集合”的序号是 （ ）A ．②③ .B ．③④ .C ．①②④.D ．①③④.3 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A．3)y x =≤< B．3)y x => C．3)y x =≤<D．3)y x =>4 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)已知0>a 且1≠a ,函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数,则函数b x x g a -=||log )(的图象是5 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公司2012年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示,已知该公司2012年的每天平均利润为35万元,令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润,用图像描述()C t 与t之间的函数关系中较准确的是6 ．（2013年上海市高三七校联考（理））若()sin f x x =在区间()()a b a b <，上单调递减,则()x a b ∈，时,（ ）A ．sin 0x <B ．cos 0x <C ．tan 0x <D ．tan 0x >7 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos1,1,1)(2x x x x m x f π,其中0>m .若方程3)(x x f =恰有5个实数解,则m 的取值范围为)(A 8)3 )(B )(C 48,33⎛⎫⎪⎝⎭)(D 4(3.二、填空题8 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）设函数()f x x x =,将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ,将()f x 向上平移a (0)a >个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方,则正数a 的取值范围为_____________.9 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-,则a =____________.10．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称,则函数)(x f y =的解析式为_____________.11．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解,则实数m 的取值范围是_____________. 12．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）某商场在节日期间举行促销活动,规定:(1)若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠; (3)若所购商品标价超过500元,其500元内(含500元)的部分按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标价为_____. 13．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）设)(x f y =为R 上的奇函数,)(x g y =为R 上的偶函数,且)1()(+=x f x g ,2)0(=g .则=)(x f ________.(只需写出一个满足条件的函数解析式即可)14．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）函数xxa y x=(01)a <<的图像的大致形状是 ( )15．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）下列各对函数中表示相同函数的是 ( ) A.①③④ B.④⑤ C.③⑤ D.①④①()f x =2x,g (x )=x ;②()f x =x ,g (x )=xx 2;③()f x =24x -,g (x )=22x x -+④ ()f x =x , g (x )=33x ; ⑤ ()f x =|1|x +,1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩16．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）幂函数αx y =,当α取不同的正数时,在区间[]1,0上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点)1,0(),0,1(B A ,连接AB,线段AB 恰好被其中的两个幂函数βαx y x y ==,的图像三等分,即有.NA MN BM ==那么,αβ=_________.17．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若函数()()F x f x m =-(0)m >在区间[]8,8-上有四个不同的零点1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=18．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩,那么1(10)f -=________. 19．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若点)2,4(在NMyB A x幂函数)(x f 的图像上,则函数)(x f 的反函数)(1x f -=________.20．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）函数2log (1)y x =-的定义域为_________.21．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知1()4f x x=-,若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞,使得{}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=,则实数m 的取值范围是___________.22．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）设a 为常数,函数2()43f x x x =-+,若()f x a +在[0,)+∞上是增函数,则a 的取值范围是______. 23．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）函数()1lg(42)f x x x =++-的定义域为___________.24．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合,如果对于定义域内的任意实数x ,函数值均为正,则实数a 的取值范围是________________. 25．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减,则k 的取值范围是__________. 26．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB =90°,AC =2)沿x 轴滚动,设顶点A (x ,y )的轨迹方程是y =f (x ),当∈x [0,224+]时y =f (x )= _____________27．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数,已知(0,1)x ∈,()()12log 1f x x =-,则函数()f x 在(1,2) 上的解析式是____________ 28．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）若实数t 满足f (t )=-t ,则称t 是函数f (x )的一个次不动点.设函数()x x f ln =与反函数的所有次不动点之和为m ,则m =______29．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）已知直线y t =与函数()3x f x =及函)14(图数()43x g x =⋅的图像分别相交于A 、B 两点,则A 、B 两点之间的距离为________30．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,,则=+m M ______.31．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ,若关于x 的方程)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ,则232221x x x ++=____________. 32．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）)(x f 为R 上的偶函数,)(x g 为R上的奇函数且过()3,1-,)1()(-=x f x g ,则=+)2013()2012(f f _______________.33．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）已知(1)22x f x +=-,那么1(2)f -的值是_______.34．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）函数0.5log y x =的定义域为_________.35．（2013年上海市高三七校联考（理））函数()M f x 的定义域为R ,且定义如下: 1() M x x M f x x M x∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩(其中M 是实数集R 的非空真子集),若{||1|2} {|11}A x x B x x =-≤=-≤<，,则函数2()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为_________.36．（2013年上海市高三七校联考（理））已知1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ,则M m +=____.37．（2013年上海市高三七校联考（理））若函数()8xf x =的图像经过点1()3a ，,则1(2)f a -+=________.38．（2013届浦东二模卷理科题）如果M 是函数)(x f y =图像上的点,N 是函数)(x g y =图像上的点,且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ,那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义,函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是____________.39．（2013届浦东二模卷理科题）函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线xy =对称,则=)3(g _______.40．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）设()f x 是定义在R 上的函数,若81)0(=f ,且对任意的x ∈R,满足(2)()3,(4)()103x x f x f x f x f x +-≤+-≥⨯,则)2014(f =_______________.41．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =,借助计算器经过若干次运算得下表:若精确到0.1,至少运算n 次,则0n x +的值为_________________.三、解答题 42．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知0>a 且1≠a ,函数)1(log )(+=x x f a ,xx g a-=11log )(,记)()(2)(x g x f x F +=(1)求函数)(x F 的定义域D 及其零点;(2)若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解,求实数m 的取值范围.43．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）三阶行列式xbx x D 31302502-=,元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ,(){}0≤=x H x P , (1) 求集合P ;(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围; 44．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数.(1)求k 的值; (2)(理)若23)1(=f ,且)(2)(22x f m a a xg x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-,求m 的值. 45．（2013年上海市高三七校联考（理））本题共有3小题,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题8分.已知函数2()2(0)f x x ax a =->.(1)当2a =时,解关于x 的不等式3()5f x -<<;(2)对于给定的正数a ,有一个最大的正数()M a ,使得在整个区间[0 ()]M a ，上,不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式;(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0,最小值是4-,求实数a 和t 的值. 46．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.设函数()()||f x x a x b =-+(1)当2,3a b ==,画出函数()f x 的图像,并求出函数()y f x =的零点; (2)设2b =-,且对任意[1,1]x ∈-,()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.47．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.已知()||,=-+∈R f x x x a b x .(1)当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由; (2)当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值; (3)若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围. 解:48 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有2小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 . 已知函数a x x f +=2)(. (1)若12)()(++=bx x f x F 是偶函数,在定义域上ax x F ≥)(恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当1=a 时,令)())(()(x f x f f x λϕ-=,问是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数,在()0,1-上是增函数?如果存在,求出λ的值;如果不存在,请说明理由.49 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分16分;第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分)已知下表为函数d cx ax x f ++=3)(部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断)(x f 的奇偶性,并证明;(2) 判断)(x f 在[]6.0,55.0上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断a 的符号,并证明)(x f 在(]35.0,-∞-是单调递减函数.50 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）定义域为D 的函数)(x f ,如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立,则称此函数在区间I 上是“凸函数”.(1)判断函数x x f lg )(=在+R 上是否是“凸函数”,并证明你的结论; (2)如果函数xax x f +=2)(在]2,1[上是“凸函数”,求实数a 的取值范围; (3)对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ,在],[d c 上任取1x ,2x ,3x ,,n x .① 证明: 当k n 2=(*∈N k )时,)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ 成立;② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n , 证明:)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ 也成立.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编2：函数及其应用参考答案一、选择题 1. B 2. A3. D4. A5. D6. B7. B 二、填空题8. 2a >9.1210. 12-=x y ;11. 31≠m ; 12. 200013. x x f 2sin 2)(π= 14. D 15. B 16. 1 17. 8- 18. 3 19. =-)(1x f2x (0≥x )20. }2|{≥x x 21. []3,422. [)2,+∞23. [)1,2- 24. 07≤<-a 或2=a ; 25. )21,(∞-; 26. ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤--≤≤--=224248202822x x x x x f (每空2分)27. ()1log 21-=x y28. 0;29. 4log 3; 30. 2 31. 5 32. 3- 33. 3 34. (0,1]35. 21[1]13， 36. 4 37.2338.127- 39. 440. 832014.41. 5.3; 三、解答题42.解:(1))()(2)(x g x f x F +=xx aa -++=11log )1(log 2(0>a 且1≠a ) ⎩⎨⎧>->+0101x x ,解得11<<-x ,所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- 令)(x F 0=,则011log )1(log 2=-++xx aa (*)方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+,x x -=+1)1(2,即032=+x x解得01=x ,32-=x经检验3-=x 是(*)的增根,所以方程(*)的解为0=x 所以函数)(x F 的零点为0 (2)xx m aa -++=11log )1(log 2(10<≤x )=m )4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a4141--+-=xx a m 设]1,0(1∈=-t x ,则函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数 当1=t 时,此时1=x ,5min =y ,所以1≥ma①若1>a ,则0≥m ,方程有解; ②若10<<a ,则0≤m ,方程有解 43.解:(1)、()xx x x H 1252-+==2522+-x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=221x x P(2)、若,P Q ⋂≠∅则说明在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值,使不等式2220ax x -+>成立,即在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少存在一个x 值,使222a x x >-成立,令222,u x x =-则只需min u a >即可 又22221112.22u x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,11,2,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,21,4min -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈u u 从而4min -=u由⑴知, min 4,u =- 4.a ∴>-44. (本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)解:(1)由题意,对任意R ∈x ,)()(x f x f -=-, 即x x x xa k a a k a---+-=--)1()1(,即0)())(1(=+-+---x x xxa a aa k ,0))(2(=+--x x a a k ,因为x 为任意实数,所以2=k解法二:因为)(x f 是定义域为R 的奇函数,所以0)0(=f ,即0)1(1=--k ,2=k .当2=k 时,xxa a x f --=)(,)()(x f a ax f x x-=-=--,)(x f 是奇函数.所以k 的值为2 (2)由(1)xxa a x f --=)(,因为23)1(=f ,所以231=-a a , 解得2=a . 故x xx f --=22)(,)22(222)(22x x x xm x g ----+=,令x x t --=22,则222222+=+-t x x ,由),1[∞+∈x ,得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t , 所以2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==,⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t 当23<m 时,)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数,则223-=⎪⎭⎫⎝⎛h ,22349-=+-m , 解得1225=m (舍去) 当23≥m 时,则2)(-=m f ,222-=-m ,解得2=m ,或2-=m (舍去). 综上,m 的值是245.解:(1)2a =时,{224503()5430x x f x x x --<-<<⇔-+>①②由①得,15x -<<,由②得,1x <或3x >,∴(1 1)(3 5)-，，为所求(2)∵0a >,当25a -<-,即a ,()M a a =当250a -≤-<,即0a <,()M a a =∴()a a M a a a ⎧=⎨<⎩(3)22()()(2)f x x a a t x t =--≤≤+,显然(0)(2)0f f a ==①若0t =,则1a t ≥+,且min [()]()4f x f a ==-,或min [()](2)4f x f ==-, 当2()4f a a =-=-时,2a =±,2a =-不合题意,舍去 当2(2)2224f a =-⨯=-时,2a =②若22t a +=,则1a t ≤+,且min [()]()4f x f a ==-,或min [()](22)4f x f a =-=-,当2()4f a a =-=-时,2a =±,若2a =,2t =,符合题意; 若2a =-,则与题设矛盾,不合题意,舍去当2(22)(22)2(22)4f a a a a -=---=-时,2a =,2t = 综上所述,{20a t ==和{22a t ==符合题意46.解:(1)22230()23x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,画图正确当0x ≥时,由()0f x =,得2230x x -+=,此时无实根;当0x <时,由()0f x =,得2230x x --=,得1,3(x x =-=舍）. 所以函数的零点为1x =- (2)由()x f <0得,()||2x a x -<. 当0x =时,a 取任意实数,不等式恒成立 当01x <≤时,2a x x >-.令2()g x x x=-,则()g x 在01x <≤上单调递增, ∴max ()(1)1a g x g >==-; 当10x -≤<时,2a x x >+,令2()h x x x=+, 则()h x在上单调递减,所以()h x 在10x -≤<上单调递减. ∴ max ()(1)3a h x h >=-=- 综合 1a >-47. [解](理)(1)当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数 ∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠- 所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 (2)当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩解得111222222xx x ===（舍），或所以221log log (112x +==+-或1x =- (3)当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||bx a x--< 即b b x a x x x +<<- 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+;对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +-②当10b -≤<,在(]0,1上,()bh x x x=-≥当x =,min ()bx x-=此时要使a 存在,必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<,此时a 的取值范围是(1b +综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-;当13b -≤<时,a 的取值范围是(1b +;当30b ≤<时,a 的取值范围是∅48. 本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 .解:(1)12)(2+++=bx a x x F 是偶函数,0=∴b 即2)(2++=a x x F ,R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时,213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ,232+≤a当1<x 时,213)1(122+-+-=-+≥x x x x a , 232+-≥a综上: 232232+≤≤+-a (2))())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数,要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数,即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数.令2x t =,当()1,0∈x 时()1,0∈t ;()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ,由于()+∞∈,0x 时,2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ,故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性,当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数,其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ. 49.036.03675.0212122>->+++∴acx x x x50. 解:(1)设1x ,2x 是+R 上的任意两个数,则01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(2)()(2212121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f ∴)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+.∴函数x x f lg )(=在+R 上是 “凸函数” (2)对于]2,1[上的任意两个数1x ,2x ,均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立,即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++,整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-若21x x =,a 可以取任意值. 若21x x ≠,得)(212121x x x x a +-≤, 1)(2182121-<+-<-x x x x ,∴8-≤a . 综上所述得8-≤a (3)①当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立. 假设当mk =)(*∈N m 时,不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f mm +++≥++++ 成立. 那么,由d x x x c mm≤+++≤2221 ,d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++)]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m . 即1+=m k 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证②比如证明3=n 不等式成立.由①知d x c ≤≤1,d x c ≤≤2,d x c ≤≤3,d x c ≤≤4,有)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立.d x c ≤≤1,d x c ≤≤2,d x c ≤≤3,d x x x c ≤++≤)(31321,∴)43()3(321321321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3([41421321x f x f x f x x x f +++++≥, 从而得)]()()([31)3(321321x f x f x f x x x f ++≥++。

证明题西城1．如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 在直线AB 的同侧，∠ECA =∠DCB ，∠D =∠E ．求证：AD =BE ．2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC= 63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．海淀3.已知：如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒.DC ⊥AC 于点C ,且CD CA =，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E . 求证：CE AB =.4．如图，ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作AB 的垂线交AB 于点G ，交DC 的延长线于点H ,连接DG .若10BC =,45GDH ∠=︒，DG 82=，求CH 的长及ABCD 的周长.东城5. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF .6．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，23CD =，求ME 的值.某某7．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ．求证：AB ∥CD ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．房山9已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .FDBEDFCE BA ACD BEFO第9题图10.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3tan =∠B ，求四边形ABCD 的面积.门头沟11．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90º，BD ⊥AC 于点D ，点E 在BC 的延长线上，且BE =AB ，过点E 作EF ⊥BE ，与BD 的延长线交于点F .求证：BC =EF .门头沟12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =60º，AC 平分∠DAB ，BC ⊥AC ，AC 与BD 交于点E ，AD =6，CE 437，7tan 33BEC ∠=BC 、DE 的长及四边形ABCD 的面积．怀柔13．已知如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC ＝EF ，AB∥DE，∠A＝∠D． 求证：AC=DF ． 证明：13题图第10题图EABCD FE ABC DE14. 已知如图：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点．连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠. （1）求AS 的长度； （2）求OR 的长度． 解：大兴15.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，以AD 为斜边在△ABC 外作等腰直角三角形AED ，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．16．如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，连结AC 、BE.求证：四边形ABEC 是矩形. 丰台17．已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．18．如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ，14题图A BCDEFEDC BA ADBC EA60=∠B , 30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．石景山19．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．证明：20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ． （1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长； （2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值X 围：． 解：昌平21.如图，AC //FE ,点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF .求证：AB=DE .22. 如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，∠DAB =∠ABC =90°，BE ⊥BD 且BE =BD ，连接EA 并延长交CD 的延长线于点F . 如果∠AFC =90°，求∠DAC 的度数.DCBGEN MDCBA ABC DEFABDF E密云23．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ， 求证：∠DBC =∠DCB 。

初三数学基础考试卷—1—杨浦区初三数学基础测试卷 2013.4(完卷时间 100分钟 满分 150分) 一、 选择题（本大题每小题4分，满分24分）1．下列数中能同时被2、3整除的是 （ ▲ ） （A ）1.2 ； （B ）15 ； （C ）16 ； （D ）18．2． 下列式子：①a b c +=，②③0a >，④2na ，其中属于代数式的是 （ ▲ ）（A ）①③； （B ）②④； （C ）①③④； （D ）①②③④． 3．用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为 （ ▲ ） （A ）()221x +=； （B ）()221x -=； （C ）()229x -=； （D ）()229x +=． 4．某初级中学要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是 （ ▲ ） （A ）调查全体女生； （B ）调查全体男生； （C ）调查九年级全体学生； （D ）调查六、七、八、九年级各20名学生． 5．⊙O 的半径为R ，直线 与⊙O 有公共点，如果圆心到直线 的距离为d ，那么d 与R 的大小关系是 （ ▲ ） （A ）d R ≥； （B ）d R ≤； （C ）d R >； （D ）d R <．6．下列条件，不能判定ABC ∆与DEF ∆相似的是 （ ▲ ） （A ） ︒=∠=∠90F C ，︒=∠55A ，︒=∠35D ；（B ） ︒=∠=∠90F C ，10=AB ，6=BC ，15=DE ，9=EF ；（C ） ︒=∠=∠90E B ，DF ACEF BC =； （D ） ︒=∠=∠90E B ，ACDFEF AB =.二、填空题（本大题每小题4分，满分48分）7．当2x <-时，化简：+2=x ▲ . 8．因式分解：a 3﹣4a= ▲ .9．在平面直角坐标系中，若点()2P x x -，在第二象限，则x 的取值范围为 ▲ . 10．函数y =x 的取值范围是 ▲ . 11． 有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别画着圆、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、菱形、正五边形。

揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明 第1页（共6页）揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：BCDCB ABDBB 解析：2．由12(1)ai bi i +=-得1,12a b ⇒==||a bi ⇒+==选C ， 3．设(,)B x y ，由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D4．函数()2sin()6f x x π=+，故其最小正周期为2π，故选C.6．由129m a a a a =+++ 得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．7. 函数1()y f x =当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B. 8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.9．依题意知直线10ax by -+=过圆C 的圆心（-1,2），即 21a b +=，由1128a b ab =+≥≤，故选B. 10．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B.揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明 第2页（共6页）二．填空题：12a >(或1(,)2a ∈+∞)；13. {1，6，10，12}；14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；15.3解析：11．依题意得3a =，则4tan a π=4tan3π=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >.13．要使()()1A B f x f x ⋅=-，必有{|x x x A ∈∈且}x B ∉⋃ {|x x B ∈且}x A ∉={1，6，10，12，16} ，所以A B ∆={1，6，10，12} 14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=15.依题意知30DBA ∠=,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以BF =三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，--------2分即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈--------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x -=1cos 2sin 2cos x x x+-=-----------------6分22cos 2sin cos cos x x xx-= 2(cos sin )x x =--------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+=揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明 第3页（共6页）∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=------------------------------------------------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-------------------------------------------12分 17.解：(1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：100×(0.0050＋0.0045＋0.0030)×20＝25人．----------------------------3分 (2)设100名学生的平均成绩为x ，则x ＝[30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0045＋130＋1502×0.0030]×20＝78.4分．--------------------7分 (3)成绩在[110,130]的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130,150]的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在[130,150]中抽取615×5=2人，从成绩在[110,130]中抽取915×5=3人，故45,[130,150]A A ∈，----------------------9分从12345,,,,A A A A A 中任取两人，共有1213141523(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A A A A A A 2425343545(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A A A A 十种不同的情况，--------------11分其中含有45,A A 的共有7种，所以至少有1人的成绩在[130,150]的概率为710．-------------------------------------------------------------------13分18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， ----------------------------------1分∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， ---------------------3分 解得0c =或3c =． -----------------------------------------------4分 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．------------------6分揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明 第4页（共6页）N 1M 1EA BC DFNMG EABCDFNM（2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，-------------8分 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-= 1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L ,-10分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+= ，，．-----------------12分 当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．---------------------------13分 19．解：（1）∵四边形CFED 与ABFE 都是正方形∴,,EF DE EF AE ⊥⊥又DE EA E = , ∴EF ⊥平面ADE ，-------------------2分 又∵//EF AB ，∴AB ⊥平面ADE∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE-----------4分 （2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,-----------5分 ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =----------------------------------7分 ∴四边形11MNN M 为平行四边形，-----------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面-10分[法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴----------------------------------------6分,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，-----7分同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G = , ∴平面MNG//平面BCF------------9分 ∵MN ⊂平面MNG,//MN BCF ∴面．---------------------------------------------------------10分]揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明 第5页（共6页）P NCFBAED （3）如图将平面EFCD 绕EF 旋转到与ABFE 在同一平面内，则当点A 、P 、N 在同一直线上时，PA+P------------------------11分在△AEN中，∵135,1,AEN AE NE ∠===由余弦定理得2222cos135AN AE EN AE EN =+-⋅，--13分∴AN =,即min ()PA PN +=．---------------------------------------14分20. 解：(1)∵1cos 602122p OA ==⨯=，即2p =，∴所求抛物线的方程为24y x =-----------------------------------------3分 ∴设圆的半径为r ，则122c os60OB r =⋅=，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.---6分(2)设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D -------------7分 ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==-----------8分两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=--------------------------9分∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =------------------------11分∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分 ∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. ----------------------14分21．解：（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞ ，2121()2ax f x ax x x-'=-= ------------------2分0a > 令()0f x '>得：x >()0f x '<得：0x <<分∴函数()f x的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞-----------5分 （2）证明：当18a =时，21()ln 8f x x x =-，由（1）知()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞，-------------------------------------------------6分揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明 第6页（共6页）令2()()()3g x f x f =-，则()g x 在区间(2,)+∞单调递增且42212(2)(2)()0,()2ln 038183e gf fg e =-<=--+>，-----------------------------8分∴方程2()()3f x f =在区间（2，+∞）上有唯一解．---------------------------------9分 （注：检验()g x 的函数值异号的点选取并不唯一） （3）证明：由()()f f αβ=及（1）的结论知αβ<<，------------------------10分 从而()f x 在[,]αβ上的最大值为()f α（或()f β），--------------------------------11分 又由1,,[1,3],βααβ-≥∈知12 3.αβ≤≤≤≤------------------------------------12分故(1)()(2)(3)()(2)f f f f f f αβ≥≥⎧⎨≥≥⎩，即4l n 29l n 34l n 2a a a a ≥-⎧⎨-≥-⎩----------------------------------13分从而ln 3ln 2ln 253a -≤≤．------------------------------------------------------14分。

2013届高中数学·二模汇编（专题：三角函数）2013届高中数学·二模汇编 三角函数一、填空题1、（2013长宁、嘉定区二模文1、理1）函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________2、（2013奉贤区二模理1、文1）函数2()2f x sin x =的最小正周期是3、（2013青浦、宝山区二模理7）函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T4、（2013静安、杨浦、青浦、宝山区二模文7）函数xx xx x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T/5、（2013普陀区二模文2） 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 6、（2013虹口区二模理3、文3）已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα 7、（2013长宁、嘉定区二模文8、理9）已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈， 则=αsin __________8、(2013普陀区二模理13) 函数2sin 2cos y x x =+的定义域为2,3πα⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域为]2,41[-，则α的取值范围是9、(2013崇明县二模理8、文11)已知函数2()sin cos 2xf x x a =+ (a 为常数,a R ∈)，且2x π=是方程()0f x =的解．当[]0,x π∈时，函数()f x 值域为10、（2013徐汇、松江、金山区二模理3）已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α=___________11、（2013徐汇、松江、金山区二模文5）已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则sin 2α=___________12、（2013浦东新区二模理9、文9）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b13、（2013浦东新区二模理11、文11）方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 14、（2013黄浦区二模理11、文11）在△ABC 中，120A ∠=︒，5AB =，7BC =，则sin sin BC的值为 15、（2013闸北区二模理2）函数)02(sin 2<<-=x x y π的反函数为16、（2013闸北区二模文6）设20πθ<<，θcos 21=a ，n n a a +=+21，则数列{}n a 的通项公式=n a17、（2013闸北区二模文7）已知函数⎩⎨⎧<≤≤=.0,,20,sin 2)(2x x x x x f π若3))((0=x f f ，则=0x18、(2013普陀区二模文11、理11) △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .19、（2013闵行区二模理10、文10）设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边长依次为c b a 、、，若ABC ∆的面积为S ，且()22c b a S --=，则=-AAcos 1sin20、（2013静安、杨浦、青浦、宝山区二模理3、文3）已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan21、（2013徐汇、松江、金山区二模理8）将参数方程22sin 12cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）化为普通方程，所得方程是_____22、（2013奉贤区二模理9）在极坐标系中，直线2sin()42πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是 二、选择题23、（2013黄浦区二模理15、文15）已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为 （ ） A ．2425- B ．247± C ．247- D ．24724、（2013静安、杨浦、青浦、宝山区二模理15、文15）已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于 （A ）71． （B ）71- ． （C ） 7． （D ）7-． 25、（2013奉贤区二模理15、文15）下列命题正确的是（ ）A ．函数y sinx =与函数y arcsinx =互为反函数；B ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是增函数；C ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是奇函数；D ．函数y sinx =与函数y arcsinx =都是周期函数．26、(2013崇明县二模理15、文15)已知函数()(cos2cos sin 2sin )sin ,f x x x x x x =+x R ∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 27、（2013闸北区二模文11）若02,sin 3cos απαα≤≤>，则α的取值范围是 ( )A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭28、（2013闵行区理17、文17）设函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=2,2,2cos sin ππx x x x f ，则函数()x f 的最小值是 ( ) (A ) 1- (B ) 0 (C )21 (D ) 89 29、（2013浦东新区二模理17）已知以4为周期的函数()(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,12x xx x m x f π，其中0>m ，若方程 ()3xx f =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛38,315 (B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛7,315 (C ) ⎪⎭⎫⎝⎛38,34 (D ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛7,34 30、（2013浦东新区二模文17）已知以4为周期的函数()()(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1x xx x m x f π，其中0>m ，若方程 ()3xx f =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( ) (A ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34 (B ) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,34 (C ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34 (D ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡38,3431、（2013静安、杨浦、青浦、宝山区二模理17、文17）若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则（ ）（A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+b a ． （D ）41122≥+b a ． 32、（2013虹口区二模理16、文17）已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，……，则131M M 等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 33、（2013虹口区二模理17、文18）若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）．.A 1- .B 0 .C21.D 1三、解答题34、(2013浦东新区二模理20、文20) 已知向量()1,1=m ，向量n 与向量m 的夹角为43π，且1-=∙n m . (1) 求向量n(2) 若向量n 与()0,1=q 共线，向量⎪⎭⎫⎝⎛=A C p cos ,2cos22，其中C A 、为ABC ∆的内角， 且C B A 、、依次成等差数列，求p n +的取值范围.35、（2013闵行区二模理19、文20）如图，在半径为cm 20的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ， 其中点B A 、在直径上，点D C 、在圆周上.(1) 请你在下列两个小题中选择一题做答即可：① 设θ=∠BOC ，矩形ABCD 的面积为()θg S =，求()θg 的表达式，并写出θ的取值范围. ② 设()cm x BC =，矩形ABCD 的面积为()x f S =，求()x f 的表达式，并写出x 的范围. (2) 怎样截取才能使截得的矩形面积最大？并且最大面积.36、(2013黄浦区二模理20、文20) 已知复数1sin i z x λ=+，2(sin 3cos )i z x x =+-(,R x λ∈，i 为虚数单位）． （1）若122i z z =，且x ∈(0,π)，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥，且()f x λ=， 求()f x 的最小正周期和单调递减区间．37、（2013静安、杨浦、青浦、宝山区二模理20、文20）如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．38、（2013徐汇、松江、金山区二模理19、文19）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且3sin cos cos sin 2A C A C +=,若7,b =ABC ∆的面积334ABC S ∆=，求a c +的值.39、（2013奉贤区二模理20、文20）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45，与A 相距220海里的B 处 有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站B 北偏东45θ+(045)θ<<的C 处，513AC =.在离观测站(045)θ<<的正南方某处E ，21313cos EAC ∠=-. （1）求cos θ；（2）求该船的行驶速度v （海里/小时）.40、（2013虹口区二模理20）在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若2=b ，求ABC ∆的面积的最大值．41、（2013虹口区二模文20）在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．42、(2013普陀区二模文19、理19)已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值.43、（2013长宁、嘉定区二模文20、理20）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．第19题44、(2013年闸北区二模文13)已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+b a ， 求θsin 的值45、(2013年闸北区二模理13)已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+b a ， 求θsin 与⎪⎭⎫⎝⎛+82cos πθ的值．11 46、(2013年崇明县二模理19、文19)本题满分12分（其中第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在ABC ∆中，45C ∠=︒，D 为BC 中点，2BC =．记锐角ADB α∠=．且满足7cos225α=-． （1）求cos α的值；（2）求BC 边上高的值．第19题图 C BD A。

2012学年四区联考（静杨青宝）高三年级高考模拟考试数学试卷(理科)2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.R U ={}0322>--=x x x A =A C U 2．若复数满足（是虚数单位），则.z )2(z i z -=i =z 3．已知直线的倾斜角大小是，则.012=++y x θ=θ2tan 4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范y x 、⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx m 围是.5．已知函数和函数的图像关于直线)(x f y =)1(log 2+=x y 对称，则函数的解析式为.0=-y x )(x f y =6．已知双曲线的方程为1322=-y x 距离为.7．函数的最小正周期xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=πT 8．若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正nx )21(+3x x 整数.=n 9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.p 7S 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这1cm 个圆锥的母线长为．cm 理高中进行整范围11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该44年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是(结果用33最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若， 则其公比的取值{}n a n n S 1lim1=+∞→n nn S S q 范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，()满足||＝2，且与－的夹角为120°，则αβ≠αβαβα||的最大值是.α14．给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整10743421101、、、、、 {}n b 数使成等差数列，试写出一组的值.)1(t s t s <<、t s b b b ,,1),(t s 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（ ）),2(ππα∈53sin =α)4tan(πα-（A ）． （B ） ． （C ） ． （D ）．7171-77-16．已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的C θρsin a =2=a C ………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件．17． 若直线经过点，则 …………………………（）2=+by ax )sin ,(cos ααM 术不仅可以解决吊顶层资料试卷要求，对电气卷配置技术是指机组在进（A ）．（B ）．（C ）． （D ）422≤+b a 422≥+b a 41122≤+b a ．41122≥+ba 18．已知集合，若对于任意，存在，使{})(),(x f y y x M ==M y x ∈),(11M y x ∈),(22得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：02121=+y y x x M Ω①②⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),({}2),(-==x e y y x M ③④{}x y y x M cos ),(=={}x y y x M ln ),(==其中所有“集合”的序号是……………………………………………………（）Ω（A ）②③ ．（B ）③④ ．（C ）①②④．（D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为的正方体中，分别为的中点．21111D C B A ABCD -F E ,CD B A,11（1）求直线与平面所成角的大小；EC 11BCC B （2）求二面角的大小．B AF E -- 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，AOB AOB 3π2OA C过点作平行于的直线交弧于点．C OB AB P （1）若是半径的中点，求线段的大小；C OA PC （2）设，求△面积的最大值及此时的值．θ=∠COP POC θ21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知函数．a x x f +=2)(（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；12)()(++=bx x f x F ax x F ≥)(a （2）当时，令，问是否存在实数，使在上是1=a )())(()(x f x f f x λϕ-=λ)(x ϕ()1,-∞-减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．()0,1-λ22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差)0,1(A 1P 2P 3P 1AP2AP 3AP 数列，公差为，．d 0≠d （1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；1P ()1,1-2d =3P 3180x y --=3P （2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，C 222)3()3(r y x =-+-)0(>r A 31P P 、是圆上另外一点，求实数的取值范围；2P C d （3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平1P 2P 3P 24y x =2P 313PP 分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．x 23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且满足 ()，，设，{}n a n n S a a =13≠a nn n S a 31+=+n n n S b 3-=．*∈N n （1）求证：数列是等比数列；{}n b （2）若≥，，求实数的最小值；1+n a n a *∈N n a （3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和4=a {}n e ⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn n为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”．问中n C n C p t *∈N p t ,1,1>>p t n C {}n C 的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．；]3,1[-23431≠m 12-=xy 17．（文、理）；8．（文）4（理）；9．；10．；11．（文）（理）π5646317414214=C ；12．；13．（文）（理）；14．（文）②③⑤（理）． 834334=P (]1,0(1,)+∞334)25,17(②二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .吊顶层配置不规范高中资电气设备进行空载与带组在进行继电保护高中资19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．(文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米5.185.0sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯=所以这个四棱锥冷水塔的容积是．36375.0m (2)如图，取底面边长的中点，连接，E SE 222275.085.0+=+=EO SO SE SE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．（理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图平面的一个法向量为11BCC B )0,1,0(1=n 因为，，)2,1,2(E )0,2,0(C )2,1,2(--=∴可知直线的一个方向向量为．EC )2,1,2(--=∴设直线与平面成角为，与所成角为，则EC 11BCC B θ1nϕ。

密封线内不要答题学校：__________ 班级：____________ 姓名：___________ 考号2013年兰州市数学模拟试卷(二）一、选择题（每小题4分，共计60分）1、∣-sin45°∣的相反数是（）A.22B. -22C.32D. -322、方程x2-3x+2=0的两根分别是一个矩形的长与宽，则该矩形的一条对角线长为（）A. 3B. 5C. 3D. 53、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）42线为（A. 2+1 C. y=2(x-2)2-1 D. y=2(x+2)2+15、如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（）6、中，EF∥BC,AEEB =12=（）A. 9 C. 12 D. 13A B C D正面第5题图A B7、如图，⊙O 中，半径OA=4，，∠AOB=120°，用阴影局部的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（ ）43 C. 53D. 2 A. 1 B. 8、“只要人人都献出一点爱，世界将变成美妙的人间”，在今年的慈善一日捐活动中某中学九年级一班50名学生自发组织献爱心捐款活动，班长将捐款的状况进展了统计，并绘制成了统计图，依据图中供应的信息，捐款金额的众数与中位数是（ ）A. 20、20B. 20、30C. 30、20D. 20、309、已知二次函数y=2(x-4)2+3，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=4； ③其图象顶点坐标为（4,3）；④当x ＜4时，y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10、下列说法中①若式子x-1有意义，则x ＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是53°.③已知x=2是方程x2-6x+c=0的一个实数根，则c 的值是8.④在反比例函数y=k-2x 中，若x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k ＞2.其中正确命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11、已知双曲线y=12x 与直线y=x+3在第一象限的交点为M （a,b ），则二次函数y=-abx 2+(a-b)x （ ）AB CE F 第6A. 有最大值，最大值为- 92B. 有最大值，最大值为 92C. 有最小值，最小值为 92D. 有最小值，最小值为 - 9212、如图，点A 是反比例函数y=2x （x ＞0）的图象上随意一点，AB ∥x轴交反比例函数y= - 3x 的图象于点B 以AB 为边作平行四边形ABCD,其中C 、D 在x 轴上则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 513、如图，⊙O 1 、⊙O 、 ⊙O 2的半径均为2㎝ ，⊙O 3、 ⊙O 4的半径均为1㎝，⊙O 与其它4又关于O 3O 4所在直线对称，则四边形O 1O 3O A. 12cm 2 B. 24cm 2 C. 36cm 2 14次为与3、A 4A. (30，30)B. (-82,82)C. (-42,42)D. (42,-42)15、如图，正△ABC 的边长为3㎝，动点P 从点A 动身，以每秒1㎝的速度沿A →B →C 的方向运动，到达C 时停顿，设运动时间为x （秒），则y=PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）第12第13题 第14题16、假如2x2+1与x2-x-3互为相反数，则x的值为 .17、某市民政部门实行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张（每张彩票2元），在这些彩票中，设置如下奖项：率CD=23,则阴影局部图形的面积为 .19、以边长为2的正方形的中心O我端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 .20则第2013个图形是 .（填三、解答题（70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤）21、（6分）设3x=∣-4∣+(12)-1-(3-1)0-8cos45°，求代数式（1x +x+1x）÷x+2x2+x的值（先化简再求值）22、（8分）（1）如图，点E、F在AC上，AB∥CD,AB=CD,要使△ABF ≌△CDE.还需添加的一个条件是 .（2）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：①将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出平移两B第18题D次后的△A 1B 1C 1； ②写出A 1、C 1的坐标；将③△A 1B 1C 1绕C 1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A 2B 2C 1,求线段B1C1旋转过程中扫过的面积（结果保存23、（8分）有三张正面分别写有数字-2、一样，将这三张卡片反面朝上洗匀后随机抽取一张，的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次记为（x ，y ）.(1)用树状图或列表法表示（x ，y (2)求使分式x 2-3xy x 2-y 2 + yx-y有意义的（x ，y ）出现的概率；(3)化简分式x 2-3xy x 2-y 2 + yx-y ，并求使分式的值为整数的（x ，y ）出现的概率.24、（8分）如图，站在河岸上的G 点看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若刘敏的眼睛与地面的间隔 是DG 是1.5米，BG=1.5米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i=4︰3，坡长AB=10米，求小船C 到岸边的间隔 CA 的长？（参考数据：3=1.73，结果保存两位有效数字）25、（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,垂足为E ，CF ⊥AF ，且CF=CE.(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若sin ∠BAC= 25，求S △CBDS △ABC的值A BD CEF 第22(1)题D F AB CG30第24题图 ( B26、（10分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数y= kx （k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA= 12(1)求点B 的坐标；(2)求反比例函数的表达式与n 的值；(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G27、（10分）如图，抛物线y =x 2+bx+c （a ＜0点A 、B ，且抛物线经过坐标原点，点A 的横坐标为-2内，过点B 作直线BC ∥x 轴，点 C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与X 轴之间的间隔 是点B 到y 轴的间隔 的4倍，计抛物线的顶点为E.(1)求抛物线的表达式；(2)计算△ABC 与△ABE 的面积；28、（12分）已知：如图1，在面积为3的正方形是BC 与CD 边上的点，AE ⊥BF 与点G ，且BE=1.(1)求证：△ABE ≌△BCF ；(2)求出△ABE 与△BCF 重叠局部（即△BEG ）的面积；(3)现将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转到△AB ′E ′（如图2），使点E 落在CD 边上的点E ′处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠局部的面积是否发生了改变？请答复并说明理由.第26第27题2013年九年级模拟考试（二）数学参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1选项B DC A C A B B B A BD B C C15小题分析：如图，当点P 沿A B C →→的方向运动时，直观视察CP 的长度改变知：变小、变大、变小，从而图像应当先下降，后上升，下降，从而淘汰A,B ；比照C,D ，留意到2y PC =为二次函数，图像应为曲线，故选择C 二、填空题 16.-32或 1 17.0.00025 （或 2.5×10-4） 18.43π 19.20.五角星 三、解答题21.解：由题设得：3x =242122+--=3 ............1分 解得1x = (3)分原式=2112()x x xx x x +++÷+=2(1)2x x x x x ++⨯+ 1x =+ …………5分 将1x =代入上式，得原式=1+1=2 …………6分22．解：（1）答案不唯一。

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数y =√log 2(x −1)的定义域为________．2. 若z 1=a +2i ，z 2=1+i （i 表示虚数单位），且z1z 2为纯虚数，则实数a =________．3. 若sinθ=35且sin2θ<0，则tan θ2=________．4. 若点(4, 2)在幂函数f(x)的图象上，则函数f(x)的反函数f −1(x)=________．5. 若(2x +1)11＝a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 11x 11，则(a 0+a 2+...+a 10)2−(a 1+a 3+...+a 11)2＝________．6. 若函数f(x)=x 2+ax +1是偶函数，则函数y =f(x)|x|的最小值为________．7. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦距为10，点P(2, 1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________． 8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=________．9. 若曲线Γ：{x =1+3cosθy =2+3sinθ(θ为参数且π3≤θ≤2π3)，则Γ的长度为________．10. 若三条直线ax +y +3=0，x +y +2=0和2x −y +1=0相交于一点，则行列式|a131122−11|的值为________． 11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若A =π3，b =2c ，则C =________． 12. 若圆C 的半径为3，单位向量e →所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e →⋅AB →的最大值为________．13. 函数y =sin 2x +2cosx 在区间[−2π3, a]上的值域为[−14, 2]，则a 的取值范围是________．14. 若a i,j 表示n ×n 阶矩阵[ 1111…123…3…⋮…⋮n …………a n,n ]中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n ，且a i+1,j+1=a i+1,j +a i,j (i 、j =1, 2,…,n −1)，则a 3,n =________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合A ={x|y 2=4x, y ∈R}，B ={x|1−x2+x ≥0}，则A ∩B =( )A [0, 1]B (−2, 1]C (−2, +∞)D [1, +∞)16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1:S 2=( )A 1:1B 2:1C 3:2D 4:117. 若a ∈R ，则“关于x 的方程x 2+ax +1=0无实根”是“z =(2a −1)+(a −1)i （其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 18. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且|PA →|2+|PB →|2+|PC →|2=a （a 为常数）．下列结论中，正确的是（ ）A 当0<a <1时，满足条件的点P 有且只有一个B 当a ＝1时，满足条件的点P 有三个C 当a >1时，满足条件的点P 有无数个D 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知函数f(x)=Acos(ωx +ϕ)(A >0, ω>0, −π2<ϕ<0)的图象与y 轴的交点为(0, 1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0, 2)和(x 0+2π, −2)（1）求函数f(x)的解析式；（2）若锐角θ满足cosθ=13，求f(2θ)的值．20. 已知a >0且a ≠1，函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=log a11−x，记F(x)=2f(x)+g(x)．（1）求函数F(x)的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程F(x)−m =0在区间[0, 1)内仅有一解，求实数m 的取值范围．21. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1 （1）求直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小； （2）求四棱锥D −BCD 1A 1的体积．22. 在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为d →=(1,k)的直线l 经过椭圆x 218+y 29=1的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且|OA →|=|OF →|，求直线l 的方程；（2）若k >0，P(6, 0)且△PAB 的面积为6，求k 的值；（3）当k(k ≠0)变化时，是否存在一点C(x 0, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．23. 对于任意的n ∈N ∗，若数列{a n }同时满足下列两个条件，则称数列{a n }具有“性质m”： ①a n +a n+22<a n+1； ②存在实数M ，使得a n ≤M 成立．（1）数列{a n }、{b n }中，a n =n 、b n =2sin nπ6(n =1, 2, 3, 4, 5)，判断{a n }、{b n }是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n }的前n 项和为S n ，且c 3=14，S 3=74，证明：数列{S n }具有“性质m”，并指出M 的取值范围； （3）若数列{d n }的通项公式d n =t(3⋅2n −n)+12n(n ∈N ∗)．对于任意的n ≥3(n ∈N ∗)．2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）答案1. [2, +∞)2. −23. 34. x 2(x ≥0)5. −3116. 27. x 220−y 25=18. 0.4 9. π 10. 0 11. π6 12. 3 13. [0, 2π3]14. 12n 2+12n +215. A 16. C 17. B 18. C 19. 解：（1）由题意可得A =2…T 2=2π即T =4π，ω=12…f(x)=2cos(12x +ϕ)，f(0)=1 由cosϕ=12且−π2<ϕ<0，得ϕ=−π3函数f(x)=2cos(12x −π3)（2）由于cosθ=13且θ为锐角，所以sinθ=2√23f(2θ)=2cos(θ−π3)=2(cosθcos π3+sinθsin π3)=2⋅(13×12+2√23×√32)=1+2√6320. 解：（1）F(x)=2f(x)+g(x)=2log a (x +1)+log a 11−x (a >0且a ≠1) 由{x +1>01−x >0，可解得−1<x <1， 所以函数F(x)的定义域为(−1, 1)令F(x)=0，则2log a (x +1)+log a 11−x =0…(∗)方程变为log a (x +1)2=log a (1−x)，即(x +1)2=1−x ，即x 2+3x =0 解得x 1=0，x 2=−3，经检验x =−3是(∗)的增根，所以方程(∗)的解为x =0 即函数F(x)的零点为0．（2）方程可化为m =2log a (x +1)+log a 11−x =log ax 2+2x+11−x=log a (1−x +41−x −4)，故a m =1−x +41−x −4，设1−x =t ∈(0, 1] 函数y =t +4t 在区间(0, 1]上是减函数当t =1时，此时x =0，y min =5，所以a m ≥1 ①若a >1，由a m ≥1可解得m ≥0， ②若0<a <1，由a m ≥1可解得m ≤0， 故当a >1时，实数m 的取值范围为：m ≥0， 当0<a <1时，实数m 的取值范围为：m ≤021.解：（1）以D 为坐标原点，分别以射线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)． DB →=(1,1,0)，BC →=(−1,0,0)，CD 1→=(0,−1,1)．设n →=(x,y,z)是平面A 1BCD 1的法向量，则{n →⋅CD 1→=0˙，即{x =0z −y =0令z =1，则y =1，x =0，∴ n →=(0,1,1)．设直线DB 与平面A 1BCD 1所成角为θ，则sinθ=|cos <n →，DB →>|=|n →||DB →|˙=1√2×√2=12．由于0≤θ≤π2，∴ θ=π6．即直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小为π6；（2）由（1）得n 0→=n→|n →|=(0,1√2,1√2)． ∴ 点D 到平面A 1BCD 1的距离d =|n 0→⋅DB →|=√22． ∵ 四边形A 1BCD 1是矩形，∴ 面积S =BC ⋅CD 1=1×√2=√2． ∴ V D−BCD 1A 1=13sℎ=13×√22×√2=13．22. 解 （1）∵ 椭圆方程为x 218+y 29=1∴ a 2=18，b 2=9，得c =√a 2−b 2=3，可得F(3, 0)…∵ |OA →|=|OF →|且点A 在x 轴的上方，…∴ 可得A 在椭圆上且|OA →|=3，得A 是椭圆的上顶点，坐标为A(0, 3) 由此可得l 的斜率k =−1，d →=(1,−1)… 因此，直线l 的方程为：x−31=y−0−1，化简得x +y −3=0…（2）设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，直线l:y =k(x −3)…将直线与椭圆方程联列{x 218+y 29=1y =k(x −3)，…消去x ，得(1+2k 2)y 2+6ky −9k 2=0…由于△>0恒成立，根据根与系数的关系可得{y 1+y 2=−6k 1+2k 2⋅…∴ |y 1−y 2|=6|k|√2(1+k 2)1+2k 2=6k√2(1+k 2)1+2k 2…因此，可得S △PAB =12×|PF|×|y 1−y 2|=12×3×6k√2(1+k 2)1+2k 2=6化简整理，得k 4−k 2−2=0，由于k >0，解之得k =1…（3）假设存在这样的点C(x 0, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0， 根据题意，得直线l:y =k(x −3)(k ≠0)由{x 218+y 29=1y =k(x −3)消去y ，得(1+2k 2)x 2−12k 2x +18(k 2−1)=0… 由于△>0恒成立，根据根与系数的关系可得{x 1+x 2=12k 21+2k 2⋅…(∗)…而k AD =y 1x1−x 0，k BD =y 2x2−x 0，… ∴ k AD +k BD =y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=k(x 1−3)x 1−x 0+k(x 2−3)x 2−x 0=k(x 1−3)(x 2−x 0)+k(x 2−3)(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=0由此化简，得2kx 1x 2−k(x 0+3)(x 1+x 2)+6kx 0=0，… 将(∗)式代入，可得36k(k 2−1)1+2k 2−12k 3(x 0+3)1+2k 2+6kx 0=0，解之得x 0=6，∴ 存在一点C(6, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0．… 23. 解：（1）在数列{a n }中，取n =1，则a 1+a 32=2=a 2，不满足条件①，所以数列{a n }不具有“m 性质”；…在数列{b n }中，b 1=1，b 2=√3，b 3=2， b 4=√3，b 5=1，则b 1+b 3=3<2√3=2b 2， b 2+b 4=2√3<4=2b 3，b 3+b 5=3<2√3=2b 4，所以满足条件①； b n =2sinnπ6≤2(n =1, 2, 3, 4, 5)满足条件②，所以数列{b n }具有“性质m”．…（2）因为数列{c n }是各项为正数的等比数列，则公比q >0， 将c 3=14代入S 3=c3q 2+c 3q+c 3=74得，6q 2−q −1=0，解得q =12或q =−13（舍去），…所以c 1=1，c n =12n−1，S n =2−12n−1…对于任意的n ∈N ∗，S n +S n+22=2−12n −12n+2<2−12n =S n+1，且S n <2…所以数列数列{S n }具有“m 性质”…且M ≥2．… （3）由于d n =3t −tn−12n，则d n+1=3t −t(n+1)−12n+1，d n+2=3t −t(n+2)−12n+2，由于任意n ∈[3, +∞]且n ∈N ∗，数列{d n }具有“性质m”，所以d n +d n+2<2d n+1 即tn−12n+t(n+2)−12n+2>2×t(n+1)−12n+1，化简得，t(n −2)>1…即t >1n−2对于任意n ∈[3, +∞)且n ∈N ∗恒成立，所以t >1…①…d n+1−d n =tn−12n−t(n+1)−12n+1=t(n−1)−12n+1由于n ≥3及①，所以d n+1>d n即n ≥3时，数列{d n }是单调递增数列，且lim n →∞d n =limn →∞(3t −tn−12n )=3t…只需3t ≤9，解得t ≤3…②…由①②得1<t ≤3，所以满足条件的整数t 的值为2和3． 经检验t =2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t =3…。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。

4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。