2020年高考理科数学:基本初等函数题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 指数运算与对数运算
例1 已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x ->?=?
+≤?则f (f (1))+f 31log 2?? ???的值是( ) A.5
B.3
C.-1
D.72 【答案】A
【解析】由题意可知f (1)=log 21=0,f (f (1))=f (0)=30+1=2,31log 0,2<∴f 31log 2?? ???=31log 23-+1=2+1=3,所以f (f (1))+f ???
?log 312=5. 【易错点】确定31log 2
的范围再代入. 【思维点拨】本题较简单,分段函数计算题代入时要先确定范围,再代入函数.
例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=2log 1,0,6,0,x x f x x -≤??->?
()()则f (2 019)=( ) A .-1 B .0 C .1 D .2
【答案】D
【解析】∵2 019=6×337-3,∴f (2 019)=f (-3)=log 2(1+3)=2.故选D.
【易错点】转化过程
【思维点拨】x >6时可以将函数看作周期函数,得到f (2 019)=f (3),然后再带入3,得出f (3)=f (-3). 题型二 指对幂函数的图象与简单性质
例1 函数f (x )=a x
-b 的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( ) A.a >1,b <0
B.a >1,b >0
C.00
D.0 【解析】由f (x )=a x -b 的图象可以观察出,函数f (x )=a x -b 在定义域上单调递减,所以0 【易错点】注意b 的符号 【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2 例2 已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |-1(m 为实数)为偶函数,记a =f (log 0.53),b =f (log 25),c =f (2m ),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <b D.c <b <a 【答案】B 【解析】由函数f (x )=2|x -m |-1为偶函数,得m =0,所以f (x )=2|x |-1, 当x >0时,f (x )为增函数,log 0.53=-log 23,∴log 25>|-log 23|>0, ∴b =f (log 25)>a =f (log 0.53)>c =f (2m )=f (0),故选B. 【易错点】①对称性的条件转化;②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小. 【思维点拨】函数()f x m -的图象关于x m =对称;指对幂函数比较大小时像本题中a,b 一样可以换成同底数的数,可以化为一样的底数利用单调性比较大小. 题型三 二次函数的图象与性质 例1 已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________. 【答案】(- 22 ,0) 【解析】由于f (x )=x 2+mx -1=mx +(x 2-1),可视f (x )为关于m 的一次函数,故根据题意有 2222()10,(1)(1)(1)10, f m m m f m m m m ?=++?+=++++?解得-22 例2 已知f (x )=ax 2-2x (0≤x ≤1),求f (x )的最小值. 【答案】a<1时,f (x )min =a -2;a ≥1时,f (x )min =-1a . 【解析】①当a =0时,f (x )=-2x 在[0,1]上单调递减,∴f (x )min =f (1)=-2. ②当a >0时,f (x )=ax 2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x =1a . 当1a ≤1,即a ≥1时,f (x )=ax 2-2x 的图象的对称轴在[0,1]内, ∴f (x )在????0,1a 上单调递减,在????1a ,1上单调递增. ∴f (x )min =1()f a =1a -2a =-1a . 当1a >1,即0