已知B ：在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + x 的对称轴为直线 x =2，顶点为 A ．
（1）求抛物线的表达式及顶点 A 的坐标； A
点 P 24 题 y = ( x - m )2 + n 的顶点 D 在直线 AB 上，与 y 轴的交点为 C 。
动点之角度
(2015 二模 崇明)24．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）
如图，已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (0, - 4) ，点 B (-2, 0) ，点 C (4, 0) ．
（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点 M 在 y 轴上， ∠OMB + ∠OAB = ∠ACB ，求点 M 的坐标．
y
y
(2015 二模 奉贤)24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分）
B O
C x O C x
A
（备用图）
（2）（第为抛物线对称轴上一点，联结 OA 、OP ．
x
图）
①当 OA ⊥OP 时，求 OP 的长；
②过点 P 作 OP 的垂线交对称轴右侧的抛物
线于点 B ，联结 OB ，当∠OAP =∠OBP 时，
求点 B 的坐标．
(2015 二模 杨浦)24．(本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第 （3）小题 4 分，)
已知：在直角坐标系中，直线 y =x +1 与 x 轴交与点 A ，与 y 轴交与点 B ，抛物线
1
2
（1）若点 C （非顶点）与点 B 重合，求抛物线的表达式；
y
（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；
（3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称
轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。
动点之相似
(2015二模宝山嘉定)24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知平面直角坐标系xOy（图9），双曲线y=k(k≠0)与直线y=x+2都经过点
x
A(2,m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C，
联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如
果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
y
(2015二模金山)24．（本题满分12分）
已知抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)经过A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)的解析式，并求出顶点P的坐标；
（2）求∠APB的正弦值；
B A 如图，
在直角坐标系 xOy 中，抛x 物线 y = ax O 2 - 2ax + c 与 x 轴的正半轴相x 交于点 A 、与 y 轴 （3）直线 y = kx + 2 与 y 轴交于点 N ，与直线 AC 的交点为 M ，当 ?MNC 与 ?AOC 相似
时，求点 M 的坐标．
动点之面积
(2015 二模 黄浦)24. （本题满
第（1）小题满分 3 分，第（2） 分 12 分，
小题满分 4
分，第（3）小题满分 5 分）
如图 7，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 的坐标为（a ，3）（其中a >4)，射线 OA
与反比例函数y = 12 的图像交于点 P ，点 B 、C 分别在函数y = 12 的图像上，且 AB //x 轴，
x
x
AC //y 轴．
（1）当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；
（2）联结 BO ，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；
（3）联结 BP 、CP ，试猜想：S ?ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ?ABP 的
S
S
?ACP
?ACP
值；如果变化，请说明理由．
(2015 二模 静安青浦)24．
（本题满分 12 分，第（1）小题满分 8 分，第（2）小题
满分 4 分）
P
C
O 图7
的正半轴相交于点 B ，它的对称轴与 x 轴相交于点 C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．
（1）求此抛物线的表达式；
如图，已知抛物线 y = x 2 - 2tx + t 2 - 2 的顶点 A 在第四象限，过点 A 作 AB ⊥y 轴于点 B ，
A (-1,0)，
B (4,0 )，
C (0,2 )．点
D 是点 C 关于原点的对称C 点A ，联结 B D ，点
E 是 x 轴上的
E （2）如果点 D 在此抛物线上，D
F ⊥OA ，垂足为 F ，DF 与线段 AB 相交于点
G ，
且 S
?ADG : S
?AFG
= 3 : 2 ，求点 D 的坐标．
y
(2015 二模 长宁)24．（本题满分 12 分）
B
C
C 是线段 AB 上一点(不与 A 、B 重合)，过点 C 作 C
D ⊥x 轴于点 D ，并交抛物线于点 P .
（1）若点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点，求点 P 的坐标；
（2）若直线 AP 交 y 轴负半轴于点 E ，且 AC =CP ，求四边形 OEPD 的面积 S 关于 t 的
函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于 2S 时 ，求 t 的值.
y
动点之直角、等腰三角形存在性
D
O x
(2015 二模 普陀 ) 如图
10，在平面直角坐标系
xOy 中，二次函数的图像经过点 P
B
一个动点，设点 E 的坐标为(m , 0)，过点 E 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 P ．
第 24 题
（1）求这个二次函数的解析式；
图
（2）当点E 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 Q ．当四边形CDQP 是平行四边形
时，求 m 的值；
（3）是否存在点 P ，使△ B DP 是不以 BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写
出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
y y
(2015二模松江)24．（本题满分12分，每小题各4分）
C C
如图，二次函数y=-x2+bx的图像与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与
A O
B x A O B x
y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图像交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图像的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；
（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．
动点之梯形
(2015二模徐汇)24．如图，在平面直角坐
中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x
点A（－1，0）和点B（3，0），D为抛物线的
直线AC与抛物线交于点C（5，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，且?AEC和?AED相似，求点E的坐标；标系轴交于顶点，
（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成
求点F的坐标．
其他
直角梯形，且面积为16，试
（
(2015 二模 闵行)24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）
如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 2ax - 4 与 x 轴相交于 A 、B 两点，
与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的坐标为（-3，0）．点 D 在线段 AB 上，AD = AC ．
（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；
（2）如果以 DB 为半径的圆 D 与圆 C 外切，求圆 C 的半径；
（3）设点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 BC 上．如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分，求
BN 的值． CN
(2015 二模 浦东)24． 本题满分 12 分，其中第（1）
小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分） 已
知：如图，直线 y =kx +2 与 x 轴的正半轴相交于点 A
（t ,0）、与 y 轴相交于点 B ，抛物线 y = - x 2 + bx + c 经
过点 A 和点 B ，点 C 在第三象限内，且 AC ⊥AB ，tan∠ACB = 1 ．
2
（1）当 t =1 时，求抛物线的表达式；
（2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；
（3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t
2020-2-8
的值．