第三节 平面向量的数量积与平面向量应
用举例
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹角．
(2)范围：0°≤∠AOB ≤180°.
(3)向量垂直：∠AOB ＝90°时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量垂直．
2．平面向量的数量积 (1)射影的定义
设θ是a 与b 的夹角，则|b |cos θ叫作b 在a 方向上的射影(或投影)． (2)平面向量数量积的定义
已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b .
(3)数量积的几何意义
a 与
b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影|b |·cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a |＝a ·a |a |＝
x 21＋y 2
1
数量积
a ·
b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角
cos θ＝a ·b |a ||b | cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21
·x 22＋y 22
a ⊥
b 的充要条件 a ·b ＝0
x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |
|x 1x 2＋y 1y 2|
≤
x 2
1＋y 21
·x 22＋y 2
2 (1)a·b ＝b·a (交换律)；
(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (分配律)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )
(2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝c .( )
(4)在四边形ABC D 中，AB →＝D C →且AC →·B D →＝0，则四边形ABC D 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝? ????12，32，BC →＝? ????32，12，则∠ABC ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
A [因为BA →＝? ????12，32，BC →＝? ????
32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为
BA →·BC →＝|BA →||BC →
|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又
0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.]
3．(·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]
4．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的射影为________．
－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的射影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.]
5．(·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. －23 [∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，∴x ＝－2
3.]
平面向量数量积的运算
是边AB ，BC 的中点，连接D E 并延长到点F ，使得D E ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )
A ．－58 B.18 C.14 D.11
8
(2)已知正方形ABC D 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则D E →·CB →
的值为________；D E →·D C →的最大值为________.
【导学号：57962208】
(1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF →＝A D →＋D F →
. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，
且D E ＝2EF ，所以A D →＝12AB →，D F →＝12AC →＋14AC →＝34AC →
， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，
则AF →·BC →＝? ????12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)
＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →
＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →
|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.
(2)法一：以射线AB ，A D 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D(0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则D E →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以D E →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.
因为D C →＝(1,0)，所以D E →·D C →
＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故D E →·D C →的最大值为1.
法二：由图知，无论E 点在哪个位置，D E →在CB →
方向上的射影都是CB ＝1，所以D E →·CB →＝|CB →
|·1＝1，
当E 运动到B 点时，D E →在D C →
方向上的射影最大，即为D C ＝1，
所以(D E →·D C →)ma x ＝|D C →|·1＝1.]
[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．
[变式训练1] (1)已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D(4,5)，则向量AB →在C D →
方向上的射影为( )
A ．－32
2 B ．－
3 5 C.322
D ．3 5
(2)(·南宁二次适应性测试)线段A D ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则A D →·BE →＝( )
A ．－32 B.32 C ．－332 D.33
2
(1)C (2)A [(1)因为点C (－1,0)，D(4,5)，所以C D ＝(5,5)，又AB →
＝(2,1)，所以向量AB →在C D →
方向上的投影为
|AB →|cos 〈AB →，C D →
〉＝AB →·C D →|C D →|
＝1552＝322.
(2)由等边三角形的性质得|A D →|＝|BE →|＝3，〈A D →，BE →〉＝120°，所以A D →·BE →
＝|A D →||BE →|cos 〈A D →，BE →〉＝3×3×? ??
??
－12＝－32，故选A.] 平面向量数量积的性质
(1)(·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且
a ⊥(a －2
b )，则|b |＝( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.
【导学号：57962209】
(1)B (2)5 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B.
(2)∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)， ∵λa ＋b ＝0. ∴??
?
λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，
即?????
cos θ＝－2
λ，sin θ＝－1
λ.
由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.] ?角度2 平面向量的夹角
(1)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )
A.π
6 B ．π3 C.2π3
D ．5π6
(2)已知平面向量a ，b 的夹角为120°，且a ·b ＝－1，则|a －b |的最小值为 ( )
【导学号：57962210】
A. 6 B ． 3 C. 2
D ．1
(1)B (2)A [(1)由|a ＋b |＝|a －b |两边平方得，a ·b ＝0，由|a －b |＝2|a |两边平方得，3a 2＋2a ·b －b 2＝0，故b 2＝3a 2，则(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝a 2，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则有cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 22a 2＝12
，故θ＝π3.
(2)由题意可知：－1＝a ·b ＝|a |·|b |cos 120°，所以2＝|a |·|b |≤|a |2＋|b |2
2.即|a |
2
＋|b |2≥4，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＋2≥4＋2＝6，
所以|a －b |≥ 6.]
?角度3 平面向量的垂直
(·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1
3，
若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )
A ．4
B ．－4 C.9
4
D ．－94
B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×1
3＋|n |2＝0， 解得t ＝－4.故选B.]
[规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b
|a |·
|b |，要注意θ∈[0，π]． 2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ?a ·b ＝0?|a －b |＝|a ＋b |.
3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.
平面向量在平面几何中的
应用
已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，
E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：A D ⊥CE .
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y ).
2分
∵D 是BC 的中点，∴D ? ?
???0，a 2.
4分
又∵AE →＝2EB →
，即(x －a ，y ) ＝2(－x ，a －y )，
∴???
x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . 8分
∵A D →＝? ????0，a 2－(a,0)＝? ??
??－a ，a 2，
OE →＝CE →＝? ????a 3，23a ，
∴A D →·CE →
＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－13a 2＋13a 2
＝0. 10分 ∴A D →⊥CE →
，即A D ⊥CE .
12分
[规律方法] 平面几何问题中的向量方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
[变式训练2] 在平行四边形ABC D 中，A D ＝1，∠BA D ＝60°，E 为C D 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.
【导学号：57962211】
1
2 [设AB 的长为a (a >0)，
因为AC →＝AB →＋A D →，BE →＝BC →＋CE →＝A D →－12AB →，
于是AC →·BE →＝(AB →＋A D →)·? ????A D →－12AB →＝12AB →·A D →－12AB →2＋A D →2
＝－12a 2＋14a ＋1， 故－12a 2＋14a ＋1＝1，解得a ＝1
2， 所以AB ＝1
2.]
[思想与方法]
1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
4．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0.
[易错与防范]
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．
3．在求向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
一、多选题 1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()1 2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D
20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5
一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ） A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一：对于非零向量→ →b a ,，“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得 → → =a b λ D 若存在实数λ，使得→ → =a b λ，则→ → → → =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线， 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→ →21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数 k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP += 则（ ） A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示) 例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
2016年高考数学理试题分类汇编 平面向量 一、选择题 1、（2016年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 2、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos
4、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点， 连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811 【答案】B 5、（2016年全国II 高考）已知向量(1,)(3,2)a m a =-， =，且()a b b ⊥+，则m =（） （A ）－8（B ）－6（C ）6（D ）8 【答案】D 6、（2016年全国III 高考）已知向量13(, )2BA =,31(,),2 BC =则∠ABC= (A)300(B)450(C)600(D)1200 【答案】A 二、填空题 1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是 . 【答案】[0,12]+ 2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足=++j i OA ，则点P 落在第一象限的概率是.