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高等数学基础作业3答案

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第4章 导数的应用
（一）单项选择题

⒈若函数)(xf满足条件（D），则存在),(ba，使得abafbff)()()(．
A. 在),(ba内连续 B. 在),(ba内可导
C. 在),(ba内连续且可导 D. 在],[ba内连续，在),(ba内可导
⒉函数14)(2xxxf的单调增加区间是（D ）．
A. )2,( B. )1,1(
C. ),2( D. ),2(
⒊函数542xxy在区间)6,6(内满足（A ）．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降
C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数)(xf满足0)(xf的点，一定是)(xf的（C ）．

A. 间断点 B. 极值点
C. 驻点 D. 拐点
⒌设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，),(0bax，若)(xf满足（ C ），则)(xf在

0
x
取到极小值．
A. 0)(,0)(00xfxf B. 0)(,0)(00xfxf
C. 0)(,0)(00xfxf D. 0)(,0)(00xfxf
⒍设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，且0)(,0)(xfxf，则)(xf在此区间内
是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的

（二）填空题
⒈设)(xf在),(ba内可导，),(0bax，且当0xx时0)(xf，当0xx时
0)(xf，则0x是)(xf
的 极小值 点．
⒉若函数)(xf在点0x可导，且0x是)(xf的极值点，则)(0xf 0 ．
⒊函数)1ln(2xy的单调减少区间是)0,(．
⒋函数2e)(xxf的单调增加区间是),0(
⒌若函数)(xf在],[ba内恒有0)(xf，则)(xf在],[ba上的最大值是)(af．
⒍函数3352)(xxxf的拐点是 x=0 ．
（三）计算题
⒈求函数2)5)(1(xxy的单调区间和极值．
解： ])5)[(1()5(])1[(22xxxxy
)5)(1(2)5(2xxx
)1-)(5(3xx
令0y，得驻点5,1xx．
列表（见右列表）： 在)1,(上0y，在)5,1(上0y，在),5(上0y．由此可知函数y在)1,(和),5(上单调增加，在)5,1(上单调减少．1x是极大值点，极大值为32)1(y，5x是极小值点，极小值为0)5(y． ⒉求函数322xxy在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值． 解：)1(222xxy 令0y，得驻点1x．在)1,(上0y，在),1(上0y．所以1x是极小值点．此时有6)3(,2)1(,3)0(fff，所以最大值为6，最小值为2． ⒊求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短． 解： 设曲线上的点为),(yx，则该点到点)0,2(A的距离为 22)0()2(yxd d与2d有相同的最小值点 222)2(yxd 因为xy22，所以 422)2(222xxxxd 22)(2xd 令0)(2d，得1x，容易验证该点是最小值点。此时 2y 即曲线上的点)2,1(与点)2,1(到点)0,2(A的距离最短． ⒋圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 222Lrh 圆柱体的体积公式为 hrV2 将222hLr代入得 hhLV)(22 求导得 )3())(2(22222hLhLhV 令0V得Lh33，并由此解出Lr36。即当底半径Lr36，高Lh33时，圆柱体的体积最大. ⒌一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设圆柱体的底半径为r，高为h，则表面积为 rhrSπ2π22 因为Vhr2π，即2πrVh，所以 x )1,( 1 (1,5) 5
),5(
y

+ 0 - 0 +

y
单调上升 32(极大值) 单调下降 0（极小值） 单调上升

L
r
VrS2
π2
2


2
2π4rV
rS

令0S，得3π2Vr，容易验证该点是最小值点。此时
3
2
π

4πVrV
h

即圆柱体的底半径3π2Vr与高3π4Vh时表面积最小．
⒍欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设正方形的底边为x，高为y，则表面积为

xyxS42

因为5.622yx，即25.62xy，所以

x
xS2502

2
250
2xxS

令0S，得5x，容易验证该点是最小值点。此时
5.2255.62y
即正方形的底边为5x，高为5.2y时用料最省．
（四）证明题
⒈当0x时，证明不等式)1ln(xx．
证：设)1ln()(xxxF，有

xxxxF11
1
1)(

显然，当0x时，0)(xF，所以)(xF单调增加，由此可得
)0()(FxF
因为
0)01ln(0)0(F

所以
0)(xF

即
0)1ln(xx

由此得
)1ln(xx

⒉当0x时，证明不等式1exx．
证：设)1(e)(xxFx，有
1e)(xxF
显然，当0x时，0)(xF，所以)(xF单调增加，由此可得
)0()(FxF
因为
0)10(e)0(0F
所以
0)(xF
即
0)1(ex
x

由此得
1ex
x

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高等数学基础作业答案之欧阳语创编

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高等数学基础第一次作业点评1第1章函数 第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y =⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+=D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. xx sin B. x1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f xx =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是．}33{>-≤x x x 或⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→x x x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是．0=x⒍若A x f xx =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为．无穷小量三计算题 ⒈设函数 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。

高等数学基础作业答案

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高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续(一)单项选择题⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等.A 、 2)()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f =,x x g =)(C 、 3ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称.A 、 坐标原点B 、 x 轴C 、 y 轴D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ).A 、 )1ln(2x y += B 、 x x y cos =C 、 2xx a a y -+= D 、 )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ).A 、 1+=x yB 、 x y -=C 、 2xy = D 、 ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的就是( D ).A 、 12lim 22=+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0=+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量.A 、 x x sinB 、 x 1C 、 xx 1sin D 、 2)ln(+x点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。

A 、 )()(lim 00x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C 、 )()(lim 00x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim .21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ,在0=x 处连续,则=k .e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点就是 .0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(称为 .无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求:)1(,)0(,)2(f f f -.解:2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评:求分段函数的函数值主要就是要判断那一点就是在哪一段上。

高等数学基础作业答案

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高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中.（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =.x x g =)( B. 2)(x x f =.x x g =)(C. 3ln )(x x f =.x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f .11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞.则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时.变量（ C ）是无穷小量．A. xxsin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ）.则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(.则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x .在0=x 处连续.则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0.则当0x x →时.A x f -)(称为 ．无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。

高等数学基础形成性作业及答案1-4

高等数学基础形成性作业及答案1-4

⾼等数学基础形成性作业及答案1-4⾼等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（⼀）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A.2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(xx f =，x x g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D.x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A.)1ln(2x y += B. x x y cos =C.2x x a a y -+=D.)1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A.1+=x y B. x y -=C.2xy = D.,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A.12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是⽆穷⼩量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满⾜（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A.)()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C.)()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（⼆）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是()+∞,3．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke ．⒌函数?≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为时的⽆穷⼩量0x x →。