2017-2018年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题为．2．（5分）复数（1+i）2（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为．3．（5分）抛物线x2=8y的准线方程为．4．（5分）函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为．5．（5分）双曲线的渐近线的方程为．6．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．7．（5分）若“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=．9．（5分）已知，若（a ∈N*），则a=．10．（5分）已知双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为．11．（5分）P为椭圆上一点，Q（2，0），则线段PQ长度的最小值为．12．（5分）若函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是．13．（5分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆Γ上，且，则当λ∈[2，3]时，椭圆的离心率的取值范围为．14．（5分）已知函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数z1=1﹣i，z2=4+6i．（1）求；（2）若复数z=1+bi（b∈R）满足z+z1为实数，求|z|．16．（14分）已知p：∀x∈R，x2﹣ax+a＞0；q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若p为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，且q为真命题，求实数a的取值范围．17．（14分）（1）当x＞1时，求证：；（2）已知x∈R，a=x2﹣x+1，b=4﹣x，c=x2﹣2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．18．（16分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元．设f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．19．（16分）已知椭圆的离心率为，左顶点为A（﹣2，0），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于B，C两点，其中点B在第二象限，过点B作x轴的垂线交AC于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线BC的斜率为时，求△ABD的面积；（3）试比较AB2与AD•AC大小．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣lnx（x＞0）的最小值为m．（1）设g（x）=f'（x），求证：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求证：m＞2；（3）求函数h（x）=e x﹣e m lnx的最小值．2017-2018学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题为若x2＞0，则x＞0．【分析】根据逆命题的定义，交换条件和结论即可．【解答】解：由逆命题的定义得逆命题为：若x2＞0，则x＞0；故答案为：若x2＞0，则x＞0；【点评】本题主要考查四种命题关系的应用，根据逆命题的定义是解决本题的关键．比较基础．2．（5分）复数（1+i）2（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（0，2）．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵（1+i）2=1+2i+i2=2i，∴复数（1+i）2在复平面上对应的点的坐标为（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3．（5分）抛物线x2=8y的准线方程为y=﹣2．【分析】根据抛物线的方程，可得抛物线开口向上且2p=8，由此算出=2，即可得到该抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为x2=8y，∴抛物线开口向上，2p=8，可得=2．因此抛物线的焦点为（0，2），准线方程为y=﹣2．故答案为：y=﹣2【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．4．（5分）函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为．【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率．【解答】解：函数f（x）=sinx的导数为f′（x）=cosx，可得函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为cos=，故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是关键，属于基础题．5．（5分）双曲线的渐近线的方程为．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a=4，b=3，其焦点在x轴上，其双曲线的渐近线方程为：；故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线渐近线方程的求法．6．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．【分析】椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1，能够类比推断出过双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程．【解答】解：∵椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．∴类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆过其上一点的切线方程和双曲线过其上一点的切线方程的类比，考查简单的类比推理等基础知识，考查归纳总结能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．7．（5分）若“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由|x﹣m|≤2得﹣2≤x﹣m≤2，得m﹣2≤x≤m+2，∵“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，∴[﹣1，1]⊆[m﹣2，m+2]，即，即，即﹣1≤m≤1，故答案为：[﹣1，1]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系进行转化是解决本题的关键．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=4．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程计算可得抛物线的准线方程，分析可得P到准线的距离也为4，则有2﹣（﹣）=4，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=2px的准线为x=﹣，若抛物线上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则P到准线的距离也为4；则有2﹣（﹣）=4，解可得p=4，故答案为：4【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意利用抛物线的定义进行转化．9．（5分）已知，若（a ∈N*），则a=63．【分析】根据题意，依次分析3个式子，可得有=n成立，进而由，可得a=82﹣1=63，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于第一个式子=2，有=2，对于第二个式子=3，有=3，对于第三个式子=4，有=4，分析可得：有=n，若，则a=82﹣1=63；则a=63；故答案为：63；【点评】本题考查归纳推理的应用，关键是分析各个式子，得到变化的规律．10．（5分）已知双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为10．【分析】根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；由双曲线的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，计算可得双曲线的离心率，由双曲线的定义可得d′的值，进而由双曲线的第二定义可得=，解可得d的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；双曲线的方程为，其中a=5，b=12，则c==13，则双曲线的离心率e==，若双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则P到右焦点的距离d′=16+2a=26，又由双曲线的离心率e==，则有=，解可得：d=10，即点P到右准线的距离为10；故答案为：10．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的第二定义，关键是理解双曲线的第二定义并运用其分析本题．11．（5分）P为椭圆上一点，Q（2，0），则线段PQ长度的最小值为．【分析】设P点坐标，利用两点之间的距离公式及二次函数的性质，即可求得线段PQ长度的最小值．【解答】解：设P（4cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π]，则|PQ|2=（4cosθ﹣2）2+（2sinθ）2，=16cos2θ﹣16cosθ+4+4sin2θ，=4（3cos2θ﹣4cosθ+2），令cosθ=t，t∈[﹣1，1]，|PQ|2=4（3t2﹣4t+2）=12（x﹣）2+，∴当t=时，|PQ|取最小值，最小值为，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程，同角三角函数的基本关系，考查二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．12．（5分）若函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是（，+∞）．【分析】y′=+2ax﹣（2a+1）=，（a＞0），令y′=0，得x=1或．依题意，解得；【解答】解：y′=+2ax﹣（2a+1）=，（a＞0），令y′=0，得x=1或．∵函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，∴，解得；故答案为：（，+∞）【点评】本题考查了函数的极值，属于中档题．13．（5分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆Γ上，且，则当λ∈[2，3]时，椭圆的离心率的取值范围为．【分析】由AF1⊥F1F2，求得A，根据向量的共线定理即可求得B点坐标，将B 代入椭圆方程，根据λ的取值范围，即可求得离心率的取值范围．【解答】解：由，则AF1⊥F1F2，则A（﹣c，），设B（x，y），，则（2c，﹣）=λ（x﹣c，y），∴，解得：，则B（，﹣），将B代入椭圆方程：+=1，整理得：c2（λ2+4λ+3）=a2（λ2﹣1），由e=，则==1+4×，由λ∈[2，3]，则2≤≤4，则3≤≤5，e∈（0，1]，则≤e≤，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率的求法，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．14．（5分）已知函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围为．【分析】讨论a=0，a＞0，a＜0，运用导数，转化为不等式恒成立，求得二次函数的最值，即可得到所求范围．【解答】解：当a=0时，f（x）=x3﹣4在[1，2]递增，显然成立；当a＞0时，f（x）=x3﹣4﹣2ax，导数为f′（x）=x2﹣2a≥0，在[1，2]恒成立，可得2a≤1，即有0＜a≤；当a＜0时，y=|2ax+4|的对称轴为x=﹣，当2ax+4≥0时，即为x≤﹣，f′（x）=x2﹣2a≥0，可得2a≤x2，显然成立；当2ax+4＜0时，即为x＞﹣，f′（x）=x2+2a≥0，可得2a≥﹣x2，可得2a≥﹣，解得a≥﹣，综上可得﹣≤a≤．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查导数的运用，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于难题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数z1=1﹣i，z2=4+6i．（1）求；（2）若复数z=1+bi（b∈R）满足z+z1为实数，求|z|．【分析】（1）把z1=1﹣i，z2=4+6i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）利用复数代数形式的加法运算求得z+z1，再由虚部为0求得b值，然后利用复数模的计算公式求得|z|．【解答】解：（1）∵z1=1﹣i，z2=4+6i，∴；（2）∵z=1+bi（b∈R），∴z+z1=2+（b﹣1）i，又∵z+z1为实数，∴b﹣1=0，得b=1．∴z=1+i，则．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，训练了复数模的求法，是基础的计算题．16．（14分）已知p：∀x∈R，x2﹣ax+a＞0；q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若p为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，且q为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据p是真命题结合一元二次不等式恒成立的性质进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：（1）∵∀x∈R，x2﹣ax+a＞0∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4（2）∵方程﹣=1表示双曲线∴4﹣a2＞0，解得﹣2＜a＜2∵p为假命题，且q为真命题∴，∴﹣2＜a≤0．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．17．（14分）（1）当x＞1时，求证：；（2）已知x∈R，a=x2﹣x+1，b=4﹣x，c=x2﹣2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．【分析】（1）根据作差法即可证明（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c ＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．【解答】证明：（1）∵x＞1，∴（x﹣1）2＞0，x2＞0，x2+x+1＞0∴（2）假设a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3①而a+b+c=2x2﹣4x+5=2（x﹣1）2+3≥3②①与②矛盾故a，b，c至少有一个不小于1．【点评】本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．18．（16分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元．设f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【分析】（1）根据题意，分析可得有，整理变形，指明函数的定义域即可得答案；（2）由（1）的结论，对f（x）求导，分析可得f（x）在[2，5]上单调递减，在[5，8]上单调递增，据此分析可得当x=5时，f（x）取得最小值，计算即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和，则有，整理得，（2≤x≤8）（2）由f'（x）≥0得x≥5所以f（x）在[2，5]上单调递减，在[5，8]上单调递增故当x=5时，f（x）取得最小值150．答：（1）（2）宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f（x）最小，最小值为150万元．【点评】本题考查导数的应用，涉及函数的最值的求法，求出函数的解析式时要指明函数的定义域．19．（16分）已知椭圆的离心率为，左顶点为A（﹣2，0），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于B，C两点，其中点B在第二象限，过点B作x轴的垂线交AC于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线BC的斜率为时，求△ABD的面积；（3）试比较AB2与AD•AC大小．【分析】（1）由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的标准方程；（2）求得BC的方程，代入椭圆方程，求得B和C点坐标，求得AC的方程，即可求得D点坐标，即可求得△ABD的面积；（3）方法一：设AB的方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，即可求得|AB|，根据对称性，，求得|AD|，由点B在第二象限，所以，于是有AB2＜AD•AC；方法二：直线AC的方程为，则，分别求得|AD|及|AC|，作差法即可AB2＜AD•AC．【解答】解：（1）因为左顶点为A（﹣2，0），所以a=2，因为椭圆的离心率为e=，解得，又因为b2=a2﹣c2，所以b2=1，故所求椭圆的标准方程为（2）因为直线BC过原点，且斜率为所以直线BC的方程为，代入椭圆方程，解得，因为A（﹣2，0），所以直线AC的方程为，从而有，故△ABD的面积等于；（3）方法一：设直线AB的方程为y=k（x+2），k＞0，整理得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，设B（x1，y1），则有，解得从而|AB|=|﹣（﹣2）|=，由椭圆对称性可得C（﹣x1，﹣y1），所以，于是，故，，从而所以因为点B在第二象限，所以，于是有AB2＜AD•AC；方法二：设点B（x0，y0），则点C（﹣x0，﹣y0），因为A（﹣2，0），所以直线AC的方程为，所以从而，，=，，，从而有AB2＜AD•AC．【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及两点之间的位置关系，考查计算能力，属于难题．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣lnx（x＞0）的最小值为m．（1）设g（x）=f'（x），求证：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求证：m＞2；（3）求函数h（x）=e x﹣e m lnx的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可；（2）求出导函数的零点，得到f（x）的最小值，根据基本不等式的性质证明即可；（3）求出函数的导数，求出函数的最小值，得到最小值的取值即可．【解答】解：（1）∵∴g（x）在（0，+∞）上单调递增（2）由（1）可知f'（x）在（0，+∞）上单调递增∵∴f'（x）存在唯一的零点，设为x0，则x0且当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0从而f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减所以f（x）的最小值∵∴∴x0=﹣lnx0∴（当且仅当x0=1时取等号）∵x0∴m＞2（第二问也可证明e x≥x+1，lnx≤x﹣1，从而得到m＞2）（3）同（1）方法可证得h'（x）在（0，+∞）上单调递增∵m＞2∴∴h'（x）存在唯一的零点，设为x1，则x1∈（1，m）且所以h（x）的最小值为∵∴∴x1=m﹣lnx1，即m=x1+lnx1由（2）可知∴x1+lnx1=∵y=x+lnx在（0，+∞）上单调递增∴所以h（x）的最小值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查基本不等式的性质的应用以及转化思想，是一道综合题．。

2017～2018 学年度第二学期月度检测高二数学试题(理科)一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 一组数据8 ,12 ,10,11,9的均值__________．【答案】10【解析】分析：根据平均数的计算公式求解即可得到结论．详解：由题意得所求平均数为点睛：本题考查样本平均数的概念及求法，考查学生的计算能力，属于容易题．2. __________．【解析】分析：由极坐标方程得到圆的半径，然后根据圆面积公式计算可得结果．∴圆的半径为2，点睛：本题考查极坐标方程，解题的关键是正确理解方程的含义、得到圆的半径，同时也考查学生的运算能力．3. 某校高二年级1000名学生中,400人250人250人型的有100人.为了研究血型与色弱之向的关系,要从中抽取1个容量为100的样本,型血的学生中抽取__________________________人.【答案】40生中抽取的人数．详解：由题意可得应按照分层抽样的方法抽取样本，，型血的学生中抽取的人数为点睛：对于总体中的个体具有明显差异的总体来说，抽样时可用分层抽样．分层抽样即在每个层中按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比等于总体中各层的数量之比．4. 为了了解某校学生一学期内的课外阅读情况,,所得（单位: 小时), 其频率分布直方图如图所示.的频数为100,__________．【答案】500【解析】分析：由题意得到数据在[125,150)内的频率，根据频率、频数和样本容量间的关系可得所求．详解：由频率分布直方图可得，数据在[125,150)点睛：解答本题时注意两点：一是在频率分布直方图中，小长方形的面积才表示该组的频率；二是求解时要注意频率、频数和样本容量间的关系，由题意正确列式求解．5. 如图所示是一个算法的伪代码,其运行的结果__________．【答案】25详解：由题意可得，运行的结果为点睛：解答本题的关键是读懂题意，明确求解的问题，然后再根据题意求解即可，主要考查学生的阅读理解能力和运算能力．6. ,若第三项和第七项的系数相等,．【答案】8∵第三项和第七项的系数相等，解得．点睛：本题考查二项展开式的通项和组合数的性质，解题的关键是正确得到通项，同时也考查学生对组合数的运算能力．7. 甲、乙、丙三人射击同一目标,,现在三人射击该目标各一次, 则目标被击中的概率为__________．〈用数字作答)【解析】分析：根据独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式求解即可．详解：由题意得，甲、乙、丙三人射击同一目标都未击中的概率为所以甲、乙、丙至少一人击中的概率为点睛：解答概率问题的关键是认清概率的类型、选择合适的公式求解，对于含有“至多”、“至少”等词语的问题一般可根据对立事件的概率求解，可减少运算量、提高解题的效率．8. , 2.5 ,__________．，解得．点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．9. 气象台统计, 6月1,__________．【解析】分析：根据条件概率的定义求解即可．点睛：条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，10. -1,则该展开式中的常数项为__________．【答案】-672-1，可得，即展开式的常数项为．程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程可得结果．11. ，，，1、2、3、4的一个全排列,则这样的排列有__________．【答案】9【解析】经分析知这四个自然数的和为6,分情况讨论:①当四个自然数为1,1,1,3时的值分别为2,3,4,1和4,1,2,3两种情况,②当四个自然数为1,1,2,2时的值分别为2,4,1,3和3,1,4,2两种情况,③当四个自然数为1,2,3,0时的值分别为2,4,1,3和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3共4种情况,当四个自然数为0,0,3,3时的值分别为4,2,3,1.④当四个自然数为0,2,2,2时,没有符合的.故这样的排列共有种情况.结果为非负数，1,2,3,4的一个全排列,所以每一个绝对值结果为自然数且它们的和为6, 1,1,1,3或1,1,2,2或1,2,3,0或0,0,3,3.每一个绝对值的结果不超过3.分类要做到不重不漏.12. __________．【答案】100的来源分为分为两类求解即可．详解：分两种情况求解：（1）从4（2）从4个括号中选择3所以展开式中点睛：求三项式的展开式中特定项的系数时，可按照以下两种思路进行：（1）化为二项式后，再根据二项展开式的通项公式求解；（2）根据组合的方法“凑”出所求项，再根据要求求解．13. 从甲乙丙等10名学生中选派4人参加某项活动,若甲入选则乙一定入选,若甲不入选则丙一定入选,则共有__________种选派方案.【答案】84【解析】分析：分甲入选和甲不入选两种情况求解．详解：分两种情况求解．（1）当甲入选时，由题意可得乙一定入选，另外2人可从剩余的8方案；（2）甲不入选时，由题意得丙一定入选，另外3人从剩余的8人中选取，点睛：使用分类加法计数原理时注意两点：（1）根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；（2）分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法．14. 已知集合別是上述每一个子集内所有元素的乘积,,规定其积等于该元素本身),．【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为5【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题．二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 已知矩阵（1）求实数的值;（2）求矩阵.【答案】(1)3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1（2，得矩阵别求其相应的特征向量.试题解析：（1（2）由（1）知令，得矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为的属于特征值4的一个特征向量为16. 已知函数(1)O, 1, 2, 3, 4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率;(2),.【答案】【解析】试题分析：.，，，，(2)由几何概型的计算公式可得试题解析：解：（10，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为个.因为事件“，，，”的概率为（2上任取的一个数，，即，此为几何模型，”的概率为点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.17. ,.己知为（)..(1)求点的直角坐标;(2);(3)【答案】【解析】分析：（1）由极坐标和直角坐标间的转化关系可得结论．（2）根据转化公式可得曲线C D的普通方程．（3P到直线的距离后可得三角形的面积．详解：（1∴点的直角坐标为．（2的参数普通方程（3到直线点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．参数方程与普通方程间的互化，常用的方法是根据合适的方法消去参数即可．18. 如图,4的正方形(1);(2)求二面角;(3)证明:上存在点.【答案】【解析】分析：建立空间直角坐标系．（1）根据线面角的向量求法求解即可．（2）求出两平面的法向量，求出两法向量的夹角的余弦值后再结合图形得到所求．（3）设详解：（1，，则所以直线与平面所成角的正弦值为（2）设平面，则，由（1由图形知二面角（3是直线上一点，且所以在线段点睛：求线面角时注意所求角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，下结论时注意转化．在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要结合图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得到所求．19. 从侧面都是正三角形的正四棱锥的8条棱中随机选两条,.(1)(2)的分布列,并求其数学期望【答案】【解析】分析：（1）根据古典概型概率求解．（2出对应的概率后可得分布列，进而可得期望．详解：（1）从正棱锥的8①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法．（2）依题意的所有可能取值为4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法，所以的分布列为点睛：（1）解答本题的关键是根据几何图形得到然后再结合古典概型概率公式求解．（2）求分布列时注意分布列性质的运用，以提高计算的效率．20. 2的子集中,把每个子集的较大元素较小元素之和记为(1),(2)求证:.【答案】(2)证明见解析.【解析】分析：（1时，写出集合2的子集，然后结合题意求解即可．（2再根据所有两元素集合的元素和为，进而得详解：（1的所有元素个数为2的子集为，，（2．点睛：本题以集合为载体考查组合数的运算及应用，解题的关键是深刻理解根据集合的有关知识求解，在解题过程中注意组合数性质的运用．。

江苏省泰州第二中学2017-2018年秋学期高二实战训练一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的．．．．．．位置上．．．． 1．双曲线22197y x -=的焦点坐标为 ． 2．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e＝2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为3．双曲线过点、，则双曲线的标准方程为 ． 4．化简方程(x-2)2+y 2 -(x+2)2+y 2=，使结果不含根式，则方程为 5．已知椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率为 6．已知双曲线()22210y x m m-=>的一条渐近线方程为0x =，则m =______． 7．双曲线一个焦点F （5，0）到渐近线的距离为4，则其渐近线方程为8．已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF x ⊥轴．若14PF AF =，则该椭圆的离心率是______．9．双曲线与双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则=10．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则的取值范围是11．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 ．12. 圆过椭圆22143x y +=的右顶点和右焦点，圆心在此椭圆上，那么圆心到椭圆中心的距离是____________. 13．设P是椭圆上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于A 、B 两点，直线PA 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，且，则的值为 ．14． 如图，点F A ,分别是椭圆22221x y a b +=上顶点和右焦点，直线AF 与椭圆交于另一点B ，过中心O 作直线AF的平行线交椭圆于D C ,两点，若CD AB =，则椭圆的离心率为 .二．解答题（请解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将正确答案填写在答题纸的对应位置．．．．．．．．，本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知方程22142x y m m-=-+（1）若方程表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2，求实数m 的值．16．（本小题满分14分）若椭圆22110x y m +=与双曲线221y x b-=有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P y ⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆及双曲线的方程.17. （本小题满分15分）已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(2,0)-是它的一个焦点，并(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点(0,1)M ，(1,1)N -,设00(,)P x y 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，求NP MQ ⋅的取值范围．18．（本小题满分15分）已知椭圆C 的离心率e ＝，长轴的左右两个端点分别为),0,2(1-A 2(2,0)A ； （1）求椭圆C 的方程; （2）点M 在该椭圆上，且021=⋅MF MF ，求点M 到y 轴的距离；（3）过点且斜率为１的直线与椭圆交于两点，求的面积．19．（本小题满分16分）已知椭圆的离心率，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与以MN 为直径的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．20．（本小题满分16分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点()1,0F F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设,AB CD 的中点分别为,M N ．（1）求椭圆的方程； （2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦,AB CD 的斜率均存在，求FMN ∆面积的最大值．。

2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12 B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣13．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1D ．x 216+y 225=14．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．325．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ） A ．4B ．1C ．12D ．146．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+1898．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1210．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√212．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 ．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 ． 15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为 ．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）设∁n =(a n+4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°解：因为直线√3x −3y −2=0的斜率为√33，故直线的倾斜角为30°．故选：C ．2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣1解：根据题意，抛物线的标准方程为y 2＝2x ，则其焦点在x 轴正半轴上，且p ＝1，则其准线方程为x =−12， 故选：C ． 3．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1 D ．x 216+y 225=1解：双曲线x 216−y 29=1，双曲线的焦点（±5，0），则椭圆的顶点（±5，0），双曲线顶点为（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），可得a ＝5，c ＝4，则b ＝3， 所以椭圆方程为：x 225+y 29=1．故选：B ．4．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．32解：因为正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5， 所以a 4•a 6＝6，a 4+a 6＝5，解得a 4＝3，a 6＝2，a 5a 7=a 4a 6=32．故选：D ．5．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．14解：由题意可设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），P （x ，y ）， 则m 2﹣n 2＝6，x 2﹣y 2＝6， 即有y 2﹣n 2＝x 2﹣m 2， 即y 2−n 2x 2−m 2=1，由k P A =y−nx−m ，k PB =y+nx+m ，可得k P A •k PB =y 2−n 2x 2−m 2=1，而k P A ＝2，所以k PB =12． 故选：C ．6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m解：取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则C （4，﹣4），设抛物线方程x 2＝﹣2py （p ＞0），将点C 代入抛物线方程得p ＝2， ∴抛物线方程为x 2＝﹣4y ， 行车道总宽度AB ＝6m ，∴将x ＝3代入抛物线方程，y ＝﹣2.25m ， ∴限度为6﹣2.25﹣0.5＝3.25m ． 故选：C ．7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26 B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+189解：由题意，可知新数列{a n }为：在每项都为1的常数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间等比数列{2n }的前n 项， 故新数列{a n }：1，21，1，21，22，1，21，22，23，1，21，22，23，24，… 可将数列{a n }进行分组，第1组为1，21，共2项， 第2组为1，21，22，共3项， 第3组为1，21，22，23，共4项， 第4组为1，21，22，23，24，共5项，… 第n 组为1，21，22，…，2n ，共n +1项， ∴前n ﹣1组一共有2+3+4+…+n ＝（1+2+3+4+…+n ）﹣1 =n(n+1)2−1项， ∵当n ＝63时，63×642−1＝2015＜2023，当n ＝64时，64×652−1＝2079＞2023，∴a 2023在数列{a n }的第64组的第2023﹣2015＝8个， ∴a 2023＝28﹣1＝27，故选项A 错误；同理，a 2024在数列{a n }的第64组的第2024﹣2015＝9个， 故a 2024＝29﹣1＝28，故选项B 错误；∴S 2023＝a 1+a 2+…+a 2023＝（1+21）+（1+21+22）+（1+21+22+23）+...+（1+21+...+262）+（1+21+ (27)=1−221−2+1−231−2+1−241−2+⋯+1−2631−2+1−281−2＝（22﹣1）+（23﹣1）+（24﹣1）+…+（263﹣1）+（28﹣1）＝（22+23+24+…+263）﹣62+28﹣1=22−2641−2−62+256﹣1＝264+189，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ．8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8解：由题意设P （n 24，n ），A （﹣2，0），B （2，0），|PB||PA|=√(n 24−2)2+n 2√(n 24+2)2+n 2=√n 416+4n 416+4+2n 2=√1+n 216+4n 2，当n 216+4n2取得最小值时，|PB||PA|取得最小值，n 216+4n 2≥2√n216⋅4n 2=1，当且仅当n 216=4n2，即n =±2√2时，取等号．此时P （2，±2√2），则点P 到坐标原点的距离为：√4+8=2√3． 故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：因为l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0，可得l 2与l 3相交， 联立{3x −2y −5=06x +y −5=0，解得x ＝1，y ＝﹣1，即两条直线的交点（1，﹣1），且l 2的斜率为k 2=32，直线l 3的斜率k 3＝﹣6，要使三条直线不能围成三角形，则l 1∥l 2或l 1∥l 3或直线l 1过（1，﹣1）， 所以−3m =32或−3m =−6或3×1+m （﹣1）﹣1＝0，解得m ＝﹣2或m =12或m ＝2． 故选：ABC ．10．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列解：A ．若{a n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ，为常数，则{A n }是等差数列，故A 正确，B ..若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ， 即{a n }的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，则整体{a n }不一定是等差数列，故B 错误，C ．若{a n }是等比数列，设公比为q ，则当q ＝﹣1时，A n ＝a n +a n +1＝0，则{A n }不是等比数列，故C 错误，D …若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，a 2n ﹣a 2（n ﹣1）＝a 2n ﹣a 2n ﹣2＝2d ，则{a 2n }都是等差数列，故D 正确， 故选：AD ．11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√2解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x ，y ）， 则x 1+x 2＝2x ，y 1+y 2＝2y ，∵x 12+y 12=9，x 22+y 22=9，∴x 12+x 22+y 12+y 22=18，即(x 1+x 2)2−2x 1x 2+(y 1+y 2)2−2y 1y 2=18，∴x 1x 2+y 1y 2＝2x 2+2y 2﹣9①， ∵点P （4，0）满足的P A ⊥PB ， ∴PA →⋅PB →=0，∵PA →=(x 1−4，y 1)，PB →=(x 2−4，y 2)，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+y 1y 2＝0，即x 1x 2+y 1y 2＝4（x 1+x 2）﹣16＝8x ﹣16②， 结合①②可得，2x 2+2y 2﹣9＝8x ﹣16，即(x −2)2+y 2=12，（另解：设AB 的中点M （x ，y ），由OM ⊥AB ，可得OM 2+MB 2＝OB 2， 而MP ＝MA ＝MB ，即OM 2+MP 2＝OB 2， 即x 2+y 2+（x ﹣4）2+y 2＝9， 化为（x ﹣2）2+y 2=12），故中点M 的轨迹方程为(x −2)2+y 2=12，圆心为（2，0），半径为√22，则|OM |的最大值为√(2−0)2+(0−0)2+√22=2+√22， 则|OM |的最小值为√(2−0)2+(0−0)2−√22=2−√22， ∴|OM |的取值范围为[2−√22，2+√22]．故选：AC ．12．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|解：设|QF 2|＝t ，则|PF 2|＝2t ，|PF 1|＝2t +2a 0，|QF 1|＝t +2a 0，在△PF 1Q 中，由余弦定理|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， 得(t +2a 0)2=(2t +2a 0)2+9t 2−2(2a 0+2t)⋅3t ⋅cos60°， 化简得a 0＝3t ，|PF 1|＝2t +2a 0＝8t ＝4|PF 2|，D 正确； 又2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝10t ， 所以a ＝5t ， 又|QF 1|＝t +2a 0＝7t ，则△PF 1Q 的周长为8t +3t +7t =18t =185a ，A 错误； △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得4c 2＝（8t ）2+（2t ）2﹣2×8t ×2t ×cos60°， 所以c =√13t ，因此双曲线的离心率为e 1=c a 0=√13t 3t =√133，B 正确；椭圆的离心率为e 2=c a =√13t 5t =√135，C 正确，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 4√3 ．解：∵双曲线的方程为x 2m 2+8−y 24−m 2=1，∴a 2＝m 2+8，b 2＝4﹣m 2，（m 2＜4）， ∴c 2＝a 2+b 2＝12，∴c ＝2√3， ∴双曲线的焦距为2c ＝4√3． 故答案为：4√3．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 27 ．解：作出与已知直线平行且与圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9相切的直线， 切点分别为P 1、P 2，如图所示：则动点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动时，若C 与点P 1重合时， △ABC 面积达到最小值；而C 与点P 2重合时，△ABC 面积达到最大值， ∵直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A （4，0）、B （0，3）两点， 可得|AB |=√42+32=5，∴△ABC 面积的最大值和最小值之和为：S =S △ABP 2+S △ABP 1=12|AB |（d 2+d 1）=52（d 2+d 1）， 其中d 2、d 1分别为点P 2、点P 1到直线AB 的距离， ∵P 1、P 2是圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9的两条平行切线， 设圆心到直线的距离为d ，∴点P 2、点P 1到直线AB 的距离之和等于2d ，即d 2+d 1＝2d ＝2×|15+4×6−12|√3+4=542，因此△ABC 面积的最大值和最小值之和为52（d 2+d 1）=52×542=27．15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为57．解：依题意，由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ， 则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝sin ∠F 1PQ =|PQ||PF 1|=57， 故答案为：57．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是500243，至少需要前 8 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．解：根据题意，设第n 个正方形的边长为a n ，则a 1＝3，∵每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ∴A 2B 1=23a 1，B 1B 2=13a 1， 又由∠A 2B 1B 2＝90°，∴A 2B 2=√A 2B 12+B 1B 22=√49a 12+19a 12=√53a 1， 即a 2=√53a 1，同理可得a n+1=√53a n ， 即数列{a n }是首项为3，公比为√53的等比数列， ∴a 7=a 1×(√53)6=3×125729=125243，∴第7个正方形的周长是4a 7=500243， ∵a n =a 1×(√53)n−1=3×(√53)n−1，∴第n 个正方形的面积为a n 2=9×(59)n−1，∴前n 个正方形的面积之和S ＝9[1+59+(59)2+⋯+(59)n−1]＝9×1×[1−(59)n]1−59=814[1﹣（59）n ]， 令814[1−(59)n ]＞2得，(59)n ＜181， 两边取常用对数得，nlg 59＜lg181，变形可得：n ＞lg81lg9−lg5=4lg32lg3−lg5≈7.48， 故至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：500243；8．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．解：（1）因为该双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54， 所以{2a =8e =c a=54， 解得a ＝4，c ＝5， 则b 2＝c 2﹣a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 216−y 29=1；（2）当双曲线焦点在x 轴上时， 因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{ba =22b =4，解得a ＝1，b ＝2，则双曲线的标准方程为x 2−y 24=1； 当双曲线焦点在y 轴上时，因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{a b =22b =4，解得a ＝4，b ＝2， 则双曲线的标准方程为y 216−x 24=1．综上所述，双曲线的标准方程为x 2−y 24=1或y 216−x 24=1．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．解：（1）∵边AC 上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0 ∴k AC •k BH ＝﹣1， ∴k AC ＝﹣2，∵△ABC 的顶点A （5，1），∴直线AC 方程；y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0 与2x ﹣y ﹣5＝0联立，{2x +y −11=02x −y −5=0，解得：{x =4y =3．∴顶点C 的坐标为（4，3）．（2）∵CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，设点M （m ，2m ﹣5）∵M 是AB 中点，A （5，1）， ∴B （2m ﹣5，4m ﹣11）∵B （2m ﹣5，4m ﹣11）在BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0上 ∴2m ﹣5﹣2（4m ﹣11）﹣7＝0， 解得：m =53， 所以B(−53，−133)， ∴BC 的方程为：y −3=2217(x −4)， 即22x ﹣17y ﹣37＝0．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 解：（1）不妨设A （x ，y ）， 因为点A 在抛物线上， 所以y 2＝2px （p ＞0），因为点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9， 所以AF =9+p2=12， 解得p ＝6；（2）由（1）知抛物线C ：y 2＝12x ，焦点F （3，0）， 此时直线l 的方程为y ＝x ﹣3，联立{y 2=12x y =x −3，消去y 并整理得x 2﹣18x +9＝0，此时Δ＝182﹣4×9＞0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝18，则|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+p ＝18+6＝24．20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．解：（1）由a n a n+1=16n ，a 1=2，可得a 2＝8， 由a n+1a n+2=16n+1，又a n a n +1＝16n ， 上面两式相除得：a n+2a n=16，可得数列{a n }的奇数项和偶数项均为公比为16的等比数列， 则a 2k =8×16k−1=24k−1，即a n =22n−1， a 2k−1=2×16k−1=24k−3，即a n =22n−1， 综上所述，{a n }的通项公式为：a n =22n−1； （2）由题设及（1）可知：b n ={22n−1，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，S 2n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+⋯+b 2n ） ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 1+2+b 3+4+b 5+6+⋯+b 2n ﹣1+2n ）＝2（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（2+4+6+⋯+2n ）＝2（21+25+29+⋯+24n ﹣3）+（2+4+6+⋯+2n ）=2×2(1−16n )1−16+n(2n+2)2=4(16n−1)15+n(n +1)．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）设∁n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）数列{a n }的首项为a 1，公差为d 的等差数列，数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2， 整理得：{a 1+2d =2a 1+d +1S 3=3a 1+3×22d =a 1+3d +2，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝2n ﹣1．递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． 所以公比q ＞1．利用2×(b 1q)⬚=b 1+(b 1q 2−4)，解得q ＝3或﹣1（﹣1舍去）， 故b n =3n−1，（2）由（1）得：令c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1， 所以T n =1×30+3×31+...+(2n −1)⋅3n−1①， 3T n =1×31+3×32+...+(2n −1)⋅3n ②，①﹣②得：−2T n =1+2×[3×(3n−1−1)3−1]−(2n −1)⋅3n ，故T n =(n −1)⋅3n +1． （3）由于C n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1=2n+3(n 2+n)⋅3n =1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，所以A n =11×30−12×31+...+1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n =1−1(n+1)⋅3n ， 由于A n ≥λn+1恒成立， 即1−1(n+1)⋅3n ≥λn+1恒成立， 故λ≤n +1−13n ， 由于函数f （x ）=x +1−13x 为增函数，故f(x)min =f(1)=2−13=53， 所以λ≤53， 故λ的最大值为53．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围． 解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0）， 可得{c a =2√23a =3a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =1，c =2√2，故椭圆C 的标准方程为：x 29+y 2＝1；（2）直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29， 由（1）得：x 29+y 2＝1，因为直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，由题可知，直线l 斜率为0时，k 1k 2＞0，所以直线l 的斜率不为0， 设直线l ：x ＝my +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my +n x 29+y 2=1，得（m 2+9）y 2+2mny +n 2﹣9＝0， 所以Δ＝4m 2n 2﹣4（m 2+9）（n 2﹣9）＝36（m 2﹣n 2+9），且y 1+y 2=−2mn m 2+9，y 1•y 2=n 2−9m 2+9， 所以k 1k 2=y 1x 1+3⋅y 2x 2+3=y 1y 2(my 1+n+3)(my 2+n+3)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=n 2−99(n+3)2=n−39(n+3)=−29，解得n ＝﹣1，此时Δ＝36（m 2+8）＞0恒成立，所以直线l 的方程为x ＝my ﹣1，直线l 过定点（﹣1，0）， 此时y 1+y 2=2m m 2+9，y 1y 2=−8m 2+9， 所以|PQ|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2⋅√4m 2(m 2+9)2+32m 2+9=6√(m 2+1)(m 2+8)m 2+9，令t ＝m 2+9≥9， 所以|PQ|=6√(t−8)(t−1)t 2=6√8t2−9t +1， 令u =1t，则t ∈（0，19]，故|PQ |＝6√8u 2−9u +1在(0，19]上单调递减， 故|PQ |的取值范围为[4√23，6）．。