2007年华中科技大学附属中学数学试卷

2007 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共 4 页，满分150 分，考试时间120 分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试卷卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上指定地点 .2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．答在试卷卷上无效．3．将填空题和解答题用 0.5 毫 M 的黑色墨水署名笔或黑色墨水钢笔挺接答在答题卡上每题对应的答题地区内．答在试卷卷上无效．4．考试结束，请将本试卷卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．假如，，，那么（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．假如的睁开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（）Ａ． 10Ｂ． 6Ｃ． 5Ｄ． 3４．函数的反函数是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．为了认识某学校学生的身体发育状况，抽查了该校100 名高中男生的体重状况，依据所得数据画出样本的频次散布直方图如右图所示．依据此图，预计该校2000 名高中男生中体重要于 70.5 公斤的人数为（）A ． 300B． 360C． 420D． 450体重7．将 5 本不一样的书全发给 4 名同学，每名同学起码有一本书的概率是（）A ．B．C．D．8．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A ． 1B．C．D．9．设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（）A ．B．C．D．10．已知是的充足条件而不是必需条件，是的充足条件，是的必需条件，是的必需条件，现有以下命题：①是的充要条件；②是的充足条件而不是必需条件；③是的必需条件而不是充足条件；④是的必需条件而不是充足条件；⑤是的充足条件而不是必需条件．则正确命题的序号是（）A ．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡相应地点上．2/1311．设变量知足拘束条件则目标函数的最小值为．12．过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为 ______．13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球 10 次，恰巧投进 3 个球的概率为．（用数值作答）（毫克）15．为了预防流感，某学校正教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物开释过程中，室内每立方M 空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物开释完成后，与的函数关系式为（为常数），如下图，依据图中供给的信息，回答以下问题：（I ）从药物释松开始，每立方M 空气中的含药量（毫克）与（小时）时间（小时）之间的函数关系式为．（II ）据测定，当空气中每立方M 的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释松开始，起码需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分 12 分）已知函数，．（I ）求的最大值和最小值；（II ）若不等式在上恒成立，务实数的取值范围．17．（本小题满分12 分）如图，在三棱锥中，，，是的中点，且Ｖ，．（I ）求证：平面平面；Ｃ（II ）试确立角的值，使得直线与平面所成的角为．AＢＤ18．（本小题满分12 分）某商品每件成本9元，售价为 30 元，每礼拜卖出432 件，假如降廉价钱，销售量能够增加，且每礼拜多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低 2 元时，一礼拜多卖出24 件．（I ）将一个礼拜的商品销售收益表示成的函数；（II ）怎样订价才能使一个礼拜的商品销售收益最大？19．（本小题满分12 分）设二次函数，方程的两根和知足．（I ）务实数的取值范围；（II ）试比较与的大小．并说明原因．20．（本小题满分13 分）已知数列和知足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I ）证明：；（II ）若，证明数列是等比数列；（III ）乞降：．21．（本小题满分14 分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）订交于两点．（I ）若点是点对于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（ II ）能否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明原因．yC BAxON（本题不要求在答题卡上绘图）2007 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试卷参照答案一、选择题：本题考察基础知识和基本运算．每题 5 分，满分50 分．1．Ａ2．Ｄ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ7．Ａ8．Ｃ9．Ｂ10．Ｂ二、填空题：本题考察基础知识和基本运算．每题 5 分，满分25 分．11．12． 813． 314．15．；三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分．16．本小题主要考察三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．17．本小题主要考察线面关系、直线与平面所成角的相关知识，考察空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学识题的能力．解法 1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．连结，于是就是直线与平面所成的角．依题意，因此在中，；在中，，．，．故当时，直线与平面所成的角为．解法 2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，成立如下图的空间直角坐标系，则，于是，，，．进而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．（Ⅱ）设平面的一个法向量为，z则由．V得CB y 可取，又，DAx于是，即，．故友时，直线与平面所成的角为．解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，成立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．进而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则由，得V可取，又，于是，C yBDx即．A故友时，即直线与平面所成角为．18．本小题主要考察依据实质问题成立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实质问题的能力．解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个礼拜的赢利为，则依题意有，又由已知条件，，于是有，因此．（Ⅱ）依据（Ⅰ），我们有．21200极小极大故时，达到极大值．由于，，因此订价为元能使一个礼拜的商品销售收益最大．19．本小题主要考察二次函数、二次方程的基天性质及二次不等式的解法，考察推理和运算能力．解法 1：（Ⅰ）令，则由题意可得．故所务实数的取值范围是．（II），令．当时，单调增加，当时，，即．解法 2：（ I）同解法1．（II ），由（I）知，．又于是，即，故．解法 3：（ I）方程，由韦达定理得，，于是．故所务实数的取值范围是．（II ）依题意可设，则由，得，故．20．本小题主要考察等比数列的定义，通项公式和乞降公式等基本知识及基本的运算技术，考察剖析问题能力和推理能力．解法 1：（ I）证：由，有，．（II ）证：，，，．是首项为5，以为公比的等比数列．（III ）由（ II ）得，，于是．当时，．当时，．故解法 2：（ I）同解法1（I）．（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III ）由（ II ）的近似方法得，，，．．下同解法1．21．本小题主要考察直线、圆和抛物线等平面解读几何的基础知识，考察综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法 1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得11 / 13yB．由韦达定理得，．于是．，当，．（Ⅱ）假定知足条件的直线存在，其方程为，设的中点为，与为直径的圆订交于点，的中点为，则，点的坐标为．y，BC，l AO xN，．令，得，此时为定值，故知足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．解法 2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得．12/13进而，当时，．（Ⅱ）假定知足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则．设直线与以为直径的圆的交点为，则有．令，得，此时为定值，故知足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．13/13。

2007年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（文理合卷）高中高考模拟湖北 2007年1036一、选择题：本大题共l0小题，每小题3分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 复数z=(1−i)2i等于（ ）A.−2B.2C.2iD.−2i2. （文）若A、B是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是（ ）A.∅∈A∩BB.∅=A∩BC.∅⊆A∩BD.∅⊊A∩B3. 在等差数列{a n}中，a1⋅a3=8，a2=3，则公差d=( )A.1B.−1C.±1D.±24. 在△ABC中，∠C=90∘，若AC=3，BC=4，则cos(A−B)的值为（ ）A.35B.45C.2425D.7255. （文）若tanα=2，则tan(π4+α)的值为（ ）A.3B.−3C.13D.−136. 一条直线与平面所成的角为θ (0<θ<π2)，则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是（ ）A.π2B.πC.π−θD.θ7. （文）若一条直线与平面所成的角为π3，则此直线与这个平面内任意一条直线所成角的取值范围是（ ）A.[π3,π2]B.[π3,2π3]C.[π3,π]D.[0,π3]{x≤ax+y≥0x −y+4≥0（a为常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（ ）8. 在平面直角坐标系中，不等式组A.3√2+2B.−3√2+2C.−5D.1{x+y≥0x−y+4≥0x≤1表示的平面区域面积是（ ）9. 在平面直角坐标系中，不等式组A.3B.6C.92D.910. 如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1,−√3)，那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A.(0,2π3]B.[0,π2)∪[2π3,π)C.[0,π2]∪[2π3,π)D.[π2,2π3]11. （文）如果函数f(x)=x 2−bx +2在闭区间[−1,2]上有反函数，那么实数b 的取值范围（ ）A.(−∞,2]B.(−∞,−4]∪[2,+∞)C.[−2,+∞)D.(−∞,−2]∪[4,+∞)12. 直线MN 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右支分别交于M 、N 点，与双曲线的右准线相交于P 点，F 为右焦点，若|FM|=2|FN|，又→NP =λ→PM(λ∈R)，则实数λ的值为（ ）A.12B.2C.13D.313. 平面上点P 与不共线三点A ，B ，C 满足关系式：→PA +→PB +→PC =→AB ，则下列结论正确的是( )A.P 在CA 上，且→CP =2→PAB.P 在AB 上，且→AP =2→PBC.P 在BC 上，且→BP =2→PCD.P 点为△ABC 的重心14. 已知函数f(x)=2√x +√4−x ，则函数f(x)的值域为（ ）A.[2,4]B.[0,2√5]C.[4,2√5]D.[2,2√5]15. （文）两直线√3x +y −2=0 和y +a =0的夹角为（ ）A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘16. △ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30∘和45∘的角，且面ABC 与α成60∘的二面角，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A.1B.13C.2√23D.1或13二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共25分．把答案填在题中横线上．17. 二项式(x2−2x )9展开式中1x 的系数为________．18. （文）把一枚硬币投掷5次，恰好2次出现正面的概率为________．19. 数列{x n }的通项x n =(−1)n+1，前n 项和为S n ，则lim n →∞S 1+S 2+…+S n n =________．20. 不等式x +12x +1−|x|≥1的解集为________．21. 不等式2x +1|x|≥0的解集为________．22. 一个五位数由数字0，1，1，2，3构成，这样的五位数的个数为________．23. 过定点P(1,4)作直线交抛物线C:y =2x 2于A 、B 两点，过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M ，则点M 的轨迹方程为________．24. （文）一过定点P(0,1)的直线l 截圆C ：(x −1)2+y 2=4所得弦长为2√2，则直线l 的倾斜角α为________．三、解答题：本大题共10小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 已知函数f(x)=√3sin4xcos2x +asin 2x 在x =π6时取到最大值．（1）求函数f(x)的定义域；（2）求实数a 的值．26. （文） 已知函数f(x)=√3sin4xcos2x −4sin 2x ．（1）求函数f(x)的定义域和最大值；（2）求函数f(x)的单调增区间．27.如图，在边长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 中点，（1）求二面角E −A 1C 1−D 1的平面角的余弦值；（2）求四面体B −A 1C 1E 的体积．（3）（文） 求E 点到平面A 1C 1B 的距离（4）（文）求二面角B −A 1C 1−B 1的平面角的余弦值．28. 一袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球，若从这只袋中每次取出1个球，取出后放回，连续取三次，设取出的球中数字最大的数为ξ．（1）求ξ=3时的概率；（2）求ξ的概率分布列及数学期望． 29. 一袋中装有分别标记着1，2，3，4，5数字的5个球，①从袋中一次取出3个球，试求3个球中最大数字为4的概率；②从袋中每次取出一个球，取出后放回，连续取3次，试求取出的3个球中最大数字为4的概率．30. 已知直线l:y =2x −√3与椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >1)交于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过椭圆C 的右顶点A ．（1）设PQ 中点M(x 0,y 0)，求证：x 0<√32；（2）求椭圆C 的方程．31. （1）已知函数m(x)=ax 2e −x (a >0)，求证：函数y =m(x)在区间[2,+∞)上为减函数．（2）已知函数f(x)=ax 2+2ax ，g(x)=e x ，若在(0,+∞)上至少存在一点x 0，使得f(x 0)>g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．32. 已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d 有两个极值点x 1=1，x 2=2，且直线y =6x +1与曲线y =f(x)相切于P 点．（1）求b 和c（2）求函数y =f(x)的解析式；（3）在d 为整数时，求过P 点和y =f(x)相切于一异于P 点的直线方程．33. 已知点(a n ,a n−1)在曲线f(x)=√()x 上，且a 1=1．（1）求f(x)的定义域；（2）求证：14(n +1)23−1≤1a 1+1a 2+…+1a n ≤4(n +1)23−1(n ∈N ∗)（3）求证：数列{a n}前n项和S n≤(3n+2)3√n2−32(n≥1,n∈N∗)34. （文）设数列{a n}的前n项和S n=nn+1，n=1，2，3…(1)求数列{a n}的通项公式a n．(2)求数列{1a n}的前n项和T n．。

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2007届高三阶段检测数学试题（本卷满分150分，考试时间为120分钟）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸相应的表格内）1．若I 为全集，集合M 、N 、P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ）（A ）)(P N M ⋃⋂ （B ）)(N C M I ⋂ （C ）)(N C M C P I I ⋂⋂ （D ）)()(P M N M ⋂⋃⋂2．下列判断正确的是 （ ） （A ）x 2≠y 2⇔x ≠y 或x ≠－y ; （B ）命题：“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a +b 不是偶数， 则a ,b 都不是偶数”;（C ）若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题;（D ）命题“若0=ab ，则b a ,中至少有一个为零”的否命题是假命题.3. 已知:1,:1||x p x q x>>，则p 是q 的 （ ） （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件4．设20.34log 4,log 3,0.3a b c -===,则,,a b c 的大小关系是 （ ） （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b a c << 5．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 （ ） （A（B（C ）4 （D ）86．方程lg 3x x +=的解所在区间为 （ ） （A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,3 （D ）()3,+∞7．函数3221x e y -⋅=π的部分图象大致是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）8．已知定义在R 上的偶函数f （x ）的单调递减区间为［0，+∞)，则不等式)2()(x f x f -<的解集是 （ ） （A ）(1，2) （B ）(2，＋∞)（C ）(1，＋∞)（D ）(－∞，1)9．已知函数)(x f 满足：()()()20f x f x x R ++=∈,则下列结论正确的是 （ ） （A ）函数)(x f 的图象关于直线1x =对称;（B ）函数)(x f 的图象关于点（1,0）对称; （C ）函数(1)f x +是奇函数; （D ）函数)(x f 是周期函数.10．设A 、B 是非空集合，定义},|{B A x B A x x B A I Y ∉∈=⨯且，已知 B A x y y B R y x x x y x A x x⨯>-==∈-==则)},0(122|{},,,2|{2等于 （ ）（A ）),2(]1,0[+∞Y （B ）),2()1,0[+∞Y （C ）[0，1] （D ）[0，2]第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答题纸相应题中的横线上．11. 若函数()()02≠++=a c bx ax x f ，且()0f x >的解集为()2,1-，则2cx bx a ++>的解集为 12．函数⎪⎭⎫⎝⎛≠-≠++=31,13a a x a x x y 的反函数就是它本身，那么=a ___ 13．若函数⎩⎨⎧<>-=0),(0,32x x f x x y 是奇函数，则)(x f = 。