垂径定理
副标题
一、选择题(本大题共4小题,共12.0分)
1.如图所示,的半径为13,弦AB的长度是24,,垂
足为N,则
A. 5
B. 7
C. 9
D.
11
【答案】A
【解析】解:由题意可得,
,,,
,
,
故选A.
根据的半径为13,弦AB的长度是24,,可以求得AN的长,从而可以求得ON的长.
本题考查垂径定理,解题的关键是明确垂径定理的内容,利用垂径定理解答问题.
2.如图,AB是的直径,弦于点E,,
的半径为5cm,则圆心O到弦CD的距离为
A.
B. 3cm
C.
D. 6cm
【答案】A
【解析】解:连接CB.
是的直径,弦于点E,
圆心O到弦CD的距离为OE;
同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半,
,
;
在中,
,,
.
故选A.
根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE;由圆周角定理知,已知半径OC的长,即可在中求OE的长度.
本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不
会综合运用所学知识解答问题,不知从何处入手造成错解.
3.如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若,
,则的半径为
A. 5
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】解:连结OA,如图,设的半径为r,
,
,
在中,
,,,
,解得.
故选C.
连结OA,如图,设的半径为r,根据垂径定理得到,再在中利用勾股定理得到,然后解方程求出r即可.
本题考查了的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
4.如图,线段AB是的直径,弦CD丄AB,,
则等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解:线段AB是的直径,弦CD丄AB,
,
,
,
.
故选:C.
利用垂径定理得出,进而求出,再利用邻补角的性质得出答案.此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识,得出的度数是解题关键.
二、解答题(本大题共2小题,共16.0分)
5.如图,在四边形ABCD中,,,AD
不平行于BC,过点C作交的外接圆O
于点E,连接AE.
求证:四边形AECD为平行四边形;
连接CO,求证:CO平分.
【答案】证明:由圆周角定理得,,又,
,
,
,
,
,
四边形AECD为平行四边形;
作于M,于N,
四边形AECD为平行四边形,
,又,
,
,又,,
平分.
【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键.
根据圆周角定理得到,得到,根据平行线的判定和性质定理得到
,证明结论;
作于M,于N,根据垂径定理、角平分线的判定定理证明.
6.如图,AB为直径,C为上一点,点D是的中
点,于E,于F.
判断DE与的位置关系,并证明你的结论;
若,求AC的长度.
【答案】解:与相切.
证明:连接OD、AD,
点D是的中点,
,
,
,
,
,
,
,
,
与相切.
连接BC交OD于H,延长DF交于G,
由垂径定理可得:,,
,
,
弦心距,
是直径,
,
,
是的中位线,
.
【解析】先连接OD、AD,根据点D是的中点,得出,进而根据内错角相等,判定,最后根据,得出DE与相切;
先连接BC交OD于H,延长DF交于G,根据垂径定理推导可得,
再根据AB是直径,推出OH是的中位线,进而得到AC的长是OH长的2倍.
本题主要考查了直线与圆的位置关系,在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,通常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似,求得AC的长.