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《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。
研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。
关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。
建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。
第３３卷第１期２０１９年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３３N o ．１J a n ．２０１９收稿日期:２０１８Ｇ１０Ｇ２２作者简介:冯宇星(１９９４Ｇ),女,山西沁县人,在读硕士,研究方向:生物数学．E Ｇm a i l :１１４２３２２２０７＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０１９)０１Ｇ００１５Ｇ０５捕食者无密度制约的H o l l i n g Ⅲ型捕食系统的定性分析冯宇星(兰州交通大学数学系,甘肃兰州７３００７０)摘要:研究食饵种群具有L o g i s t i c 型密度制约但捕食者种群无密度制约的H o l i n g Ⅲ型捕食系统,利用等倾线的基本性质,分析了正平衡点的存在性,通过构造L y a p u n o v 函数给出了系统的全局渐近稳定性的充分条件,采用B e n d i x s o n 环域定理和张芷芬极限环唯一性定理,证明了该系统在某一特定的条件下存在唯一稳定的极限环,最后利用M a t l a b 通过数值模拟验证了理论分析的合理性．关键词:H o l l i n g Ⅲ型捕食系统;全局渐近稳定性;极限环;M a t l a b 中图分类号:O １７５．２６㊀㊀㊀文献标志码:A0㊀引言捕食Ｇ食饵在生态学中具有非常重要的意义,近年来倍受生物数学界的关注．１９５９年,数学家H o l l i n g 在实验的基础上,对不同类的物种提出了两种不同的功能反应函数,即H o l l i n g Ⅰ和H o l l i n g Ⅱ．相对于前两种H o l l i n g 型功能性反应函数,H o l l i n g Ⅲ型反应函数能更加准确地反映消耗率在不同资源密度下的变化情况,目前对前两种的研究比较多见[１Ｇ３],对于第三种功能反应函数模型的研究相对较少．文献[４]讨论了具有H o l l i n g Ⅰ型捕食系统平衡点的局部稳定性和全局稳定性,文献[５]讨论了具有H o l l i n g Ⅱ型捕食系统平衡点的全局稳定性和极限环的存在性．在此基础上,本文考虑一类捕食者无密度制约的H o l i n g Ⅲ型捕食系统,主要分析正平衡点的全局浙近稳定性,以及极限环的存在唯一性．1㊀模型的建立为了研究食饵在群体防御状态下捕食者与食饵之间的相,W o l k o w i c z [６]首次提出了食饵内部受密度制约β(x ,k )的捕食系统:d x d t＝x β(x ,k )－y m (x ),d y dt ＝y [－d ＋n (x )],ìîíïïïï(１)其中:x ㊁y 分别表示食饵与捕食者的种群密度;k 表示食饵的环境容纳量;d 是捕食者的死亡率．函数β(x ,k )表示食饵的相对增长率,函数m (x )㊁n (x )分别是捕食者的响应函数和食饵向捕食者的转化率,且一般情况下m (x )＝c n (x ),c 是转化系数,通常假设m (x )在[０,＋ɕ)上连续可微且满足m (０)＝０,m ᶄ(x )＞０,l i m x ң＋ɕm (x )＜＋ɕ．文献[６]研究了系统(１)极限环的存在性和奇异分支产生的条件,但并没有考虑到极限环的唯一性以及正平衡点的全局稳定性．现在将系统(１)具体化,取β(x ,k )为L o g i s t i c 型函数,β(x ,k )＝r １－x k æèçöø÷;取m (x )为H o l l i n g Ⅲ型功能反应函数,m (x )＝x ２１＋λx ２．研究系统如下:d x d t ＝r x １－x k æèçöø÷－x ２y １＋λx ２,d y dt ＝y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷．ìîíïïïï(２)根据生物意义,以上参数和函数均非负且系统仅在如下区域:R ２＋＝{(x ,y )|x ȡ０,y ȡ０}．2㊀平衡点的定性分析本节对系统(２)的平衡点进行定性分析,把系统(２)化成下面的形式:d x d t ＝x r １－x k æèçöø÷－x y １＋λx ２éëêêùûúúʒ＝㊀㊀M (x ,y ),d y d t ＝y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷ʒ＝N (x ,y )．ìîíïïïïïï(３)注意到M (x ,y )在x ＝０处不连续,但容易判断x ＝０是它的可去间断点,因此补充定义:当xң０时,y ң＋ɕ．这样系统(３)就等价于系统(２),系统(３)的平衡点应满足x r １－x k æèçöø÷－x y １＋λx ２éëêêùûúú＝０,y －d ＋c x ２１＋λx ２æèçöø÷＝０．ìîíïïïï(４)显然x ＝０,y ＝０,即O (０,０)是系统(３)的平衡点．下面利用等倾线的性质讨论系统(３)的非零平衡点．(i)食饵等倾线h １:y ＝r １－x k æèçöø÷(１＋λx ２)x．注意到,当x ң０时,y ң＋ɕ;当y ＝０时,x ＝k ．因此曲线h １在(０,k ]上是连续的．(i i)捕食者等倾线h ２:－d ＋c x ２１＋λx ２＝０．易知当c －d λ＞０时,x ＝dc －d λ＞０．根据等倾线h １和h ２的性质以及(４)知,系统(２)有平衡点M ０(k ,０)．当条件(H １):k ＞dc －d λ＞０成立时,等倾线h １和h ２相交于第一象限一点M １(x １,y １),其中０＜x １＜k ,y １＞０．定理１㊀若系统(２)满足条件(H １),则有(i )平衡点O (０,０)和M ０(k ,０)是系统(２)的鞍点,不稳定;(i i )若条件(H ２):r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２１)２＜０成立,则M １(x １,y １)是系统(２)稳定的结点或焦点;(i i i )条件(H ３):r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２１)２＞０成立,则M １(x １,y １)是系统(２)不稳定的结点或焦点．证明㊀系统(２)在平衡点(x ∗,y ∗)处的雅可比矩阵为J (x ∗,y ∗)＝r －２k x ∗－２x ∗y ∗(１＋λx ∗２)２－x ∗２１＋λx ∗２２c x ∗y ∗(１＋λx ∗２)２－d ＋c x∗２１＋λx ∗２æèççççöø÷÷÷÷,由(４)和条件(H １)可得d e t J (０,０)＝－d r ＜０,d e t J (k ,０)＝－r －d ＋c k ２１＋λk ２æèçöø÷＜０,故平衡点O (０,０)和M ０(k ,０)是系统(２)的鞍点,不稳定．再计算出J (x ∗,y ∗)在正平衡点M １(x １,y １)处的行列式和迹:d e t J (x １,y １)＝２c x ３１y １(１＋λx ２１)３,t r J (x １,y １)＝r －２k x １－２x １y １(１＋λx ２)２１．易知d e t J (x １,y １)＞０,故当满足条件(H ２)和(H ３)时结论成立．3㊀正平衡点的全局稳定性为了研究系统(２)正平衡点的全局渐近稳定性和极限环的存在唯一性,本文作如下变换:x ＝x １e u,y ＝y １e u,d t ＝１＋λx ２x ２d τ．仍用t 来表示τ,则可把系统(２)化为广义的L i e n a r d 系统:d u d t ＝－F (u )－φ(v ),d v dt ＝g (u )．ìîíïïïï(５)其中F (u )＝r [１＋λ(x １e u )２](k －x １eu)x １e uk,φ(v )＝y １e v,g (u )＝－d x １eu ＋c －λd x １e u．该变换把M １(x １,y １)变为uv 平面的原点O ᶄ(０,０)且６１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷Ω＝{(u ,v )|－ɕ＜u ＜＋ɕ,－ɕ＜v ＜＋ɕ}．定理２㊀若系统(５)在Ω上有定义且满足条件(H ２),当u ʂ０时,g (u )F (u )＞０,则系统(２)的正平衡点M １(x １,y １)全局渐近稳定．证明㊀根据文献[７]中的定理３．９,容易验证系统(５)不存在全部位于Ω中的闭轨线,构造L y a pu n o v 函数,V (u ,v )＝ʏu０g (u )d u ＋ʏv０φ(v )d v ．注意到φ(v )＞０,ʏu o g (u )d u ȡ０,因此V (u ,v )在Ω中正定及有无穷大下界且d V (u ,v )d t＝g (u )[－F (u )－φ(v )]＋φ(v )g (u )＝－g (u )F (u )ɤ０．集合{(u ,v )|g (u )F (u )＝０}中不包括系统(５)的非平凡正半轨线,因此O ᶄ(０,０)全局渐近稳定,从而系统(２)的正平衡点M １(x １,y １)全局渐近稳定．4㊀极限环的存在唯一性定理３㊀若条件(H ３)且条件(H ４):c ＞d k ,c r (c －λd ＋λk －d k )＋kr λd (d －λ)＜０成立,则系统(２)在第一象限存在唯一稳定的极限环．证明㊀先证极限环的存在性．作直线l １ʒx ＝k ,l ２ʒy ＝r １＋d λc －d k éëêêùûúú．系统(２)在第一象限内沿l １,l ２分别有d l １d tl １＝－k ２y １＋λk ２＜０,d l ２d tl ２＝r １＋d λc －d k éëêêùûúú－d ＋c x ２１＋λx ２éëêêùûúú＜[d ２λr (k －r )＋rc (c －kd )]x ２(c －d k )(１＋λx ２)．当条件(H ４)成立时有d l ２d t l ２＜０,则l １,l ２是系统(２)的无切直线．当轨线与l １相遇时,均从直线l １的右方穿入左方;当轨线与l ２相遇时,均从直线l ２的上方穿入下方,显然直线x ＝０,y ＝０是系统(２)的轨线,这样直线l １,l ２,x 轴,y 轴围成了环域D ,系统(２)的轨线都从环域边界∂D 穿入D ．当条件(H ３)成立时,M １(x １,y １)在D 内不稳定,由B e n d i x s o n 环域定理[８]可知系统(２)在D 内至少存在M １(x １,y １)的一个极限环．再证极限环的唯一性．在系统(５)中令F (u )＝ʏu０f (ξ)d ξ,则f (u )ʒ＝F ᶄ(u )＝r (k r x ２１e ２u －２λx ３１e ３u－k )k x １e u．下面利用张芷芬定理[８]验证L i e n a r d 系统极限环唯一性的条件:(１)当v ʂ０时,v φ(v )＞０;φ(＋ɕ)＝＋ɕ,φ(－ɕ)＝０;φ(v )ɪC (－ɕ,＋ɕ)单调递增且满足L i p s c h i t z 条件;φᶄ(０)＝m y １ʂ０．(２)当u ʂ０时,u g (u )＝u x １e uc m －d １－e －a x １e u æèçöø÷＞０,g (u )ɪC (－ɕ,＋ɕ)且满足L i p s c h i t z 条件;取G (u )＝ʏu０g (ξ)d ξ,则G (ʃɕ)＝＋ɕ;f (u )ɪC (－ɕ,＋ɕ)且满足L i ps c h i t z 条件．(３)令F (u )ʒ＝f (u )g (u)＝r (－k ＋r k x ２１e ２u －２λx ３１e ３u)k (c x １e u －d －λd x ２１e ２u )．记A (u )＝k (c x １e u －d －λd x ２１e ２u),B (u )＝r (－k ＋r k x ２１e ２u －２λx ３１e ３u)．则H ᶄ(u )＝A (u )B ᶄ(u )－A ᶄ(u )B (u )A ２(u )．因此要考虑H ᶄ(u )的符号,只需判断T (u )ʒ＝A (u )B ᶄ(u )－Aᶄ(u )B (u )的符号即可．结合条件(H ３)和(H ４),经过计算可知T (－ɕ)＝０,T ᶄ(u )ȡ０,从而T (u )ȡ０．因此H ᶄ(u )ȡ０,即f (u )/g (u )在(－ɕ,＋ɕ)内不下降且在u ＝０的邻域内部不恒为零．由张芷芬极限环唯一性定理的条件可知系统(５)存在唯一稳定的极限环,从而系统(２)在第一象限存在唯一稳定的极限环．７１第１期冯宇星:捕食者无密度制约的H o l l i n g Ⅲ型捕食系统的定性分析5㊀数值模拟下面用M a t l a b对系统(２)正平衡点的全局渐近稳定性进行数值模拟．取r＝０．６,k＝３,λ＝０ ７,d＝０．３,c＝０．８,且满足定理２,则M１(x１, y１)＝(０．６９,０．４６)．在平衡点附近任意取两个初值进行模拟,结果如图１所示．从图像可以看出,这些轨迹的极限点均为M１(x１,y１),因此M１(x１,y１)在第一象限全局渐近稳定．图１㊀当r＝０．６,k＝３,λ＝０．７,d＝０．３,c＝０．８时,系统(２)的相图,系统(２)的正平衡点(０．６９,０．４６)是全局渐近稳定的下面对系统(２)极限环的存在唯一性进行数值模拟．取r＝０．８,k＝４,λ＝０．３５,d＝０．１５,c＝０．７且满足定理３,则M１(x１,y１)＝(１．０９,０．９５)．在平衡点附近任意取两个初值进行模拟,结果如图２所示,从图像上可以看出极限环是唯一的．6㊀结束语本文对一类无密度制约且具有H o l i n gⅢ型的捕食系统进行了研究．首先利用等倾线的基本性质,分析了系统(３)正平衡点的存在性,同时采用定性理论得到了稳定性的条件;通过构造L y aＧp u n o v函数给出了系统的全局渐近稳定性的充分条件,采用B e n d i x s o n环域定理和张芷芬极限环唯一性定理,证明了该系统在定理３下存在唯一稳定的极限环,最后利用M a t l a b通过数值模拟验证了本文理论分析的合理性．图２㊀当r＝０．８,k＝４,λ＝０．３５,d＝０．１５,c＝０．７时,系统(２)的相图,系统(２)的正平衡点(０．０９,０．９５)是不稳定的,并在正平衡点周围产生了一个稳定的极限环参考文献:[１]刘南根．具H o l l i n g I型功能反应的食铒 捕食系统的极限环[J]．数学年刊:中文版,１９８８,９A(４):５４Ｇ６０．[２]苏华,戴斌祥．一类具有阶段结构的H o l l i n gⅡ型捕食系统的一致持久性[J]．经济数学,２００６,２３(３):２９３Ｇ２９６．[３]廖云洞,李波．一类离散的H o l l i n gＧI型捕食与被捕食系统的F l i p分岔[J]．数学理论与应用,２００９,２９(３):６２Ｇ６５．[４]王战伟,王彩霞．具R i c k e r增长率的H o l l i n gⅠ型捕食系统的性态分析[J]．高校应用数学学报,２００８,２３(２):１４０Ｇ１４４．[５]张丽．两类具有H o l l i n gⅡ型功能反应的捕食Ｇ被捕食系统的定性分析[D]．长沙:湖南大学,２００６．[６]WO L K OW I C Z G S K．B i f u r c a t i o n A n a l y s i s o fa P r e d a t o rＧP r e y S y s t e m I n v o l v i n g G r o u p D e f e n c e[J]．S i a mJ o u r n a l o n A p p l i e d M a t h e m a t i c s,１９８８,４８(３):５９２Ｇ６０６．[７]蔡燧林,钱祥征．常微分方程定性理论引论[M]．北京:高等教育出版社,１９９４．[８]马知恩,周义仓．常微分方程定性与稳定性方法[M]．北京:科学出版社,２００１．[责任编辑:赵慧霞] (下转第２５页)８１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷e a r s i z e Ｇs t r u c t u r e d p o p u l a t i o nd y n a m i c s [J ]．J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s a n dA p p l i c a t i o n s ,２００８,３４２(２):１３８８Ｇ１３９８．[５]雒志学,王绵森．具有年龄结构的线性周期种群动力系统的最优收获控制问题[J ]．数学物理学报,２００５,２５A (６):９０５Ｇ９１２．[６]赵春,王绵森,何泽荣,等．一类周期种群系统的适定性及最优控制[J ]．应用数学,２００４,１７(４):５５１Ｇ５５６．[７]孙宏雨,赵春．具有年龄结构两竞争种群系统的适定性和最优控制[J ]．应用数学学报,２０１０,３３(６):１０３７Ｇ１０４８．[８]何泽荣,刘荣,刘丽丽．周期环境中基于个体尺度的种群模型的最优收获策略[J ]．应用数学学报,２０１４,３７(１):１４５Ｇ１５９．[９]何泽荣,刘荣,刘丽丽．模拟周期环境和尺度结构的种群系统的最优收获率[J ]．数学物理学报,２０１４,３４(３):６８４Ｇ６９０．[１０]冯变英,李秋英．一类基于个体尺度的种群模型的适定性及最优不育控制策略[J ]．系统科学与数学,２０１６,３６(２):２７８Ｇ２８８．[责任编辑:赵慧霞]W e l l Ｇp o s e d n e s s o fC o m p e t i t i v eP o p u l a t i o nS ys t e m sw i t hS c a l e S t r u c t u r e i nP e r i o d i cE n v i r o n m e n tL I A N GL i Ｇy u ,HUY o n g Ｇl i a n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :I nt h i s p a p e r ,t h ew e l l Ｇp o s e d n e s so f c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o ns ys t e m w i t hs c a l es t r u c t u r e i n p e r i o d i c e n v i r o n m e n t i ss t u d i e d ．B y e s t a b l i s h i n g c o r r e s p o n d i n g h y p o t h e s e sa n da p p l y i n g th ek n o w l Ｇe d g e o fv o l t e r r a i n t e g r a l e q u a t i o na n do p e r a t o rs p e c t r a l r a d i u s ,t h eu n i q u e n e s so f t h ee x i s t e n c ea n d n o n Ｇn e g a t i v e o f t h es o l u t i o n so f c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o ns y s t e m sa r e p r o v e d ．F i n a l l y,t h e m o n o t o n i c r e s u l t s o f t h e s y s t e ms o l u t i o no nb i r t h r a t e a n dm o r t a l i t y ar e o b t a i n e d ．K e y wo r d s :p e r i o d i c e n v i r o n m e n t ;s c a l e s t r u c t u r e ;c o m p e t i t i v e p o p u l a t i o n ;w e l l Ｇp o s e d n e s s (上接第１８页)Q u a l i t a t i v eA n a l y s i s o fH o l l i n g ⅢP r e d a t o r Ｇp r e y S y s t e m w i t h o u tD e n s i t yR e s t r i c t i o no nP r e d a t o r sF E N GY u Ｇx i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,w es t u d y t h e p r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e m o fH o l l i n g Ⅲw i t hl o g i s t i cd e n s i t y co n Ｇs t r a i n t s b u tw i t h o u t d e n s i t y c o n s t r a i n t so f p r e d a t o r p o p u l a t i o n ．B y u s i n g t h eb a s i c p r o p e r t i e so f i s o Ｇc l i n e ,w e a n a l y z e t h e e x i s t e n c e o f p o s i t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t s ．B y c o n s t r u c t i n g L y a pu n o v f u n c t i o n ,w e g i v e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m．B y u s i n g B e n d i x s o n s r i n g f i e l d t h e o r e ma n dZ h a n g Z h e n g f e n s l i m i t c y c l eu n i q u e n e s s t h e o r e m ,w e p r o v e t h a t t h e s y s t e m h a s a u n i q u e s t a b l e l i m i t c y c l e u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s ．F i n a l l y ,t h e r a t i o n a l i t y o f t h e t h e o r e t i c a l a n a l ys i s i n t h i s p a p e r i s v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o nu s i n g Ma t l ab ．K e y wo r d s :H o l l i n g Ⅲp r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e m ;g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y ;l i m i t c y c l e s ;M a t l a b ５２第１期梁丽宇:周期环境中具有尺度结构的竞争种群系统的适定性。
海洋生态系统的生态平衡与稳定性海洋生态系统是地球上最大的生态系统之一，它涵盖了广阔的海域面积，包含着多种多样的生物群落和生物多样性。
在这个复杂而精密的生态系统中，生态平衡与稳定性的维持至关重要。
本文将探讨海洋生态系统的生态平衡和稳定性，并分析其中的关键因素。
海洋生态系统中的生态平衡指的是各种生物相互作用的相对稳定状态，其中包括能量流动、物质循环和种群间的相互关系。
海洋的生态平衡主要由食物网的形成和维持来实现。
食物网是海洋生态系统中各种生物通过捕食和被捕食的关系相互连接而成的复杂网络。
其中，浮游生物是海洋食物链的基础，它们通过光合作用吸收太阳能并转化为有机物质，为其他生物提供能量来源。
浮游生物被底层生物捕食后，再被大型海洋动物捕食，形成了食物链的层次结构。
食物链的稳定性对维持海洋生态系统的平衡至关重要。
在海洋生态系统中，种群的密度和多样性也是保持生态平衡的重要因素。
海洋物种之间存在相对平衡的种群密度，一种物种数量的增加会导致其食物来源减少，从而影响其他物种的生存。
例如，某一海洋生物的数量过多，它们过度捕食其食物来源，导致食物链中其他物种的减少，破坏了生态平衡。
同时，物种的多样性也对生态平衡发挥着重要作用。
不同物种之间的相互作用和竞争使得生态系统能够更好地适应外界环境的变化，增加稳定性。
然而，海洋生态系统的生态平衡和稳定性也面临一些威胁和挑战。
人类活动对海洋生态系统的影响不断加剧，过度捕捞、海洋污染、气候变化等问题都对海洋生物多样性和生态平衡产生了负面影响。
过度捕捞破坏了物种的数量平衡，导致某些物种濒临灭绝，进而影响整个食物链的稳定性。
海洋污染物的排放导致水体质量下降，使得海洋生物的生存环境恶化。
气候变化引起海平面上升、水温升高等问题，也对海洋生态系统的平衡和稳定性构成威胁。
为保持海洋生态系统的生态平衡和稳定性，我们需要采取一系列的措施。
首先，要加强海洋资源的保护和管理，建立健全的渔业管理制度，避免过度捕捞。
具有三物种的食饵-捕食反应扩散时滞系统的稳定性与行波解李成林
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2017(034)002
【摘要】本文研究了在有界区域上带有Neumann边界条件的反应扩散三物种食饵-捕食时滞系统.利用特征值方法和Lyapunov函数找到了该系统平衡点稳定的充分条件,该条件说明时滞限制了稳定性.稳定性中的主要一个结论是当食饵和捕食者间的种内竞争大于种间竞争时正平衡点是全局渐近稳定的.进一步,通过构建上下解证明了当波速相对大时该系统具有连接零平衡点和正平衡点的行波解.
【总页数】17页(P182-198)
【作者】李成林
【作者单位】红河学院数学学院,云南蒙自 661199
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类具有连续分布时滞的三种群捕食——食饵系统的正周期解 [J], 戴志娟
2.具有时滞离散时间捕食-食饵模型的行波解 [J], 彭华勤;朱庆;肖华峰
3.具有时滞和Smith增长的反应扩散捕食—食饵系统的Hopf分支 [J], 蒋和平;方辉平;丁文国
4.反应扩散三物种时滞系统的动力学行为和行波解 [J], 李成林
5.具有时滞的食饵捕食系统的Hopf分支及分支周期解的稳定性（英文） [J], 陈红兵
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一类随机Harrison型捕食与被捕食系统的稳定性分析牛嗣永;靳艳飞【摘要】研究了一种具有Harrison功能反应函数的随机捕食与被捕食系统模型,该模型中捕食者的死亡率和被捕食者的增长率受到独立同分布的两对称三值噪声的影响.文中运用线性化理论和Shapiro-Loginov方程给出了系统扰动的一阶矩和二阶矩方程,并用Routh-Hurwitz稳定性判据给出了系统稳定的条件.研究表明噪声强度σ和噪声自相关时间τ均对系统的稳定性有影响.当噪声强度充分大或噪声自相关时间足够小都能使系统失稳.最后通过数值方法,验证了分析结果的准确性.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2016(014)003【总页数】7页(P276-282)【关键词】三值噪声;Harrison捕食与被捕食系统;稳定性;矩方程;Shapiro-Loginov方程【作者】牛嗣永;靳艳飞【作者单位】北京理工大学宇航学院力学系,北京100081;北京理工大学宇航学院力学系,北京100081【正文语种】中文引言近年来在种群生态系统研究中,学者们已经建立了多种多样的生物模型[1-6],并对它们的动力学特性进行了深入的分析.然而这些模型大多是确定性模型,对于随机模型的研究还比较少[7-12].虽然很多情况下忽略环境的干扰,使用确定性模型就能得到种群变动的本质属性,但当环境扰动很强时,忽略随机因素会使分析结果产生较大偏差.人们一般将环境扰动以噪声的形式表示,如白噪声、色噪声等.May[10]指出由于环境噪声的存在,模型的出生率,承载能力,竞争参数及其它参数都或多或少的呈现波动现象.Mao[11]指出噪声不仅能减弱稳定性,还能增强稳定性.Qiu和liu[12]证明了白噪声激励下的B-D模型,对任意初始状态都存在唯一的正平衡解.然而在随机捕食与被捕食模型的研究中,大多仅考虑环境噪声为白噪声或色噪声时随机模型的动力学.相对于自然环境的多样性,这显然是不够的.本文采用三值噪声来描述自然环境的随机涨落现象.三值噪声是一种随机电报噪声,是真实噪声的典型模型.它在一定条件下能转变为高斯白噪声[13-15],因而能更好的描绘自然界中的环境波动.本文研究三值噪声激励下的Harrison捕食与被捕食系统模型,分析了噪声强度及噪声自相关时间对模型稳定性的影响.一般确定性Harrison模型表达式如下:其中,x和y分别表示被捕食者种群和捕食者种群的密度;r1表示被捕食者的自然增长率;r1/α表示环境容纳量;c、m和μ分别表示半饱和常数、捕食者的捕获率和转化率;r2表示捕食者的自然死亡率.考虑环境对种群出生率和死亡率影响较大,将环境噪声分别作用于被捕食者种群的增长率和捕食者种群的死亡率上,即确定性模型(1)中参数r1和r2作如下变换:r1→r1+ε1(t), -r2→-r2+ε2(t)式中,εi(t)(i=1,2)表示相互独立的对称三值噪声.噪声在3个值a,0,-a之间发生跃迁,稳态概率满足Ps(a)=Ps(-a)=q,Ps(0)=1-2q(0<q<1/2,本文取q=0.3).其统计均值为0,稳态时的统计性质如下:,〈εi(t)εj(t)〉=0 (i,j=1,2 i≠j)其中λ表示跃迁概率,是噪声自自相关时间τ的倒数,即,λ=1/τ,噪声强度σ=4qa2/λ.相应的随机模型表示为:显然,确定性Harrison模型(1)存在如下三个平衡点:E1=(0,0), E2=(r1/α,0), E†=(x†,y†)其中这里只有E†是两种群共存的平衡点.下文将研究噪声对模型处于正平衡点E†状态时稳定性的影响.本节分为两部分研究对称三值噪声激励下随机模型(2)的稳定性.我们分别通过对其线性系统一阶矩和二阶矩的稳定性分析,给出其一阶矩和二阶矩稳定的条件.在每部分都有相应的数值模拟来验证分析结果.2.1 一阶矩在随机系统中引入小扰动(u,p),令x=x†+u, y=y†+p,代入系统(2)并线性化可得:其中:,对系统(3)取数学期望,可得到关于u,p一阶矩的微分方程如下:〉.〉.运用Shapiro-Loginov方程[16],可得:系统(3)第一行乘以ε1(t)后取数学期望,然后将式(6)代入可得:同样方法可得:式(4)～(5)和(7)～(10)一起写为下面的线性微分方程组:其中,线性系统(11)的特征方程为:a0r6+a1r5+a2r4+a3r3+a4r2+a5r+a6=0式中:a0=1, a1=4λ - 3f1 - 3f4a2=3(f1+f4)2-10λ(f1+f4)+3f1f4-3f2f3-λ(σ1+σ2)+6λ2f1f4-2λ2)+σ1λ(f1+3f4)+σ2λ(3f1+f4)-8λ(f2f3-f1f4)-3λ2(σ1+σ2)a4=-2λ(f1+f4)3+(f1+f4)2(3f1f4+7λ2)-6λ(f1+f4)(λ2+2f1f4+2f2f3)+3f12f42+λf1f4[8λ-3(σ1+σ2)-12f2f3]+3f22f32+f2f3[λ(σ1+σ2)+3(f12+f42)]+λ2(σ1+σ2)(7f4-3λ)a5=-λ4(σ1+σ2+f1+f4)+λ3[2(f1+f4)2+4(f1f4-f2f3)+2σ1σ2+σ1f1+5σ2f1+5σ1f4+σ2f4]-λ2[(f1+f4)3+8(f1+f4)(f1f4-f2f3)+5σ2f12+5σ1f42+σ1σ2(f1+f4)-f2f3(σ1+σ2)- 4f1f(σ1-σ2)]+λ{2(f1f4-f2f3)[(σ2f1+σ1f4)+2(f1+f4)2]+(f1+f4)(σ2f12+σ1f42)+ 4(f1f4-f2f3)2-2f1f2f3f4}-3(f1+f4)(f1f4-f2f3) a6=λ4(f1f4-f2f3+σ1σ2+σ2f1+σ1f4)-λ3[σ2f1(f1+σ1)+σ1f4(f4+σ2)+(f1+f4)(σ2f1+σ1f4+2f1f4-2f2f3)]+λ2{(f1f4-f2f3)[(f1+f4)2+σ2f1+σ1f4]+(f1f4-f2f3)2+(f1+f4)(σ2f12+σ1f42)+σ1σ2f1f4}-λ{(f1f4-f2f3)(σ2f12+σ1f42)+2(f1+f4)(f1f4-f2f3)2]+(f1f4-f2f3)3根据Routh-Hurwitz稳定性判据,可得系统(11)稳定的充分条件是:由条件(13)可给出一阶矩系统(11)的稳定区间.为简化计算我们取一组参数:r1=1.5,α=0.1, m=0.6,r2=0.2,μ=0.4,c=0.1(后面所绘图形所取参数与此相同,不再赘述).图1给出了确定性Harrison模型(1)关于种群x和y的时间历程图与相图,初值取为(x0,y0)=(4,0.5).可以看到此时确定性系统有一正平衡点E†=(0.657,3.14),且E†是渐近稳定的.在图2(a)中,我们以噪声强度(σ1,σ2)为变量,固定其它参数,给出了一阶矩系统在(σ1,σ2)平面上的稳定区间.在图2(b)和图2(c)中,我们固定噪声自相关时间τ=0.2,给出了取不同噪声强度组合时一阶矩的时间历程图.可以看到,当噪声强度组合在图2(a)中斜线下方的稳定区间时,一阶矩随时间增长而趋于零,可以推断出此时一阶矩系统是稳定的(如图2(b)所示).当噪声强度组合落在不稳定区间时,一阶矩随着时间的推移,振幅逐渐变大(如图2(c)所示),即系统是不稳定的.接下来我们固定噪声强度,讨论了噪声自相关时间对一阶矩系统稳定性的影响.图3中我们固定噪声强度,给出了不同噪声自相关时间下,一阶矩的时间历程图.从图中可以看出,随着噪声自相关时间τ的增大,一阶矩系统变得稳定,即噪声的有色性能提高系统的稳定性.2.2 二阶矩通过类似方法可求得随机系统的二阶矩方程.首先将(3)系统的第一行代入式可得: 对公式(14)取数学期望,得到二阶矩方程:同样方法,并运用Shapiro-Loginov方程可得下列各等式:〈ε1up〉+〈ε2up〉2f2〈ε1up〉f2〈ε1p2〉+σ1λ〈up〉f2〈ε2p2〉+σ2λ〈up〉与一阶矩相同,将上述方程一起写为关于系统二阶矩的线性微分方程:式中,〈p2〉〈up〉〈ε1u2〉〈ε2p2〉〈ε1up〉〈ε2up〉〈ε2u2〉 ,B=线性微分方程(15)的特征方程为:b0r9+b1r8+b2r7+b3r6+b4r5+b5r4+b6r3+b7r2+b8r+b9=0其中,b0=1, b1=4λ-9(f1 +f4),f4)+12(f1f4-f2f3)+6λ2……由于bi(i=3,…,9)的表达式太长,本文没有给出.由Routh-Hurwitz稳定性判据可知,二阶矩系统(15)稳定的充分条件是:上述行列式中,若j>9则取bj=0.在图4中,固定噪声强度(σ1,σ2)=(0.02,0.02) 给出了不同噪声自相关时间下系统二阶矩的时间历程图.可以看到随着噪声自相关时间τ的增大,系统的稳定性增加.图5中,我们固定噪声自相关时间τ=3,给出了不同噪声强度时系统二阶矩的时间历程图.从图中可以看出随着噪声强度的增加,系统变得不稳定.下面通过数值方法呈现随机系统(2)的复杂动力学行为.在图6和图7中种群密度初值(x0,y0)取为靠近正平衡点的(0.6,3),其它参数的选取分别与二阶矩系统稳定性讨论中的图4和图5相同.图6给出了随机系统在不同噪声自相关时间的三值噪声作用下,种群密度(x,y)的时间历程图.可以看到当噪声自相关时间较大时(τ=5),两种群密度(x,y)在正平衡点附近的有限范围内波动,此时仍可视为系统稳定(如图6(b));而当τ减小到0.1时,种群密度(x,y)波动强烈,说明系统正平衡点E†变得不稳定(如图6(a)),系统失稳,这与二阶矩系统稳定性分析中图4的结果相同,即如果环境扰动的自相关时间较小,即使强度很小的外界扰动也可能导致随机捕食与被捕食系统失稳;而如果扰动的自相关时间较大,随机系统在相对较强的外界扰动下也能保持稳定,可以说系统的承受能力变强.总的来说就是,噪声的“有色性”能提高系统的稳定性.在图7中,固定噪声自相关时间τ=3,绘制了不同噪声强度组合下,随机系统种群密度(x,y)的时间历程图.当噪声强度取较小的(0.01,0.01)时,两种群密度(x,y)在平衡点附近小幅波动,没有改变系统的稳定性(如图7(a)所示);当噪声强度增大到(0.05,0.07)时,两种群密度波动剧烈,振荡幅值远离平衡点,系统变得不稳定(如图7(b)所示).这说明环境扰动强度越大,随机系统越可能失稳.本文研究了噪声强度和自相关时间对三值噪声激励的Harrison型捕食与被捕食系统稳定性的影响.运用线性化理论和Shapiro-Loginov公式推导出系统解的一阶矩和二阶矩方程,并给出了系统解矩的稳定性条件.研究表明:充分小的扰动并不能改变系统解的稳定性,当噪声强度σ较大时系统正平衡态可能发生失稳.即在较大的随机环境扰动下,物种共存态会被破坏.此外,当噪声强度不变,噪声自相关时间τ变得足够小时,系统也会失稳.说明相比于高斯白噪声,三值噪声的有色性能提高系统解的稳定性.最后通过数值方法验证了分析结果.*The project supported by the National Natural Science Foundation of China (11272051)† Corresponding author E-mail:*************.cn【相关文献】1 Szabó G. Competing associations in six-species predator-prey models. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2005,38(30):6689～67022 Sun X K, Huo H F, Zhang X B. A predator-prey model with functional response and stage structure for prey. Abstract and Applied Analysis, 2012,2012:1～193 Morozov A, Petrovskii S, Li B L. Bifurcations and chaos in a predator-prey system with the Allee effect. Proceedings Biological Sciences/The Royal Society,2004,271(1546):407～14144 Shi R, Chen L. The study of a ratio-dependent predator-prey model with stage structure in the prey. Nonlinear Dynamics,2009,58(1-2):443～4515 Hwang T W. Global analysis of the predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003,281(1):395～4016 陈方方, 洪灵. 一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性. 动力学与控制学报, 2014,12(1):80～85 (Chen F F, Hong L. Stability and hopf bifurcation analysis of a delayed sirs epidemic model with nonlinear saturation incidence. Journal of Dynamics and Control, 2014,12(1):80～85 (in chinese))7 Valenti D, Pizzolato N, Spagnolo B. Mean field approach and role of the coloured noise in the dynamics of three interacting species. Acta Physica Polonica Series B,2010,4123(87):5～458 Zhong W R, Shao Y Z, He Z H. Correlated noises in a prey-predator ecosystem. Chinese Physics Letters, 2006,23(3):42～459 Rao F. Dynamics of a delayed predator-prey model with stochastic perturbation. Journal of Biomathematics, 2011,26(4):609～62410 May R M. Stability and complexity in model ecosystems. New Jersey: Princeton University Press, 200111 Mao X Y. Stochastic stabilization and destabilization. Systems & Control Letters, 1994,23(4):279～29012 Qiu H, Liu M, Wang K, Wang Y. Dynamics of a stochastic predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response. Applied Mathematics and Computation, 2012,219(4):2303～231213 Mankin R, Ainsaar A, Haljas A, Reiter E. Trichotomous-noise-induced catastrophic shifts in symbiotic ecosystems. Physical Review E, 2002,65(5):051108(1-9)14 Sancho J M. External dichotomous noise: The problem of the mean-first-passage time. Physical Review A, 1985,31(5):3523～352515 Schmid G J, Reimann P, Hänggi P. Control of reaction rate by asymmetric two-state noise. The Journal of Chemical Physics,1999,111(8):334916 Shapiro V E, Loginov V M. Formulae of differentiation and their use for solving stochastic equations. Physica A, 1978,91(3-4):563～574。
具双时滞捕食模型的稳定性和分岔研究
种群生态学是生态学的一个重要组成部分，而种群动力学研究是种群生态学的核心内容。
随着科学技术的发展，数学知识在这个领域的应用前景越来越广阔，我们能用数学的方法来研究生态现象并使其得到控制和解释。
在建立描述生态现象的数学模型中考虑时滞因素能更准确地反映自然规律，但是时滞的出现却会使系统发生更丰富更复杂的动力学行为，使得我们的研究变得更加复杂和困难，而时滞在生态现象中是不可避免的，所以我们对时滞系统的研究具有十分重要的实际意义。
本论文主要讨论了具双时滞的三个种群的捕食模型，我们运用泛函微分方程稳定性理论、分岔理论、中心流形定理和正规型理论对模型平衡点的稳定性和Hopf分岔进行了研究。
本论文的主要内容如下：第一章，介绍了Lotka-Volterra生态系统以及时滞动力系统研究的背景知识、研究意义及进展情况。
第二章，给出了本文中将要用到的一些基本知识，即稳定性理论、Hopf分岔理论、中心流形定理和正规型理论。
第三章，讨论系统正平衡点的稳定性并证明在一定条件下Hopf分岔的存在性。
通过分析相应的超越特征方程来研究模型的线性稳定性，得出保证所有的特征根具有负实部的充分条件。
第四章，我们将在中心流形上讨论Hopf分岔的方向、稳定性以及分岔周期解的周期性，利用中心流形定理和正规型理论得出判断分岔周期解分岔方向和稳定性的公式。
第五章，我们用一些数值模拟来检验本文所得结果的正确性。
最后，对具双时滞的捕食系统的定性研究进行了总结，并对以后的研究工作进行了展望。
具时滞和Holling功能性反应的捕食—食饵系统的稳定性及
Hopf分支
本文以滞量为参数，研究了一类具时滞和Holling型功能性反应函数的捕食-被捕食系统正平衡点的稳定性和Hopf分支。
我们发现对于滞量τ，系统存在稳定性开关，即当τ变化经过某些值时，系统的正平衡点的稳定性发生变化，也就是从渐近稳定到不稳定，再到渐近稳定，经过有限次这样的循环，最后进入不稳定状态。
这些τ值是系统的Hopf分支值。
我们还用中心流形和规范形理论，给出了在第一个分支点τ<sub>0</sub>处的Hopf分支方向，分支周期解的稳定性的计算公式。
且利用Mathematica进行了数值模拟计算，最后用Matlab绘出了系统在正平衡点附近的某些相图。
