吉林省白城市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
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2018-2019学年吉林省白城一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）
1．已知命题p：“若两直线没有公共点，则两直线异面．”则其逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．“p∨q为真”是“p为真”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”
B．若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题
C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
4．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知f（x）=﹣x2+10，则f（x）在x=处的瞬时变化率是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
6．设抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为（
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x=﹣3 D．x=﹣4
7．函数y=x2cosx的导数为（ ）
A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx
8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面角C1﹣AA1﹣B为45o时，直线EF和BC1所成的角为（ ）
A．45o B．60o C．90o D．120o
10．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．2 C． D．
11．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=3，E为AB中点，则点B1到平面D1EC的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，
圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.
13．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为 ．
14．抛物线y=4ax2（a＞0）的焦点坐标为 ．
15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=1，AA1=2，∠BAC=90°，若直线AB1与直线A1C的夹角的余弦值是，则棱AB的长度是 ．
16．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2=16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是
．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）
17．（10分）求下列函数的导数；
（1）y=
（2）y=xln（x2+3x）
18．（12分）已知k∈R，命题p：直线（k﹣1）x﹣ky+1=0的倾斜角为锐角，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．
（Ⅰ）若p，q均为真命题，求k的取值范围；
（Ⅱ）若（￢p）∨q为假命题，求k的取值范围．
19．（12分）求曲线y=3x﹣x3上过点A（2，﹣2）的切线方程．
20．（12分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是PC的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）求证：PQ⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P﹣QB﹣M的正弦值．
22．（12分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年吉林省白城一中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）
1．已知命题p：“若两直线没有公共点，则两直线异面．”则其逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】判断原命题为假命题，可知其逆否命题为假命题，再判断原命题的逆命题为真命题，可知原命题的否命题为真命题．
【解答】解：若两直线没有公共点，两直线平行或异面，
则命题p：“若两直线没有公共点，则两直线异面”为假命题，其逆否命题为假命题；
命题p的逆命题为：“若两直线异面，则两直线没有公共点”，为真命题，
∴原命题的否命题也为真命题．
∴原命题的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是2．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查原命题的逆命题、否命题、逆否命题之间的关系，是基础题．
2．“p∨q为真”是“p为真”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由真值表可知：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真”是“p为真”必要不充分条件
【解答】解：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，
所以“p∨q为真”推不出“p为真”，但“p为真”一定能推出“p∨q为真”，
故“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件的判定、复合命题的真假判定，考查了推理能力，属于基础题．
3．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，
则m≤0”
B．若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题
C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
【分析】分别对A B C D进行判断，从而得到结论．
【解答】解：A．利用逆否命题的定义即可判断出；A正确．
B．若p∨q为真命题，则p，q一真一假，或p，q都为真．所以p，q至少有一个为真命题，B正确．
C，当x=1时，x2﹣3x+2=0”，当x2﹣3x+2=0得x=1或x=2．不一定是x=1．
所以“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，C 正确
D，若p∨q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题．不表示p，q一定都是假命题．所以 D 错误．
故选：D．
【点评】本题考察了复合命题，四种命题的关系及真假的判断和充分必要条件的分析，是一道基础题．
4．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据导函数f′（x）的图象是抛物线，利用f′（x）＜0判断对应的函数f（x）单调减；
f′（x）＞0判断f（x）单调增即可．
【解答】解：当x＜0时，由导函数f′（x）=ax2+bx+c＜0，知相应的函数f（x）在该区间内单调递减；
当x＞0时，由导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象可知，导函数在区间（0，x1）内的值是大于0的，
则在此区间内函数f（x）单调递增．
只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是基础题．
5．已知f（x）=﹣x2+10，则f（x）在x=处的瞬时变化率是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】根据导数的物理意义求函数的导数即可．
【解答】解：∵f（x）=﹣x2+10，
∴f′（x）=﹣2x，
即当x=时，f′（）=﹣3，
即在点x=处的瞬时变化率是﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的物理意义的应用，求函数的导数解决本题的关键．比较基础．
6．设抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为（
A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x=﹣3 D．x=﹣4
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（4，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，
故得p=8，
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．
7．函数y=x2cosx的导数为（ ）
A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx
