2016-2017年北京市朝阳区数学期末考试题理科(含答案)
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2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x
＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁
UA）∩B=
（ ）
A．{x|x＞2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤2}
2．（5
分）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（ ）
A．y=cosx B．y=﹣x2
C
． D．y=|sinx|
4．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=ax
在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）
x3
在R上是增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）从0，1，2，3，4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数
的个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱
锥的体积为（ ）
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A
． B
． C． D．4
7．（5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且
||=3，
||=4，
=λ+
μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，
||的值为（ ）
A
． B．3 C
． D
．
8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷
实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有
3人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）
A．23 B．20 C．21 D．19
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．（5
分）已知双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0，则b等
于 ．
10．（5分）已知等差数列{a
n}的前n项和为S
n．若a
1=2，S
2=a
3，则a
2= ，
S
10= ．
11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．
12．（5分）在△ABC
中，已知，则∠C= ．
13．（5分）设D
为不等式组表示的平面区域，对于区域D
内除原点外
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的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是
，的取值范围是 ．
14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是
封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），
f：M→M是从集合到集合的一个函数，
①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；
②如果∀x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；
③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．
在上述定义下，集合 封闭的（填“是”或“否”）；若函数
f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）
= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程．
15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2
x﹣1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[
﹣
，]上的最大值和最小值．
16．（13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训
期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：8281797895889384
乙：9295807583809085
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派
哪位同学参加较为合适？并说明理由；
（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分
的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学
期望Eξ．
17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为
直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
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（Ⅱ）若二面角D﹣AB﹣E为直二面角，
（ i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；
（ ii）棱DE上是否存在点P，使得BP⊥平面DEF
？若存在，求出的值；若不
存在，请说明理由．
18．（13分）
已知椭圆上的动点P
与其顶点
，
不重合．
（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△
OMN的面积．
19．（14分）设函数f（x）=ln（x﹣1）+ax2
+x+1，g（x）=（x﹣1）ex
+ax2
，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）
20．（13分）设m，n（3≤m≤n）是正整数，数列A
m：a
1，a
2，…，a
m，其中a
i
（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若数列A
m满足：只要
存在i，j（1≤i＜j≤m）使a
i+a
j≤n，总存在k（1≤k≤m）有a
i+a
j=a
k，则称数列
A
m是“好数列”．
（Ⅰ）当m=6，n=100时，
（ⅰ）若数列A
6：11，78，x，y，97，90是一个“好数列”，试写出x，y的值，
并判断数列：11，78，90，x，97，y是否是一个“好数列”？
（ⅱ）若数列A
6：11，78，a，b，c，d是“好数列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，
c，d共有多少种不同的取值？
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（Ⅱ）若数列A
m是“好数列”，且m
是偶数，证明：．
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2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2x
＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁
UA）∩B=
（ ）
A．{x|x＞2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤2}
【解答】解：A={x|2x
＜1}={x|x＜0}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，
∁
UA={x|x≥0}，
则（∁
UA）∩B={x|0≤x＜2}，
故选：B．
2．（5
分）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】
解：在复平面内，复数
==1﹣i对应的点（1，﹣1）位
于第四象限．
故选：D．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（ ）
A．y=cosx B．y=﹣x2
C
． D．y=|sinx|
【解答】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．
B．y=﹣x2
是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．
C.是偶函数，当x≥0
时=
（）x
在区间[0，1]上单调递减，
不满足条件．
D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．
