《有理数》教案 (公开课)2022年7

2.9 有理数的除法教案教学目标(一)教学知识点(1)理解有理数除法的法那么，会进行有理数的除法运算.(2)会求有理数的倒数.(二)能力训练要求1.理解有理数除法的法那么，会进行有理数的除法运算.2.会求有理数的倒数.(三)情感与价值观要求通过师生相互交流、探讨，激发学生的求知欲望，进一步提高学生灵活解题的能力.教学重点有理数除法法那么的运用，求一个负数的倒数.教学难点除法法那么有两个，在运用时要合理选用法那么1和法那么2，当能整除时用法那么1，在确定符号后，往往采用直接相除；在不能整除的情况下，特别是除数是分数时，用法那么2，把除法转变为乘法比较简便.教学方法师生共同讨论法.与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律、总结规律，然后运用规律.教具准备投影片六张第一张：练习(记作§2．8 A)第二张：想一想(记作§2．8 B)第三张：法那么(记作§2．8 C)第四张：例1(记作§2．8 D)第五张：练习(记作§2．8 E)第六张：做一做(记作§2．8 F)教学过程Ⅰ.复习回忆，引入课题［师］上节课我们学习了有理数的乘法，能运用乘法法那么进行计算，谁能表达有理数的乘法法那么呢？［生］两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与0相乘，积仍为0. ［师］好，根据法那么能口答以下各题吗？(出示投影片§2.8 A)(1)(－3)×4; (2)3×(－31); (3)(－9)×(－3);(4)8×(－9); (5)0×(－2); (6)(－8)×(－6);［生］(1)－12;(2)－1;(3)27;(4)－72;(5)0;(6)48［师］从答复以下问题中，知道大家已经掌握了有理数乘法法那么，我为此很快乐. 假设：两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数.那么我们用什么运算来计算呢？ ［生］用除法.［师］对，那我们今天就来研究有理数的除法.Ⅱ．讲授新课［师］除法是两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算，那10÷5是什么意思，商为几？0÷5呢？［生］10÷5表示一个数与5的积是10,商为2；0÷5表示一个数与5的积是0,商为0. ［师］很好.那(－12)÷(－3)是什么意思呢？商为多少？［生］(－12)÷(－3)表示一个数与－3的乘积是－12，商为4，对吧？［师］对，你是怎样考虑的？［生甲］(－12)÷(－3)表示一个数与－3的乘积是－12，那什么数与－3的乘积是－12呢？+4.即：4×(－3)=－12.由除法的意义知道，乘法与除法是互为逆运算，所以：(－12)÷(－3)=4.［生乙］老师，我们在小学学过：除以一个数等于乘以这个数的倒数，那么计算(－12)÷(－3)时，就可以转化为(－12)×(－31)即：(－12)÷(－3)=(－12)×(－31)=4.这样可以吗？［师］可以，两位同学的思路都很正确，分析得也很好.那大家现在想一想：(出示投影片§2.8 B)(学生分析、计算、讨论)［生］(1)－3;(2)8;(3)0;(4)－8;(5)－3;(6)－25;(7)3;(8)9;(9)－2;(10)3.［师］很好，大家来观察一下算式，看看商的符号及其绝对值与被除数和除数有没有关系？有，总结出规律.［生甲］两个有理数相除.同号得正,异号得负，并把绝对值相除，0除以不为0的数得0.［生乙］两个有理数相除总结出的规律与有理数的乘法法那么类似.都是先确定结果的符号,然后再确定结果的绝对值.老师，是吧？［师］对，大家总结得很好.在两个有理数相除时，首先确定商的符号，假设两个数是同号两数，那么商的符号为“+〞，假设这两个数是异号两数，那么商的符号为“－〞；其次确定商的绝对值，即被除数的绝对值除以除数的绝对值；还有0除以任何非0的数都得0.为什么要除以非0的数呢？［生］因为0不能作除数.［师］很好，这时，我们就总结出有理数的除法法那么：(出示投影片§2.8 C)(学生念一次，背一次)注意：(1)法那么中的“同号得正、异号得负〞是专指“两数相除〞的.(2)0不能作除数.［师］好，接下来我们通过例题来熟悉有理数除法法那么.(出示投影片§2.8 D)下面我们来做一练习.(出示投影片§2.8 E)［师］到现在为止，我们就学了有理数的乘法、除法法那么，在运用这两个法那么进行运算时，首先要确定结果的符号，然后再求结果的绝对值.下面我们做一做(出示投影片§2.8 F)［师］得出计算结果后，比较每一小题两式的结果，有规律吗？［生］结果一样，说明两式相等.即:1÷(－52)=1×(－125) 0.8÷(－103)=0.8×(－310) (－41)÷(－601)=(－41)×(－60) 由此得出：除以一个数等于乘以这个数的倒数.［师］对.通过计算总结，又得到有理数的除法的另一法那么，我们可把这个法那么称为法那么二，把前面的那个法那么称为法那么一.这两个运算法那么在本质上是一致的.在计算时，可根据具体的情况选用这两个法那么.一般来说，两数能整除时，应用法那么一较简单；两数不能整除或除数为分数时，应用法那么二.法那么二是除以一个数等于乘以这个数的倒数，那什么叫互为倒数呢？ ［生］乘积为1的两个有理数是互为倒数.［师］那我们现在回头看刚刚“做一做〞的(1)小题：1÷(－52);它的意思是－52与什么数相乘，积为1呢？ ［生］－25 ［师］那－25与－52是什么数呢？ ［生］互为倒数. ［师］对.因为互为倒数的乘积为1，所以1÷(－52)的商就是－52的倒数.大家再看： 1÷(－78)=1×(－87)=－87 可知：－78与－87是互为倒数，那谁能总结一下怎样求一个负数的倒数呢？ ［生］1除以这个负数，就等于这个负数的倒数.［师］很好，要求一个负数的倒数，只需要1除以这个负数得到的商就是这个负数的倒数.如果这个负数是分数，那么只需要把这个分数的分子、分母颠倒即可.想一想：正数的倒数是什么数，负数的倒数是什么数？0呢？［生］正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.［师］很好.大家要求一个数的倒数时，一定要注意：(1)0没有倒数.(2)互为倒数的两数为同号.Ⅲ.课堂练习课本P 51随堂练习1.计算： (1)215÷(－71); (2)(－1)÷(－1.5)；(3)(－3)÷(－52)÷(－41)； (4)(－3)÷［(－52)÷(－41)］. 解：(1)215÷(－71)=－(215×7)=－35 (2)(－1)÷(－1.5)=+(1÷1.5)=+(1×32)=32 (3)(－3)÷(－52)÷(－41)=+(3×25)÷(－41)=215÷(－41)=215×(－4)=－30 (4)(－3)÷［(－52)÷(－41)］=(－3)÷［(－52)×(－4)］=(－3)÷［+(52×4)］ =(－3)÷58=(－3)×85=－815. 2.阅读课本P 50~52，然后小结.Ⅳ.课时小结本节课主要学习了有理数的除法运算.有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值，在进行有理数除法运算时，要根据题目的特点，恰当地选择有理数除法法那么进行计算，有理数除法转化为乘法后，可以利用乘法的运算律性质简化运算.Ⅴ．课后作业(一)课本P 52习题2.8 1、2、3、4、5.(二)１．预习内容：P 52~542.预习提纲(1)乘方的概念.(2)如何进行乘方运算.Ⅵ.活动与探究1.假设1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y,那么x－y的值等于( )A.15B.1C.164D.179(1999年竞赛)过程：对于除法运算中的整除性与非整除性，小学已初步探讨过.有以下公式：被除数=除数×商被除数=除数×商+余数可以让学生利用此公式进行变化、培养学生灵活解题的能力.设三数被自然数x除时，商分别为自然数a、b、c.那么：ax+y=1059 ①bx+y=1417 ②cx+y=2312 ③②－①得 (b－a)x=358③－①得 (c－a)x=1253③－②得 (c－b)x=895由于：a≠b b≠c c≠a所以，x是358、1253、895的公约数即x=179,由此可得y=164x－y=15结果：选A2.求除以8和9都是余1的所有三位数的和.过程：可以让学生借鉴(1)题来变化、运算.可设三位数为n，它是除以8、9的商分别为x、y余1的数.那么:n=8x+1;n=9y+1由此可知：三位数n减去1，就是8和9的公倍数，即为:144、216、288、360、432、504、576、648、720、792、864、936.所以满足条件的所有三位数的和为：144+216+288+360+432+504+576+648+720+792+864+936+1×12=72×(2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+1×12=72×(2+13)×6+12=6492答案：6492板书设计1.8 完全平方公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.●教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.●教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)第三张：例题，记作(§1.8.1 C)第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a 米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片§1.8.1 A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法那么可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.［师生共析］(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2↓↓↓↓ ↓ ↓(a +b)2=a2+2·a ·b + b2=a2－2ab+b2.于是，我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab+b2(2)［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(§1.8.1 B)［例1］利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式计算(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2=4y 2－4xy+x 2；方法二：(－x+2y)2=［－(x －2y)］2=(x －2y)2=x 2－4xy+4y 2.(2)(－x －y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x 2+2xy+y 2.(3)(x+y －z)2=［(x+y)－z ］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z 2=x 2+y 2+z 2+2xy －2zx －2yz.(4)方法一：(x+y)2－(x －y)2=(x 2+2xy+y 2)－(x 2－2xy+y 2)=4xy.方法二：(x+y)2－(x －y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=4xy.(5)(2x －3y)2(2x+3y)2=［(2x －3y)(2x+3y)］2=［4x 2－9y 2］2=16x 4－72x 2y 2+81y 4.Ⅲ.随堂练习课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy+51x)2; (3)(n+1)2－n 2.解：(1)(21x －2y)2=(21x)2－2·21x·2y+(2y)2=41x 2－2xy+4y 2 (2)(2xy+51x)2=(2xy)2+2·2xy·51x+(51x)2=4x 2y 2+54x 2y+251x 2(3)方法一：(n+1)2－n 2=n 2+2n+1－n 2=2n+1.方法二：(n+1)2－n 2=［(n+1)+n ］［(n+1)－n ］=2n+1.Ⅳ.课后作业1.课本习题1.13的第1、2、3题.2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n 头牛，而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.●板书设计1.8. 完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①a2+2ab+b2②(a+b)2比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代数推导(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a－b)2=［a+(－b)］2=a2－2ab+b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn－a)2四、随堂练习(略)●备课资料一、杨辉杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。

第二章有理数及其运算2.8 理数的除法一、学生起点分析:学生的知识技能根底：学生在小学时已熟知乘法与除法互为逆运算，而且也熟悉“除一个数等于乘以它的倒数的运算〞的法那么，这些知识和技能对于本节课的学习是必备的根底，另外前几节学过的有理数乘法法那么以及运算律、倒数的概念等等，也是本节课学习的重要根底，尤其是前几节课采用的探索、猜想、验证的手段，更是本节课继续学习的研究方法.学生的活动经验根底：学生在小学经历了除法向乘法的转化过程，并体验到了转化的作用，甚至掌握了转化的方法.这对本节课完成有理数的除法向乘法的转化是非常有利的，可以预见，也许学生就会利用小学学过的“除以一个数等于乘以一个数的倒数〞的法那么直接进行有理数的除法运算，对此教师应加以肯定，并明确此法那么在有理数范围内同样成立.另外在前几节课对运算法那么及运算律的语言表达过程中也积累了一些有用的数学语言，这对本节课除法法那么的表达也是一个重要的语言根底.二、学习任务分析：教科书在学生掌握了有理数的加法、减法、乘法运算以及五条运算规律的根底上.特别是在学生有了一定的探究意识、方法、能力的根底上，提出了本节课的具体学习任务：探索发现有理数除法的法那么，会进行有理数的除法运算.本节课的教学目标：1、经历探索发现有理数除法法那么的过程，开展观察、归纳、猜想、验证、表达能力.2、学会进行有理数的除法运算；掌握多个数相乘；商的符号判定方法.3、会求有理数的倒数，会用“除以一个数等于乘以它的倒数〞法那么进行有理数的除法运算，提高灵活解题的能力.三、教学过程设计：本节课设计了六个环节：第一环节：复习提问，引入新课；第二环节：特例归纳，猜想规律；第三环节：例题练习，稳固新知；第四环节：探究猜想，发现法那么；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业；第一环节：复习提高，引入新课活动内容：〔1〕复习提问：“有理数的乘法法那么如何表达？〞〔2〕运用有理数乘法法那么，请同学们答复以下各题计算结果：〔投影片展示题目〕⑴〔－2〕×3 ；⑵4×〔－1/4〕；⑶〔－7〕×〔－3〕；⑷6×〔－8〕；⑸〔－6〕×〔－8〕；；⑹〔－3〕×0.〔3〕提问：两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数，应该用什么运算进行计算呢？活动目的：复习稳固有理数的乘法法那么，为本节课有理数除法的应用做准备工作，利用提问及答复，引出本节课的课题：有理数的除法.活动的本卷须知：在活动〔2〕中，不仅要答复计算结果，而且要说明理由，即表达所依据的法那么内容，另外因为题目简单，所以教师应把时机全部留给学习有困难的学生，让他们来答复并适当鼓励，以增强他们的自信.第二环节：特例归纳，猜想规律活动内容：〔1〕以提问的形式，让学生明确乘法与除法互为逆运算在有理数范围内也成立.问题1：8÷4是什么运算？商等于多少？问题2：0÷4等于多少？问题3：〔－12〕÷〔－3〕是什么运算？商等于多少？〔2〕在活动〔1〕的根底，请同学们想一想，分析讨论计算以下各题：⑴〔－18〕÷6=＿＿＿＿＿；⑵5÷〔－1÷5〕=＿＿＿＿＿；⑶〔－27〕÷〔－9〕=＿＿＿＿＿；⑷0÷〔－2〕=＿＿＿＿＿.〔3〕观察以上算式，看看商的符号及商的绝对值与被除数和除数有何关系？如果有，请大家从特例中归纳猜想出一般规律，并用自己的语言表达规律.活动目的：用算术数除法类比有理数除法，从而明确除法是乘法的逆运算在有理数范围内也适用，所以活动〔1〕是活动〔2〕的准备，活动〔2〕是活动〔1〕的继续，也是活动〔3〕的准备，通过这一系列的活动，就为学生从特例中归纳猜想想出有理数的除法法那么作好了充分的铺垫工作.活动的本卷须知：〔1〕其中活动〔1〕与教科书稍有差异，这里设计它是起一个台阶作用，有利于学生活动〔2〕的进行.〔2〕活动〔2〕的计算，一定要用活动〔1〕的方法进行，要让学的充分的讨论、分析、转化成乘法计算后得出结果，而不能条理的去归纳猜想，教师要适当引导，类比乘法法那么，先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，同时要注意除法与乘法的区别：0不能作除数的规定，总之，除法的运算法那么要由学生归纳得出，教师适当补充和修正，最后板书标准内容并要求学生熟记.第三环节：例题练习，稳固新知活动内容：〔1〕用投影片展示教科书第55页例1：计算：⑴〔－15〕÷〔－3〕；⑵〔－12〕÷〔－1÷4〕；⑶〔－0.75〕÷0.25 ；⑷〔－12〕÷〔－1÷12〕÷〔－100〕.〔2〕用投影片展示一组练习题：计算：⑴〔－64〕÷4；⑵〔－3÷5〕÷〔－3〕；⑶ 0÷〔－16〕；⑷〔－15〕÷〔－1÷5〕÷〔－2〕.活动目的：对有理数除法法那么的稳固和运用，练习和提高，例题和练习题中的第〔4〕题是为了得到多个数相除商的符号判定方法设计的.活动的本卷须知：〔1〕例题讲解时，要注意板书标准，表达除法法那么的应用步骤.要一边板书，一边讲述法那么的内容，当然可不要求书写每一步的依据，但应做到心中有数.〔2〕关于例题中第〔4〕题的讲解时，一是讲清楚多个数相除时，可按顺序依次两个数相除进行；二是要讲清楚多个数相除时，也可以类比多个数相乘确定符号的方法进行，从而转化成非负数相除的情形.〔3〕应设计一组练习题供学生稳固新知，不要因为教科书中没有练习而忽略这个程序.第四环节：探究猜想，发现法那么，稳固提高.活动内容：〔1〕做一做〔用投影片展示〕计算： ⑴1÷〔-2/5〕； 1×〔－5/2〕；⑵0.8÷〔－3/10〕； 0.8×〔－10/3〕；⑶〔－1/4〕÷〔－1/60〕； 〔－1/4〕×〔－60〕.〔2〕计算出结果后，请同学们比较每一组小题中两个结果，并用语言表达其中的规律.〔3〕想一想：负数的倒数如何求？例2：计算： ①2(18)()3-÷- ②4916()()38÷-÷-〔4〕稳固提高：1．计算：〔1〕〔－18〕÷6; 〔2〕〔－63〕÷〔－7〕；〔3〕〔－36〕÷6； 〔4〕1÷〔－9〕;〔5〕0÷〔－8〕； 〔6〕16÷〔－3〕．2．计算：〔1〕〔94-〕÷〔32-〕;〔2〕〔－6.5〕÷0.13；〔3〕〔53-〕÷〔52-〕;〔4〕54÷〔－1〕． 3. 计算〔1〕〔7624-〕÷〔－6〕；〔2〕－3.5÷87×〔43-〕；〔3〕〔－6〕÷〔－4〕×〔511- 〕．活动目的：活动⑴一方面是除法法那么的进一步稳固练习，以熟练运用技能，另一方面主要是为活动⑵提供问题素材，活动⑵是让学生通过观察每一小题的结果，发现规律，并思考得出除法的另一个法那么：除以一个数等于乘以这个数的倒数；活动⑶是为下一步运用法那么进行除以计算时做准备工作，即首先学会负数的倒数的求法，才有可能去做除法运算，活动⑷是为了掌握除法第2法那么的练习题.活动的本卷须知：〔1〕活动⑵〕中用语言表达除法的第二法那么一般没问题，因为这一法那么在小学就已熟知.这里需要注意的是不能因为学生已经知道，就忽略了活动〔1〕的计算和观察比较，而必须让学生经历⑴⑵，并由学生把法那么表达出来，教师千万不能代替.〔2〕活动⑶中怎样求负数的倒数，要让学生观察活动⑴中的计算，总结出求负数的倒数的方法，并概括有理数的倒数的求法.〔3〕在稳固练习时，首先要练习除法的第二法那么，同时应让学生知道，在计算时，可根据具体的情况选用两个法那么，一般而言，两个数能整除时，应用第一法那么，两个数不能整除时或除数为分数时，应用第二法那么，这种选择意识的培养应不失时机的随时进行.第五环节：课堂小结活动内容：〔1〕由提问的方式进行课堂小结，如⑴请同学们表达除法的两个法那么；⑵有理数的倒数的求法.〔2〕由教师总结有理数四那么运算的步骤以及运用法那么进行计算的本卷须知.活动目的：培养学生课堂主人翁精神，提高语言表达能力和概括能力，另外因为有理数的四那么运算已告段落，教师提纲携领地总结一些计算的本卷须知，可以帮助学生更好地掌握有理数的运算法那么.活动的本卷须知：教师在总结有理数运算法那么的应用时，不需要把每一条法那么都复述一次，而应指明运算的共性，还应指明进行有理数除法时，要根据题目特点，恰中选择有理数除法法那么进行计算.另外要指明有理数除法转化成乘法后，还要注意利用乘法的运算律简化计算过程，等等.第六环节：布置作业活动内容：教科书第56页习题2.12知识技能1、2、3；问题解决.活动目的；复习稳固检测本节知识，训练提高运算技能，应用有理数运算解决实际问题.活动本卷须知：对知识技能第1题的计算，应要求学生不能直接写出结果，而应写出过程，表达运用除法法那么的步骤，以稳固有理数除法法那么，培养言之有理，落笔有据的思维习惯，对问题解决中的应用题，是混合运算的应用.要提醒学生注意格式和单位，另外，可有选择的布置作业或分层适量，区别对待等等.四、教学反思：1、数学的教学活动必须建立在学生的认识开展水平和已有的知识经验根底上，本节课正是考虑和分析到了这一事实，向学生提供了充分从事数学活动的时机，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握有理数的除法法那么，并在活动中获得了一定的数学活动经验.这一做法已在最近几节课中都有所表达，而且收到了较好的效果，所以在有理数四那么运算即将结束之时，有必要对这一段的教学经验加以总结，以便于更好地进行下一单元的教学.2、要关注学生数学学习的过程，要关注学生在数学活动中所表现出来的态度，帮助学生建立信心、展示自我，要坚持这一做法.平行四边形的性质总体说明〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。

《有理数》教案教学目标：知识与技能：理解有理数的意义；能把给出的有理数按要求分类；了解数0在有理数分类中的作用。

过程与方法：通过本节的学习，培养学生树立分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力。

情感态度与价值观：通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育。

教学重点：有理数的分类教学难点：掌握有理数的两种分类教材分析：正确进行有理数的分类，可为今后绝对值的学习，有理数大小比较及有理数的运算打下基础。

同时可培养学生对事物进行分类讨论的思想，因此成为木节课的重点。

两种分类是按不同标准划分的，学生很容易混淆，因此成为本节课的难点，本节课是继负数引入后的一节课，它把以前所学的数作了梳理和归纳，使得知识系统化，能培养学生分类讨论的思想。

本节课旨在通过学生观察、思考、探索、总结知识，培养学生的讨论、交流、总结、归纳能力和合作探究意识，树立分类讨论思想。

教学方法：情境教学法、生生互动法课时安排：一课时教具：投影仪（电脑）环节教师活动学牛活动设计意图现在，同学们都已经知道除了我们小学里对所学过创设所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数。

的数作了梳理情境大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪学生同桌讨和回顾，自由导入些类型的数。

论、交流，自由发发言激发了学新课教师板书学生说出的数。

然后引出新课生学习的热情并板书课题： 2.1.2有理数. 和求知欲。

为有理数议一议：的分类作准备你能把这些数分类吗？教师对学生的回答给予鼓励性的评价，同学生踊跃发时指出：我们把所有的这此数统称为有理数。

言，相互补充一、讨论与交流，归纳有理数的分类：培养了学1、试一试：你能对以上各种类型的数作生观察、思考、合作出一张分类表吗？学生观察思总结、归纳的探究教师启发诱导，参与讨论，最后师生共同考，分组讨论，尝能力，同时培—・完成0试归纳养学生对数分教师板书：--- 类讨论的观正整数整数J °点。

「1有理数1负整数<、分数f正分数L负分数2、做一做|以上按整数和分数来分，那么可不可以按性质（止数、负数）来分呢？通过再分教师对学生的回答进行适当点评和鼓励，类培养学生树加以引导。

《有理数》最新优秀教案2篇《有理数》最新优秀教案篇一一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类。

能正确识别有理数，并熟练掌握有理数在数轴上的表示方法。

2、过程与方法目标通过对有理数分类的讨论，培养学生的分类讨论思想和归纳总结能力。

经历有理数在数轴上表示的过程，体会数形结合的数学思想。

3、情感态度与价值观目标让学生在数学学习活动中感受数学的严谨性和逻辑性，提高对数学学习的兴趣。

培养学生合作交流的意识和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点有理数的概念及分类。

有理数在数轴上的表示。

2、教学难点对有理数分类标准的理解和应用。

正确理解数轴上的点与有理数的对应关系。

三、教学方法讲授法、讨论法、直观演示法四、教学过程（一）导入（5 分钟）教师：同学们，我们之前已经学习了正数和负数，大家还记得什么是正数，什么是负数吗？（请学生回答）教师：现在请同学们思考一下，像1，2，-3，-4，0，1.5，-2.5 这些数，它们有什么共同的特点呢？今天我们就来深入研究这些数，学习有理数的相关知识。

（二）新授（25 分钟）1、有理数的概念（8 分钟）教师：整数和分数统称为有理数。

比如 3 是整数，属于有理数；1/2 是分数，也是有理数；而0 同样是有理数。

教师在黑板上写出一些数，让学生判断是否为有理数：-5，0.6，7/3，-22/7，0，3.14159（π除外）等。

2、有理数的分类（10 分钟）教师：有理数可以按照不同的标准进行分类。

首先，按照定义可以分为整数和分数。

整数又包括正整数、0 和负整数；分数包括正分数和负分数。

教师通过表格形式展示有理数的分类：教师：有理数还可以按照正负性来分类，分为正有理数、0 和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。

让学生自己动手将一些有理数进行分类，同桌之间互相检查。

3、有理数在数轴上的表示（7 分钟）教师介绍数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

第二章有理数及其运算 4 有理数的加法第1课时教学重点与难点教学重点：1．理解有理数加法的意义，探究有理数加法法那么．2．能熟练利用有理数的加法法那么解决有关有理数的加法运算．教学难点：异号两数相加的法那么．学情分析认知根底：学生在前面几节中学习了有理数、数轴、绝对值、相反数等重要概念，知道可以用正、负数表示具有相反意义的量．在小数阶段知道非负数的加法意义是把两个数合并成一个数的运算．活动经验根底：学生学习数学是一种认识过程，要遵循一般的认识规律，而初一年级的学生，对异号两数相加从未接触过，与小学加法比较，思维强度增大，需要通过绝对值大小的比较来确定和的符号和加法转化为减法两个过程，要求学生在课堂上短时间内完成这个认识过程确有一定的难度，在教学时应从实例出发，充分利用直观借助数轴，从数形结合的观点加以讲授，并通过反复练习和稳固，让学生感知加法法那么的应用，以突破这一难点．同时学生对于负数参与运算充满了疑惑与期待，为学生在教师的引导下能主动探索运算法那么，提供了动力．教学目标1．经历探索有理数的加法法那么，通过探索以及与同学之间的交流，总结出有理数加法法那么，并能熟练利用有理数的加法法那么解决有关运算问题．2．能够由特殊到一般，总结出有理数的加法法那么，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力．3．在独立思考的根底上，能够积极主动地与同学交流、讨论，认识到通过类比、归纳可以获得数学猜想；能用文字清楚地表达自己解决问题的过程，并能解释所得结果的意义．教学方法学生探索，教师引导法．从简单的绝对值较小的整数运算入手，让学生从直观上感受到“正负抵消〞的思想，分类讨论整数加法的几种情形，借助数轴加深理解，归纳出有理数的加法法那么，通过练习让学生训练掌握运算法那么．在教学过程中，注重表达教师的导向作用和学生的主体地位．本节是新课内容的学习，教学过程中尽力引导学生成为知识的发现者，把教师的点拨和学生解决问题结合起来，为学生创设情境，从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生轻松愉快地学习不断克服学生学习中的被动情况，在掌握知识的同时，既开展智力又受到教育．教学过程一、创设情境，引入新课设计说明由班级举行知识竞赛的实例引入，激发学生的学习兴趣，活泼课堂气氛，调动学生的学习积极性．某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不答复得0分．问题1：如果把答对一题记为“＋1〞，答错一题记为什么？问题2：如果某小组答错一题，答对一题，那么该小组得分是多少？这一问题我们可以用有理数的运算来解决，今天我们学习有理数的加法运算．二、探究发现设计说明根据正、负数的意义利用数轴探索有理数的加法法那么．1．操作探究：在数轴上，以原点为起点，规定向右的方向为正方向，向左的方向为负方向．如－2表示向左移动2个单位长度．让学生自己画数轴探究：(1)3＋2看作先向右移动3个单位长度再向右移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(2)(－3)＋(－2)看作先向左移动3个单位长度再向左移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？(3)3＋(－2)看作先向右移动3个单位长度再向左移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(4)(－3)＋2看作先向左移动3个单位长度再向右移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(5)(－4)＋4看作先向左移动4个单位长度再向右移动4个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(6)(－2)＋0看作先向左移动2个单位长度再向右移动0个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(7)0＋2看作先向左移动0个单位长度再向右移动2个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？(8)(－3)＋(＋3)看作先向左移动3个单位长度再向右移动3个单位长度，现在在数轴上的什么位置？这一位置表示的是什么数？2．观察发现：(出示投影)(1)3＋2；(2)(－3)＋(－2)；(3)3＋(－2)；(4)(－3)＋2；(5)(－4)＋4；(6)(－2)＋0；(7)0＋2；(8)(－3)＋(＋3)．观察这8个算式，每一个算式都是怎样的两个有理数相加？(引导学生答复)你们还能举出不同以上情况的算式吗？这说明这几个算式概括了有理数加法的不同情况．前两个算式的加数在符号上有什么共同点？(相同)，那么我们就可以说这是什么样的两数相加？(同号两数相加)同学们还能观察出哪几个算式可归为一类吗？〔(3)(4)(5)(8)异号两数相加，(6)(7)一个数同0相加〕同学们已把这8个算式分成了三类，下面我们分别探讨规律．(1)同号两数相加，其和有何规律可循呢？大家观察这两个式子，答复两个问题．(师引导观察，得出答案)，哪位同学能填好这个空？(2)异号两数相加，其和有何规律呢？大家观察这三个式子答复以下问题．(引导学生分成两类，容易得到绝对值相同情况的结论．再引导学生观察绝对值不相同的情况，答复以下问题)哪位同学能概括一下这个规律？(引导学生得出，特别地，互为相反数的两数相加得0)(3)一个数同0相加，其和有什么规律呢？(易得出结论)3．归纳总结：同学们经过积极思考，探索出了解决有理数加法的规律，我们把这个规律称为有理数的加法法那么．教学说明运用数轴直观地表示运算过程，促进学生对加法的理解，更加形象直观地表达运算过程．教学时尽量用简单的整数相加，讨论整数加法的几种情形，便于学生总结运算法那么．由算式(1)(2)可知，同号两数相加，结果符号不变，绝对值相加；由算式(3)(4)可知异号两数相加，和的符号取决于加数的绝对值的大小，哪个加数的绝对值大，就取哪个加数的符号，绝对值相减；由算式(5)可知，互为相反数的两个数相加，和为0；由算式(6)(7)可知，一个数同0相加，仍得这个数．三、应用迁移，典例示范设计说明让学生运用法那么进行计算，每一小题尽量使用绝对值较小的整数进行运算，目的让学生掌握运算法那么．例1 计算以下算式的结果，并说明理由：(1)(＋4)＋(＋7)；(2)(－4)＋(－7)；(3)(＋4)＋(－7)；(4)(＋9)＋(－4)；(5)(＋4)＋(－4)；(6)(＋9)＋(－2)；(7)(－9)＋(＋2)；(8)(－9)＋0；(9)0＋(＋2)；(10)0＋0.在学生答复的根底上，教师对第(2)小题进行板书示范．解：(2)(－4)＋(－7)(两个加数同号，用加法法那么的第2条计算)＝－(4＋7)(和取负号，把绝对值相加)＝－11.下面请同学们计算以下各题：(1)(－0.9)＋(＋1.5)；(2)(＋2.7)＋(－3)；(3)(－1.1)＋(－2.9)．全班学生书面练习，请四位学生在黑板上演示，教师给予讲评．例2 计算以下各题：(1)180＋(－10)；(2)(－10)＋(－2)；(3)(－15)＋5；(4)5＋(－5)；(5)(－5)＋0.答案：(1)170；(2)－12；(3)－10；(4)0；(5)－5.教学说明教学时先让学生观察两个加数的符号，再确定用哪个法那么计算，学生逐题口答后，教师小结：进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法那么进行计算．计算时通常先确定“和〞的符号，再计算“和〞的绝对值．四、积累与总结通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？1．有理数的加法运算一般分两步：第一步，确定和的符号；第二步，确定和的绝对值．2．体会在总结有理数加法法那么的过程中与同学合作、交流的重要性，并且意识到数学与现实生活是紧密相连的．3．这节课我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法那么，今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题．4．学生易困惑的地方：(1)有理数的加法运算要先进行判断属于哪一类型(同号的两数还是异号的两数，异号的两数还要看谁的绝对值大)然后再用法那么去计算，学生初步体会分类的思想；(2)对绝对值不相等的异号两数相加，有时和的符号与和的绝对值出现迷糊；(3)这节课的知识我们借助于数轴去理解，进一步体会数形结合的数学方法．评价与反思本节课的教学适当加强有理数加法法那么的形成过程，从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力，相应的适当压缩应用法那么的练习，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法那么的过程，主动获取知识．这样，学生在这节课上不仅学懂了法那么，而且还能感知到研究数学问题的一些根本方法．在探索有理数加法的运算法那么时，要激发学生学习兴趣，运用直观形象的实例探究运算法那么，借助数轴这一有利的工具加深对运算的理解，并注重由特例归纳出有理数的加法法那么．由于加强了探究，课堂组织教学要适当压缩应用法那么的练习，在后续的教学中进行弥补．字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

《有理数的加法》教学设计（一）知识与技能目标1、经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则。

2、运用有理数加法法则熟练进行整数加法运算。

（二）过程与方法目标1、在教师创设的熟悉情境与学生探索法则的过程中，通过观察结果的符号及绝对值与两个加数的符号及其绝对值的关系，培养学生的分类、归纳、概括的能力。

2、在探索过程中感受数形结合和分类讨论的数学思想。

3、渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。

（三）情感态度与价值观目标1、通过师生交流、探索，激发学生的学习兴趣、求知欲望，养成良好的数学思维品质。

2、让学生体会到数学知识来源于生活、服务于生活，培养学生对数学的热爱，培养学生运用数学的意识。

3、培养学生合作意识，体验成功，树立学习自信心。

二、教学重难点重点：理解和运用有理数的加法法则。

难点：理解有理数加法法则，尤其是理解异号两数相加的法则。

三、教学过程（一）引入新知-新3+3=63+0=3（-3）+（-9）=？如果负数也要加入加法大家庭，该怎么计算？（二）趣味探究一只公鸡的路线-行回顾数轴三要素，探究公鸡的行走路线：1.公鸡从起点开始向右走3米，再向右走2米，距离原点有多远？它在什么方向？(+3) + (+2) = +52.公鸡从起点开始向左走5米，再向左走2米，距离原点有多远？它在什么方向？(-5) + (-2 ) = -7小结：由1.2点，你能得到什么启发？生：由（1）（2）式得: 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

教师举例：（-5）+（-100）=？（+8）+（+9）=？3.公鸡从起点开始向右走5米，再向左走2米，距离原点有多远？它在什么方向？(+5) + (-2 ) = +74.公鸡从起点开始向左走7米，再向右走5米，距离原点有多远？它在什么方向？(-7) + (+5 ) = -2小结：由3.4点，你能得到什么启发？生：由（3）（4）式得：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

《有理数》数学教案《有理数》数学教案1教学目标1，掌握有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类，培养分类能力；2，了解分类的标准与分类结果的相关性，初步了解“集合”的含义；3，体验分类是数学上的常用处理问题的方法。

教学难点正确理解分类的标准和按照一定的标准进行分类知识重点正确理解有理数的概念教学过程探索新知在前两个学段，我们已经学习了很多不同类型的数，通过上两节课的学习，又知道了现在的数包括了负数，现在请同学们在草稿纸上任意写出3个数（同时请3个同学在黑板上写出）．问题1：观察黑板上的9个数，并给它们进行分类．学生思考讨论和交流分类的情况．学生可能只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师应给予引导和鼓励．例如，对于数5，可这样问：5和5. 1有相同的类型吗？5可以表示5个人，而5. 1可以表示人数吗？（不可以）所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，而5. 1不是整个的数，称为“正分数，，．…（由于小数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数）通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是“正整数，零，负整数，正分数，负分数，”。

按照书本的说法，得出“整数”“分数”和“有理数”的概念．看书了解有理数名称的由来．“统称”是指“合起来总的名称”的意思．试一试：按照以上的分类，你能作出一张有理数的分类表吗？你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗？（是按照整数和分数来划分的）分类是数学中解决问题的常用手段，这个引入具有开放的特点，学生乐于参与学生自己尝试分类时，可能会很粗略，教师给予引导和鼓励，划分数的类型要从文字所表示的意义上去引导，这样学生易于理解。

有理数的分类表要在黑板或媒体上展示，分类的标准要引导学生去体会练一练1，任意写出三个有理数，并说出是什么类型的数，与同伴进行交流．2，教科书第10页练习．此练习中出现了集合的概念，可向学生作如下的说明．把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”，所有有理数组成的数集叫做有理数集．类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有负数组成的数集叫做负数集……；数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号:。