解直角三角形
一、选择题
1．（2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
2．（2018年湖北省宜昌市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
3. (2018四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）
（参考数据：）（）
A. 4.64海里
B. 5.49海里
C. 6.12海里
D. 6.21海里
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图如图所示：作BD ⊥AC ，取BE=CE ，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE ，AD=DE ，设BD=x ，Rt △ABD 中，根据勾股定理得AD=DE=
x ，AB=BE=CE=2x ，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案. 二.填空题
1. （2018·重庆(A)·4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B 、点C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ，得到30∠=︒AGE
，若==AE EG ABC 的边BC 的长为 厘米。
【考点】解直角三角形、勾股定理
【解析】 过E 作⊥EH AG 于H 。
30.
22cos302 6.==∠=︒∴==⋅︒=⨯=AE EG AGE GA AH AE
由翻折得 6.====BE AE GC GA
6∴=++=+BC BE EG GC
【点评】 本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等
2. （2018•湖北黄石•3分）如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为米，点A 、D 、E 在同一水平直线上，则A 、B 两点间的距离是 100
（1+） 米．（结果保留根号）
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt △BCD 中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100
，然后计算AD+BD 即可． 【解答】解：如图，
∵无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt △ACD 中，∵tanA=
，
∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
故答案为100（1+）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
3. （2018·山东泰安·3分）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S=x2．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
故答案为S=x2．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4（2018·山东潍坊·3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，
继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°
方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），
所以 PQ﹣90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以=（小时）
故答案是：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
5．（2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得
到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为
或．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6（2018·湖北省武汉· 3分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平
分△ABC的周长，则DE的长是．
【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．
题号依次顺延
三.解答题
1. ．（2018•四川凉州•8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
【分析】（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解．
【解答】解：（1）理由如下：
如图，过C作CH⊥AB于H．
设CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAH=45°，∠CBA=30°．
在Rt△ACH中，AH=CH=x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC=
∴，
∵AH+HB=AB，
∴x+x=600，
解得x=≈220（米）＞200（米）．
∴MN不会穿过森林保护区．
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣5）天．
根据题意得：=（1+25%）×
解得：y=25．
经检验知：y=25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．
2. （2018•山西•8分）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱
组合而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.
测量结果如下
表.
... ...
(1) 请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到A B 的距离（参考数据sin 38︒≈0.6 ，cos 38︒≈ 0.8 ，
tan 38︒≈ 0.8 ，s in 28︒≈ 0.5 ，c os 28︒≈ 0.9 ，t an 28︒≈ 0.5 ）；
(2) 该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.
【考点】三角函数的应用
【解析】
（1）解：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D.
设 CD= x 米，在 Rt ∆ ADC 中，
∠ADC=90°，∠A=38°.
AD +BD =AB = 234 . ∴5
4x + 2x = 234.
解得x = 72 .
答：斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米.
（2）解：答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等.
3. （2018•山东枣庄•4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.18 米．（2018•山东枣庄•结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米．
故答案为：6.18．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
4（2018•四川成都•8分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成
功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它
的北偏东方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于
它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离
的长.（参考数据：，，，
，，）
【答案】解：由题知：，，.在中，
，，（海里）.
在中，，，（海里）.
答：还需要航行的距离的长为20.4海里.
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意可得出，，，再利用解直角三角形在Rt△ACD和Rt△BCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。
5 （2018•山东菏泽•6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可．
【解答】解：∵EC∥AD，
∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD=，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD﹣DB=200﹣200，
答：A、B两点间的距离为200﹣200米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长．
6 （2018•江西•8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽
,点固定，当点在
上左右运动
时，
与
的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若
,求
的长；
(2)当点从点向右运动60
时，求点在此过程中运动的路径长.
参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14
图1 图2
【解析】 （1）如图，作OH ⊥AB 于H ∵OC=OB=60 ∴CH=BH 在Rt △OBH 中 ∵ cos ∠OBC=
∴BH= OB ·cos50°≈60×0.64=38.4 ∴AC=AB －2BH ≈120－2×38.4=43.2
∴AC 的长约为43.2cm. ★★
（2）∵AC=60 ∴BC=60 ∵OC=OB=60
∴OC=OB=BC=60
∴△OBC是等边三角形
∴OC弧长=
=62.8
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.
7．（2018·湖南省常德·7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）
【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF 中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1．
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
8（2018·湖南省衡阳·8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．
（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？
【解答】解：（1）作CP⊥AB于P，
由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，
则CP=AC=1000米；
（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，
∴BC=PC=1000米．
∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，
∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，
∴他在15分钟内能到达宾馆．
9.（2018·山东临沂·7分）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2
（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？
【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，
理由是：过B作BD⊥AC于D，
∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，
∴求出DB长和2.1m比较即可，
设BD=xm，
∵∠A=30°，∠C=45°，
∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，
∵AC=2（+1）m，
∴x+x=2（+1），
∴x=2，
即BD=2m＜2.1m，
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．
【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．
10（2018·山东青岛·6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈
【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，
在Rt△BOM中，BM==x，
由题意得，840﹣x+x=500，
解得，x=480，
答：点O到BC的距离为480m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
11. （2018•甘肃白银，定西，武威）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地
被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）
【答案】隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB,垂足为D, 在Rt△ADC和Rt△BCD中，分别解直角三角形即可.
【解答】如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D,
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640．
∴ CD=320，AD=，
∴BD=CD=320，BC=,
∴AC+BC=，
∴ AB=AD+BD=，
∴ 1088-864=224（公里）．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
12（2018•安徽•4分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
【答案】旗杆AB高约18米.
【解析】【分析】如图先证明△FDE∽△ABE，从而得，在Rt△FEA中，由tan∠AFE=，通过运算求得AB的值即可.
【详解】如图，∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°，
∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°，
∴∠FEA=90°，
∵∠FDE=∠ABE=90°，
∴△FDE∽△ABE，∴，
在Rt△FEA中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°=，
∴，
∴AB=1.8×10.02≈18，
答：旗杆AB高约18米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到
是解题的关键.
13.（2018•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线
都垂直，，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），上的点M位于点A的北偏东
2018年九年级数学中考专题复习--解直角三角形实际问题 培优练习卷 1.如图,在△ABC中,∠C=60°,AC=2,BC=3.求tanB的值． 2.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的 俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数） （参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93） 3.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B=cos ∠DAC． (1)求证；AC=BD；(2)若sin C=，BC=12，求AD的长．
4.如图，长方形广告牌加载楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长.(参考数据：tan37°≈0.75，,1.732，结果精确到0.1m) 5.某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为 8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°． （1）求建筑物CD的高度； （2）求建筑物AB的高度． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75）
6.如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗 户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光． （1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号） （2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算） 7.如图,天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米,小军和小明同时分别从A处和 B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°,东端的坡角是30°,小军的行走速度为 米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处,则小明的行走速度是多少？
解直角三角形 一．选择题 1、（苏州二模）如图，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格 纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长.(精确到1 mm，?≈?≈?≈) 参考数据:sin360.60,cos360.80,tan360.75 答案：解：长方形卡片周长为200mm. 2、（齐河三模）在△ABC中，若＋(1－tanB)2＝0， 则∠C的度数是() A．45°B．60°C．75°D．105° 答案：D 3. ( ·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形． 其中正确结论的序号是（） A．①③B．①②③④C．②③④ D．①③④ 【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A是劣弧的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB?cos30°=6×=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴A C=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·某某市B卷）5.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM==8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·某某某某·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·某某某某·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD．
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
2018年数学全国中考真题 解直角三角形及其应用（试题二） 解析版 三、解答题 1. （2018四川泸州，22题，8分）如图8，甲建筑物AD, 乙建筑物BC 的水平距离AB 为90m ，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A ，E, B 在同一水平线上)点测得D 点的仰角为30°，测得C 点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C 、D 间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值). 第22题图 【思路分析】利用三角函数，将AB 的长度转化为AD 和BC 的长度，过点D 作BC 的垂线，进而构建直角三角形，利用勾股定理，求得CD 的长度 【解题过程】因为乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，所以设AD=x ，CB=6x ，因为DA ⊥AB ，CB ⊥AB ， 所以在Rt △DAE 中，tan ∠DAE=AE DA ，∠DAE=30°，所以AE=x 3，在Rt △CBE 中，tan ∠CEB=BE CB ， ∠CEB=60°，所以AE=x 32，因为AB=90m ，即x 3+x 32=90，x=103，过点D 作DF ⊥CB 于点F ，则四边形DABF 为矩形，所以DF=AB=90，CF=CB-BF=CB-AD=5x=350，在Rt △CDF 中，由勾股 定理得，CD=2 2CF DF =3910 第22题解图 【知识点】三角函数的应用，勾股定理 60°30° D C B 60°30° D C B F
夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D、E两处测得路灯B的仰 角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝3 4 ．求灯杆AB的长度． 【知识点】锐角三角函数；矩形的性质；30°角的直角三角形的性质 3.（2018浙江衢州，第20题，8分）“五・一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道L步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示。 E
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页） 绝密★启用前 陕西省2018年初中毕业学业水平考试 数 学 (本试卷满分120分,考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.11 7- 的倒数是 ( ) A .117 B .117 - C .711 D .711 - 2.如图,是一个几何体的表面展开图,则该几何体是 ( ) A .三棱柱 B .四棱锥 C .正方体 D .长方体 3.如图,若12l l ∥,34l l ∥,则图中与1∠互补的角有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.如图,在矩形AOBC 中,(2,0)A -,(0,1)B .若正比例函数y kx =的图象经过点C ,则k 的值为 ( ) A .2- B .12 - C .2 D .12 5.下列计算正确的是 ( ) A .2242a a a = B .22(2)4a a -=- C .236()a a -=- D .2 2 2 363a a a -= 6.如图,在ABC △中,8AC =,60ABC ∠=,45C ∠=,AD BC ⊥,垂足为D ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为 ( ) A . B . C D 7.若直线l 1经过点(0,4),l 2经过点(3,2),且l 1与l 2关于x 轴对称,则l 1与l 2的交点坐标为 ( ) A .(2,0) B .(2,0)- C .(6,0) D .(6,0)- 8.如图,在菱形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD 和DA 的中点,连接EF ,FG ,GH 和HE .若2EH EF =,则下列结论正确的是 ( ) A .AB B .AB C .2AB EF = D .AB = 9.如图,ABC △是 O 的内接三角形,AB AC =,65BCA ∠=,作 CD AB ∥,并与O 相交于点D ,连接BD ,则DBC ∠的大小为 ( ) A .15 B .25 C .35 D .45 10.对于抛物线2(21)3y ax a x a =+-+-,当1x =时,0y ＞,则这条抛物线的顶点一定在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.请把答案填写在题中的横线上) 11.比较大小： 填“＞”“＜”或“=”). 12.如图,在正五边形ABCDE 中,AC 与BE 相交于点F ,则AFE ∠的度数为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷 -------------------- 上-------------------- 答 -------------------- 题 -------------------- 无-------------------- 效----------------
28 解直角三角形(含解析) 一、选择题 1．（2021•浙江金华，T7，3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（） A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D． 4 cos a 米 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC,再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案。 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D, ∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC, ∴BD＝DC, ∴cosα＝DC AC ＝ 2 DC , ∴DC＝2cosα(米）， ∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米）。 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出DC的长是解题关键。 2．（2021浙江温州，8，4分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）
A ．21sin α+1 B ．sin 2α+1 C ．21cos α+1 D ．cos 2α+1 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】在Rt △OAB 中，sin α＝AB OB ,可得OB 的长度，在Rt △OBC 中，根据勾股定理OB 2+BC 2＝OC 2,代入即可得出答案． 【解答】解：∵AB ＝BC ＝1, 在Rt △OAB 中，sin α＝ AB OB , ∴OB ＝1sin α , 在Rt △OBC 中， OB 2+BC 2＝OC 2, ∴OC 2＝(1sin α)2+12＝21+1sin α ． 故选：A ． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 3．（2021重庆A 卷，10，4分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和ND ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i ＝1：1.25．若ND ＝58 DE ，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）（ ）
解直角三角形 一、选择题 1．（2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（） A． B． C． D． 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数． 【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α． 【解答】解：sinA===0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 2．（2018年湖北省宜昌市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（） A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度． 【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选：C． 【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 3. (2018四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位） （参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°， 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE， 设BD=x， 在Rt△ABD中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= = ≈5.49，
解直角三角形一.选择题 1. （2019?广东省广州市?3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜 坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（） A．75m B．50m C．30m D．12m 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝， 解得，AC＝75， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2. （2019?广西北部湾经济区?3分）小菁同学在数学实践活动课中测 量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路 灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰 角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6， cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F， 设DF=x， ∵tan65°=， ∴OF=xtan65°， ∴BD=3+x， ∵tan35°=， ∴OF=（3+x）tan35°， ∴2.1x=0.7（3+x），
∴x=1.5， ∴OF=1.5×2.1=3.15， ∴OE=3.15+1.5=4.65， 故选：C． 过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 二.填空题 1. （2019?江苏宿迁?3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB ＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜． 【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值． 【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠ABC1＝30° ∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝， 在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30° ∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2， 当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2． 故答案为：＜BC＜2．
中考指导：解直角三角形的实际应用是中考数学必考的内容之一，解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化为数学模型，通过构建直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的边角关系来解决问题。解直角三角形的应用可解决的问题有： 1.测量物体的高度； 2.测量河的宽度； 3.解决航海航空问题； 4.解决坡度问题； 5.解决实际生活中其它问题. 解直角三角形的实际应用题在中考数学试题中所占的分值大约在8-10分. 典型例题解析 【例1】（河南省商丘市柘城县2018年中考数学一模）如图，山顶建有一座铁塔，塔高BC=80米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C点的仰角为60°．已测得小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米．求山的高度AB（精确到1米）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732） 【答案】山高AB约为129米．
点睛：本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【例2】（四川省青神县2017届九年级教学质量监测）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？ 【答案】即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了 106 102+ 3 海里． 试题解析： 过B作BD⊥AC，
∵∠BAC=75°﹣30°=45°， ∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°， 由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里）， 在△ABC中, ∠BAC=45°，∠ABC=75°，可得∠C=60° ∴在Rt△CBD中， ∴tan∠BCD =，即tan60°=，即CD= 则AC=AD+DC=10+ 答：即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．#网 【例3】（广东省梅州市梅江区实验中学2017届九年级下学期第一次月考）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号） （1）求点P到海岸线l的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点
考点二十八：直角三角形 聚焦考点☆温习理解 一、直角三角形 1.定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2。性质 （1)直角三角形两锐角互余. （2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。 3.判定 （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理及逆定理 1。勾股定理： 直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：a2+b2=c2; 2。勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 三、直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时,除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理）: 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL"）四、解直角三角形 解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中,∠C＝90°，则： (1)三边关系：a2＋b2＝c2； (2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°; （3)边与角关系：sinA＝cos B＝a c ,cos A＝sinB＝ b c ，tanA＝ a b ； (4)sin2A＋cos2A＝1 名师点睛☆典例分类 考点典例一、直角三角形的判定 【例1】(2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟)下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是( ) A。三个内角之比为1：2：3 B. 一边上的中线等于该边的一半 C. 三边为、、 D. 三边长为m2+n2、m2﹣n2、2mn （m≠0,n≠0） 【答案】C 【举一反三】 （2017年广西防城港市防城区扶隆中学中考数学模拟）如图,△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有（多选、错选不得分）． ①∠A+∠B=90° ②AB2=AC2+BC2 ③
中考数学高频考点专项练习：专题十八解直角三角形综合训练 （A） 1.如图，P是α ∠的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin 4 5 α=，则 tanα=( ) A.3 5 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 5 2.tan45°的值等于( ) 23 C.1 3 3.如图,AB是O的直径,C是O上的点,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,若30 A ∠=︒,则sin E的值为( ) A.1 2 233 4.如图,要测量小河两岸相对的两点,P A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得100 PC=米,35 PCA ∠=︒,则小河宽PA等于( ) A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米
5.如图是一架人字梯，已知2 ==米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯 AB AC 脚之间的距离BC为( ) 米 A.4cosα米 B.4sinα米 C.4tanα米 D.4 cosα 6.如图，点A，B，C，D在O上，AC BC ∠=︒，则BC的 ADC AC=，30 ⊥，4 长为( ) A.43 B.8 C.42 D.4 7.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为( ) A.(30303) +km B.(30103) +km D.303km +km C.(10303) 8.如图,,, A B C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan BAC ∠的值为( )
A.12 B.1 3 39.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A 处，测得河的北岸边点B 在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C 点，测得点B 在点C 的北偏东60°方向，则这段河的宽度为( ) A.) 80 31米 B.) 40 31米 C.(120403-米 D.) 40 31米 10.如图,在四边形ABCD 中,90//,DAB AD BC ∠=︒,1,2 BC AD AC =与BD 交于点 ,E AC BD ⊥,则tan BAC ∠的值是( ) A.14 2 2 D.13 11.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若4sin 5 A =，则cos B =___________.
三角形的边与角(命题的有关知识) 一、选择题 1．．（2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=，
解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE． 2．（2018•山东淄博•4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN ∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（） A．4 B．6 C．D．8 【考点】KO：含30度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故选：B． 【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
中考数学真题专项汇编解析—解直角三角形 一．选择题 1．（2022·天津）tan 45︒的值等于（ ） A ．2 B ．1 C D 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图： ∠∠B =90°-45°=45°， ∠∠ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∠根据正切定义，tan 1BC A AC ∠= =， ∠∠A =45°，∠tan 451︒=，故选 B ． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 2 ．（2022·四川乐山）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1 tan 2 A ∠=，1tan 3 ABD ∠=，则CD 的长为（ ）
A ．B ．3 C D ．2 【答案】C 【分析】先根据锐角三角函数值求出 AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32 BE AE =，再 由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD CD ． 【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC ∠1 tan 2 BC A AC ∠= =∠2AC BC == 由勾股定理得,5AB == 过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图， ∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∠ 11 ,,23DE DE AE BE == ∠11,,2 3 DE AE DE BE == ∠112 3 AE BE = ∠32 BE AE = ∠5,AE BE += ∠352 AE AE += ∠2,AE = ∠1DE =, 在 Rt ADE ∆中,222 AD AE DE =+ ∠AD ∠AD CD AC +== ∠CD AC AD =-=故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出
小专题(七) 结构基本图形解直角三角形的应用题 种类 1 结构单不停角三角形 1．平放在地面上的直角三角形铁板 ABC 的一部分被沙堆掩埋 ，其表示图以以下图． 量得∠ A 为54°，∠ B 为36°，斜边AB 的长为2.1m ，B C 边上露出部分 B D 的长为0.9m ．求铁板 BC 边被掩埋部分 CD 的长．(结果正确到 0.1m ．参照数据： sin54°≈0.，81cos54°≈0.，59 tan54°≈1.38) 解：由题意，得∠C ＝180°－∠B －∠A ＝180°－36°－54°＝90°. 在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AB ， BC ＝AB ·sinA ＝2.1×sin54°≈1.701(m)， CD ＝BC －BD ＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)． 种类2母子三角形 2．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i ＝1∶0.75，坡长BC ＝10米，则此时AB 的长约为(参照数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈04)(A).8 A ．5.1米 B ．6.3米 C ．7.1米 D ．9.2米 3．(长沙中考)为了保护国家主权和大海权利 ，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管 理．如图，正在实行巡航任务的海监船以每小时 50海里的速度向正东方航行 ，在A 处测得 灯塔P 在北偏东 60°目标上，连续航行 1小时抵达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°目标 上． (1)求∠APB 的度数； (2)已知在灯塔 P 的四周25海里内有暗礁，问海监船连续向正东目标航行能否安全？ 解：(1)在△APB 中，∠PAB ＝30°，∠ABP ＝120°， ∴∠APB ＝180°－30°－120°＝30°. (2)过点P 作PH ⊥AB 于点H.
解直角三角形 一.选择题 1.（2018•江苏苏州•3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC的长）为（） A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里 【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题； 【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB， 由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA， ∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里）， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°． 2.（2018•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（） A．等于B．等于 C．等于D．随点E位置的变化而变化 【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答． 【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==． 设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG===． 故选：A． 【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的． 3. （2018·黑龙江哈尔滨·3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（） A ．B．2 C．5 D．10 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD==， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键． 4.（2018•贵州贵阳•3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan BAC的值为（ B ） （A）1 （B）1 （C） 2 3 （D）3 3
专题5.3 锐角三角形 一、单选题 1．如图，在中，，，，则等于（） A. B. C. D. 【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 【答案】A 点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． 2．的值等于（） A. B. C. 1 D. 【来源】天津市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可． 详解：cos30°=． 故选：B． 点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（） A. B.
C. D. 【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题 【答案】A 点睛：本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析：在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题； 详解：在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故选B． 点睛：本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则
2018年湖北省武汉市中考数学试卷(解析版) 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）温度由﹣4℃上升7℃是（） A．3℃ B．﹣3℃C．11℃D．﹣11℃ 【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则计算可得． 【解答】解：温度由﹣4℃上升7℃是﹣4+7=3℃， 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠﹣2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3．（3分）计算3x2﹣x2的结果是（） A．2 B．2x2C．2x D．4x2 【分析】根据合并同类项解答即可． 【解答】解：3x2﹣x2=2x2， 故选：B． 【点评】此题考查合并同类项，关键是根据合并同类项的法则解答． 4．（3分）五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（） A．2、40 B．42、38 C．40、42 D．42、40
【分析】根据众数和中位数的定义求解． 【解答】解：这组数据的众数和中位数分别42，38． 故选：B． 【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数． 5．（3分）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（） A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6 【分析】根据多项式的乘法解答即可． 【解答】解：（a﹣2）（a+3）=a2+a﹣6， 故选：B． 【点评】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答． 6．（3分）点A（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标是（） A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（﹣5，2） 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5）． 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7．（3分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）