黑龙江省大庆市大庆铁人中学2019-2020高二上学期开学考试数学试卷

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1. 下列语句不是命题的有（）①x2−3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1＝5；④5x−3>6．A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】命题①和命题④无法判断其真假，命题②为疑问句，所以只有③为命题．【解答】①x2−3＝0，无法判断真假，故①不是命题；②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；③3+1＝5，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；④5x−3>6，无法判断真假，故④不是命题．2. 命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是（）A.若A∪B≠A，则A∩B≠BB.若A∩B＝B，则A∪B＝AC.若A∩B≠A，则A∪B≠BD.若A∪B＝B，则A∩B＝A【答案】A【考点】四种命题的定义【解析】对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．【解答】“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”3. 双曲线x2−3y2＝9的焦距为（）A.√6B.2√6C.2√3D.4√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】化双曲线的方程为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c．【解答】双曲线x2−3y2＝9的标准方程为x29−y23=1，可得a ＝3，b =√3，c =√9+3=2√3， 则双曲线的焦距为2c ＝4√3，4. 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答． 【解答】甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．5. 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 四种命题的真假关系 不等式的概念与应用 【解析】先看原命题，∵ 若ac 2>bc 2，则c ≠0，∴ a >b ，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可． 【解答】 解：原命题：，∵ 若ac 2>bc 2，则c ≠0，∴ a >b ，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a >b ，则ac 2>bc 2，不正确，∵ a >b ，∴ 关键是c 是否为0，∴ 逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴ 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题． 故选B6. 已知椭圆x 25+y 2m =1的离心率e =√105，则m 的值为（ ） A.3 B.253或 3C.√5D.5√153或√15【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a⇒m当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2⇒m；【解答】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a =25⇒m=253；当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2=25⇒m＝3；7. 下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，2x−1>0B.∀x∈N∗，(x−1)2>0C.∃x∈R，lgx<1D.∃x∈R，tanx=2【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y＝tanx的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为(0, +∞)，∴任意x∈R，均可得到2x−1>0成立，故A项正确；∵当x∈N∗时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，∴任意x∈N∗，使(x−1)2>0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0<1，∴存在x∈R，使得lgx<1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R，∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确.综上所述，只有B项是假命题.故选B.8. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(2, 2)平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A.x+4y＝0B.x+4y−10＝0C.x+4y−6＝0D.x−4y−10＝0【答案】B【考点】直线与椭圆结合的最值问题设这条弦与椭圆x 236+y 29=1交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由中点坐标公式知x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝4，把A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)代入x 2+4y 2＝36，得{x 12+4y 12=36x 22+4y 22=36，4(x 1−x 2)+16(y 1−y 2)＝0，k =y 1−y 2x 1−x 2=−14，由此能求出这条弦所在的直线的方程． 【解答】 设这条弦与椭圆x 236+y 29=1交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由中点坐标公式知x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝4， 把A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)代入x 2+4y 2＝36， 得{x 12+4y 12=36x 22+4y 22=36， ①-②，得4(x 1−x 2)+16(y 1−y 2)＝0，∴ k =y 1−y 2x 1−x 2=−14，∴ 这条弦所在的直线的方程y −2=−14(x −2)，即x +4y −10＝0．9. 设f(x)＝x 2−4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分的条件是（ ） A.x <0 B.x <0或x >4 C.|x −1|>1 D.|x −2|>3 【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】利用不等式的解法、充要条件的判定方法即可得出． 【解答】由f(x)＝x 2−4x >0，解得x >4，或x <0． 由|x −1|>1，解得x <0或x >2． 由|x −2|>3，解得x <−1或x >5．∴ f(x)>0的一个必要而不充分的条件是|x −1|>1，10. 下列命题中正确的是（ ）A.若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1>0B.“a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充要条件C.若x ≠0，则x +1x ≥2D.函数f(x)=2sin(2x +π6)图象的一条对称轴是x =π6 【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用直接写出特称命题的否定判断A ；由充分必要条件的判定方法判断B ；利用基本不等式求出x ≠0时，x +1x 的范围判断C ；把x =π6代入函数解析式求得f(π6)＝2说明D 正确． 【解答】若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1≥0，故A 错误； 由a ＝1，可得直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直，反之，直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直，得a ＝±1，∴ “a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件，故B 错误； 若x ≠0，则x +1x ≥2或x +1x ≤−2，故C 错误；∵ f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2，∴ 函数f(x)=2sin(2x +π6)图象的一条对称轴是x =π6，故D 正确．11. 存在实数x ，使不等式sinx +cosx >m 成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−√2,+∞) B.(√2,+∞) C.(−∞,−√2) D.(−∞,√2) 【答案】 D【考点】三角函数的最值 【解析】将左边看成关于x 的函数，然后求其最大值，要使原不等式有解，只需m 小于左边的最大值即可． 【解答】令t ＝sinx +cosx ，x ∈R ， 则t =√2sin(x +π4)，易知−√2≤√2sin(t +π4)≤√2；要使sinx +cosx >m 有解，只需m <√2即可； 所以m 的取值范围是(−∞, √2)．12. 已知椭圆x 28+y 22=1上一点A(2, 1)和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，则直线BC 的斜率k( ) A.k >12或k <−12 B.k =−12C.k =12 D.k 的值不确定【答案】 C【考点】 椭圆的离心率 【解析】 由点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，联立方程，求出B ，C 点的坐标，代入斜率公式，可得答案． 【解答】∵ 点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，∴ 设直线AB 的方程为：y −1＝k 1(x −2)，直线AC 的方程为：y −1＝k 2(x −2)＝−k 1(x −2)，即直线AB 的方程为：y ＝k 1(x −2)+1，直线AC 的方程为：y ＝−k 1(x −2)+1， 将y ＝k 1(x −2)+1，代入x 28+y 22=1得：(4k 12+1)x 2−(16k 12−8k 1)x +16k 12−8k 1+4=0，由A 的横坐标为2，结合韦达定理可得B 点的横坐标为：16k 12−8k 14k 12+1−2=8k 12−8k 1−24k 12+1，则B 点的纵坐标为−4k 12−4k 1+14k 12+1，即B 点坐标为：(8k 12−8k 1−24k 12+1, −4k 12−4k 1+14k 12+1)，同理可得：C 点的坐标为：(8k 12+8k 1−24k 12+1, −4k 12+4k 1+14k 12+1)故BC 的斜率k =−4k 12+4k 1+14k 12+1−−4k 12−4k 1+14k 12+18k 12+8k 1−24k 12+1−8k 12−8k 1−24k 12+1=12，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知p:3<m <5，q ：方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线，则p 是q 的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】 充分不必要 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】结合双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】 若方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线， 则(m −2)(m −5)<0，解得2<m <5， 即q:2<m <5， ∵ p:3<m <5，∴ p 是q 的充分不必要，已知双曲线过点(2√3,2)，且渐近线方程为y =±√22x ，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 x 24−y 22=1 【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，解方程可得所求双曲线的标准方程． 【解答】渐近线方程为y =±√22x ，可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，可得m ＝4−12×12＝−2， 则双曲线的方程为y 2−12x 2＝−2，即x 24−y 22=1，在平面直角坐标系中，点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是________<3或−1<m <32 ．【答案】 2<m 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据题意，分析可得{2m +3−m 2>02m−32−m <0 ，解可得m 的取值范围，反之验证即可得答案． 【解答】根据题意，若点(2m +3−m 2,2m−32−m )在第四象限，则有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 ，解可得：2<m <3或−1<m <32，反之，当2<m <3或−1<m <32时，有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 成立，则点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限，故点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是2<m <3或−1<m <32，设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为________√22．【答案】√22．【考点】椭圆的离心率【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k．∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．【答案】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）【考点】命题的真假判断与应用【解析】按照四种命题的形式，写出命题，然后判断真假即可．【解答】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2√13．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．【答案】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．【解答】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1已知p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a>0；q：实数x满足x−3x−2≤0．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a<x<3a，∴{a≤23a>3，解得1<a≤2，故实数a的取值范围(1, 2]．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．（2）求出￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，即可解出．【解答】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a<x<3a，∴{a≤23a>3，解得1<a≤2，故实数a的取值范围(1, 2]．已知椭圆E的焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为√32．（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线l:y=12x+m与椭圆E相交于A，B两点，且弦AB中点横坐标为1，求m值．【答案】椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0， △＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由b ＝1，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；（2）联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得m 的值． 【解答】椭圆E 的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a+y 2b =1(a >b >0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0， △＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c, 0)，(0, b)的直线的距离为12c ．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x +2)2+(y −1)2=52的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =ca =√1−b 2a 2=√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2， 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 曲线与方程 【解析】（1）求出经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（2）由（1）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程． 【解答】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =ca =√1−b 2a =√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2， 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左顶点到直线x +2y −2＝0的距离为4√55． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由； (Ⅲ)在（2）的条件下，试求△AOB 面积S 的最小值． 【答案】（本小题满分1 （1）由已知，√5=√5⇒a ＝2因为e =c a=√32⇒c =√3⇒b 2=a 2−c 2=1故所求椭圆的方程为x 24+y 2=1（2）法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk −8km1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0 又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +cx 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cmm 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1； 当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k ，由{y =kx x 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k 2 ，同理{x 22=4k 2k +4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB 面积S 的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l 的斜率不存在时，S =12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l 的斜率存在时，5m 2＝4(1+k 2)，且点O 到直线AB 的距离为d =2√55，|AB|=√1+k2⋅√(x12212=√1+k2⋅√(−8km1+4k2)2−4(4m2−4)1+4k2＝2⋅√4k2+1−m2(1+4k2)2＝4√1+k2⋅√16k2+15(1+4k2)2故S=12|AB|⋅d=45√(k2+1)(16k2+1)(1+4k)，令1+4k2＝t(t≥1)，则S=25√4t2+9t−9t2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S≤1．综上，△AOB面积S的最小值为45．【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率圆锥曲线的综合问题椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)利用距离公式求出a，离心率求出c，得到b后即可求出椭圆方程．(Ⅱ)法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率不存在时，求解点O到直线AB的距离．②当直线l的斜率存在时，设其方程为l:y＝kx+m．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合数量积，求出m，k关系式，然后求解距离即可．法二：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率为0时，求解点O到直线AB的距离，②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x＝my+c．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及数量积，求解距离即可．(Ⅲ)法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S＝1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为−1k，利用平方差法以及弦长公式表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值．法二：由(Ⅱ)，①当直线l的斜率不存在时，求出面积；②当直线l的斜率存在时，求出写出以及点到直线的距离，得到面积的表达式，利用二次函数的性质求解面积的最值．【解答】（本小题满分1（1）由已知，√5=√5⇒a＝2因为e=ca =√32⇒c=√3⇒b2=a2−c2=1故所求椭圆的方程为x24+y2=1（2）法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk−8km 1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0 又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +cx 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cm m 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1； 当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k， 由{y =kxx 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k2，同理{x 22=4k2k 2+4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB 面积S 的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l 的斜率不存在时，S =12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l 的斜率存在时，5m 2＝4(1+k 2)， 且点O 到直线AB 的距离为d =2√55，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅√(−8km 1+4k 2)2−4(4m 2−4)1+4k 2＝4√1+k 2⋅√4k 2+1−m 2(1+4k 2)2＝4√1+k 2⋅√16k +15(1+4k 2)2故S =12|AB|⋅d =45√(k 2+1)(16k 2+1)(1+4k 2)2，令1+4k 2＝t(t ≥1)，则S =25√4t2+9t−9t 2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S ≤1． 综上，△AOB 面积S 的最小值为45．。

铁人中学2018级高二学年上学期期末考试数学理科试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.若98与63的最大公约数为a ，二进制数(2)110011化为十进制数为b ，则a b +=（ ） A. 53 B. 54 C. 58 D. 60【答案】C 【解析】由题意知，9863135÷=⋯，6335128÷=⋯，352817÷=⋯，2874÷=， ∴98与63的最大公约数为7，∴7a =．又()234521100111120202121251=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴51b =，51758a b ∴+=+=．选C ．点睛：求两个正整数的最大公约数时，可用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当出现整除时，就得到要求的最大公约数．2.与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是（ ）． A. 若a M ∉，则b M ∉ B. 若b M ∉，则a M ∈ C. 若b M ∈，则a M ∉ D. 若a M ∉，则b M ∈【答案】C 【解析】分析：根据四种命题等价性关系判断.详解：原命题与其逆否命题等价，C 项是原命题的逆否命题，符合要求． 故选C ．点睛： p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 具有等价关系3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换42x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线221x y -=，则曲线C 的方程为（ ）A. 224161x y -= B. 221641x y -=C. 221164x y -=D. 221416x y -=【答案】B 【解析】 【分析】将42x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线221x y -=化简可得到式子. 【详解】将42x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线221x y -=方程得到221641x y -=．故答案为B.【点睛】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.4.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域概率是（ ）A.23B.12C.34D.58【答案】D 【解析】 【分析】设直角三角形的三条边长分别为a b c 、、,用α表示出a b c 、、的关系,即可分别求出两个阴影部分的面积,即可根据几何概型概率的求法求得飞镖落在阴影区域概率. 【详解】直角三角形的三条边长分别为a b c 、、 则cos cos12b c c πα==,sin sin12a c c πα==则两个阴影部分的面积和为21cos sin cos sin 212121212S c c c c ππππ⎛⎫=⋅⋅⋅+-⋅ ⎪⎝⎭所以飞镖落在阴影区域概率为221cos sin cos sin 212121212c c c c P c ππππ⎛⎫⋅⋅⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭=15sin 1sin 4668ππ=+-= 故选:D【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,三角函数的化简求值,属于中档题.5.袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ） A. “至少有一个黑球”和“没有黑球”B. “至少有一个白球”和“至少有一个红球”C. “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D. “恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断.【详解】对于A, “至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件;对于B, “至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件; 对于C, “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件 对于D, “恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件. 综上可知,C 为正确选项 故选:C【点睛】本题考查了互斥与对立事件的概念和判断,属于基础题.6.“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，方程22175x ym m +=--表示一个椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得57m <<且6m ≠， 所以“57m <<”是“方程22175x y m m +=--”的必要不充分条件，故选C.点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件75m m -≠-导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A. 73.3，75，72B. 72，75，73.3C. 75，72，73.3D. 75，73.3，72【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中位数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中位数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A. -10B. 6C. 14D. 18【答案】B 【解析】模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立；224,18414,45i S =⨯==-=>不成立；248,1486,85i S =⨯==-=>成立输出6,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.9.已知椭圆22142x y +=上有一点P ，12,F F 是椭圆的左右焦点，若12F PF ∆为直角三角形，则这样的点P 有（ ）个 A. 3 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】试题分析：当1F ∠为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P 有2个；同理当当2F ∠为直角时，这样的点P 有2个；当P ∠为直角时，由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，本题张角恰好为直角，这时这样的点P 也有2个，故符合条件的点P 有6个，选项C 为正确答案．考点：1、椭圆的对称性；2、分类讨论的数学思想．10.已知双曲线221:143x yC-=与双曲线222:143x yC-=-，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得12,C C的半焦距c相等，它们的渐近线方程相同，12,C C的焦点均在以原点为圆心，c为半径的圆上，离心率不相等，故选D.11.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以,,,A B C D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A. 90°B. 60C. 45°D. 30°【答案】C【解析】【分析】先记正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，根据折起后的图形，得到当DO⊥平面ABC时，三棱锥D ABC-的体积最大，从而推出DBO∠为直线BD和平面ABC所成的角，根据题中条件，即可求出线面角.【详解】记正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线AC折起后，如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D ABC-的体积最大.DBO∴∠为直线BD和平面ABC所成的角，∵因为正方体对角线相互垂直且平分，所以在Rt DOB 中，OD OB =，∴直线BD 和平面ABC 所成的角大小为45°. 故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角，以及三棱锥体积最大的问题，熟记线面角的概念，以及三棱锥的结构特征即可，属于常考题型. 12.已知抛物线：24y x =-，直线:3l x及l 上一点()3,3M ，抛物线上有一动点P 到l 的距离为1d ，P 到M 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义,将P 到l 的距离为1d 转化为P 到1x =的距离32d +,即可由三点共线时取得距离最小值,解得12d d +的最小值. 【详解】抛物线24y x =-,则其焦点坐标()1,0F -,准线方程为1x =.设动点P 到准线的距离为3d , P 到焦点的距离为4d ，由抛物线定义可知则34d d = 由题意可知抛物线上的动点P 到:3l x的距离为1d ，则312d d =+因为P 到M 的距离为2d ，则13222d d d d +=++422d d =++当F P M 、、在同一条直线上时取得最小值此时FM ，即425d d += 所以()12min 52=7d d +=+ 故选:C【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,抛物线中线段的最小值求法,属于基础题.第ⅠⅠ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分.）13.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________． 【答案】40【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从56名学生中抽取4名，组距为56414÷=，由于抽取到第二个编号为26号，故第三个样本的编号为261440+=号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【解析】【详解】连接DE ，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角， 在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．15.下列说法中正确的个数是_________.（1）命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”.（2）命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定“x R ∀∈，20x x ->”. （3）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题.（4）“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件. 【答案】1 【解析】根据命题与逆否命题的定义可判断（1）;根据特称命题的否定即可判断（2）;由复合命题真假的关系可判断（3）;根据两条直线平行时的斜率关系可判断（4）.【详解】对于（1）,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根,则0m ≤”,所以（1）正确;对于（2）,命题“x R ∃∈,20x x ->”的否定“x R ∀∈,20x x -≤”,所以（2）错误; 对于（3）,若p q ∧为假命题,则p 、q 中至少有一个为假命题,所以（3）错误;对于（4）,当1a =时, 直线1l ：210x y +-=与直线2l ：240x y ++=,则12,k k =且12b b ≠,所以是“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充分条件;当“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”时,则121a a -=-+,解得1a =或2a =-,所以“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充分不必要条件.所以（4）错误. 综上可知,正确的为（1） 故答案为:1【点睛】本题考查了命题与逆否命题的关系,特称命题的否定形式,复合命题真假的判断及充分必要条件的判断,属于基础题.16.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线C ：28y ax =的焦点为.F 若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则双曲线E 的离心率的取值范围是______．【答案】⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【详解】双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为(),0A a ，抛物线C ：28y ax =的焦点为()2,0F a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 可设,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即有,b AP m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,b FP m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得0AP FP ⋅=， 即为()()22220b m a m a m a --+=，化为22221320b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意可得222294120b a a a ⎛⎫=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，即有()222288a b c a ≥=-，即2289c a ≤，则4c e a =≤．由1e >，可得14e <≤．故答案为.⎛ ⎝⎦【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).三、解答题（第17题10分，其它每题12分，共70分.）17.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2221243sin cos ρθθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB ．【答案】（1）直线l 的方程为y ＝x +1，曲线C 的方程为2243x y +=1；（2）247. 【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线l的参数方程为12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数，可得直线l 的方程为1y x =+，由曲线C 的极坐标方程2221243sin cos ρθθ=+，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，曲线C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）将122x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），代入2243x y +=1，得27180t --=，设AB 所对应的参数分别为12,t t，则1212187t t t t +=⋅=-，则12247AB t t =-==． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18.如表是某位同学连续5次周考的数学、物理的成绩，结果如下：参考公式：()()()11122211nnii ii i nniii i x x yyx y nx yb x x xnx==-=---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，,x y 表示样本均值．（1）求该生5次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；（2）一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量,x y 的线性回归方程．【答案】（1）数学成绩的平均分83；物理成绩的方差2 4.8s =（2）0.7517.75y x =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义及求法,代入即可求得该生5次月考数学成绩的平均分x ;先求得物理平均分y ,根据方差公式即可求得物理成绩的方差. （2）根据所给回归直线的方程公式,先求得()()51i i i x x y y =--∑及()521i i x x =-∑,即可求得b ,再代入公式a y bx =-求得a ,即可得线性回归方程. 【详解】（1）()17981838587835x =++++= ()17779798283805y =++++= ()()()()()222222177807980798082808380 4.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦（2）根据（1）中所得,及结合表中数据 计算可得()()5130i i i x x y y =--=∑,()52140i i x x=-=∑所以回归系数为()()()1121300.7540nii ni i x x yyb x x=---===-∑∑ 800.758317.75a y bx =-=-⨯=故所求的线性回归方程为0.7517.75y x =+【点睛】本题考查了平均数及方差的求法,线性回归方程的求法,属于基础题.19.把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩解答下列各题：（1）求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率．【答案】（1）1112（2）1336【解析】 【分析】（1）先求得投掷骰子出现的所有情况总数.将方程组求解,根据方程组只有一个解时,未知数系数不为0,先求得系数为0的情况,根据对立事件的概率求法即可求得方程组只有一个解的概率.（2）根据正数解的要求解不等式组,即可求得a b 、的取值范围,结合总数情况即可得解. 【详解】事件(),a b 的基本事件有36个．由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩可得(2)62(2)23a b x ba b y a -=-⎧⎨-=-⎩（1）方程组只有一个解,需满足20a b -≠即2b a ≠ ,而2b a = 的事件有()()()1,2,2,4,3,6共3个 所以方程组只有一个解的概率为131113612P -== （2）方程组只有正数解,需20a b -≠且620,2230,2ba b a a b -⎧>⎪⎪-⎨-⎪>⎪-⎩即23 23a b a b >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩或2,3,23.a b a b <⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩ 其包含的事件有13个：()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2,1,4,1,5,1,6因此所求的概率为1336. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,方程组的解法及方程组解的要求,属于基础题. 20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，C 上一点(3,)m 到焦点的距离为5． （1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为-1，求直线l 的方程．【答案】（1）28y x =（2）480x y +-=【解析】 【分析】()1法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可()2法一：由()1可得抛物线焦点F 的坐标，设出A B ，两点的坐标，利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标为1-，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线l 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线方程，设出A B ，两点的坐标，通过线段AB 中点的纵坐标为1-，求出m 即可【详解】（1）法一:抛物线C : 22(0)y px p =>的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,由已知2235m p ⎧=⨯=，解得4p =或16p =-.∵0p >,∴4p =∴C 的方程为28y x =. 法二:抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为,2p x =-由抛物线的定义可知352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得4p =.∴C 的方程为28y x =.（2）法一:由(1)得抛物线C 的方程为28y x =,焦点()2,0F .设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则21122288y x y x ⎧=⎨=⎩ 两式相减,整理得2121218y y x x y y -=-+.∵线段AB 中点的纵坐标为1-，∴直线l 的斜率()2188412AB k y y ===-+-⨯直线l 的方程为()042y x -=--即480x y +-= 分法二:由(1)得抛物线C 的方程为28y x =,焦点()2,0F设直线l方程为2x my =+由282y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ,得28160y my --=设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,∵线段AB 中点的纵坐标为1-∴()128122m y y --+==-解得14m =- 直线l 的方程为124x y =-+即480x y +-= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线l 的方程为2x my =+，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别为1C B 和1D D 的中点,侧棱1A A ⊥底面,,1ABCD AB AC AB ⊥=12,5ACAA AD CD.（1）求证：MN //平面ABCD ； （2）求二面角11D -ACB 的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）310【解析】 【分析】（1）根据题意,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,可通过证明MN 与平面ABCD 的法向量垂直,来证明MN //平面ABCD .（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系,分别求得平面1ACD 的法向量1n 与平面1ACB 的法向量2n ,即可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角11D AC B 的正弦值.【详解】（1）证明：根据题意,以A 为坐标原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,1AA 为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系:点M 和N 分别为1C B 和1D D 的中点, 1AB =,12,5AC AA AD CD则()()12,0,0,0,1,2C B ==,则11,,12M ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()11,2,0,1,2,2D D =-=-,则()1,2,1N =-所以50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭依题意可知(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量 而0000MN n ⋅=++= 所以MN n ⊥又因为直线MN ⊄平面ABCD 所以//MN 平面ABCD （2）1(1,2,2),(2,0,0)AD AC设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量,则11100n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩不妨设1z =,可得1(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量,则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,又1(0,1,2)AB =,得2020y z x +=⎧⎨=⎩不妨设1z =,可得2(0,2,1)n =-因此有121212cos,n n n n n n ⋅==-⋅, 于是123sin ,10n n =所以二面角11D AC B -- 【点睛】本题考查了利用空间直角坐标系,证明直线与平面的平行,利用法向量求平面与平面的夹角,属于基础题.22.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）6 【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a 的值，由离心率公式可得c 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）以及AB 的方程，将AB 的方程与椭圆联立，分析可得3（my+1）2+4y 2=12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF 1面积用k 表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案．详解：（1）依题意，24,2a a ==，因为12e =，所以2221,3c b a c ==-=，所以椭圆C 方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,,:1A x y B x y AB x my =+ ，则由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2231412my y ++=，即，()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>， 又因为111F M F A F B =+，所以四边形1AMBF 是平行四边形， 设平面四边形1AMBF 的面积为S，则112122212222423434ABF S S F F y y m m ∆==⨯⨯⨯-=⨯=⨯++设t =()2211m t t =-≥，所以2124241313t S t t t=⨯=⨯++，因为1t ≥， 所以134t t+≥，所以(]0,6S ∈，所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.。

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知命题:0p x ∀>，(1)0ln x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝2．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．24．已知a b 与均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|(a b += )A B C D ．45．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,2)2 B ．(1,)+∞ C ．(1,2) D ．1(,1)26．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3(v = ) A ．2-B ．1-C ．0D ．17．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥8．不等式22253x x a a -+-…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，4]B ．(-∞，2][5-，)+∞C ．(-∞，1][4-，)+∞D ．[2-，5]9．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为ABC ∆重心，则MN 等于( ) A ．111333OA OB OC -++B ．111644OA OB OC -++C ．1166OB OC -D ．1166OB OC +10．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“0x R ∃∈，2000x x -…”的否定为“x R ∃∈，20x x ->”B ．命题“在ABC ∆中，30A >︒，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a 、b 满足||||||a b a b +=-，则a 与b 共线D ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件 11．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．312．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为( )AB C D二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．将二进制数(2)11000111转化为八进制数为 ． 14．下列命题中，不正确的是 ． （1）已知a ，b ，c R ∈，则2a cb +=是a ，b ，c 成等差数列的必要不充分条件； （2）10x y +≠是5x ≠或5y ≠的充分不必要条件；（3）若//a b ，//b c ，则//a c ； （4）若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题．15．已知点P 是抛物线216y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的取值范围为 ．16．已知O 为坐标原点，椭圆方程为22194x y +=．以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线0x x =与圆在x 轴上方的部分和椭圆在x 轴上方的部分分别交于P 、Q 两点，则OPQ ∆面积的最大值为 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知1:|1|23x p --…；22:210(0)q x x m m -+->…，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知双曲线22:14y C x -=，P 为C 上任意一点； （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点(4,0)A ，求||PA 的最小值．19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，11AA AB ==． （Ⅰ）求证：1//A C 平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角1B AB D --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1AB D 的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点1F ，2F 为顶点的三角形周长是4+，且126BF F π∠=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，求弦AB 所在的直线方程．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点p 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为4的等边三角形．（1）求C 的方程；（2）过点F 作抛物线互相垂直的两条弦AB 、DE ，求四边形ADBE 面积的取值范围．2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知命题:0p x ∀>，(1)0ln x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【解答】解：命题:0p x ∀>，(1)0ln x +>，则命题p 为真命题，则p ⌝为假命题； 取1a =-，2b =-，a b >，但22a b <，则命题q 是假命题，则q ⌝是真命题． p q ∴∧是假命题，p q ∧⌝是真命题，p q ⌝∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题．故选：B ．2．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：321a b x x =-+=-，若a 与b 同向共线， 则b a λ=，0λ>， 则32x λλ-=⎧⎨=⎩，得5x =，当5x =时，满足1x >，但此时两个向量关系，夹角为0︒，则a 与b 夹角为锐角不成立， 若a 与b 夹角为锐角，则10a b x =->，则1x >，成立， 即“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：A ．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件， 当2n =时，454a =，8b =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358a =，16b =满足进行循环的条件， 当4n =时，40516a =，32b =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ．4．已知a b 与均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|(a b += )A BCD ．4【解答】解：a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，∴222|3|(3)69196a b a b a a b b +=+=++=++⨯=． 故选：C ．5．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,2)2 B ．(1,)+∞ C ．(1,2) D ．1(,1)2【解答】解：方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴20210221k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解之得12k << 实数k 的取值范围是(1,2) 故选：C ．6．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3(v = ) A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：用秦九韶算法计算函数42()21((()2)1)1f x x x x x x x x =-+-=-+-， 当1x =时的值，则01v =，11v =，2121v =-=-，3110v =-+=． 故选：C ．7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥【解答】解：A ．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； B ．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C ．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；D ．正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥．故选：D ．8．不等式22253x x a a -+-…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，4]B ．(-∞，2][5-，)+∞C ．(-∞，1][4-，)+∞D ．[2-，5]【解答】解：令22()25(1)4f x x x x =-+=-+，()4f x ∴=最小值，若不等式22253x x a a -+-…对任意实数x 恒成立，只需234a a -…，解得：14a -剟， 故选：A ．9．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为ABC ∆重心，则MN 等于( ) A ．111333OA OB OC -++B ．111644OA OB OC -++C ．1166OB OC -D ．1166OB OC +【解答】解：如图： 取BC 的中点D ，因为点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为ABC ∆重心， 所以MN MA AN =+ 1233OA AD =+ 12()33OA OD OA =+- 121[()]332OA OB OC OA =++- 111333OA OB OC =-++，故选：A ．10．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“0x R ∃∈，2000x x -…”的否定为“x R ∃∈，20x x ->”B ．命题“在ABC ∆中，30A >︒，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a 、b 满足||||||a b a b +=-，则a 与b 共线D ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件 【解答】解：对于A ，命题“0x R ∃∈，2000x x -…”的否定为“x R ∀∈，20x x ->”，故A 错；对于B ，命题“在ABC ∆中，30A >︒，则1sin 2A >”若150A =︒，则1sin 2A =，原命题错， 则其逆否命题为假命题，故B 错；对于C ，若非零向量a 、b 满足||||||a b a b +=-，则a 与b 反向共线，且||||a b …，故C 对； 对于D ，设{}n a 是公比为q 的等比数列，则若10a <，1q >，则{}n a 为递减数列，故D 错． 故选：C ．11．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-， 直线(2)y k x =+恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1， ||6AM ∴=，∴点A 到抛物线的准线的距离为6故选：A ．12．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为( )A B C D 【解答】解：P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，连接1PF ，2PF ，可得12PF PF ⊥，设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 且2224m n c +=，21tan 3mPF F n∠==， 则3m a =，n a =，22294a a c +=，即有2252c a =，c e a ==． 故选：B ．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．将二进制数(2)11000111转化为八进制数为 (8)307 ．【解答】解：二进制数(2)11000111化为十进制数是，234567(2)11000111112120202021212199=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；219970838=+⨯+⨯，所以化为八进制数是(8)307． 故答案为：(8)307．14．下列命题中，不正确的是 （1）（3）（4） ． （1）已知a ，b ，c R ∈，则2a cb +=是a ，b ，c 成等差数列的必要不充分条件； （2）10x y +≠是5x ≠或5y ≠的充分不必要条件；（3）若//a b ，//b c ，则//a c ； （4）若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题． 【解答】解：（1）2a cb +=是a ，b ，c 成等差数列的充要条件，故（1）错． （2）等价于判断5x =且5y =是10x y +=的充分不必要条件 的真假． 显然5x =且5y =是10x y +=的充分不必要条件，故（2）对． （3）当0b =，不成立，故（3）错．（4）当p 为真命题，q 为假命题，p q ∨为真命题，p ⌝与q 都是假命题，故（4）错． 故答案为（1）（3）（4）．15．已知点P 是抛物线216y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的取值范围为 )+∞ ． 【解答】解：根据图象，设P 到准线的距离为d ，d PA AP PF AF +=+…，因为(0,2)A ，(4,0)F ，所以AF ==故答案为：)+∞．16．已知O 为坐标原点，椭圆方程为22194x y +=．以椭圆的长轴长为直径作圆，若直线0x x =与圆在x 轴上方的部分和椭圆在x 轴上方的部分分别交于P 、Q 两点，则OPQ ∆面积的最大值为4． 【解答】解：由题可设，0(P x ，)P y ，0(Q x ，)Q y ，则有 ()22220022220099,491994P P Q Q x y y x y x y x ⎧+=⎧=-⎪⎪⎨⎨=-+=⎪⎪⎩⎩即． ∴2249Q P y y =，即23Q P y y =． 又220000011111193(9)22366624OPQ P Q P P S x y y x y x y x x ∆=-===-⨯=…． 当且仅当0,x =等号成立． 故答案为：34． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知1:|1|23x p --…；22:210(0)q x x m m -+->…，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【解答】解：由1|1|23x --…，得4||23x -…，即4223x --剟，解得210x -剟， 记[2A =-，10]；22{|210B x x x m =-+-…，0}{|[(1)][(1)]0m x x m x m >=---+…，0}[1m m >=-，1]m +，0m >．p 是q 的充分不必要条件，∴012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+⎩……，解得9m …（检验：当9m =时，[8B =-，10]，满足题意）．故所求的m 的取值范围是[9，)+∞．18．已知双曲线22:14y C x -=，P 为C 上任意一点； （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点(4,0)A ，求||PA 的最小值．【解答】（1）证明：双曲线的渐近线方程为：2y x =±，设(,)P x y ，则2214y x -=， P ∴到两条渐近线的距离乘积22|4|4555x y -===；（2）解：||PA ===1x …或1x -…∴当1x =时，||3min PA =．19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，11AA AB ==． （Ⅰ）求证：1//A C 平面1AB D ； （Ⅱ）求二面角1B AB D --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1AB D 的距离．【解答】解法一()I 证明：连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．111ABC A B C -是正三棱柱，且1AA AB =，∴四边形11A ABB 是正方形，E ∴是1A B 的中点，又D 是BC 的中点， 1//DE A C ∴．⋯（3分）DE ⊂平面1AB D ，1A C ⊂/平面1AB D ， 1//A C ∴平面1AB D ．⋯（4分）()II 解：在面ABC 内作DF AB ⊥于点F ，在面11A ABB 内作1FG AB ⊥于点G ，连接DG ． 平面11A ABB ⊥平面ABC ，DF ∴⊥平面11A ABB ， FG ∴是DG 在平面11A ABB 上的射影，1FG AB ⊥，1DG AB ∴⊥FGD ∴∠是二面角1B AB D --的平面角⋯（7分）设11A A AB ==，在正ABC ∆中，DF =． 在ABE ∆中，3324FG BE ==在RtDFG ∆中，tan DF FGD FG ==所以，二面角1B ABD --的大小为⋯（9分） ()III 解：平面11B BCC ⊥平面ABC ，且AD BC ⊥，AD ∴⊥平面11B BCC ，又AD ⊂平面1AB D ， ∴平面11B BCC ⊥平面1AB D ．在平面11B BCC 内作1CH B D ⊥交1B D 的延长线于点H ， 则CH 的长度就是点C 到平面1AB D 的距离．⋯ 由CDH ∆∽△1B DB ，得115BB CD CH B D ==．即点C 到平面1AB D．⋯（14分） 解法二：建立空间直角坐标系D xyz -，如图()I 证明：连接1A B ，设11A B AB E =，连接DE ．设11A A AB ==，则1111(0,0,0),(),(,0,0)422D A E C -．∴11311(,,1),(,)242A C DE =--=-，∴12A C DE =-， 1//A C DE ∴．⋯（3分）DE ⊂平面1AB D ，1A C ⊂/平面1AB D ，1//A C ∴平面1AB D ．⋯（4分）()II 解：11(,0,1)2A B -， ∴131(0,,0),(,0,1)2AD B D ==-， 设1(n p =，q ，)r 是平面1AB D的法向量， 则1110,0n AD n B D ⋅=⋅=且， 故()110,01,2,0,12p r r n =-=⋅==取得； 同理，可求得平面1AB B 的法向量是21,0)n =-．⋯（7分） 设二面角1B AB D --的大小为θ，121215cos ||||n n n n θ==，∴二面角1B AB D --的大小为⋯（9分） ()III 解由()II 得平面1AB D 的法向量为1(2n =，0，1)， 取其单位法向量1,,0,02n DC ⎛⎫== ⎪⎝⎭又． ∴点C 到平面1AB D 的距离5||d DC n ==．⋯（14分） 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点1F ，2F 为顶点的三角形周长是4+，且126BF F π∠=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，求弦AB 所在的直线方程．【解答】解：（1）以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点1F ，2F 为顶点的三角形周长是4+126BF F π∠=．224a c ∴+=+c =，2a ∴=，c =∴1b ==∴椭圆方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 不被点Q 平分；当直线l 的斜率为k 时，1:(1)2l y k x -=-与椭圆方程联立，消元可得222(14)4(21)(12)40k x k k x k +--+--=过点1(1,)2Q 引曲线C 的弦AB 恰好被点Q 平分，∴24(21)214k k k -=+，∴解得12k =-．11144+< ∴点Q 在椭圆内∴直线11:(1)22l y x-=--，即1:12l y x=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，AD CD⊥，//AD BC，2PA AD CD===，3BC=．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F AE P--的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD，PA CD∴⊥，AD CD⊥，PA AD A=，CD∴⊥平面PAD．解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，(0A，0，0)，(0E，1，1)，2(3F，23，4)3，(0P，0，2)，(2B，1-，0)，(0AE =，1，1)，224(,,)333 AF =，平面AEP的法向量(1n =，0，0)，设平面AEF的法向量(m x=，y，)z，则224333m AE y zm AF x y z⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，取1x=，得(1m=，1，1)-，设二面角F AE P--的平面角为θ，则||cos||||3m nm nθ===∴二面角F AE P --． （Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下： 点G 在PB 上，且23PG PB =．4(3G ∴，23-，2)3， ∴4(3AG =，23-，2)3，平面AEF 的法向量(1m =，1，1)-， 4220333m AG =--=， 故直线AG 在平面AEF 内．22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点p 在C 上，点E 在l 上，且PEF ∆是边长为4的等边三角形．（1）求C 的方程；（2）过点F 作抛物线互相垂直的两条弦AB 、DE ，求四边形ADBE 面积的取值范围． 【解答】解：（1）由PEF ∆是边长为4的等边三角形，得||||||4PE PF EF ===， 又由抛物线的定义可得PE l ⊥．设准线l 与y 轴交于D ，则//PE DF ，从而60PEF EFD ∠=∠=︒， 在Rt EDF ∆中，1||||cos 422DF EF EFD =∠=⨯=，即2p =． 所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）依题意可知，两条直线的斜率存在且均不为0，故设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得，2440x kx --=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-．所以22222121212||||1()4116164(1)AB x x k x x x x k k k =-=++-=++=+，将上式中的k 换为1k -，可得21||4(1)DE k=+；四边形ADBE 的面积22221111||||4(1)4(1)8(2)22S AB DE k k k k==⨯++=⨯++， 由2212k k+…，当且仅当21k =，即1k =±时等号成立， 所以四边形ADBE 面积S 的最小值为32，所以四边形ADBE 面积S 的取值范围为[32，)+∞．。

高二学年上学期期中考试文科数学试题第Ⅰ卷 选择题部分一、单项选择题（每小题6分，共60分）1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1 2．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3．命题“∃x ∈R ，x 3>0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 3≤0 B ．∀x ∈R ，x 3≤0 C ．∃x ∈R ，x 3<0 D ．∀x ∈R ，x 3>0 4.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知某椭圆的一个焦点为)0,1(F ，离心率21=e ，则该椭圆的标准方程为（ ） A.1222=+y x B. 1222=+x y C. 13422=+y x D. 13422=+x y6.已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点2F 作直线AB 交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则B AF 1∆的周长为（ ）A .10 B.8 C.16 D.207.已知双曲线的一个焦点F 1 (5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为( ) A .x 29－y 216＝1 B.y 216－x 29＝1 C.x 29－y 225＝1 D.y 225－x 29＝18. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>则其渐近线方程为（ ）.A y =.B y =.2C y x =±.2D y x =±9.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A . y 2＝－16x B. y 2＝12x C. y 2＝16x D. y 2＝－12x10.已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若21PF PF ⊥，且01260=∠F PF ，则C 的离心率为( ) A. 221-B. 错误!未找到引用源。

2019-2020学年度黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A。

考点：本题主要考查充要条件的概念，一元二次不等式的解法。

点评：典型题，充要条件的判断问题，已是高考考查的保留题型之一，往往具有一定的综合性。

充要条件的判断有：定义法、等价关系法、集合关系法。

2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A. 9B. 10C. 12D. 13【答案】D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．考点：分层抽样方法【此处有视频，请去附件查看】3.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【答案】A【解析】①总体和样本容量都很小，用简单随机抽样；②容量较大，且有均衡的几部分构成，用系统抽样；③有差异较明显的三部分构成，用分层抽样。

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．函数2(21)y x =+的导数为（） A ．21y x '=+ B ．2(21)y x ='+ C ．3(21)y x ='+ D ．4(21)y x ='+【答案】D【解析】先根据完全平方公式对2(21)y x =+展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解. 【详解】因为22(21)441y x x x =+=++,则函数的导函数()()'244184421y x x x x '=++=+=+, 故选：D . 【点睛】本题主要考查导数的计算,要求熟练掌握常见初等函数的求导公式,属于基础题. 2．已知曲线323y x x =+上一点()1,5A ，则A 处的切线斜率等于( ) A ．9 B ．1 C ．3 D ．2【答案】A【解析】求出函数323y x x =+的导数，然后在导数中令1x =，可得出所求切线的斜率. 【详解】对函数323y x x =+求导得263y x '=+，故该曲线在点A 处的切线斜率为26139⨯+=，故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何意义，考查对导数概念的理解，属于基础题.3．命题“∀x>0，都有x 2－x≤0”的否定是 （ ）A ．∃x 0>0，使得x 02－x 0≤0B ．∃x 0>0，使得x 02－x 0>0C ．∀x>0，都有x 2－x>0D ．∀x≤0，都有x 2－x>0【答案】B【解析】利用全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果【详解】因为全称命题的否定是特称命题，且需要改写量词，所以全称命题“，都有”的否定是特称命題“，使得”，故选B.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.4．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A ．45x =B ．20x y ±= C ．20x y ±=D ．25x = 【答案】B【解析】由2204x y -=，化简后求得双曲线的渐近线的方程.【详解】依题意，令2204x y -=，即12y x =±，也即20x y ±=.故选：B. 【点睛】本小题主要考查已知双曲线方程求双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1(1)3f ' B ．(1)f 'C ．3(1)f 'D ．(3)f '【答案】A【解析】利用在某点处的导数的定义来求解. 【详解】0(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A.【点睛】本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式来解决，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A 【解析】【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =a ∴=c e a ==1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.【考点】椭圆方程及性质7．函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】先求得函数在区间[]1,1-上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间[]1,1-上的最大值. 【详解】令()2360f x x x '=-=，解得0x =或2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题. 8．函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x = B ．1x = C ．1x =-或1 D ．1x =或0【答案】B【解析】对函数进行求导得32()6(1)f x x x '=-，求方程()0f x '=的根，再判断根的两边导数值不同号，从而得到函数()f x 的极值点. 【详解】函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B . 【点睛】本题主要考查函数的极值与导数之间的关系，若0x x =为函数的极值点，则必需满足两个条件：一是'0()0f x =，二是在0x 左右两边的单调性相反．同时熟练掌握复合函数的导数公式是解决本题的前提．9．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(5,-在抛物线上，则抛物线的方程为()A ．22y x =-B ．24y x =-C ．22y x =D ．24y x =-或236y x =-【答案】B【解析】首先根据题意设出抛物线的方程2(0)y mx m =≠，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案. 【详解】根据题意设出抛物线的方程2(0)y mx m =≠，因为点(5,25)-在抛物线上， 所以有205m =-，解得4m =-， 所以抛物线的方程是：24y x =-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的设法，属于简单题目.10．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【解析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选：D ． 【考点】利用导数研究函数的单调性.11．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥” 【答案】C【解析】A 中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定； B 中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立； C 中p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题； D 中非p 是特称命题的否定，为全称命题； 逐一判断即可得解. 【详解】解：对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题； 对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C. 【点睛】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.12．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，P 为椭圆上一点，且11()0PF OF OP +=（O 为坐标原点），122PF PF =，则椭圆的离心率为（ ）A ．632- B ．65- C ．63-D ．65- 【答案】C【解析】：取1PF 的中点A ，连接OA ，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知()11·0PF OF OP +=，对这个等式，进行化简，得到12PF F P ⊥，再根据椭圆的定义，结合122PF PF =，可以求出离心率.【详解】如下图所示：取1PF 的中点A ，连接OA ，1212,2OA OF OP OA F P ∴=+=，12OF OP F P ∴+=， 11()0PF OF OP ⋅+=，120PF F P ∴⋅=，12PF F P ∴⊥，因为122PF PF =，所以设2PF m =，1PF =，..由椭圆的定义可知：212PF PF a m +==，1)m a ∴==，122F F c =，2222242334(3c m m m a ∴=+==⨯-，2229c a∴=-=，e ∴= C. ..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.二、填空题13．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________.【解析】根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果. 【详解】因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c ，解得a =【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.14．已知:4p x a -<，:23q x，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________． 【答案】[]1,6-【解析】解不等式4x a -<，得44a x a -<<+，由题意得出()()2,34,4a a -+，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】解不等式4x a -<，得44a x a -<<+， 由于q 是p 的充分不必要条件，()()2,34,4a a -+，4342a a +≥⎧∴⎨-≤⎩，解得16a -≤≤. 当1a =-时，则有()()2,35,3-；当6a =时，则有()()2,32,6.因此，实数a 的取值范围是[]1,6-. 故答案为：[]1,6-. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式的解法，一般转化为集合的包含关系求解，同时也要注意等号能否成立，考查化归与转化思想的应用，属于基础题. 15．函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为_______ 【答案】(1,)+∞，【解析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的递减区间. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，()2'11x f x x x x-=-=，故当1x >时，()'0f x <，也即函数的递减区间为()1,+∞. 故填：()1,+∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查函数定义域的求法，考查导数的运算，属于基础题.16．函数13()e x f x x -=- 的图象在1x = 处的切线方程是________. 【答案】220x y +-=【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程. 【详解】因为13()e x f x x -=-， 所以12()e 3x f x x '-=-，所以1111(1)e10,(1)e 32f f -'-=-==-=-，故所求切线方程为02(1), 220y x x y -=--+-=即. 故答案为：220x y +-=. 【点睛】本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算．比较基础．三、解答题17．求下列函数的导数： （Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +. 【解析】（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案； （2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案． 【详解】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''. （Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x x x y x x xx ''=+=+'.【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．（Ⅰ）已知某椭圆过点1,)2-，求该椭圆的标准方程． （Ⅱ）求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，经过点(3,2)M -的双曲线的标准方程． 【答案】（Ⅰ）22142x y +=. （Ⅱ）22168x y -=.【解析】（Ⅰ）设出椭圆的方程，代入两个点的坐标即可求得椭圆的标准方程。

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果. 【详解】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又()1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A. 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．已知命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >，则a b >”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】试题分析：由题意得，命题命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >，则a b >”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设a 、b 、c R ∈，若a b >，则22ac bc >”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B ． 【考点】四种命题的真假的判定．3．已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．长轴长为12B．焦距为4C ．短轴长为14D．离心率为2【答案】D【解析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a 、b 、c 的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。

铁人中学2018-2019学年度下学期第一次月考第I 卷（选择题）1. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 2.有40件产品，编号从1到40，先从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为 （ ）A ．5,10,15,20B ．2,12,22,32C ．2,14,26,38D ．5,8,31,36 3、关于频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是A ．频率分布折线图与总体密度曲线无关 B. 频率分布折线图就是总体密度曲线 C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D ．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限的接近总体密度曲线,4.某射击小组有20个人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是A.7，7B.8,7.5C.7，7.5D.8，65.用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（ ）A . 3次B. 4次C. 5次D. 6次6.算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4， 那么输出的p 于（ ）024687.如图所示的程序框图运行的结果是( ) A ．B ．C ．D ．8.如图所示的程序框图，若输出的S 是30， 则①可以为（）A ．n≤2？B ．n≤3？C ．n≤4？D ． n≤5？9.下列程序执行后输出的结果是（ ）A ．－1B ．0C ．2D ．110.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”11．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是 A ．相 B ．相交 C ．外切 D ．内切12．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤512，34B ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，512D ．⎝⎛⎭⎫512，34第II 卷（非选择题） 二．填空题（共4小题，每题5分）13.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是 .14.用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6的值，当x ＝－4时，v 4的值为 15.将二进制数)2(11010化为八进制数为 (8)；16. 如果执行下面的程序框图，输入n=251， m=15，那么输出的结果是三．解答题：（共5小题，每题14分）17. 某移动公司对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否愿意使用4G 网络的社会 调查，若愿意使用的称为“4G 族”，否则称为“非4G 族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 频数 4G 族在本组所占比例 第一组 [25，30） 200 0.6 第二组 [30，35） 300 0.65 第三组 [35，40） 200 0.5 第四组 [40，45） 150 0.4 第五组 [45，50） a 0.3 第六组[50，55]500.3（1）补全频率分布直方图并求n 、a 的值；开始是 r=m MOD n输出n是 否输入m,nr=0 结束m>n x=n n=m否m=nn=r（2）用频率分布直方图估计“4G 族”年龄的中位数，和平均数（不用写过程只写数据） （3）从年龄段在[40，50）的“4G 族”中采用分层抽样法抽取6人参加4G 网络体验活动，求年龄段分别在[40，45）、[45，50）中抽取的人数．18.甲，乙两台机床在相同的技术条件下同时生产一种零件，现在从中抽测6个，尺寸（单位：mm ）如下甲机床：10.2 10.1 9.8 10.3 9.7 9.9 乙机床：11.0 10.4 9.6 10.1 8.9 10.0 （1）用茎叶图表示甲，乙两台机床的尺寸（2）分别计算上面两个样本的平均数和方差。

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期期中数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1.函数(21)y x =+的导数为（） A.21y x '=+B.2(21)y x ='+C.3(21)y x ='+D.4(21)y x ='+2.已知曲线323y x x =+上一点()1,5A ，则A 处的切线斜率等于( ) A.9B.1C.3D.23.命题“∀x>0，都有x 2－x≤0”的否定是 （ ） A.∃x 0>0，使得x 02－x 0≤0 B.∃x 0>0，使得x 02－x 0>0 C.∀x>0，都有x 2－x>0D.∀x≤0，都有x 2－x>04.双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A.x =B.20x y ±=C.20x y ±=D.x = 5.设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A.1(1)3f ' B. (1)f 'C. 3(1)f 'D. (3)f '6.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为√33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1 B. x 23+y 2=1 C. x 212+y 28=1 D. x 212+y 24=1 7.函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A. 4B. 2C. 0D. －28.函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ）A.0x =B.1x =C.1x =-或1D.1x =或09.抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(5,-在抛物线上，则抛物线的方程为()A.22y x =-B.24y x =-C.22y x =D.24y x =-或236y x =-10.若函数f (x )=kx −lnx 在区间(1,+∞)单调递增，则k 的取值范围是 （ ） A. (−∞,−2] B. (−∞,−1] C. [2,+∞) D. [1,+∞) 11.下列说法错误的是（ ）A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B.“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”12.已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·(OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0（O 为坐标原点），|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，则椭圆的离心率为（ ） A.√6−√32B. √6−√5C. √6−√3D.√6−√52第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________.14.已知:4p x a -<，:23q x，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________． 15.函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为_______ 16.函数13()e x f x x -=- 的图象在1x = 处的切线方程是________.三、解答题（题型注释）（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.18.（Ⅰ）已知某椭圆过点(√2,1),(−1,√62)，求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求与双曲线y 24−x 23=1有共同的渐近线，经过点M(3,−2)的双曲线的标准方程．19.命题p ：函数()()22lg 430y x ax aa =-+->有意义，命题q ：实数x 满足302x x -<-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20.已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=. （1）求实数,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间.21.己知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0，直线y x m =+交椭圆于不同的两点,A B（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点()1,1C ，当ABC ∆的面积为1时，求实数m 的值． 22.已知函数21()ln 2f x x a x =-. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当0a >时，1()2f x ≥在定义域内恒成立，求实数a 的值.参考答案1.D【解析】1.先根据完全平方公式对2(21)y x =+展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.因为22(21)441y x x x =+=++,则函数的导函数()()'244184421y x x x x '=++=+=+, 故选：D . 2.A【解析】2.求出函数323y x x =+的导数，然后在导数中令1x =，可得出所求切线的斜率.对函数323y x x =+求导得263y x '=+，故该曲线在点A 处的切线斜率为26139⨯+=， 故选：A. 3.B【解析】3. 利用全称命题“∀x∈M,p (x )”的否定为特称命题“∃x ∈M,¬p (x )”即可得结果因为全称命题的否定是特称命题，且需要改写量词，所以全称命题“∀x>0，都有x 2−x ≤0”的否定是特称命題“∃x 0>0，使得x 02−x 0>0”，故选B.4.B【解析】4.由2204x y -=，化简后求得双曲线的渐近线的方程.依题意，令2204x y -=，即12y x =±，也即20x y ±=.故选：B. 5.A【解析】5.利用在某点处的导数的定义来求解.0(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A.6.A【解析】6.试题分析：若△AF 1B 的周长为4√3可知4a=4√3∴a =√3∵e =c a=√33∴c =1∴b 2=2，所以方程为x 23+y 22=17.B【解析】7.先求得函数在区间[]1,1-上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间[]1,1-上的最大值.令()2360f x x x '=-=，解得0x =或2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.8.B【解析】8.对函数进行求导得32()6(1)f x x x '=-，求方程()0f x '=的根，再判断根的两边导数值不同号，从而得到函数()f x 的极值点.函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B . 9.B【解析】9.首先根据题意设出抛物线的方程2(0)y mx m =≠，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案. 根据题意设出抛物线的方程2(0)y mx m =≠，因为点(5,-在抛物线上， 所以有205m =-，解得4m =-， 所以抛物线的方程是：24y x =-， 故选B. 10.D【解析】10.试题分析：，∵函数f(x)==kx −lnx 在区间(1,+∞)单调递增，∴在区间(1,+∞)上恒成立．∴，而在区间(1,+∞)上单调递减，∴．∴的取值范围是[1,+∞)．故选：D ．11.C【解析】11.A 中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定；B 中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C 中p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题；D 中非p 是特称命题的否定，为全称命题； 逐一判断即可得解.解：对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题； 对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C. 12.C【解析】12.：取PF 1的中点A ，连接OA ，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·(OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，对这个等式，进行化简，得到PF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 1⊥F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据椭圆的定义，结合|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，可以求出离心率.如下图所示：取PF 1的中点A ，连接OA ，∴2OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =12F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1+OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∵PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1⋅(OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，∴PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1⋅F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1⊥F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以设|PF 2|=m ，|PF 1|=√2m ， ..由椭圆的定义可知：∵|PF 2|+|PF 1|=2a =m +√2m ，∴m =1+√2=2(√2−1)a ，∵|F 1F 2|=2c ，∴4c 2=m 2+2m 2=3m 2=3×4a 2(3−2√2)， ∴c 2a =9−6√2=(√6−√3)2，∴e =√6−√3，故本题选C.【解析】13.根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果.因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c ，解得a =14.[]1,6-【解析】14.解不等式4x a -<，得44a x a -<<+，由题意得出()()2,34,4a a -+，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.解不等式4x a -<，得44a x a -<<+，由于q 是p 的充分不必要条件，()()2,34,4a a -+，4342a a +≥⎧∴⎨-≤⎩，解得16a -≤≤. 当1a =-时，则有()()2,35,3-；当6a =时，则有()()2,32,6.因此，实数a 的取值范围是[]1,6-. 故答案为：[]1,6-. 15.(1,)+∞，【解析】15.先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的递减区间.函数的定义域为()0,∞+，()2'11x f x x x x-=-=，故当1x >时，()'0f x <，也即函数的递减区间为()1,+∞. 故填：()1,+∞. 16.220x y +-=【解析】16.求函数的导数，利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程. 因为13()ex f x x -=-， 所以12()e 3x f x x '-=-，所以1111(1)e10,(1)e 32f f -'-=-==-=-，故所求切线方程为02(1), 220y x x y -=--+-=即. 故答案为：220x y +-=. 17.（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e x x x +.【解析】17.（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案； （2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''. （Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x x x y x x x x ''=+=+'.18.（Ⅰ）x 24+y 22=1. （Ⅱ）x 26−y28=1.【解析】18.（Ⅰ）设出椭圆的方程，代入两个点的坐标即可求得椭圆的标准方程。