2010届高三一轮复习数学精品资料：第二章_函数

word - 1 - / 7 高考数学必胜秘诀 函 数 1.映射f: AB的概念。在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

如（1）设:fMN是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）； （2）点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则在f作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））； （3）若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}MN，映射:fMN满足条件“对任意的xM，()xfx是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；（5）设2:xxf是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则BA一定是_____（答：或{1}）.

2.函数f: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()fx，xF，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}xyyfxxFxyx中所含元素的个数有个（答： 0或1）； （2）若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝（答：2） 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2yx，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： word - 2 - / 7 （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a，三角形中0A, 最大角3，最小角3等。

第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第一讲 函数及其表示1.下列说法中正确的个数是 ( )(1)f (x )=√x - 4+√3 - x 是一个函数.(2)已知f (x )=m (x ∈R ),则f (m 3)=m 3. (3)y =ln x 2与y =2ln x 表示同一函数.(4)f (x )={x 2+1, - 1≤x ≤1,x +3,x >1或x < - 1,则f ( - x )={x 2+1, - 1≤x ≤1,- x +3,x >1或x < - 1.A .0 B.1 C.2 D.32.[2020湖南师大附中模拟]已知函数f (x )的图象如图2 - 1 - 1所示,则函数f (x )的解析式可能是 ( )A.f (x )=(4x +4 - x )|x | B .f (x )=(4x - 4 - x )log 4|x | C .f (x )=(4x +4 - x )lo g 14|x |D .f (x )=(4x +4 - x )log 4|x |3.[2016全国卷Ⅱ,10,5分][文]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是 ( )A .y =xB.y =lg xC.y =2xD.y =1√x4.[2020成都市高三测试]已知函数f (x )={sin(πx +π6),x ≤0,2x +1,x >0,则f ( - 2)+f (1)=( )A.6+√32B .6 - √32C .72D .525.[2019江苏,4,5分]函数y =√7+6x - x 2的定义域是 .6.[2015福建,14,4分]若函数f (x )={ - x +6,x ≤2,3+log a x,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是 .考法1 求函数的定义域命题角度1 求具体函数的定义域1(1)函数y =1√log 12(2 - x)+12x - 3的定义域为 .(2)函数y =log a (x - 1)(a >0且a ≠1)的定义域为 .(1)要使函数有意义,则{log 12(2 - x)>0,2x - 3≠0⇒{0<2 - x <1,x ≠32⇒{1<x <2,x ≠32. 所以函数的定义域为(1,32)∪(32,2).(2)当a >1时,由log a (x - 1)>0,得x - 1>1,所以x >2;当0<a <1时,由log a (x - 1)>0,得0<x - 1<1,所以1<x <2.所以当a >1时,函数的定义域为(2,+∞);当0<a <1时,函数的定义域为(1,2). 命题角度2 求抽象函数的定义域2(1)若函数f (x )的定义域为[ - 1,2],则函数f (1 - 2x )的定义域为 . (2)若函数f (1 - 2x )的定义域为[ - 1,2],则函数f (x )的定义域为 .(3)若函数f (2x )的定义域为[ - 1,1],则函数h (x )=f (x )+f (x - 1)的定义域为 .(1)由 - 1≤1 - 2x ≤2,得 - 12≤x ≤1, 所以函数f (1 - 2x )的定义域为[ - 12,1]. (2)因为函数f (1 - 2x )的定义域为[ - 1,2], 所以 - 1≤x ≤2,所以 - 3≤1 - 2x ≤3. 所以函数f (x )的定义域为[ - 3,3]. (3)因为函数f (2x )的定义域为[ - 1,1], 所以12≤2x ≤2,所以函数f (x )的定义域为[12,2].对于函数h (x ),有{12≤x ≤2,12≤x - 1≤2,所以32≤x ≤2,所以函数h (x )的定义域为[32,2].(x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在[a ,b ]上的值域.易错警示(1)函数f (g (x ))的定义域指的是x 的取值范围,而不是g (x )的取值范围;(2)求函数的定义域时,先不要对函数解析式化简;(3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式; (4)函数f (x )±g (x )的定义域是函数f (x ),g (x )的定义域的交集.考法2 求函数的解析式3已知二次函数f (2x +1)=4x 2 - 6x +5,则f (x )= .已知复合函数f (g (x ))求f (x ),可用换元法或配凑法求解.由于f (x )是二次函数,也可采用待定系数法求解.解法一 (换元法)令2x +1=t (t ∈R ),则x =t - 12,所以f (t )=4(t - 12)2 - 6·t - 12+5=t 2 - 5t +9(t ∈R ), 所以f (x )=x 2 - 5x +9(x ∈R ).解法二 (配凑法)因为f (2x +1)=4x 2 - 6x +5=(2x +1)2 - 10x +4=(2x +1)2 - 5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2 - 5x +9(x ∈R ).解法三 (待定系数法)因为 f (x )是二次函数,所以设 f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则 f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c = 4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2 - 6x +5,所以{4a =4,4a +2b = - 6,a +b +c =5,解得{a =1,b = - 5,c =9,所以f (x )=x 2 - 5x +9(x ∈R ).4已知f (x )满足2f (x )+f (1x )=3x - 1,则f (x )= .注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数),先构造一个新的等式,然后通过解方程组求得f (x )的解析式.(构造方程组法)已知2f (x )+f (1x )=3x - 1 ①, 以1x代替①中的x (x ≠0),得2f (1x)+f (x )=3x- 1 ②,①×2 - ②,得3f (x )=6x − 3x−1,故f (x )=2x − 1x− 13(x ≠0).易错警示求函数的解析式时要根据题目的类型采取相应的方法,同时要注意函数的定义域.如已知f (√x )=x +1,求函数f (x )的解析式,可通过换元的方法得f (x )=x 2+1,函数f (x )的定义域是[0,+∞),而不是( - ∞,+∞).1.已知函数 f (x )={1x (x <0),x 2(x ≥0),g (x )=x +1,则①g (f (x ))= ;②f(g (x ))= .考法3 已知定义域(值域)求参数的值或取值范围5已知函数y =kx+1k 2x 2+3kx+1的定义域为R ,则实数k 的值为 .函数y = kx+1k 2x 2+3kx+1的定义域即满足k 2x 2+3kx +1≠0的实数x 的集合. 由函数的定义域为R ,得方程k 2x 2+3kx +1=0无解.当k =0时,函数y = kx+1k 2x 2+3kx+1=1,函数的定义域为R ,因此k =0符合题意; 当k ≠0时,要使k 2x 2+3kx +1=0无解,即Δ=9k 2 - 4k 2=5k 2<0,不等式不成立. 所以实数k 的值为0.6已知函数f (x )= - x 2+4x +1,其中x ∈[ - 1,t ],函数的值域为[ - 4,5],则实数t 的取值范围是 .函数f (x )= - x 2+4x +1= - (x - 2)2+5,对称轴方程为x =2,且f (x )在[ - 1,2]上单调递增,f ( - 1)= - 4,f (2)=5,因为x ∈[ - 1,t ]时,f (x )的值域为[ - 4,5],所以t ≥2, 由 - x 2+4x +1= - 4,可得x = - 1或x =5,所以t ≤5, 所以实数t 的取值范围是[2,5].2.(1)已知函数 f (x )=lg (2a ·x - 1)的定义域是(2,+∞),则实数a 的取值集合是 .(2)已知函数f (x )=12(x - 1)2+1的定义域与值域都是[1,b ](b >1),则实数b 的值为 .考法4 分段函数的应用7(1)[2015新课标全国Ⅱ,5,5分]设函数f (x )={1+log 2(2 - x),x <1,2x - 1,x ≥1,则f ( - 2)+f (log 212)=A .3 B.6 C.9 D.12(2)[2017 山东,9, 5分][文]设f (x )={√x,0<x <1,2(x - 1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则f (1a )=A .2 B.4 C.6 D.8(3)[2019南京金陵中学模拟]已知函数f (x )={2x - 1(x ≥0),x 2 - 2x(x <0),则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是 .(1)因为f ( - 2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212- 1=2log 26=6,所以f ( - 2)+f (log 212)=9.故选C .(2)当0<a <1时,a +1>1,f (a )=√a ,f (a +1)=2(a +1 - 1)=2a ,因为f (a )=f (a +1),所以√a =2a ,解得a =14或a =0(舍去).所以f (1a )=f (4)=2×(4 - 1)=6.当a >1时,a +1>2,所以f (a )=2(a - 1),f (a +1)=2(a +1 - 1)=2a ,所以2(a - 1)=2a ,无解.当a =1时,a +1=2,f (1)=0,f (2)=2,不符合题意.综上,f (1a )=6.故选C . (3)当x ≥0时,2x - 1≤3,所以2x ≤4=22,所以0≤x ≤2. 当x <0时,x 2 - 2x ≤3,所以x 2 - 2x - 3≤0,所以 - 1≤x <0. 综上可得x 的取值范围是[ - 1,2].3.(1)[2018全国卷Ⅰ,12,5分][文]设函数f (x )={2 - x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x的取值范围是( )A .( - ∞, - 1] B.(0,+∞) C.( - 1,0) D.( - ∞,0) (2)[2016北京,14,5分]设函数f (x )={x 3 - 3x,x ≤a,- 2x,x >a.①若a =0,则f (x )的最大值为 ;②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是 .数学探究 与函数有关的新定义问题8在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点,则称函数f (x )为n 阶整点函数.给出下列函数: ①f (x )=sin 2x ; ②g (x )=x 3; ③h (x )=(13)x ; ④φ(x )=ln x. 其中是一阶整点函数的是 A .①②③④ B.①③④ C.①④ D.④给什么 得什么 (1)新定义——n 阶整点函数,即其图象恰好经过n 个整点(其横、纵坐标为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且仅经过n 个整点. (2)4个具体的函数.求什么 想什么 判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数. 差什么 找什么分别判定有关函数是否为一阶整点函数,并结合选项排除得解.对于函数f (x )=sin 2x ,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ;对于函数g (x )=x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A …………………………….….(只要找到两个整点,即可判断函数不是一阶整点函数)对于函数h (x )=(13)x ,它的图象(图略)经过整点(0,1),( - 1,3), … ,所以它不是一阶整点函数,排除B .选C .C4.[2017山东,10,5分][文]若函数e x f (x )(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 ( )A .f (x )=2 - xB.f (x )=x 2C.f (x )=3 - xD.f (x )=cos x思想方法 分类与整合思想在函数中的应用9 [2015山东,10,5分]设函数f (x )={3x - 1,x <1,2x ,x ≥1.则满足 f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是A .[23,1]B.[0,1]C.[23,+∞)D.[1,+∞)由f (f (a ))=2 f (a ),得f (a )≥1.若a <1,则3a - 1≥1,解得23≤a <1;若a ≥1,则2a ≥1,解得a ≥1.综上,a 的取值范围是[23,+∞).C5.函数y =f (x )的图象是如图2 - 1 - 2所示的折线段OAB ,其中A (1,2),B (3,0),函数g (x )=x ·f (x ), 那么函数g (x )的值域为 ( )A .[0,2] B.[0,94]C.[0,32]D.[0,4]1.B 对于(1),定义域是空集,不满足函数的概念,故(1)错误;对于(2),f (x )是常数函数,所以f (m 3)=m ,故(2)错误;对于(3),两个函数的定义域不同,故不是同一函数,(3)错误;对于(4),结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B .2.D 对于A ,f (x )大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B ,当x < - 1时,f (x )<0,与图象不符,排除;对于C ,当x >1时,f (x )<0,与图象不符,排除.选D .3.D 解法一 函数y =10lg x 的定义域为(0,+∞),当x >0时,y =10lg x =x ,故函数的值域为(0,+∞).只有选项D 符合.解法二 易知函数y =10lg x 中x >0,排除选项A ,C ;因为10lg x 必为正值,所以排除选项B.选D . 4.C f ( - 2)+f (1)=sin ( - 2π+π6)+(21+1)=sin π6+3=12+3=72,故选C .5.[ - 1,7] 要使函数有意义,则7+6x - x 2≥0,解得 - 1≤x ≤7,则函数的定义域是[ - 1,7].6.(1,2] 因为f (x )={ - x +6,x ≤2,3+log a x,x >2,所以当x ≤2时, f (x )≥4.又函数f (x )的值域是[4,+∞),所以{a >1,3+log a 2≥4,解得1<a ≤2,所以实数a 的取值范围是(1,2].1.{1x+1(x <0),x 2+1(x ≥0){1x+1(x < - 1),(x +1)2(x ≥ - 1)①当x <0时,f (x )=1x ,则g (f (x ))=1x +1;当x ≥0时,f (x )=x 2,则g (f (x ))=x 2+1. ∴g (f (x ))={1x +1(x <0),x 2+1(x ≥0).②令g (x )=x +1<0,得x < - 1,则此时f (g (x ))=1x+1. 令g (x )=x +1≥0,得x ≥ - 1,则此时f (g (x ))=(x +1)2. ∴f (g (x ))={1x+1(x < - 1),(x +1)2(x ≥ - 1).2.(1){ - 1} 由题意得,不等式2a ·x - 1>0的解集为(2,+∞),由2a ·x - 1>0可得x >12a ,∴12a =2,∴a = - 1.(2)3 f (x )=12(x - 1)2+1,x ∈[1,b ]且b >1,f (1)=1, f (b )=12(b - 1)2+1,函数图象的对称轴为直线x =1,且f (x )在[1,b ]上单调递增. ∴函数的值域为[1,12(b - 1)2+1].由已知得12(b - 1)2+1=b ,解得b =3或b =1(舍).3.(1)D 当x ≤0时,函数f (x )=2 - x 是减函数,则f (x )≥f (0)=1.作出f (x )的大致图象如图D 2 - 1 - 1所示,结合图象可知,要使f (x +1)<f (2x ),则需{x +1<0,2x <0,2x <x +1或{x +1≥0,2x <0,解得x <0,故选D .图D 2 - 1 – 1(2)① 2 若a =0,则f (x )={x 3 - 3x,x ≤0,- 2x,x >0.当x >0时, - 2x <0;当x ≤0时,f ' (x )=3x 2 - 3=3(x +1)(x - 1),令f ' (x )>0,得x < - 1,令f ' (x )<0,得 - 1<x ≤0,所以函数f (x )在( - ∞, - 1]上单调递增,在( - 1,0]上单调递减,所以函数f (x )在( - ∞,0]上的最大值为f ( - 1)=2.综上可得,函数f (x )的最大值为2. ②( - ∞, - 1) 函数y =x 3 - 3x 与y = - 2x 的大致图象如图 D 2 - 1 - 2所示,若函数f (x )={x 3 - 3x,x ≤a, - 2x,x >a 无最大值,由图象可知 - 2a >2,解得a < - 1.所以实数a 的取值范围是( - ∞, -1).图D 2 - 1 - 24.A 对于选项A ,f (x )=2 - x =(12)x , 则e x f (x )=e x ·(12)x =(e2)x ,∵e2>1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )=2 - x具有M 性质.对于选项B ,f (x )=x 2,e x f (x )=e x x 2,[e x f (x )] ' =e x (x 2+2x ),令e x (x 2+2x )>0,得x >0或x < - 2;令e x (x 2+2x )<0,得 - 2<x <0,∴函数e x f (x )在( - ∞, - 2)和(0,+∞)上单调递增,在( - 2,0)上单调递减,∴f (x )=x 2不具有M 性质.对于选项C ,f (x )=3 - x =(13)x ,则e x f (x )=e x ·(13)x =(e3)x ,∵0<e3<1,∴y =(e3)x 在R 上单调递减,∴f (x )=3 - x 不具有M 性质.对于选项D , f (x )=cos x ,e x f (x )=e x cos x ,则[e x f (x )] ' =e x (cos x - sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )=e x cos x 在R 上不是单调递增的,所以f (x )=cos x 不具有M 性质.故选A . 5.B 由题图可知,直线OA 的方程是y =2x ;因为k AB =0 - 23 - 1= - 1,所以直线AB 的方程为y = - (x - 3)= -x +3.所以f (x )={2x,0≤x ≤1, - x +3,1<x ≤3,所以g (x )=x f (x )={2x 2,0≤x ≤1,- x 2+3x,1<x ≤3.当0≤x ≤1时,g (x )=2x 2,此时函数g (x )的值域为[0,2];当1<x ≤3时,g (x )= - x 2+3x = - (x - 32)2+94,显然,当x =32时,函数g (x )取得最大值94;当x =3时,函数g (x )取得最小值0.此时函数g (x )的值域为[0,94].综合上述,函数g (x )的值域为[0,94].故选B .。

数系的扩充与复数的引入1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用•2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义•重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化第1课时复数的有关概念1. 复数：形如 _________________________________________ (a,b R)的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 ________________________________________________ 和 _________2. 分类：设复数z a bi (a,b R):(1)当 ______ = 0时，z为实数；(2)当 ______ 0时，z为虚数；⑶当___________ = 0,且_______ 0时，z为纯虚数•3. _____________________________ 复数相等：如果两个复数相等且相等就说这两个复数相等•4. _____________________________ 共轭复数：当两个复数实部，虚部时•这两个复数互为共轭复数. _________ (当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数).5. 若z= a+ bi, (a, b R),则| z |= _________________ ; z z = ____________ .6. 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ________ , __________ 叫虚轴.7. _________________________________________ 复数z= a+ bi(a, b R)与复平面上的点建立了一一对应的关系.&两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就________________ 比较它们的大小•例1. m取何实数值时，复数z=—一匕乞+ (m2 2m 15)i是实数？是纯虚数？m 3解: :①z是实数2m 12m 15 0 m 5m 3 0②z为纯虚数m2 12m 150m2 m 6 0m 3或m 2m 3 0变式训练1:当m分别为何实数时，复数z=m2— 1 + (m2+ 3m + 2)i是(1)实数？ (2)虚数?(3)纯虚数？( 4)零？解：(1) m= —1,m= —2; (2)m ^—1,m M—2 ；( 3) m=1 ；( 4) m= — 1 .例2.已知X、y为共轭复数，且(x y)2 3xyi 4 6i，求x.解：设x a bi,则y a bi(a,b R)代入由复数相等的概念可得 a 1,b 12 b变式训练2:已知复数z=1 + i，如果z2业b=1 —i,求实数a,b的值.z z 1由z=1 + i得z2 az b (a b) (a 2)i2 ------- ==(a+ 2) —(a+ b)iz z 1ia 2 1“小 a 1从而解得(a b) 1 b 2例3.若方程x2 (m2i)x (2 mi) 0至少有一个头根，试求头数m的值解：设实根为x。

2010年各地高考函数题整理1.设a 为实数，函数()22,R x f x e x a x =-+∈． （Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln2-1且x ＞0时，21x e x ax -+2＞．（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （Ⅰ）解：由()22,()2,.xxf x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f ea a =-+=-+（Ⅱ）证：设2()21,,xg x e x ax x =-+-∈R于是()22,.xg x e x a x '=-+∈R由（Ⅰ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有 而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意 即22210,2 1.xxe x ax e x ax -+->>-+故2. 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

共13分解：（Ⅰ）当2k =时，2'1()ln(1),()121f x x x x f x x x=+-+=-++ 由于'3(1)ln 2,(1)2f f ==所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3ln 2(1)2y x -=- 即 322ln 230x y -+-=（Ⅱ）'(1)(),(1,)1x kx k f x x x+-=∈-+∞+当0k =时，'()1x f x x=-+所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞当01k <<时，由'(1)()01x kx k f x x +-==+，得1210,0kx x k-==>所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >，在区间1(0,)kk-上，'()0f x <故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-当1k =时，2'()1x f x x=+故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞当1k >时，由 '(1)()01x kx k f x x +-==+，得121(1,0),0kx x k-=∈-=所以，在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)kk-上，'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk-3. 设函数()1x f x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值X 围． 于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x R ∈时，()(0)g x g ≥，即1xe x ≥+.所以当1x >-时，()1x f x x ≥+. （Ⅱ）由题设0x ≥，此时()0f x ≥. 当0a <时，若1x a >-，则01x ax <+，()1x f x ax ≤+不成立；4. 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值X 围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 解： （Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x λ+'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+,题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤综上，a 的取值X 围是[)1,-+∞.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x =++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥ 5.设函数f(x)=21x e x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值X 围. 解：（Ⅰ）0a =时，'()1,()1xxf x e x f x e =--=-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加.（Ⅱ）'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-， 从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0(0)f x x ≥≥，而(0)0f =, 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xex x ->-≠.从而当12a >时， '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值X 围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.6. (本小题满分14分) 已知函数f(x)=ax+bx+c(a ＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1. (Ⅰ)用a 表示出b,c;(Ⅱ)若f(x)＞㏑x 在[1,∞]上恒成立，求a 的取值X 围； (Ⅲ)证明：1+12+13+…+1n ＞㏑(n+1)+()21n n +)(n ≥1).本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.（满分14分）解：（I ）⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-==++=-=.21,1,1)1(',0)1(,)('2a c ab b a fc b a f x ba x f 解得则有 （II ）由（I ）知，.211)(a x a ax x f -+-+= 令[)1()()ln 12ln ,1,,a g x f x x ax a x x x-=-=++--∈+∞则,)1)(1()1(11)(',0)1(2222x a ax x a x a x ax x x a a x g g ---=---=---==（i ）当.11,210>-<<a aa 时若)(,0)(',11x g x g aax <-<<则是减函数，所以,0)1()(=<g x g即[)+∞≥<,1ln )(,ln )(在故x x f x x f 上不恒成立. （ii ）当.11,21≤-≥aa a 时 若)(,0)(',1x g x g x >>则是增函数，所以,0)1()(=>g x g 即1,ln )(≥>x x x f 故当时，.ln )(x x f ≥综上所述，所求a 的取值X 围为.,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞整理得.)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 解法二：用数学归纳法证明. （1）当n=1时，左边=1，右边,1412ln <+=不等式成立. （2）假设n=k 时，不等式成立，就是.)1(2)1ln(131211+++>++++k k k k 那么11)1(2)1ln(11131211+++++>++++++k k k k k k .)1(22)1ln(++++=k k k7. 已知函数2()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'()f x ≤()f x . （Ⅰ）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）易知()2f x x b '=+.由题设，对任意的2,2x R x b x bx c ∈+≤++，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b c b ---≤，从而214b c ≥+.于是1c ≥，且2214b c b ≥⨯=，因此2()0c b c c b -=+->.故当0x ≥时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-≥. 即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+.当c b =时，由（Ⅰ）知，2,2b c =±=.此时()()8f c f b -=-或0，220c b -=，从而223()()()2f c f b c b -≤-恒成立. 综上所述，M 的最小值为32.8. 设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数2()ln (1)1b f x x x x +=+>+，其中b 为实数 （ⅰ）求证：函数)(x f 具有性质)(b P （ⅱ）求函数)(x f 的单调区间 (2)已知函数)(x g 具有性质)2(P .给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值X 围本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

第六节 对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．1．对数的概念如果a b＝N (a ＞0且a ≠1)，那么b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b log c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M n＝n log a M (n ∈R )； ③log a M N＝log a M －log a N .3．对数函数的定义、图像与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .]图2­6­13．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图2­6­1，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图像可知y ＝log a (x ＋c )的图像是由y ＝log a x 的图像向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482059】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log43＝________.【导学号：66482060】23 [2log 510＋log 514＝log 5⎝⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100＝________.(1)A (2)－20 [(1)∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 33 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.](1)(2016·河南焦作一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y＝log a |x |的图像大致是( )A B C D(2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：66482061】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图像如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] (2017·西城区二模)如图2­6­2，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图像上，点C 在函数y ＝log 2x 的图像上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )A ．2B ．3 C. 2 D ．3图2­6­2D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图像上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c在(0，＋∞)上递增， 又∵a ＞b ＞0，∴a c＞b c，C 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝c x 在(0，＋∞)上递减， 又∵a ＞b ＞0，∴c a＜c b ，D 项错误．] ☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )【导学号：66482062】A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数. 3分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，7分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，10分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 12分 [规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a ＞1且b ＞1或0＜a ＜1且0＜b ＜1时，log a b ＞0； 当a ＞1且0＜b ＜1或0＜a ＜1且b ＞1时，log a b ＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．。

第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。

2010高考复习数学回归课本：函数一．考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.二．考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念.(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【注意】函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础.在历年高考试卷中，占分多，比重大.考生在复习函数部分时:①一要加深对函数概念、性质的理解；②熟练掌握与函数有关的各种解题方法和技巧；③紧密联系与本部分有关的知识，掌握综合题的解题通法和技巧. 三．基础知识:1.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.2..解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式⇔11()f x N M N>--.3.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 4.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1) 当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则(2) {}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若 []q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 5..一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则 （1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ . 6.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或240a b ac <⎧⎨-<⎩. 7.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.7.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.8．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．9.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.10.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 11.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.12．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.13.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.14.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.15.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.16．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.17.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.18.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 19.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 20.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.21．根式的性质（1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.22．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.23.指数式与对数式的互化式log b aN b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.24.对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log mn a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).25．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.26.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.27. 对数换底不等式及其推广 若0a >,0b >,0x >,1x a≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<.四．基本方法和数学思想 1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）； （2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ; （2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：f(2a －x,2b －y)=0;（5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；（6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2b a +对称；4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；（6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；5.方程k=f(x)有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；6.a ≥f(x) ⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) ⇔a ≤［f(x)］min ;7.（1）n a a b b nlog log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +);(2) l og a N=aN b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1);(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) alog a N= N ( a>0,a ≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案 B解析 当－sin x ＝0时sin x ＝0，x 可取0，π，2π； 当－sin x ＝12时，sin x ＝－12，x 可取7π6，11π6， 故集合A 中的元素最多有5个， 故选B.2．如果函数f (x )＝ln (－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 ∵－2x ＋a >0，∴x <a 2，∴a2＝1，∴a ＝2.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2014]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2013]B ．[－1,1)∪(1,2013]C ．[0,2014]D ．[－1,1)∪(1,2014] 答案 B解析 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,2014]，可知f (t )中0≤t ≤2014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2014，解得－1≤x ≤2013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎨⎧－1≤x ≤2013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2013.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2013]．4．定义a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ×b ，a ×b ≥0，ab ，a ×b <0.设函数f (x )＝ln x ⊕x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2 D ．0答案 D解析 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx ，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0.5．[2016·武汉质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2]答案 D解析 依题意可得⎩⎨⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎨⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]，故选D.6．[2015·石家庄一模]已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ， x ≥0，，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15答案 A解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝(－1)6－r ·C r 6·(x )6－2r ，由6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3·C 36＝－20.8．[2015·浙江高考]存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|答案 D解析 对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，选D.9．[2013·福建高考]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 －2解析 ∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 10．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，则f (x )＝________.答案 x 2＋x ＋1解析 由f (0)＝1，f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，令y ＝x ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，∴f (x )＝x 2＋x ＋1.11．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解 (1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． 12．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意可知⎩⎨⎧c ＝0，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1，c ＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.[B 组·能力提升练]1．[2015·湖北高考]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 ∵f (x )是R 上的增函数，a >1， ∴当x >0时，x <ax ，有f (x )<f (ax )，则g (x )<0； 当x ＝0时，g (x )＝0；当x <0时，x >ax ，有f (x )>f (ax )，则g (x )>0.∴sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0，∴sgn[g (x )]＝－sgn x ，故选B.2．[2016·西安八校联考]设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0且a ≠1)，那么函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (x )－12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (－x )－12的值域为( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1，－1} D ．{－1,0}答案 D解析 ∵g (x )＝a x a x ＋1，∴g (－x )＝1a x ＋1，∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，∴f (x )＝－1； 当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，∴f (x )＝－1； 当g (x )＝12时，g (－x )＝12，∴f (x )＝0. 综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D. 3．[2015·浙江高考]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3， x ≥1，lg (x 2＋1)， x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵－3<1，∴f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋21－3＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x <1时，x 2＋1≥1，∴f (x )＝lg (x 2＋1)≥0.又∵22－3<0，∴f (x )min ＝22－3.4．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2010)f (2009)＋f (2012)f (2011)＋f (2014)f (2013)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2， ∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2014)f (2013)＝2，故原式＝2×1007＝2014.另解：(2)对∀x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2014)f (2013)＝2，故原式＝2×1007＝2014.。