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九下期末复习资料（一）——《二次函数》【例题讲解】例1：二次函数y=a x 2+b x+c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．（1）如图1，若抛物线经过点A （-3，0），对称轴是直线x =-1，与y 轴的交点坐标为（0，3）①求抛物线的解析式；①写出它的顶点坐标；①写出它与坐标轴的交点坐标；①当x 取何值时，抛物线中y 随x 增大而增大；①已知A （-2, y 1），B （2, y 2）为函数图象上的两个点，请比较y 1和y 2的大小关系； ①已知-3≤x ≤-2，求y 的取值范围；①写出方程ax 2+bx +c =0的根；①写出不等式ax 2+bx +c ＜0的解集；①若方程ax 2+bx +c =k 无实数根，写出k 的取值范围．（2）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图1所示，抛物线经过点A （-3，0）,对称轴是直线x ＝-1，下列结论：①abc ＞0；①2a ﹣b ＜0；①a ﹣b ＋c ＜0；①9a ＋3b ＋c ＜0，其中正确的有 .（3）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）经过（2, n ），（-4, n ）两点，若点M （x 1, y 1），点N （x 2, y 2）也在抛物线上，且满足x 1＜x 2，x 1+x 2＞-2，则 y 1，y 2的大小关系 . （4）如图2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）与直线y =kx +n 相交于点C (−52，74)、C (0，3)两点，则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜kx +n 的解集是 .BC图1 图2例2：如图，抛物线y＝a x2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上.设A（t，0），当t＝2时，AD＝4.（1）求抛物线的函数表达式.（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.例3：如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面13米高处，隧道的宽度是多少？4(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【课内练习】1.已知函数y=(m−2)x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数2.一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）23．抛物线y=ax2经过点(2，-8)，则a=．4．若二次函数y=x2−6x+9的图象经过A(−1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)三点，则y1，y 2，y3大小关系为．5．抛物线y=x2-4x+5，当0≤x≤3时，y的取值范围是.6．写出抛物线y＝﹣x2+4x的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值.7．如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米.（1）若两个鸡场的面积之和为S，求S关于x的关系式；（2）两个鸡场面积之和S有最大值吗？若有，求出这个最大值.【课后作业】1.抛物线y=−(x+1)2−1的顶点坐标为（）A．（1，1）B．（1，-1）C．（-1，1）D．（-1，-1）2.若二次函数y=2(x−1)2−1的图象如图所示，则坐标原点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3. 某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A．(50−40+x)(500−x)=8000B．(40+x)(500−10x)=8000C．(50−40+x)(500−10x)=8000D．(50−x)(500−10x)=8000第2题图第4题图第5题图4.如图，将一个含45°的直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点A的坐标为(1,0)，点C在y轴上．过点A，C作抛物线y=2x2+bx+c，且点A为抛物线的顶点．要使这条抛物线经过点B，那么抛物线要沿对称轴向下平移（）A．5个单位B．6个单位C．7个单位D．8个单位5.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（－1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0；①2a+b＞0；①4a－2b+c＞0；①3a+c＞0．其中错误的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(m，n)，B(4﹣m，n)，且抛物线与x轴有交点，则c的最大值为（）A．0B．2C．4 D．87.已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（）A．−12B．12C．﹣1D．18.抛物线y=−(x+1)2−1的顶点坐标为．9.将二次函数y=−x2+6x−8用配方法化成y=(x−ℎ)2+k的形式为y=．10.已知二次函数y＝ax2+4x+3（a≠0）的顶点在x轴上，则a= .11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是.12.若关于x的函数y=x2−2x+k+1的图象与x轴只有1个交点，则k的值是.13.已知二次函数y=x2﹣x﹣6.求二次函数的图象与坐标轴的交点所构成的三角形的面积.14.已知二次函数y=C x2+bx+c（其中a、b、c为常数，且C≠0）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示：（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）如果n=−2，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标．15.已知抛物线y=−x2+bx+c如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A(−1，0)，与y轴的交点坐标为C(0，3).（1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标；（2）根据图象回答：当x取何值时，y<0；（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标.。
苏科版九年级下册数学第5章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：其中正确的结论有（）①abc＞0；②8a+2b=-1；③4a+3b+c＞0；④4ac+24c＜b2A.1B.2C.3D.42、二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（5，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的是（）A.当x＞2时，y随x增大而减小B.4a=bC.图象过点（﹣1，0） D.9a+3b+c＞04、在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A.y=2(x+3) 2-3B.y=2(x-3) 2+3C.y=2(x-3) 2-3D.y=2(x+3) 2+35、若关于x的方程|ax2+bx+c|=5有三个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+c有（）A.最小值为5B.最大值为5C.最大值为5或最小值-5D.最大值-5或最小值56、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点C是第四象限内抛物线上一点，连结AC，BC．下列所给条件中，能确定二次项系数a的值的是（）A.A(2，0)，B(6，0)，AC=BCB.AB=2，C(3，-1)C.∠ACB=90°，点C的纵坐标为-2D.A(2，0)，AB=2AC7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A.a＜0，b＜0，c＞0B.a＜0，b＜0，c＜0C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＞0，b＜0，c＞08、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，给出以下结论：① b2＞4ac；②abc＜0 ；③2a+b=0 ；④ 8a+c＞0 ；⑤9a+3b+c＜0，其中正确结论是（）.A.①②B.②③C.①③④D.①③④⑤9、二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…0 1 2 ………且当时，与其对应的函数值.有下列结论：① ；② 和3是关于的方程的两个根；③ .其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.310、将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A.（2，4）B.（﹣1，1）C.（5，1）D.（2，﹣2）11、已知，（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A. B. C. D.不能确定12、如图，是抛物线在第四象限的一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（）A. B. C. D.13、如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A.水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B.水流喷射的最远水平距离是40米C.喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D.若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌14、如图，是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c ＞0．其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③④15、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①顶点是（﹣1，4）②方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣3，x2=1③4a+2b+c＞0④不等式ax2+bx+c＞0的解为﹣2＜x＜0．A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、红光旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日提高________元可获最大利润。
二次函数知识点总结与例题(带答案)一、二次函数图像与性质1、二次函数的定义般地，形如c=2（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做+bxaxy+二次函数注:①函数关系式必须是整式②自变量x的取值范围为全体实数，且最高次数是2.③a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，写各项系数时包括他前面的符号④二次项系数a不等于02、二次函数解析式的表示方法（1）一般式:c+=2（a，b，c为常数，a≠0）axbxy+（2）顶点式:k-y+(（a，h，k为常数，a≠0），其中（h，k =2)ahx为点坐标（3）交点式（两根式）:y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标，即一元二次方程c2的两个根）bx+ax+注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化3、二次函数c-a(的图像和性质x=2)y+axbxhy++=2与k4.、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况:（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小值，一般选用顶点式）（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.5、二次函数图象的变换（1）二次函数的平移变换平移规律:上加下减、左加右减.上下平移变常数，左右平移变x.例如，将抛物线cy+=2向左平移m个单位，再向上平移n个单+bxax位，得.)+y+xa=m+++(2n()()cxmb将抛物线k h x a y +-=2)(向右平移m 个单位，再向下平移n 个单位，得)()(2n k m h x a y -+--= （2）二次函数的对称变换 ①关于x 轴对称（变y ）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称后，系数全变号，得到的抛物线是c bx ax y ---=2.抛物线k h x a y +-=2)(关于x 轴对称后，得到的抛物线是k h x a y ---=2)(.②关于y 轴对称（变x ）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称后，系数变中间，得到的抛物线是c bx ax y +-=2抛物线k h x a y +-=2)(关于y 轴对称后，得到的抛物线是k h x a y ++=2)(③关于原点对称（先变x 再变y ）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称后，系数变两头，得到的抛物线是c bx ax y -+-=2抛物线k h x a y +-=2)(关于原点对称后，得到的抛物线.k h x a y -+-=2)( ④关于顶点对称（变换前后的y 值之和的平均数是原函数顶点纵坐标） 抛物线c bx ax y ++=2关于顶点对称后，得到的抛物线是ab c bx ax y 222-+--=抛物线ky+a--(=2)x(关于顶点对称后得到的抛物线是kxhay+=2)-h⑤关于点（m，n）对称（变换前后x的和为2m、y的和为2n）抛物线k-=2)y+(关于点（m，n）对称后，得到的抛物线是hxa+a-y-x=-+)2()h2(2kmn注:①对于填空和选择题，利用口诀写出解析式②对于解答题，求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.③平移时，抛物线的开口方向和形状一定不会发生变化，因此a永远不变；对称时，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变方法技巧提炼1、二次函数图像与系数的关系：看对称轴“左同右异”对称轴在y轴侧，则ab同号；若在右侧，则答案：控制变量法。
北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x …-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …y …12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 …下列四个结论：①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.12、已知y关于x的函数图象如图所示，则当y<0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜0B.-1＜x＜1或x＞2C.x＞-1D.x＜-1或1＜x＜23、抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为（）A.-3B.-4C.-5D.-14、抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标是（）A.（1，-2）B.（-1，2）C.（1，2）D.（-1，-2）5、对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣x+ 与x轴交于An、B n 两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（）A. B. C. D.16、二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A.抛物线G的开口向下B.抛物线G的对称轴是直线C.抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）D.当x＞﹣3时，y随x的增大而增大7、将抛物线y＝2x²向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为( )A.y＝2(x－4)²－3B.y＝2(x＋4)²＋3C.y＝2(x－4)²＋3D.y ＝2(x＋4)²－38、若实数a使关于x的二次函数y=x2+（a-1）x-a+2，当x<-1时，y随x的增大而减小，且使关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A.1B.4C.0D.39、抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是 x=1 ．下列结论中：① ；②；③ ；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个10、关于二次函数，下列说法正确的是 ( )A.当x=2时，有最大值-3；B.当x=-2时，有最大值-3；C.当x=2时，有最小值-3；D.当x=-2时，有最小值-3；11、抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12、关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-1=0有两个实数根，a的取值范围为（）A.a≥0B.a<2C.a≥0且a≠1D.a≤2或a≠113、已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14、由抛物线得到抛物线是经过怎样平移的（）A.右移1个单位上移2个单位B.右移1个单位下移2个单位C.左移1个单位下移2个单位D.左移1个单位上移2个单位15、二次函数的图象如图所示，那么，，，这四个代数式中，值为正数的有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为________．17、抛物线y=2（x+1）2的顶点坐标为________.18、二次函数y=﹣4（1+2x）（x﹣3）的一般形式y=ax2+bx+c是________．19、如果函数是关于x的二次函数, 则k=________ 。
二次函数知识点总结与例题(带答案)一、二次函数图像与性质1、二次函数的定义般地，形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数，叫做二次函数注:①函数关系式必须是整式②自变量x 的取值范围为全体实数，且最高次数是2.③a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，写各项系数时包括他前面的符号 ④二次项系数a 不等于0 2、二次函数解析式的表示方法（1）一般式:c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，a ≠0）（2）顶点式:k h x a y +-=2)(（a ，h ，k 为常数，a ≠0），其中（h ，k 为点坐标（3）交点式（两根式）:y=a （x -x1）（x -x2）（a ≠0，x1，x2是抛物线与x 轴两交点的横坐标，即一元二次方程c bx ax ++2的两个根） 注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac ≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化3、二次函数c-a(的图像和性质x=2)y+axbxhy++=2与k4.、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况:（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小值，一般选用顶点式）（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.5、二次函数图象的变换（1）二次函数的平移变换平移规律:上加下减、左加右减.上下平移变常数，左右平移变x.例如，将抛物线cy+=2向左平移m个单位，再向上平移n个单+bxax位，得.)+y+xa=m+++(2n()()cxmb将抛物线k h x a y +-=2)(向右平移m 个单位，再向下平移n 个单位，得)()(2n k m h x a y -+--= （2）二次函数的对称变换 ①关于x 轴对称（变y ）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称后，系数全变号，得到的抛物线是c bx ax y ---=2.抛物线k h x a y +-=2)(关于x 轴对称后，得到的抛物线是k h x a y ---=2)(.②关于y 轴对称（变x ）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称后，系数变中间，得到的抛物线是c bx ax y +-=2抛物线k h x a y +-=2)(关于y 轴对称后，得到的抛物线是k h x a y ++=2)(③关于原点对称（先变x 再变y ）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称后，系数变两头，得到的抛物线是c bx ax y -+-=2抛物线k h x a y +-=2)(关于原点对称后，得到的抛物线.k h x a y -+-=2)( ④关于顶点对称（变换前后的y 值之和的平均数是原函数顶点纵坐标） 抛物线c bx ax y ++=2关于顶点对称后，得到的抛物线是ab c bx ax y 222-+--=抛物线k h x a y +-=2)(关于顶点对称后得到的抛物线是k h x a y +--=2)(⑤关于点（m ，n ）对称（变换前后x 的和为2m 、y 的和为2n ） 抛物线k h x a y +-=2)(关于点（m ，n ）对称后，得到的抛物线是)2()2(2k n m h x a y -+-+-=注:①对于填空和选择题，利用口诀写出解析式②对于解答题，求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.③平移时，抛物线的开口方向和形状一定不会发生变化，因此a 永远不变；对称时，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变方法技巧提炼1、二次函数图像与系数的关系2.根据二次函数表达式比较大小常见符判断: （1）a ：看开口方向（2）b ：看对称轴“左同右异”对称轴在y 轴侧，则ab 同号；若在右侧，则a 可以根据点到对称轴的距离和开口方向直接判断（画简图）:在图2-1-1中，由d1<d2，则y1<y2；在图2-1-2中，由d1<d2，则y1>y2答案：控制变量法。
二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表 例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。
专题1 二次函数题型一 二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x ＝1； ②它的顶点坐标为(1，4)；③它与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)； ④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 其中正确的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①对称轴为x ＝－b 2a ＝－22×（－1）＝1，∴①正确；②y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∴y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a ＝－1＜0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个． 【点悟】 二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．变式跟进1．小张同学说出了二次函数的两个条件： (1)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大； (2)函数图象经过点(－2，4)．则符合条件的二次函数表达式可以是( D ) A ．y ＝－(x －1)2－5 B ．y ＝2(x －1)2－14 C ．y ＝－(x ＋1)2＋5D ．y ＝－(x －2)2＋202．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标． (1)y ＝4x 2＋24x ＋35； (2)y ＝－3x 2＋6x ＋2； (3)y ＝x 2－x ＋3； (4)y ＝2x 2＋12x ＋18. 解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)， 解方程4x 2＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72，故它与x 轴交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0；(2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)， 解方程－3x 2＋6x ＋2＝0， 得x 1＝1＋153，x 2＝1－153， 故它与x 轴的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋153，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153，0； (3)∵y ＝x 2－x ＋3，∴对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114，解方程x 2－x ＋3＝0，无解，故它与x 轴没有交点； (4)∵y ＝2x 2＋12x ＋18，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)， 当y ＝0时，2x 2＋12x ＋18＝0，∴x 1＝x 2＝－3， ∴它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．题型二 二次函数的平移例 2 将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2＋1【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．变式跟进3．将抛物线y ＝2x 2＋4x －5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C ) A ．y ＝2(x ＋1)2－7 B ．y ＝2(x ＋1)2－6 C ．y ＝2(x ＋3)2－6D ．y ＝2(x －1)2－6题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016·宁夏]若二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是__m ＜1__． 【解析】 ∵二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m ＞0，∴m ＜1.【点悟】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．变式跟进4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝1，x 2＝3 C ．x 1＝－1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝3【解析】 二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．图1 第5题答图【解析】 如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝－32，∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，∴C 点坐标为(－3，0)，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是－4＜x ＜－3.题型四 二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论： ①abc ＞0； ②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2＜8a ； ④13＜a ＜23； ⑤b ＞c .其中含所有正确结论的选项是( D )图2A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤【解析】 ①∵函数开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误；③∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋b ×(－1)＋c ＝0，∴a －b ＋c ＝0，即a ＝b －c ，c ＝b －a ，∵对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，即b ＝－2a ，∴c ＝b －a ＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4a (－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0.∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；④∵图象与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1，∴－2＜－3a ＜－1，∴23＞a ＞13，故④正确；⑤∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．【点悟】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c )．变式跟进6．[2016·孝感]如图3是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论： ①a －b ＋c >0； ②3a ＋b ＝0； ③b 2＝4a (c －n )； ④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( C )图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴4ac －b 24a＝n ，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (c －n )，∴③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．题型五 二次函数的实际应用例 5 [2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22， ∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y 元，当0≤x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900. 当x ＞100时，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1005x －1 100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025. 当x ＝175时，y 2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y ＝a (x －h )2＋k ，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．变式跟进7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t (s)与该足球距离地面的高度h (m)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10 m 时，求t 的值；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (m)，求m 的取值范围． 解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝15(m)， ∴此时足球离地面的高度为15 m ； (2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－2，∴经过2＋2或2－ 2 s 时，足球距离地面的高度为10 m ；(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝202－20m ＞0，解得m ＜20， ∴m 的取值范围是0≤m ＜20.题型六 二次函数的综合题例 6 [2017·浙江月考]如图4，抛物线C 1：y ＝－3x 2＋23x 的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B . (1)将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；(2)将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，求抛物线C 2的表达式(用k 表示)；(3)在(2)条件下，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°.当k ＞1时，求k 的值．图4 例6答图解：(1)∵y ＝－3x 2＋23x ＝－3(x －1)2＋3， ∴抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点， ∵将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍， ∴变换后的抛物线经过原点O ，(2，23)和(4，0)三点．设变换后抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ，将(2，23)和(4，0)代入， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝23，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝23， ∴变换后抛物线的表达式为y ＝－32x 2＋23x ； (2)∵抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点，将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，则抛物线C 2过原点O ，(k ，3k )，(2k ，0)三点，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－3kx 2＋23x ；(3)∵y ＝－3kx 2＋23x ＝－3k(x －k )2＋3k ，∴O ，A ，C 三点共线，且顶点C 为(k ，3k )．如答图，∵S △PAC ＝S △ABC ，k ＞1，∴BP ∥AC ， 过点P 作PD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥AO 于E .由题意知△ABO 是边长为2的正三角形，四边形CEBP 是矩形， ∴OE ＝1，CE ＝BP ＝2k －1，∵∠PBD ＝60°， ∴BD ＝k －12，PD ＝32(2k －1)，∴P ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋32，32（2k －1）， ∴32(2k －1)＝－3k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋322＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋32，解得k ＝92.变式跟进8．[2017·诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．图5(1)求OE 的长；(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的表达式；(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ，当t 为何值时，DP ＝DQ .解：(1)∵CE ＝CB ＝5，CO ＝AB ＝4， ∴在Rt △COE 中，OE ＝CE 2－CO 2＝52－42＝3；(2)设AD ＝m ，则DE ＝BD ＝4－m ， ∵OE ＝3，∴AE ＝5－3＝2，在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即m 2＋22＝(4－m )2，解得m ＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－5，∵C (－4，0)，O (0，0)，∴设过O ，D ，C 三点的抛物线为y ＝ax (x ＋4)， ∴－5＝－32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋4，解得a ＝43，∴抛物线表达式为y ＝43x (x ＋4)＝43x 2＋163x ；(3)∵CP ＝2t ，∴BP ＝5－2t ， 由折叠的性质，得BD ＝DE ＝52，在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝DQ ，BD ＝ED ，∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ (HL )，∴BP ＝EQ ，∴5－2t ＝t ，∴t ＝53.过关训练1．已知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是( C )图1A ．根据图象可得该函数y 有最小值B ．当x ＝－2时，函数y 的值小于0C ．根据图象可得a ＞0，b ＜0D ．当x ＜－1时，函数值y 随着x 的增大而减小【解析】 由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y 有最小值，此选项正确；B.当x ＝－2时，图象在x 轴的下方，函数值小于0，此选项正确；C.对称轴为x ＝－1，a ＞0，则b ＞0，此选项错误；D.当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，此选项正确．2．抛物线y ＝(x ＋2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移方法中正确的是( B ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【解析】 ∵函数y ＝x 2的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，得y ＝(x ＋2)2；然后y 轴向下平移1个单位长度，得y＝(x＋2)2－1，故选B.3．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )A B C D4．如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是( D )图2A．abc＞0 B．2a－b＝0C．4a＋2b＋c＜0 D．9a＋3b＋c＝0【解析】∵抛物线的开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0；∵对称轴为x＝1，∴－b2a＝1，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；当x＝2时，4a＋2b＋c＞0；当x＝3时，9a＋3b＋c＝0.5．已知二次函数y＝3x2＋36x＋81.(1)写出它的顶点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；(3)求出图象与x轴的交点坐标；(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；(5)当x取何值时，y＜0.解：(1)∵y＝3x2＋36x＋81＝3(x＋6)2－27，∴顶点坐标为(－6，－27)；(2)∵抛物线的对称轴为x＝－6，且抛物线的开口向上，∴当x＞－6时，y随x的增大而增大；(3)当3x2＋36x＋81＝0时，得x1＝－3，x2＝－9，∴该函数图象与x轴的交点为(－9，0)，(－3，0)；(4)∵抛物线的顶点坐标为(－6，－27)， ∴当x ＝－6时，y 有最小值，最小值为－27；(5)∵该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)，且抛物线的开口向上， ∴当－9＜x ＜－3时，y ＜0.6．已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)． (1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．解：(1)由顶点A (－1，4)，可设二次函数关系式为y ＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)． ∵二次函数的图象过点B (2，－5)， ∴－5＝a (2＋1)2＋4，解得a ＝－1. ∴二次函数的关系式是y ＝－(x ＋1)2＋4； (2)令x ＝0，则y ＝－(0＋1)2＋4＝3， ∴图象与y 轴的交点坐标为(0，3)．7．如图3，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点．图3(1)求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标． 解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3， ∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3. ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)；(2)由图可得当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0； (3)∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4.设P (x ，y )，则S △PAB ＝12AB ·|y |＝2|y |＝10，∴|y |＝5，∴y ＝±5.①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5，解得x 1＝－2，x 2＝4， 此时P 点坐标为(－2，5)或(4，5)；②当y ＝－5时，x 2－2x －3＝－5，方程无解． 综上所述，P 点坐标为(－2，5)或(4，5)．8．如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)已知墙的最大可用长度为8 m ， ①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20 m 2，请直接写出x 的取值范围．图4解：(1)S ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)； (2)①S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36， 由24－4x ≤8，24－4x ＞0，解得4≤x ＜6， 当x ＝4时，花圃有最大面积为32；②令－4x 2＋24x ＝20时，解得x 1＝1，x 2＝5， ∵墙的最大可用长度为8，即24－4x ≤8， ∴x ≥4，∴4≤x ≤5.9．[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润__2__000__元； (2)若设后来该小商品每件降价x 元，该经营者一天可获利润y 元．①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？ 解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100×(100－80)＝2 000(元)； (2)①设该商品每件降价x 元，依题意，得(100－80－x )(100＋10x )＝2 090， 即x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9. 答：每件商品应降价1元或9元； ②根据题意得y ＝(100－80－x )(100＋10x ) ＝－10x 2＋100x ＋2 000，当x ＝－b2a ＝5时，y 最大＝2 250元，答：该经营者所获最大利润为2 250元．10．[2016·泰安]如图6，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A (0，5)，与x 轴交于点E ，B .图6(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2＋9， 把A (0，5)代入得4a ＋9＝5，解得a ＝－1， ∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5； (2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴E (－1，0)，B (5，0)， 设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n ，把A (0，5)，B (5，0)代入，得m ＝－1，n ＝5， ∴y ＝－x ＋5，设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则D (x ，－x ＋5)，PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x ，∵AC ＝4， ∴四边形APCD 的面积＝12AC ·PD ＝12×4×(－x 2＋5x )＝－2x 2＋10x ，当x ＝－102×（－2）＝52时，四边形APCD 的面积最大，最大面积为252.11．[2017·双台子区校级一模]如图7，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于c (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点．(1)求出二次函数的表达式；图7(2)连结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 解：(1)把B (3，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3； (2)存在．理由如下：如答图①，作OC 的垂直平分线交直线BC 下方的抛物线于点P ，垂足为点E .则PO ＝PC ， ∵△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ， ∴OP ′＝OP ，CP ′＝CP ，∴OP ′＝OP ＝CP ′＝CP ， ∴四边形POP ′C 为菱形，∵C 点坐标为(0，－3)， ∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，∴点P 的纵坐标为－32， 把y ＝－32代入y ＝x 2－2x －3，得x 2－2x －3＝－32，解得x ＝2±102， ∵点P 在直线BC 下方的抛物线上， ∴x ＝2＋102，∴满足条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2＋102，－32；第11题答图① 第11题答图②(3)如答图②，作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，BC 的表达式为y ＝x －3，设E (m ，m －3)，P (m ，m 2－2m －3)．则PE ＝m －3－(m 2－2m －3)＝－m 2＋3m ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋94，S △BCP ＝S △BEP ＋S △CEP＝12PE ·FB ＋12EP ·OF ＝12EP ·OB ＝12×3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋94 ＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋278，∵－32＜0，∴当m ＝32时，S 最大＝278，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－154；∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，又∵S 四边形ACPB ＝S △ABC ＋S △PBC ，S △ABC ＝12×4×3＝6＝定值，∴当△PBC的面积最大时，四边形ACPB的面积最大，最大面积为6＋278＝758.。
专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。
3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。
②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。
③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
