2-5矩阵的秩

第五节矩阵的秩矩阵秩的不等式小结一、矩阵秩的概念定义1 在m n 矩阵A 中任取k 行k 列(k m , k n),位于这些行列交叉处的k 2 个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.m行n列矩阵的k 阶子式有几个呢?k k m n 矩阵A 的k 阶子式共有Cm Cn 个.定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0 的r 阶子式D,且所有r 1 阶子式(如果存在的话)全等于0,那末 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵 A 的秩，记作R( A) .并规定零矩阵的秩等于零.注：m n 矩阵A 的秩R( A) 是A 中不等于零的1. 子式的最高阶数 .2.显然有R( AT ) R( A) k 0时有R(kA) R( A)3. R( Am n ) min( m , n)4. R( An ) n A为可逆矩阵 .例11 2 3 求矩阵A 2 3 5 的秩. 4 7 1 1 2 在A 中，0. 2 3又A的3 阶子式只有一个A, A 0, 且解R( A) 2.例23 2 2 1 0 3 1 2 5 0 求矩阵B 的秩. 0 0 04 3 0 0 0 0 0解B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，B 的所有4阶子式全为零.2 1 而0 03 03 2 0, R( B ) 3. 41 32 2 例3 已知A 0 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 2 0 1 5 1 3 2 0, 计算A的3阶子式，解0 21 323 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 50 1 5 2 1 5 1 3 2 0. R A 2.1 32 2 另解对矩阵A 0 2 13 做初等变换，2 0 1 5 1 3 22 13 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0 显然，非零行的行数为2, R A 2.此方法简单！一般矩阵的秩，如果根据定义计算，工作量将很大，那该如何计算它的秩呢?二、矩阵秩的求法任何矩阵Am n , 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的 .问题：经过变换矩阵的秩变吗？定理1 若A ~ B, 则R A R B .定理2 设A是一个m n矩阵, P , Q分别是m阶和n阶可逆矩阵, 则R PA R A , R( AQ) R( A), R( PAQ) R( A).初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 设A , 求矩阵A 的秩. 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4例4解对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 r1 r41 6 4 1 4 6 1 323 2 0 1 5 3 3 2 0 5 00 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4r1 r4 r2 r41 6 4 1 4 1 1 0 4 32 0 1 53 3 2 0 5 00 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r16 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 97 11 0 16 128 12r3 3r2r4 4r21 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0r4 r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知R( A) 3.1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例5(skip) 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4 求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.解~ ~ ~ 设分析：B 的行阶梯形矩阵为B ( A, b ), ~ 则A 就是A 的行阶梯形矩阵，~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出R( A) 及R( B).1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 61 2 3 4 1 0 5 1r2 2r1 r3 2r1r4 3r11 2 2 1 4 2 0 0 0 0 2 1 0 0 6 3r2 2 r3 r2r4 3r21 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 02 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0r3 5 r4 r3R( A) 2,R( B ) 3.三、矩阵秩的不等式(略讲)定理：两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩，即r(AB) min r(A),r(B) 则(AB) (A) (B) n, r r r 特别地，若AB 0,则(A (B) n r )r定理(sylvester公式):设A,B分别为m n和n k矩阵，定理：设A,B均为m n矩阵，则r(A B) r(A) r(B)例：设为n阶幂等阵，即A2 A,证明r(A) r(I A) n 证：由A2 A,有A(I A) 0 由定理，有r(A) r(I A) n 又由定理，有n r(I) r(A I A)) r(A) r(I A) ( r(A) r(I A) n。

秩1 设A 与B 为n 阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由000S EB AAB A E EEB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而0S E B E ⎛⎫⎪-⎝⎭可逆 r(A)+r(B) ≥ 秩 0AEB ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A A B E⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00A B E⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E)=r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ） 证：因为0A EB E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00BE ⎛⎫ ⎪⎝⎭00A B E B E-⎛⎫=⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00A B E B E-⎛⎫⎪-⎝⎭≤秩0A EB E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）2 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明：r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B) 证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于 0A BA B C B⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0A B BB C ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0st E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵， 故r(AB) + r(BC)≤秩0A BB BC ⎛⎫⎪⎝⎭=秩0A B A B C B⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩00A B C B⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B )证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) ≤r( A (B + E)) + r(B) ≤r( A ) + r( B ) 6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵， 证明：r （ A B – C D ）≤ r( A-C ） + r （ B - D ） 证明：根据分块矩阵的乘法可知 0mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C ABCD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CA B C D B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ） 1. 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为： A0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E-A A 0E -B 0-AB E-B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-A B r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()0-AB A0r =r AB +n r =r A +r B E0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2. 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nX A +B Y =E证明：根据题三 1，只需要证明⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A0A 0r =r ⇔存在X 、Y ，使得EB 0B n X A +B Y =E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦mn n n n m m n E 0A 0E 0E 0A 0A 0Ü由==-X E E B -Y E -Y E E -XA -BY B -AXB 当 n XA +BY =E 时，⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A0A 0r =r E B 0B ∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000r SE E AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 11220000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r S E E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q EB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120F CF ⎛⎫⎪⎝⎭其中1F =00r E C ⎛⎫⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫⎪⎝⎭于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫⎪⎝⎭000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++=从而有 得 n XA BY E += 3设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵。

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

§3.4 矩阵的秩一、矩阵的行秩、列秩、秩定义 矩阵的行秩＝矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩＝矩阵的列向量组的秩．引理 如果齐次线性方程组111122121122221122000n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪+++=⎩（1） 的系数矩阵111212122212n ns s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的行秩r n <，那么它有非零解．（若（1）只有零解，则r n =）定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩．定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作()R A ．二、方阵的秩与行列式的关系定理5 ()ij n n A a ⨯=，0()A R A n =⇔< （0≠A ⇔()R A n =，A 也称为满秩矩阵．）推论1 齐次线性方程组111122121122221122000n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有非零解⇔系数矩阵()ij n n A a ⨯=的行列式A =0．只有零解⇔0≠A ．推论2 n 个n 维向量),,,(21in i i i a a a =α，j =1,2,…,n线性无关⇔0≠ij a线性相关⇔ij a =0三、一般矩阵的秩与行列式的关系1. k 级子式：在一个s ×n 矩阵中任意选定k 行k 列位于这些行和列的交点上的2k 个元素按原来次序所组成的k 级行列式，称为k 级子式．2. 矩阵的秩与行列式的关系定理6 矩阵的秩为r A ⇔中有一个r 级子式不等于0，且所有1r +级子式等于0． 推论１ ⇔≤r A R )(A 的所有1r +级子式等于0 ⇔≥r A R )(A 有一个r 级子式不为0推论２ 在秩为r 的矩阵A 中，不为0的r 级子式所在的行（列）正是A 的行（列）向量组的一个极大无关组；．四、矩阵秩的计算方法一：定义法：求A 的行（列）向量组的秩；方法二：定理法：利用定理6，()R A A =中最高阶非０子式的阶数；方法三：化A 为阶梯阵．。