2017届人教A版 全称量词与存在量词 精品演练

人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【考点2存在量词命题的否定】【例2.1】命题“∃0∈s 02+30−2=0”的否定为（）A．∀∈s 2+3−2=0B．∀∈s 2+3−2≠0C．∃∉s 12+31−2=0D．∃1∈s 12+31−2≠0【例2.2】已知命题：∃∈N,2−2是素数，则¬为（）A．∀∉N,2−2不是素数B．∃∈N,2−2不是素数C．∃∉N,2−2不是素数D．∀∈N,2−2不是素数【变式2.1】命题“∃>0，2++1≥0”的否定是（）A．∀≤0，2++1<0B．∀≤0，2++1≥0C．∀>0，2++1<0D．∃>0，2++1<0【变式2.2】关于命题“∃0∈R，02−0+1<0”的否定，下列说法正确的是（）A．¬：∀∈R,2−+1>0，为假命题B．¬：∀∈R,2−+1>0，为真命题C．¬：∃∈R,2−+1>0，为真命题D．¬：∀∈R,2−+1≥0，为真命题1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】已知命题G∀∈s2−−2>0．(1)写出命题的否定；(2)判断命题的真假，并说明理由．【例1.2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)G∀∈R,2++1>0；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)G∃∈N,2−2+1≤0．【变式1.1】写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃∈，2+2+3≤0；(2)至少有一个实数，使3+1=0；(3)∃s∈，2+=3．【变式1.2】对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)∀∈R，2−2+1≥0；(2)∃∈Q，2=2；(3)∃∈R，2−0；(4)∀≠0，+∈2,+∞；(5)任意三角形都有内切圆；(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．【考点2根据命题否定的真假求参数】【例2.1】已知命题G∃∈s−2+2−5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．【例2.2】已知命题G∀1≤≤3，都有≥，命题G∃1≤≤3，使≥，若命题为真命题，命题q 的否定为假命题，求实数m的取值范围．【变式2.1】已知命题：方程2+B+1=0有两个不等的负实根；命题：方程42+4−2+1=0无实根.(1)若命题¬为真，求实数的取值范围；(2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.【变式2.2】已知：∀∈，B2+1>0，：∃∈，2+B+1≤0．（1）写出命题的否定¬；命题的否定¬；（2）若¬和¬至少有一个为真命题，求实数的取值范围．一、单选题1．下列正确命题的个数为（）①∀∈，2+2>0；②∀∈s4≥1；③∃∈s3<1；④∃∈s2=3．A．1B．2C．3D．42．已知命题G∀>0,e+3≤2，则¬为（）A．∃≤0,e+3>2B．∃>0,e+3>2C．∃>0,e+3≤2D．∀>0,e+3>23．下列命题中正确的是（）A．∃∈，≤0B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．∃∈{U是无理数}，+5是无理数D．存在∈R，使得2+1<24．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（）A．所有的素数都是奇数B．∀∈，+1≥1C．有一个实数，使2+2+3=0D．有些平行四边形是菱形5．已知“∃0∈，202402−20240−<0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．>−506B．≥−506C．≤−506D．<−5066．下列结论中正确的个数是（）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题；③命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1=0”；④命题“∀∈Z,∈N”是真命题；A．0B．1C．2D．37．已知命题：∀∈，2−+2>0，则“≤0”是“¬是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设∈R，用表示不超过的最大整数，则=称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合=U2−−1=0,−1<<2是单元素集：②对于任意∈R，+=2成立，则以下说法正确的是（）A．①②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题D．①②都是假命题二、多选题9．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（）A．存在实数，使2≤0B．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是180∘10．已知命题G∃∈{b−1≤≤1}，2−5+3<+2，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．≤0B．≥5C．≥0D．≤5三、填空题11．命题“∃∈−1,1,2+2≤1”的否定是．12．若“∃∈，使得22−B+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是．四、解答题13．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：(1)实数都能写成小数；(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；(4)存在一个自然数n，使代数式2−2+2的值是负数．14．写出下列命题的否定：(1)一切分数都是有理数；(2)正方形都是菱形；(3)∃∈，使2−2=0；(4)∀∈，有2+2+2≤0．15．已知集合=−3≤≤10，=2+1≤≤3−2，且≠∅．(1)若命题p：“∀∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q：“∃∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围．16．已知命题G∀∈，2+2−3>0，命题G∃∈，2−2B++2<0.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词答案1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【解题思路】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【解答过程】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.【解答过程】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A.【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据存在量词命题和全称量词命题的定义作出判断.【解答过程】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．故选：B.【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【解题思路】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.【解答过程】对于A，当=0时，=0，为真命题，故A错误；对于B，因为∈，所以2≥0，则2+1≥1>0，为真命题，故B错误；对于C，当=0时，3=0，为假命题，故C正确；对于D，由2−10=1，得=112，为真命题，故D错误.故选：C.【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【解题思路】对A：由2+1≥1>0判断命题为假；对B：当=0时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由Δ=72−4×15<0判断命题为假.【解答过程】∀∈，2+1≥1>0，故1是假命题；当=0时，+|U=0，故2是假命题；∀∈，|U∈，故3是真命题；方程2−7+15=0中Δ=72−4×15<0，此方程无解，故4是假命题.故选:：C.【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.【解答过程】①由2−5−6=(+1)(−6)=0，可得=−1或=6，为真命题；②由2+2+3=(+1)2+2>0，为假命题；③当=−1时3+1=0，为真命题.故选：C.【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意，∈，都有2+2−2(+−1)=2−2+1+2−2+1=(−1)2+(−1)2≥0，即2+2≥2(+−1)，D选项正确.故选：D.【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【解题思路】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围.【解答过程】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则当=0时，不等式为12>0对∀∈R恒成立；当≠0时，要使得不等式恒成立，则>0Δ=42−48<0，解得0<<12综上，的取值范围为0,12.故选：D.【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【解题思路】由题意知需要大于2−1的最小值，求出其最小值即可得.【解答过程】由题意得>2−1min，又2−1min=−1，此时=0，故>−1.故选：A.【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【解题思路】将问题转化为命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B−3<0”为真命题，令=2+2B−3，利用二次函数的性质求解.【解答过程】解：因为命题p “∃∈[−2,1]，2+2B −3≥0”为假命题，所以命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B −3<0”为真命题，令=2+2B −3，其对称轴为=−，当−≤−2，即≥2时，1=1+2−3<0，解得>1，此时≥2；当−≥1，即≤−1时，−2=4−4−3<0，解得>47，此时无解；当−2<−<1，即−1<<2时，1=1+2−3<0−2=4−4−3<0，即>1>47，此时1<<2，综上：实数a 的取值范围是>1，故选：B.【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.【解答过程】命题为真时≤2恒成立，∈1,2，即≤2min ，≤1，命题为真时Δ≥0，即42−42−≥0，解得：≤−2或≥1.命题“且”是真命题时，取交集部分，可得≤−2或=1，所以命题“且”是假命题时，可得>−2且≠1，故选：D.1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【解题思路】根据命题“∀∈，”的否定是“∃∈，¬”直接得出结果.【解答过程】命题“∀∈，2≥0”的否定是“∃∈，2<0”．故选：C．【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【解题思路】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.【解答过程】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是“∃≥0, 2−+1<0”，故选：A.【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【解题思路】由命题否定的定义即可得解.【解答过程】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是∃0∈0,1，03≥02.故选：C.【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【解题思路】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。

§1.5 全称量词与存在量词1．5.1 全称量词与存在量词1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3答案 C解析“∀”表示“任意的”．2．(多选)下列命题中是存在量词命题的是()A．有些自然数是偶数B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除D．存在x∈R，使得|x|≤0答案AD解析命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题D是存在量词命题．3．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R,2x－10＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0答案 C解析当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．4．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是()A．∀x∈R,2x＋1>0B．若2x为偶数，则x∈NC．菱形的四条边都相等D．π是无理数答案 C解析对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．5．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是() A．a>－1 B．a<－1C．a≥－1 D．a≤－1答案 B解析依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为__________________．答案∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．7．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．答案①②③④解析①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．8．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．答案a≤3解析对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.9．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．10．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．(1)对所有的正实数t，t为正且t<t；(2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0；(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．解(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则t<t不成立．(2)为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0.(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x－4y－5>0成立．(4)为全称量词命题，且为真命题．11．下列命题中正确的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数．A．0B．1C．2D．3答案 D解析①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．12．已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是() A．0<a<4 B．a>4C ．a <0D ．a ≥4答案 B解析 ∵p 是假命题，∴方程x 2＋4x ＋a ＝0没有实数根，即Δ＝16－4a <0，即a >4.13．能够说明“存在两个不相等的正数a ，b ，使得a －b ＝ab ”是真命题的一组有序数对(a ，b )为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，13(答案不唯一)解析 存在两个不相等的正数a ，b ，如a ＝12，b ＝13时，使得a －b ＝ab 是真命题． 14．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1<0，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a <1}解析 当a ≤0时，显然存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1<0；当a >0时，需满足Δ＝4－4a >0，得a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.15．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5答案 C解析 当该命题是真命题时，只需a ≥(x 2)max ，x ∈A ＝{x |1≤x ≤2}．又y ＝x 2在1≤x ≤2上的最大值是4，所以a ≥4.因为a ≥4⇏a ≥5，a ≥5⇒a ≥4.所以命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是a ≥5.16．若∀x ∈R ，函数y ＝x 2＋mx －1－a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围． 解 因为函数y ＝x 2＋mx －1－a 的图象和x 轴恒有公共点，所以Δ＝m 2＋4(1＋a )≥0恒成立，即m 2＋4a ＋4≥0恒成立．设y 1＝m 2＋4a ＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x 轴上方(或图象顶点在x 轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．。

1.4 全称量词与存在量词第1课时 全称量词与存在量词基础训练1．下列命题为特称命题的是（ ）A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在实数不小于3 答案：D2．若命题:p x ∀∈R ，22421ax x a x ++-+≥是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．3a -≤或2a ≥ Ｂ．2a ≥ Ｃ．2a >-Ｄ．22a -<<答案：Ｂ3．若k M ∃∈，对x ∀∈R ，210kx kx --<是真命题，则k 的最大取值范围M 是（ ） Ａ．40k -≤≤ Ｂ．40k -<≤ Ｃ．40k -<≤Ｄ．40k -<<答案：Ｃ4．命题①x R ，使sin cos 2x x ②对x R ，1sin 2sin xx③对1(0,),tan 22tan xx x④x R ，使sin cos 2x x，其中真命题为（ ）Ａ、③ Ｂ、③④ Ｃ、②③④ Ｄ、①②③④ 答案：B5．命题:p x ∃∈R ，2250x x ++<是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 命题（填“真”或“假”），它的否定命题:p ⌝ ，它是 命题（填“真”或“假”）． 答案：特称命题；假；x ∀∈R ，2250x x ++≥；真6．下列三个特称命题：（1）有一个实数x ，使2440x x ++=成立；（2）存在一个平面与不平行的两条直线都垂直；（3）有些函数既是奇函数又是偶函数．其中真命题的个数为 ． 答案：27．命题2:0p x x ∃∈<R ，是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 命题（填“真”或“假”）；它的否定是 ，它是 命题（填“真”或“假”）． 答案：特称命题：假；x ∀∈R ，20x≥；真8．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为 ．答案：0x ∀≤，30x ≤综合运用9．若x ∀∈R ，11x x a -++>是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(2)-，∞10．若x ∀∈R ，函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围． 解：（1）当0m =时，()f x x a =-与x 轴恒相交；（2）当0m ≠时，二次函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是14()0m m a ∆=++≥恒成立，即24410m am ∆=++≥恒成立，又24410m am ++≥是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是2(4)160a '∆=-≤，解得11a -≤≤．综上，当0m =时，a ∈R ；当0m ≠，[]11a ∈-，．拓展延伸 11．已知：:,()|2|||p xR f x x x m 恒成立.52:()log mq f x x 在（0，+）为单调增函数。

1.5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题1．x>2是命题吗？对任意的x∈R，x>2是命题吗？[答案]x>2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>2则是命题2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？[答案]命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．()(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．()(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．()(4)内错角相等是全称量词命题．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的内角和等于360°；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．[思路导引]找命题中的量词及其命题的含义．[解](1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[针对训练]1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y＝kx＋b为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x∈R，x2＋3≥3.[解](1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．[针对训练]2．判断下列全称量词命题的真假．(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.[解](1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．题型三存在量词命题真假的判断【典例3】判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.(4)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题．(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．[针对训练]3．判断下列存在量词命题的真假．(1)有些二次方程只有一个实根．(2)某些平行四边形是菱形．(3)存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x21>x22.[解](1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．(3)当x1＝－2，x2＝1时有x21>x22，故“存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x21>x22”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[解]∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．[变式]若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4.∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[针对训练]4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R 恒成立，并说明理由．[解]不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．[解]不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>t min.又t＝(x－1)2＋4，∴t min＝4，∴m>4.所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数[解析]D选项是存在量词命题．[答案]D2．下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．0 B．1C．2 D．3[解析]命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案]B3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是() A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3[解析]“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．[答案]C4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]∵对于任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.[答案]a≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．[解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题．(2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题． (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．课后作业(八)复习巩固一、选择题1．下列量词是全称量词的是( )A ．至少有一个B ．存在C ．都是D ．有些[答案] C2．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案] C3．下列命题是存在量词命题的是( )A ．一次函数的图象都是上升的或下降的B ．对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0C ．存在实数大于或者等于3D ．菱形的对角线互相垂直[解析] 选项A ，B ，D 中的命题都是全称量词命题，选项C 中的命题是存在量词命题．[答案] C4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0C ．∀x ∈Q ，x 2∈QD ．∃x ∈Z ，使x 2>1[解析] 首先D 项是存在量词命题，不符合要求；A 项不是真命题，因为当x ＝0时，x 2＝0；B 项也不是真命题，因为当x ＝y ＝0时，x 2＋y 2＝0；只有C 项是真命题，同时也是全称量词命题．[答案] C5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2>0C ．任意无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2[解析] 只有A ，C 两个选项中的命题是全称量词命题；且A 显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C 为假命题．[答案] A二、填空题6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．[解析]命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.[答案]∀x≤0，x3≤07．给出下列四个命题：①y＝1x⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．[解析]①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]①②④8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．[解析]①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x ＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x ∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x －1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．[答案]0三、解答题9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．(1)存在x，使得x－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形的两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．[解] (1)存在量词命题．如x ＝2时，x －2＝0成立，所以是真命题．(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．[解] (1)∀x ∈R ，使x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，使ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．如当a ＝0，b ＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，使13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．平面内，不相交的两条直线是平行直线[解析] A 中的命题是全称量词命题，但是a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C 中的命题是全称量词命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.[答案] D12．已知a >0，则“x 0满足关于x 的方程ax ＝b ”的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0[解析] 由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a 2－b 22a ，故此函数图象的开口向上，且当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，故∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0，故选C.[答案] C13．已知函数y ＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0的充要条件是x 20＋bx 0＋c <0有解，即b 2－4c >0,4c <b 2.所以当c <0时，一定有4c <b 2，即∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0.反之当∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0时，只要4c <b 2即可，不一定c <0.故选A.[答案] A14．若对于任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 依题意，得⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4－4a 2<0， 即⎩⎨⎧ a <0，a <－1或a >1，∴a <－1.[答案] {a |a <－1}15．已知命题“∃x ∈R,2x ＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 由题意可得“对∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)2－4<0，得－1<a <3，即{a |－1<a <3}．。

专题6 全称量词与存在量词题组1 全称量词命题的识别1.下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x 都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立.其中是全称量词命题的有()A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】B【解析】①和④中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；②和③用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B正确.2.下列命题中是全称量词命题的是()A.圆有内接四边形B.＞C.＜D.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形【答案】A【解析】由全称量词命题的定义可知，“圆有内接四边形”即为“所有圆都有内接四边形”，是全称量词命题.3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的个数是()①所有的二次函数都有零点；②∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有的直线斜率不存在.A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】“所有”、“∀”是全称量词，“有的”是存在量词，由全称量词命题和存在量词命题的定义知，①②是全称量词命题，③是存在量词命题，因二次函数的图象与x轴交点个数可能为0个、1个或2个，故①是假命题，因∀x∈R，(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1，所以②为真命题.题组2 全称量词命题的符号表示4.将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是()A.∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB.∃x0，y0∈R，使＋≥2x0y0C.∀x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xyD.∃x0＜0，y0＜0，使＋≤2x0y0【答案】A【解析】这是一个全称量词命题，且x，y∈R，故选A.5.判断下列命题是否为全称量词命题，若是，用数学量词符号改写下列命题.(1)对任意的m＞1方程x2－2x＋m＝0无实数根；(2)实数的平方大于等于0.【答案】(1)是一个全称量词命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2－2x＋m＝0无实数根.(2)是一个全称量词命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0.题组3 全称量词命题真假的判断6.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A.每一个二次函数的图象都是开口向上B.存在一条直线与两个相交平面都垂直C.存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0D.对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b【答案】D【解析】每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题；存在一条直线与两个相交平面都垂直，是存在量词命题，且是假命题；存在一个实数x0，使－3x0＋6＜0是存在量词命题，且是假命题；对任意c≤0，若a≤b＋c ，则a －b ≤c ≤0，则a ≤b ，是全称量词命题，且是真命题.7.判断下列全称量词命题的真假，并说明理由.(1)∀x ∈R ，＝|x |；(2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(3)对任意x ＜3，都有x ＜5；(4)对任意实数a ，b ，c ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0都有两个实数解.【答案】(1)真命题，根据根式的性质可知.(2)假命题，当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0.(3)真命题，若x ＜3，则必有x ＜5.(4)假命题，当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0至多有一个解.8．判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假：（1）所有正方形都是平行四边形；（2）能被5整除的整数末位数字为0.【答案】答案见解析【解析】（1）是全称量词命题，全称量词为“所有”，是真命题；（2）是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”，是假命题.9．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断真假：（1）存在一个无理数x ，使2x 也是无理数；（2）x R ∃∈，使210x x ++=.【答案】答案见解析【解析】（1）是存在量词命题，存在量词为“存在”，当x π=时，2π也是无理数，故是真命题； （2）是存在量词命题，存在量词“∃（存在）”，1430,∆=-=-<∴不存在x 使210x x ++=，是假命题.题组4 恒成立求参数的范围10.命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a ≥4B.a ≤4C.a≥5D.a≤5【答案】C【解析】满足命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的实数a即为不等式x2－a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值范围，即a≥x2在[1,2]上恒成立，即a≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a＞4的即为所求，选项C符合要求.11.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.【答案】[－8,0]【解析】当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知，解得－8≤a＜0.综上，实数a 的取值范围是[－8,0].12.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1恒成立，求实数a的取值范围.【答案】∵(x－a)⊙(x＋a)＜1，∴(x－a)[1－(x＋a)]＜1，∴－x2＋x＋a2－a－1＜0，即x2－x－a2＋a＋1＞0，∵∀x∈R，上述不等式恒成立，∴Δ＜0，即1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜，∴实数a的取值范围是.题组5 存在量词命题的符号表示13.下列命题不是“∃x0∈R，＞3”的表述方法是()A.有一个x∈R，使得x2＞3B.对有些x∈R，使得x2＞3C.任选一个x∈R，使得x2＞3D.至少有一个x∈R，使得x2＞3【答案】C14.选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题.(1)x＞2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是无理数，则x2是无理数；(5)a2＋b2＝c2.(这是含有三个变量的语句，则用p(a，b，c)表示)【答案】(1)∃x∈R，x＞2.(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题.(3)∃x∈Z，x是偶数.(4)∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数.(如)(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.题组6 存在量词命题真假的判断15.下列存在量词命题是假命题的是()A.存在x∈Q，使2x－x3＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数【答案】B【解析】对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋＞0恒成立．16.下列命题中真命题有()①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；②q：所有的正方形都是矩形；③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】x2－x＋＝2≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．17.下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.18.四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】①中只有x＝2或x＝1是方程的根，所以①为假命题；②中x＝±为无理数，故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}．故选A.题组7 存在性问题求参数的范围19.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.a≤－2或a＝1B.a≤－2或1≤a≤2C.a≥1D.－2≤a≤1【答案】A【解析】由已知可知，p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤1，由命题q为真，得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.20.设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】因为A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，表示平面直角坐标系中以M(4,0)为圆心，1为半径的圆，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，表示以N(t，at－2)为圆心，1为半径的圆，且其圆心N在直线ax－y－2＝0上，如图.如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax－y－2＝0的距离不大于2，即≤2，解得0≤a≤.所以实数a的取值范围是0≤a≤.21.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若命题p“存在x0＞2，不等式(x0－a)⊗x0＞a＋2成立”为假命题，求实数a的取值范围.【答案】因为命题p“存在x0＞2，不等式(x0－a)⊗x0＞a＋2成立”为假命题，所以p的否定为真命题，即“任意x＞2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立”为真命题.由题意，得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)，故不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，化简得x2－(a＋1)x ＋2a＋2≥0.故原命题等价于x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立.由二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2的图象知，其对称轴为x＝，则或解得a≤3或3＜a≤7.综上，实数a的取值范围为(－∞，7].。