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回到起点——一种突破性思维南京市外国语学校朱泽园[关键字] 起点类比分离集合森林[摘要]高层次的信息学竞赛已经不是单纯一个算法、一种数据结构间的较量，而是对思维方法、创新能力的考验。
本文旨在深刻剖析一种突破性思维——回到起点，亦即敢于放弃当前成果，回到初步分析处展开理性思考的可贵品质。
本文第一章提出一个已被经典算法解决的普通题。
第二章对这道题展开讨论，简述了经典的解决方案，而后模拟本文主线描绘的思维方式进行思考，提出一个被遗忘的简单算法，并进行优化和类比，精确计算复杂度后问题被完美解决。
第三章对本思维方式在两个例题中的应用作了对比和升华，辩证地以前进性和曲折性的统一阐述了这类思想的重要性。
§1 问题的提出§1.1 问题描述§1.2 问题的初步分析——离散化§1.3一个朴素的想法§2 问题的解决§2.1 经典算法§2.2 另类算法§2.3通过完整的路径压缩完善算法§2.4秩的建立§2.5 小结§3 总结§1 问题的提出§1.1 问题描述 [USACO 2.1 Shaping Regions改编]N个不同颜色的不透明长方形（1≤N≤3000）被放置在一张长宽分别为A、B 的白纸上。
这些长方形被放置时，保证了它们的边与白纸的边缘平行。
所有的长方形都放置在白纸内，所以我们会看到不同形状的各种颜色。
坐标系统的原点（0,0），设在这张白纸的左下角，而坐标轴则平行于纸边缘。
输入：第1行：A ， B 和N, 由空格分开。
第2~N+1行：按照从下往上的顺序，每行输入的是一个长方形的放置。
为五个数llx, lly, urx, ury, color这是长方形的左下角坐标，右上角坐标和颜色。
其中color为整数。
0<=llx,urx<=A，0<=lly,ury<=B。
Vol.25高等学校化学学报No.6 2004年6月CHEMICAL JOURNAL OF CHINESE UNIVERSITIES1124~1127聚丙烯腈基碳纤维中微孔洞的一维多取向小角X射线散射研究黄祖飞1王春忠1魏英进1徐跃1高忠民1华中2陈岗1(1.吉林大学材料科学与工程学院汽车材料教育部重点实验室长春130023;2.吉林师范大学物理系四平136000D摘要应用一维多取向小角X射线散射(SAXS D方法研究了聚丙烯腈(PAN D基碳纤维中微孔洞的形态.结果表明这些微孔洞沿纤维轴方向呈针状并与纤维轴呈@=14 角的取向排列;微孔洞投影在碳纤维横截面上的平均半径R=1.14f m投影在碳纤维轴向上的平均长度L=17.97f m.建立的一维多取向SAXS方法可以得到若干二维SAXS方法才能得到的微孔洞形态及分布信息等参数(如@和L D且在各种纤维的微孔洞或微纤维的表征方面具有一定的普适性.关键词一维多取向小角X射线散射;碳纤维;微孔洞中图分类号O641文献标识码A文章编号0251-0790(2004D06-1124-04碳纤维作为一种比强度和比模量都很高的增强型与功能型高性能纤维材料在航空航天~国防军工等领域及文体用品~机械设备~汽车工业~建筑材料等方面都有广泛的应用.聚丙烯腈(PAN D基碳纤维是碳纤维中最重要的品种之一.研究结果表明可将PAN基碳纤维的结构近似看作由沿纤维轴高度取向的乱层石墨微晶和微孔洞组成的二相体系[1].微孔洞缺陷是在生产过程中造成的结构单元(碳原子条带D堆积不完美的结果可对材料的性能产生决定性影响因而备受关注.研究材料内部孔洞结构的常用技术包括扫描电镜~透射电镜[2]和氮气等温吸附-脱附[3]等但前者制样困难且视场有限后者则只能测开孔而无法测闭孔.相对而言小角X射线散射(SAXS D是另一种更常用的~简易而不具破坏性的有效手段.然而近期一些突破性的表征技术都基于配备位敏正比计数器(PSPC D的针孔准直系统[4]尤其是配备二维小角X射线散射(2D SAXS D设备的同步辐射源[5]等实验条件对许多缺少相应昂贵设备的科研机构和工厂来说并不具有实际的可操作性.本文在普通X射线衍射仪上采用四长狭缝准直系统对PAN基碳纤维中微孔洞的结构进行了多取向的一维小角X射线散射研究在不需考虑光源强度及长狭缝模糊效应的情况下通过简单的数据处理得到碳纤维中微孔洞的关键性参数提供了一种简单有效的替代方法.1实验部分1.1样品制备将中国科学院化学研究所提供的T300级聚丙烯腈基碳纤维平行~紧凑而均匀地粘在一个自制的内直径为3.8cm~外直径为6.5cm的圆环上制成厚约0.5mm的样品.为方便多取向测量时的定位在圆环上以纤维轴方向为0 起点以10 为间隔依次标有角度.1.2仪器及测试方法测试在日本理学D/max-rA型转靶X射线衍射仪上进行Cu Ko辐射Ni滤片55kV>180mA/=0.15418f m.采用四长狭缝准直系统狭缝宽度依次为0.08 0.06 0.25与0.2mm步进扫描步宽0.01 停留时间10S测量范围20:0.2 ~2 .收稿日期:2003-05-09.基金项目:教育部博士点基金(批准号:20010183031D资助.联系人简介:陈岗(1958年出生D男博士教授博士生导师从事材料物理与化学研究.E-mail:jzhaf@.cf采集了纤维轴与狭缝方向(竖直向上)的夹角成0 (平行) 10 20 ~ 90 (垂直)等10个取向的SAXS 强度 相应记作10(S ) 110(S ) 120(S ) ~ 190(S ).其中S =2Sin // 10(S )和190(S )分别为赤道散射强度与经向散射强度.由于样品近似均匀 因而可将各取向的碳纤维与散射体(本文为微孔洞)的数量看作等量 即可在各取向的SAXS 强度间进行比较.2结果与讨论2.1微孔洞的形状和取向图1比较了赤道散射强度10(S )和经向散射强度190(S ).虽然经向散射强度在开始时较大 但其下降也快 很快就达到背底强度而变平整;相反 赤道散射强度开始时较小 但变化很慢 延续了很大的角度范围 在测量范围内仍没有达到背底强度.据Guinier 和Fournet 的倒易散射理论[6]可知 散射体的经向长度比赤道尺寸大很多 即微孔洞在纤维轴方向上的长度要比在横截面上的尺寸大很多.可见微孔洞沿纤维轴方向呈针状结构.为研究方便 一般将微孔洞的形状简化为底面半径为R ~长为L ~与纤维轴的取向夹角为@的细圆柱[6].f ig .1SAXS intensity prof iles of eguatorial andmeridional scatterings f rom carbon fibers f ig .2Schematic diagram of microvoid with a length (L )and a diameter (D )in reciprocal and real space根据SAXS 理论 圆柱状微孔洞在记数管接收狭缝所处的倒易平面上的强度分布呈扁盘状此扁f ig .3SAXS intensities of dif f erent oriented angles at certain scattering angles盘的伸展方向与扫描方向的夹角等于微孔洞轴向与狭缝的夹角 如图2所示[7].四长狭缝准直系统记录的SAXS 强度1(S )实质就是此扁盘上沿扫描方向的每个S 位置在整个狭缝方向(即图2中S 3方向)上的积分强度[4].因而经向散射强度在S 很小时会比赤道散射强度大 而在S 较大时则要小(图1).在S 较大的情况下 微孔洞轴向与狭缝平行时的散射强度最大.于是通过测量纤维轴与狭缝方向成不同夹角时的散射强度 可以由散射强度最大值所对应的夹角得到微孔洞和纤维轴的取向角.图3比较了散射角(2 )一定时 散射强度随夹角的变化情况.由强度极大值对应的横坐标可知 此取向角在10 ~20 间 取平均值得到@=14 .2.2微孔洞的结构参数如果以入射X 射线方向为 轴正方向 扫描方向为 轴正方向 狭缝方向为 轴正方向组成实空间直角坐标系 则四长狭缝准直系统记录的SAXS 强度1(S )实质为 =0时 轴正方向上每个S 点在整个 轴方向的积分强度 因而反映的总是散射体(本文为微孔洞)投影在狭缝横截面上的平均信息 即微孔洞轴向与狭缝平行时的散射强度反映微孔洞横截面的平均信息 垂直时反映的则为轴截面的平均信息.因此 通过赤道散射强度10(S )可以得到微孔洞投影在碳纤维横截面上的平均回转半径R g 及其在入射X 射线方向上的平均长度L [4]:6211No .6黄祖飞等:聚丙烯腈基碳纤维中微孔洞的一维多取向小角X射线散射研究R2g=12T2lims-0d[ln10(s)]ds2(1)L I=1TO10(s)dsO10(s)sds(2)计算结果为Rg=1.78nm,L I=2.03nm.这相当于把微孔洞半径为R,面积为S的圆形横截面转变成了等面积的边长为LI的正方形,故S=TR2=L2I(3)联立式(2)和(3)可得微孔洞投影在碳纤维横截面上的平均半径R=1.14nm.同理,将式(1)应用于经向散射强度190(s),可得到微孔洞投影在碳纤维轴截面上的平均回转半径R g1,R2g1=12T2lims-0d[ln190(s)]ds2(4)求得Rg1=5.22nm.此时微孔洞在碳纤维轴截面上的投影是长为L~宽为LI的长方形,据Glatter和Kratky的理论[8]R2g1=(L2I-L2)/12(5)依式(2),(4)和(5)可解出微孔洞投影在碳纤维轴向上的平均长度L=17.97nm.由于式(2)中的积分范围为0-O,而实际测量范围为smin=0.02266nm1-s max=0.22543nm1 (26=0.2 ~2 ),因而需要利用[s2,ln1(s)]曲线在低s值处的直线部分(Guinier图)和[s2,12/3(s)]曲线在高值s处的直线部分(Porod图)分别外推出smin-0及smax-O的散射强度[4].为提高结果的精确性,10(s)和190(s)均采用2次测量的平均值并已扣除背底.Fig.4Guinier plot of eguatorialscattering Fig.5Porod plot of eguatorial scattering 图4和图5分别为赤道散射的Guinier图和Porod图,图6为经向散射的Guinier图.Porod律指Fig.6Guinier plot of meridional scattering出,如果散射体具有明锐的边界,则Porod图为一严格直线;反之则发生了对Porod律的偏离,说明散射体具有模糊的边界.由图5的数据点弥散而不是密集地分布在拟合直线的两侧可知,本文样品的散射曲线发生了对Porod律的偏离,即微孔洞和石墨微晶间不具有明锐的边界而可能具有一定的非晶过渡区,所测碳纤维不是理想的二相系统.Guinier律则指出,散射体的对称性越差,Guinier图呈现直线的角度范围就越小.比较图4和图6的横坐标可发现,赤道散射比经向散射在更广的s范围内呈一直线.由于两者反映的分别是散射体横截面与轴截面的信息,说明微孔洞横截面的对称性要比轴截面的对称性大得多,这与2.1节得出的微孔洞沿纤维轴方向呈针状结构的结果一致.表1列出了本文与文献的计算结果,其中文献[1,4]结果均采用1D SAXS方法获得,文献[5]结果则采用2获得.考虑到样品差异和实验误差的影响,可见结果基本一致,说明本文方法可6211高等学校化学学报Vol.25行.从表1还可看出,本文可以得到只有2D SAXS 方法才能得到的微孔洞取向G 及其投影在碳纤维轴向Table 1The comparison of the results f or microvoids in carbon f ibers obtained in this paper and ref erencesRef .Shape Preferred orientation G /( )R /nm L /nm This workNeedlelike Along fiber axis 14 1.1417.97[4]Needlelike Along fiber axis 1.58[1]Needlelike Along fiber axis 0.50 1.5020 40[5]Needlelike Along fiber axis 12 210.2540上的平均长度L ,因而对许多缺少昂贵设备如2D SAXS 而只拥有普通X 射线衍射仪及四长狭缝准直系统的科研机构和工厂来说可具有重要的参考意义与应用价值.此外,本文建立的一维多取向SAXS 方法还可应用于其它类似的具有择优取向的二相体系如碳纤维原丝~纤维素纤维~Kevlar 纤维中的微孔洞或微纤维研究.参考文献[1]Ruland W ..J .Polym .Sci .[J 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Tsz t y ,Ch a ngch/n 130023,Chzn a ; 2.D e p a T t m e n t of Physzcs , z l zn \oTm al unzU e Tsz t y ,Szpzng 136000,Chzn a )A bstract The configuration of the microvoids in polyacrylonitrile (PAN )-based carbon fibers was studied by multi -orientated one -dimensional small angle X -ray scattering .The microvoids show a preferred orientation and have needlelike shape elongating along the fiber axis ,and the oriented angle is G 14 .the cross -section radius of the microvoids pro ected onto the fiber cross section is R 1.14nm and the length pro ected onto the fiber axis is L 17.98nm .The method developed in this paper reveals some aspects of the configuration of the microvoids which were only available with two -dimensional small angle X -ray scattering techni ue such as G and L ,and can be applied to the characteri Z ation of the configuration of the microvoids or the microfibrils in other fiber systems .*e yw ords M ulti -orientated one -dimensional SAX ;Carbon fiber ;M icrovoids(E d .:Y ,Z )7211No .6黄祖飞等:聚丙烯腈基碳纤维中微孔洞的一维多取向小角X 射线散射研究聚丙烯腈基碳纤维中微孔洞的一维多取向小角X射线散射研究作者：黄祖飞， 王春忠， 魏英进， 徐跃， 高忠民， 华中， 陈岗作者单位：黄祖飞,王春忠,魏英进,徐跃,高忠民,陈岗(吉林大学材料科学与工程学院,汽车材料教育部重点实验室,长春,130023)， 华中(吉林师范大学物理系,四平,136000)刊名：高等学校化学学报英文刊名：CHEMICAL JOURNAL OF CHINESE UNIVERSITIES年，卷(期)：2004,25(6)被引用次数：8次参考文献(8条)1.Ruland W查看详情 19692.Thunemann Andreas F;Ruland W Microvoids in polyacrylonitrile fibers: A small-angle X-ray scattering study[外文期刊] 2000(5)3.Shioya M;Takayu A查看详情[外文期刊] 1985(11)4.周春晖;李庆伟;葛忠华介孔硅层柱蒙脱石材料合成的新方法与表征[期刊论文]-高等学校化学学报2003(08)5.张萍;刘云凌;白妮具有高比表面的介孔Co-SiO2微球的合成与表征[期刊论文]-高等学校化学学报2002(08)6.Crawshaw J;Cameron R E A small angle X-ray scattering study of pore structure in Tencel cellulose fibres and the effects of physical treatments[外文期刊] 2000(12)7.Ran S;Fang D;Zong X查看详情[外文期刊] 20018.Statton W O查看详情[外文期刊] 1962本文读者也读过(10条)1.李延根.黄祖飞.王春忠.LI Yan-gen.HUANG Zu-fei.WANG Chun-zhong二次拉伸温度对PAN原丝中微孔洞形貌变化的影响[期刊论文]-吉林大学学报（理学版）2009,47(5)2.高忠民.徐跃.黄科科.李向山炭化条件对炭纤维纳米微孔分形维数的影响[期刊论文]-吉林大学学报（理学版）2005,43(1)3.徐跃.李向山炭纤维中纳米微孔的X射线小角散射分析[期刊论文]-理化检验-物理分册2003,39(1)4.李登华.吕春祥.吴刚平.李永红.贺福.冯志海.李秀涛.郭玉明PAN基炭纤维及其原丝中微孔尺寸分布的研究[会议论文]-20095.王志英.杨玉蓉.华中.WANG Zhi-ying.YANG Yu-rong.HUA Zhong小角X射线散射研究聚丙烯腈预氧丝的微孔结构[期刊论文]-吉林师范大学学报（自然科学版）2009,30(4)6.张睿.徐耀.吕永根.李志宏.孟庆函.李开喜.吴东.凌立成.王俊.赵辉.荣利霞.董宝中小角X射线散射研究制备炭气凝胶过程中凝胶的微结构演化[期刊论文]-新型炭材料2002,17(3)7.余红伟.袁慧五.王源升.魏徵.YU Hong-wei.YUAN Hui-wu.WANG Yuan-sheng.WEI Zheng聚丙烯腈基碳纤维制备工艺研究进展[期刊论文]-材料开发与应用2012,27(1)8.张寿春.温月芳.杨永岗.郑经堂.凌立成衣康酸铵改性对聚丙烯腈热性能的影响[期刊论文]-高分子材料科学与工程2004,20(3)9.谢鸿峰.刘炳华.孙清.袁钻如.沈俭一.程镕时.XIE Hongfeng.LIU Binghua.SUN Qing.YUAN Zuanru.SHEN Jianyi.CHENG Rongshi气相生长碳纤维对环氧树脂固化反应的影响及其复合物固化动力学研究[期刊论文]-高分子学报2005(6)10.FENG Libing.Yang Limin.ZHOU Weiguo.HUANG Li.WAN Min.ZHAO Shouyuan.LI Changben SGK and 14-3-3 protein areinvolved in the serine/threonine phosphorylationmechanism for TPO/MPLsignal transduction[期刊论文]-科学通报(英文版)2001,46(22)引证文献(8条)1.李延根.黄祖飞.王春忠二次拉伸温度对PAN原丝中微孔洞形貌变化的影响[期刊论文]-吉林大学学报（理学版） 2009(5)2.高宇.高忠民.李向山.郭建强.温月芳.杨永岗PAN预氧丝环化程度的定量表征[期刊论文]-高等学校化学学报 2009(10)3.梁艺乐.赵炯心.张幼维.潘鼎纺丝成形工艺和条件对PAN原丝中孔隙的影响[期刊论文]-合成技术及应用2009(3)4.温月芳.郭建强.高忠民.李向山.曹霞.杨永岗.刘朗不同PAN-CF的微晶及孔结构对比[期刊论文]-新型炭材料 2009(2)5.侯锋辉.邓红兵.李崇俊.李瑞珍碳纤维结构的常用表征技术[期刊论文]-纤维复合材料 2008(3)6.高宇.黄科科.华中.高忠民.李向山碳纤维中的单层石墨物相及其对力学性能的影响[期刊论文]-高等学校化学学报 2007(10)7.王建方.吴文健.胡碧茹.满亚辉.陈朝辉PIP法制备Cf/SiC复合材料过程中碳纤维的化学损伤[期刊论文]-高等学校化学学报 2006(10)8.林凤崎.徐樑华.李常清.姚红凝固条件对PAN初生纤维微孔结构形态的影响[期刊论文]-合成纤维工业2006(1)本文链接：/Periodical_gdxxhxxb200406024.aspx。
左偏树的特点及其应用广东省中山市第一中学 黄源河【摘要】本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。
第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。
第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。
第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。
第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。
第五部分对各种可并堆作了一番比较。
最后总结出左偏树的特点以及应用前景。
【关键字】左偏树 可并堆 优先队列【目录】一、引言 (2)二、左偏树的定义和性质 (2)2.1 优先队列，可并堆 (2)2.1.1 优先队列的定义 (2)2.1.2 可并堆的定义 (2)2.2 左偏树的定义 (3)2.3 左偏树的性质 (4)三、左偏树的操作 (5)3.1 左偏树的合并 (5)3.2 插入新节点 (7)3.3 删除最小节点 (8)3.4 左偏树的构建 (8)3.5 删除任意已知节点 (9)3.6 小结 (12)四、左偏树的应用 (13)4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (13)五、左偏树与各种可并堆的比较 (15)5.1 左偏树的变种——斜堆 (15)5.2 左偏树与二叉堆的比较 (16)5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (16)六、总结 (18)【正文】一、引言优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。
二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。
本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。
二、左偏树的定义和性质在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。
2.1 优先队列，可并堆2.1.1优先队列的定义优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。
2005年学科竞赛获奖者美国大学生数学建模竞赛二等奖（1队）闫诗文、张琼、袁晓安成功参赛奖（1队）熊磊光、李锐、杨灿全国大学生数学建模与计算机应用竞赛（团体奖）全国二等奖（1队）倪志江、谭仕瑛、史小磊北京市二等奖（1队）杨永辉、刘春伟、姜淑琴北京大学生（非数学专业）数学竞赛（个人奖）二等奖（1人）彭红英（信电学院）三等奖（2人）何智波（信电学院）陈兵（理学院）北京市第二十二届（非物理专业）大学生物理竞赛（个人奖）一等奖（1人）陈新和（信电学院）二等奖（1人）陈兵（理学院）三等奖（3人）卫颖倩（工学院）牛洋（生物学院）秦湫红（生物学院）北京市大学生电子设计竞赛（团体奖）一等奖（1队）1、石一、秦雷、王莹莹二等奖（4队）1、邱天舒、徐翔、陈杰2、李国庆、张璟、夏崇镨3、陈奎阳、梁静娴、李键4、李幸年、刘兆祥、杨会华三等奖（5队）1、王金辉、吴丹、陈现敏2、严献军、吴国平、齐新捧3、梁辰、李连骏、张建4、乔卿义、刘怀达、程强5、胡珈、孙少卿、张根伟全国大学生英语竞赛（个人奖）一等奖（8人）生物学院：王琛动医学院：袁晓达食品学院：曹灿工学院：旷实经管学院：李智煊、吴策信电学院：白玫佳黛国际学院：黄逸嘉二等奖（18人）生物学院：苏夜阳、王婷、于冰、马宇亮、郝雨萌动科学院：沐毓松食品学院：张凌燕工学院：董保利经管学院：杨璐、张雪鹿、章萌、刘乂爻、隋俊、王维实验班：孙晓萌国际学院：吴曦月、邹洲、张婧磊三等奖（36人）农学院：梁倩倩、陈玥、陈恭生物：刘明羽、陈忠丽、安晓晋、崔健楠、贾莎莎、俞梦晓、李夏、王凡、赵晞希资环学院：赵薇、马琳工学院：蒋伟康、张艳蓉、苏来兴、王勇、万虎、吴小明、方源圆信电学院：陈博昊、李诺索拉理学：汪艳艳经管：郑元、鲜小明、于音、武镒、吴茜、林芳欣人文：曾雯婷、王漪清、赖炯、马志国、国院：李淑佳、李娟中国农业大学大学生机械设计与产品创意设计竞赛(团体奖)（工学院）一等奖张彦军、吴晴瑶张楚炜二等奖赵建敏傅华蕾、王海龙三等奖卢国盛林继杰李清华、陈伟中国农业大学大学生电子设计竞赛（团体奖）（信电学院）一等奖石一、王莹莹二等奖李连骏、李巧明、李维勇、刘荣、孙宝磊徐翔、邱天舒、张海楠、郑丽娟三等奖梁辰、申巍、胡珈、司继播刘文、高峰、孟祥健罗建纯、勾冬军、王珂邱天舒、俞飞、刘薇薇、李蓉闫诗文、杨垠晖、王小盼中国农业大学大学生计算机应用竞赛（团体奖）一等奖黄长亮孙峥夏崇镨二等奖魏绪凯王强王品晶王楠卢一鸣王立三等奖张真刘鹏肖万里张洋汤周平中国农业大学第一届结构设计大赛（团体奖）（水院）趣味组一等奖王云波、石鹤、龚慧、蒋东英二等奖邹钟辉、卢盛林金凤翔、陈楠、陈江林、单江波张益智、邰日坤、尹世洋、林一熙三等奖王一行、王晓楠、徐竞章赵玉杰、冀盈盈、黄凯、徐富豪最佳造型奖邹钟辉、卢盛林最佳创意奖赵玉杰、冀盈盈、黄凯、徐富豪专业组特等奖侯振华、高宏明、付端军一等奖邱小云、杨瑞聪机制041王永生、蒋芳平二等奖邓宇超、刘碧君、汪鑫许可、张健方磊、李大伟、姜文腾、余礼根三等奖胡伟贤邰日坤邵安东、何军、韦有忆、刘长云张文强最佳造型奖王永生、蒋芳平最佳结构分析奖邰日坤最佳制作奖崔鹏、王永胜、马宇、万方刚最佳新人奖黄建成、吴秋娜、谢雪松、杨蓉2004年中国农业大学学科竞赛获奖名单一、美国大学生数学建模竞赛（团体奖）二等奖:邓红丽（信电学院）、刘壮添（水院）、徐欣（国际学院）成功参赛奖:潘绪斌（动科学院）、李绍娟（信电学院）、曾晶（经管学院）二、北京市大学生数学建模与计算机应用竞赛（甲组）（团体奖）一等奖1、信电学院：欧阳娅张玉娟张琼2、陈东（信电学院）傅华蕾（工学院）杨济美（信电学院）二等奖1、信电学院：刘新顺杨仁东宋金伟2、信电学院：杨垠晖陈振华袁晓安三、北京大学生（非数学专业）数学竞赛（个人奖）一等奖:何志祝（工学院）三等奖:刘国靖（信电学院）四、第二十一届北京市大学生物理竞赛（个人奖）二等奖:刘钊群（理学院）三等奖:信电学院：米春桥黄瑞魏杰（工学院）、樊鹤（生命科学实验班）五、第四届全国大学化学实验邀请赛（个人奖）二等奖:邹晓（理学院）三等奖:理学院：高金山、王健六、第一届全国大学生机械创新设计大赛（团体奖）一等奖:徐喆（工学院）、徐赫（食品学院）七、北京市首都高校第二届机械创新设计大赛（团体奖）一等奖:徐喆（工学院）、徐赫（食品学院）三等奖:徐赫（食品学院）、徐喆（工学院）八、中国农业大学大学生机械设计大赛（团体奖）工学院：一等奖:张华坤、张华玲、康文奇、何晓兰二等奖:1、王振、于立军2、郝拓3、傅华蕾、王海龙4、张华5、张松立6、李月三等奖:1、陈炜2、孙宏志3、王琦奎、赵勇九、第三届中国高校大学生汽车知识大奖赛（团体奖）二等奖:工学院：张华坤、武兴、庄严十、北京市大学生电子设计竞赛（团体奖）二等奖:1、俞燕浓刘博阳2、俞飞邱天舒3、乔卿义张云龙三等奖:1、徐聪杨清山2、洪振宇战鹏州3、石一王莹莹十一、中国农业大学电子设计竞赛（团体奖）一等奖: 1、彭德坤2、叶家伟二等奖:1、战鹏州2、刘承兴戴步云赵宇宏戴玮3、陈丛军刘豫三等奖: 1、陈琦高郁马俊杰李智2、李振东李强郑港3、罗建纯夏中旗4、陈帅杨楠胡慧铺吕洛冬十二、中国农业大学计算机应用大赛（团体奖）一等奖: 1、刘晓林于丽君王燕婷张源冯露2、陈朝营二等奖: 1、汤泉杨冠军王彦集2、王旭许旭宋金伟3、王金辉三等奖: 1、张璐杨润东张玉娟丁颖2、杨汉明3、程霜降那鲲鹏4、王涌泉5、张玉宝辛悦薛存芳6、李冉十三、全国大学英语竞赛（个人奖）一等奖:国际学院：陈婧张曦叶向向袁晓达（动医学院）马宇亮（生物学院）黄索（资环学院）沐毓松（动科学院）二等奖: 国际学院：杨洪媛方玮方书食品学院：曹汐陈张帆生物学院：于冰于德成经管学院：刘爻隋俊人文学院: 陆磊工学院:旷实信电学院:闫诗文理学院:邹晓水院:夏伟三等奖:国际学院：刘林涛刘艳樊熙李莹郝琪吴青郝殊非郑澄杜硕康娟立经管学院：黄逸嘉鲜小明林雁铭王小红吴茜人文与发展学院：灵灵王漪清闫旭明郭晓华生物学院：徐谦黄鹤动科学院：牛晓艳韩颖农学院:李楠食品学院:吕宗洋信电学院:朱坤工学院:李智十四、中国农业大学"CCTV"暨"农大"杯英语演讲赛（个人奖）特等奖:张婧磊（国际学院）一等奖:水院:陈旸生命科学实验班:孙树铭二等奖:资环学院:黄索生命科学实验班:吴卓婷水院:肖磊三等奖:信电学院：许旭王笑经管学院:贺章获农学院:梁碧玉十五、中国农业大学第一届英语文化知识大赛（团体奖）第1名:国际学院第2名:2003理科实验班第3名:人文与发展学院2004年学科竞赛获奖情况2003年全国大学英语竞赛北京赛区决赛中国农业大学获奖名单特等奖(1人)：张晰国院女一等奖（9人）：灵灵人发女于德成生院男陈婧国院女宋曦国院女鞠花国院女余荔经济女黄珍经济女赵楠国经男李依霖国院女二等奖（23人）：李芃芃食品女朱笑坤应化女张婷生院女闫旭明人发男乔文慧人发女成文竞资环男王震波生物男姚利环工女周宇光机制男樊娜国院女左嘉国院男林雁铭工管女吴琼国院女徐佳国院女姜伟国院女余文莉工管女旷实机化男吴丽丽微机女董一威食品男娄莹工管女杨红媛国经女薛兰娟国院女刘红禹经济女三等奖（46人）：李宗梦生院男鲜小明金融女刘成龙人发男杨光经管女唐蜜应化女马宇亮生院男马琳生态女刘娜园艺女严凌农经女李爽农经女田华人发女闫诗文电子女张梅环农发女刘世通资环男张颖信管女杨李娜电子女梁妙嫦生物女楮晓庆生物女潘丽丽工管女赵婷国院女朱坤电气男李锐国院女袁箐国院女张淼电子女秦玥国院女李智运输女颜聪枝土木男徐达奇生工女丁贇农水男梁碧仪国院女张庆秋微机女方书国院女聂婉燕国院女陈萌国院女姚志豪电气男刘x x 会计女王勇农工男张晶国院女孙静茹国院女吴策工管女张磊国经女曹汐食品女魏昭勤热能女吴青国院女谢桃华交通女赵魏秦国院女2003年大学生数学建模竞赛暨北京大学生数学建模与计算机应用竞赛评审结果北京二等奖（2队）：熊磊光（自动011）杨灿（微机014）李锐（微机014）刘壮添（水利002）王学娟（会计012）金旭旦（电子013）2003年全国大学生电子设计竞赛我校获奖名单一、学生奖：全国二等奖、北京赛区一等奖：1、覃忠钦（电子002）张淼（电子002）刘博阳（电气012）北京赛区三等奖：1、陈曦（电子001）战鹏州（电子013）袁伟军（电子013）二、教师及组织工作者奖：北京赛区优秀辅导教师奖：王库（信息与电气工程学院）北京赛区优秀组织工作者奖：陈昕（信息与电气工程学院）2003年北京地区大学生物理竞赛中国农业大学获奖名单2002年全国、北京市竞赛获奖名单一、2002年全国英语竞赛获奖名单合计：2+8+25+56=91 （东区：0+6+19+41=66；西区：2+2+6+15=25）二、2002年全国大学生数学建模与计算机应用竞赛获奖名单三、2002年北京市大学生电子设计竞赛获奖名单四、2002年（第14届）北京市大学生数学竞赛获奖名单五、2002年（第19届）北京市大学生物理竞赛获奖名单2003年8月29日2006年学科竞赛名单请找实践科（7851）。
把握本质，灵活运用——动态规划的深入探讨浙江省萧山中学来煜坤【关键字】动态规划构思实现【摘要】本文讨论了动态规划这一思想的核心内容和其基本特点，探讨了动态规划思想的适用范围，动态规划子问题空间和递推关系式确立的一般思路。
通过例子说明在子问题确立过程中的一些问题的解决办法：通过加强命题或适当调节确定状态的变量等手段帮助建立动态规划方程，通过预处理使动态规划的过程容易实现等。
接着，分析动态规划实现中可能出现的空间溢出问题及一些解决办法。
总结指出，动态规划这一思想，关键还在于对不同的问题建立有效的数学模型，在把握本质的基础上灵活运用。
一、引言动态规划是一种重要的程序设计思想，具有广泛的应用价值。
使用动态规划思想来设计算法，对于不少问题往往具有高时效，因而，对于能够使用动态规划思想来解决的问题，使用动态规划是比较明智的选择。
能够用动态规划解决的问题，往往是最优化问题，且问题的最优解(或特定解)的局部往往是局部问题在相应条件下的最优解，而且问题的最优解与其子问题的最优解要有一定的关联，要能建立递推关系。
如果这种关系难以建立，即问题的特定解不仅依赖于子问题的特定解，而且与子问题的一般解相关，那么，一方面难以记录下那么多的“一般解”，另一方面，递推的效率也将是很低的；此外，为了体现动态规划的高时效，子问题应当是互相重叠的，即很多不同的问题共享相同的子问题。
(如果子问题不重叠，则宜使用其它方法，如分治法等。
) 动态规划一般可以通过两种手段比较高效地实现，其一是通过自顶向下记忆化的方法，即通过递归或不递归的手段，将对问题最优解的求解，归结为求其子问题的最优解，并将计算过的结果记录下来，从而实现结果的共享；另一种手段，也就是最主要的手段，通过自底向上的递推的方式，由于这种方式代价要比前一种方式小，因而被普遍采用，下面的讨论均采用这种方式实现。
动态规划之所以具有高时效，是因为它在将问题规模不断减小的同时，有效地把解记录下来，从而避免了反复解同一个子问题的现象，因而只要运用得当，较之搜索而言，效率就会有很大的提高。
学有特长各领风骚——2012年度各级各类比赛获奖学生名单一、国家级第26届全国高中生化学竞赛（决赛）金牌：杨晶辉（入围国家集训队已保送北大）全国信息技术奥赛（浙江赛区）获赛区团体优胜奖一等奖：陈少滨王皓二等奖：张靖超楼嘉伟全国中学生生物联赛（浙江赛区）获赛区团体优胜奖一等奖：童年杨冰龚宇翔骆馨燕二等奖：余淑倩方媛金挺浩蒋俊仙三等奖：骆超凡第26届全国高中学生化学竞赛（浙江赛区）获赛区团体优胜奖一等奖：杨晶辉朱君吴思远二等奖：朱亮朱建阳周涵韬（高二）胡兆朱志康三等奖：贾镇（高二）第29届全国中学生物理竞赛（浙江赛区）获赛区团体优胜奖一等奖：丁致远二等奖：吴逸超陈佳隆陈建荣陈永进龚涛傅笑宽傅正吴昂昆李志鹏傅一展粘杰明许泰然三等奖：朱一帆赵媛婧石志康吴思源2012年全国高中数学联赛（浙江赛区）获赛区团体优胜奖一等奖：卢川二等奖：杨浩然朱诗葭陈少滨徐文豪赵健强三等奖：何亿嘉边金国李志鹏万润哲傅一展骆金辉黄雄陈晗丹杨琳二、浙江省级中学生生物学联赛一等奖杨冰二等奖金挺浩童年龚宇翔余淑倩蒋俊仙三等奖骆馨燕骆超凡方媛高中学生化学竞赛获集体优胜奖一等奖：朱建阳朱亮朱君杨晶辉吴思远刘吉人贾镇胡兆朱志康二等奖：赵陈万润哲孟逸超骆金辉三等奖：任凌飞陈瀚方子航贾力扬马婧孟阳升朱乾俊朱一帆朱煜琪高中数学联赛A组一等奖：卢川赵健强朱诗葭丁致远陈瀚陈佳隆魏亚军杨浩然陈晗丹二等奖：陈少滨许泰然楼国华陈建荣吴思远胡大威朱煜琪徐文豪龚涛石志康骆馨燕虞志昂吴昂昆万润哲王皓陈佳瑶三等奖：黄雄吴杭聪杨晶辉朱一帆B组一等奖：傅凯凯二等奖：杨海林骆炫宇陈帅孙璐伟张路平杨尚坤龚歆淇洪伟超周昊三等奖：丁力孟逸超吴超钒童年王理凯杨嘉俊高三组一等奖：朱逸凡黄康王永建黄国权潘超赵康华吴锐扬何旭霞金玉笑吴恺二等奖：吴江雪朱之昂熊华清李弘南丁上男刘俊恺马文捷中学生物理竞赛一等奖：吴逸超陈建荣赵媛婧龚涛吴昂昆许泰然傅笑宽李志鹏丁致远二等奖：金炜博傅正陈勇进傅一展陈佳隆石志康粘杰明吴思源三等奖：陈建宇朱君朱一帆王皓龚珍霞魏亚军赵剑辉朱亮“希望之星”英语风采大赛二等奖：徐嘉徽李冰清第十四届“语文报杯”中学生作文大赛特等奖：傅佩隆《梅绽幽寒淡淡香》宋俊杰《天使在街角》楼至刚《熟透了的桃子》蒋祎蕾《紫砂壶》叶彩虹《爱之呼吸》曹虎《回家》孟逸超《电影》二等奖：虞娅娜《那一天》傅英杰《甜甜的梦，甜甜的所有》三等奖：王月悦《活着》季雅娟《倾听花开的声音》ZSBL“动感地带”第五届中学生篮球联赛摄影比赛二等奖：骆莎莎斯家俊三等奖：楼梦婷张铭霞2012年体验西澳——高中英语口语大赛三等奖：傅一展第五届中学生篮球联赛晋级赛高中女子第团体第一名：季昕颜俐莎吴颖金静苑施康康吴凯丽骆莎莎华航冬张铭霞楼雨婷骆赛葛梦琦夏依娜高中男子团体第五名：陈锦伟杨家宝施奕展陈佳炜唐浩金上程傅子豪黄圣耀楼子阳吕思炜陈颖蒋凯琦第十二届中学生运动会健美操比赛自编六人有氧踏板第六名：周寒青骆丽亚吴莎莉龚家裕鲍矗垚金映芬自编六人有氧舞蹈第六名：金诗思周寒青骆亚丽吴莎莉龚家裕鲍矗垚第三届中学生乒乓球联赛（总决赛）单打第三名：金穗单打第七名：蒋倩红团体第五名：吴王卿金穗何家欢蒋倩红第五届中学生篮球联赛（高中女子十强赛）高中女子团体第三名：施康康吴凯丽华航冬金静苑张铭霞骆莎莎三、金华市级高中数学竞赛获团体优胜奖A组一等奖：傅一展杨璐周怡赵陈骆金辉粘杰明赵媛婧朱君傅淑霞吴镇滔杨冰王阳朱亮樊航旭黄泽恩方媛王雪妍吴文达鲍志珍徐凯悦二等奖：陈永进何飞李志鹏龚祖望何伟超楼华傅智超陶天琪胡剑伟陈宇锋傅笑宽楼泽华刘琼泽吴逸超朱志康廖天宇张欣炀黄谦谦方静怡杨琳张靖超三等奖：何妍妍毛飘吴雅伊金炜博冯竞吕玉航B组一等奖：龚宇翔吴宣莹童志成边金国何逸扬何晓吴耀鹏二等奖：蒋扬凯丁佳旭葛江帆何忆嘉蒋俊仙楼嘉伟金挺浩徐扬龚琰朱乾俊龚成高中生物学竞赛获团体第二名一等奖：杨冰金挺浩蒋俊仙余淑倩龚宇翔童年方媛骆超凡二等奖：骆馨燕沈欣伟骆金辉徐扬万润哲朱煜琪周昊三等奖：金炜博骆文姣王雪妍吴文达张路平何子璇王贤东沈纯青傅一展陈瀚丁致远杨浩然中学生物理竞赛一等奖：吴逸群陈建荣赵媛倩龚涛吴昂昆许泰然傅笑宽李志鹏丁致远金炜博傅正陈永进傅一展陈佳隆石志康粘杰明吴思源二等奖：陈建宇朱君朱一帆王皓龚珍霞魏亚军赵剑辉朱亮三等奖：楼水才杨晶辉黄天健吴思远赵陈万润哲胡兆王锋锋何飞龚宇翔朱煜琪石思卿吴雅伊朱志康骆金辉颜伟雯龚海磊金钦徐扬方伟政方静怡黄璐杨冰余淑倩吴文达陈少滨杨琳何忆嘉楼嘉伟张庆涛陈瀚何伟超廖天宇“希望之星”英语风采大赛三等奖：叶一凯叶衷情陈洋第二届“语文报杯”中学生（高中）作文大赛一等奖：王乐《就这样，我们相念相惜》胡家钰《江月何曾皱眉》二等奖：孙璐伟《破茧得幸福不远人》金茜《在尘埃里微笑》三等奖：赵媛婧《热爱生活拥抱幸福》樊昕《回家》陈翱翔《幸福，可以如此简单》高中学生英语口语大赛一等奖：陈翱翔傅一展二等奖：陈则宇陈建荣第十届文综知识竞赛一等奖：陈兵帅朱珮龚歆淇毛飘陈翱翔金茜楼如珊王国才孙璐伟叶嘉奇黄敏周怡樊昕陈帅黄晓娜楼文婷徐凯悦黄谦谦二等奖：楼一菲王帷韬陈佳梦胡明悦季哲琦金亚婷楼杨沈越天徐安之邢诗淇吴闰桂方小龙吴晓琴陈则宇丁惠傅凯凯龚琰蒋雪颖金雨婷楼菲凡王颖杨清童张浩森张凯乐金家玮杨尚坤三等奖：陈志浩范珊珊何可舒沁之王潇莹朱衍丁一丹贾晨阳孔麒策黄晟刘欣云王晓玲盛耀璇张佩珊朱诗顿丁凌怡朱元英王奕涵应悦丁烨何沁珊吴雄青施佳炜陈子璐丁晨莹傅玉莉郭丽君胡大威胡家钰金欣园王保义王俊英王乐王也钦叶佳宁周书慧柯俊俊四、义乌市级中小学生“感性·人文”读书活动现场作文比赛一等奖：金远征方一优二等奖：朱舒悦三等奖：蒋金晶傅哲毅中小学生现场摄影比赛一等奖：毛倩倩《光》第四届青少年中华经典诗文诵读活动暨“我爱背唐诗”比赛二等奖：《我们的祖先名字叫炎黄》何爽方雪儿龚园超楼子玮丁一杨锦程孙典金洋高中生综合实践活动成果评比一等奖：《关于义乌快递发展现状与前景的调查报告》王垦虞丹妮何巍涛罗凌云王寒梅王诗瑶陈心悦陈颖王媛媛周涵涛《关于义乌古建筑保存保护现状的调查研究》何苗闫默雪方言歌何锡凯《关于义乌市外来建设者子女就学情况的调查研究》张驰王思洋王钰王筱婷蒋函《关于义乌成为国际贸易综合改革试点机遇与挑战的调查研究》叶一凯朱凌平楼云超陈洋龚莉莎季静媛王英楠王国强陈子健《关于食品包装对人们消费和企业发展的影响》傅嘉诚曹江云陈秋宁方建明何超能胡云飞金梅贞汪贝《关于夜市文化的调查》楼莹莹黄诗静楼诗意楼灵芝汪兰兰《关于城区绿化覆盖情况的调查》王洲石海波商俊超胡月朋陈东辉何志斌何聪聪杨尚谕二等奖：《弘扬古城文明、创建和谐义乌》江逸洵骆航宇马俊武金远征朱乾军朱剑伟朱悦《义乌市春节期间出租车价格变化的调查分析》何剑坤龚瑶嘉李双双葛江帆吴耀鹏叶晨宗振邦吴俊伟吴文俊《关于家乡板凳龙文化的研究报告》陈璇骆嘉倩金小飞刘璐《义乌市出租车违章乱收费现象的调查》陈骁方一优楼天宇王剑皇楼超峰王刚《中学生与服装》何子璇虞珍霞傅一洋林慧嘉陈乐乐张婉勤张泽权钱俊豪《关于义乌交通问题的研究》余晓慧张晓楠虞亦潇徐畅王畅徐子恒何雨婷吴梦婷《义乌市公共设施状况的调查》王珂儿金诗思陈楠陶周颖赵康莉经佳莉骆丽亚楼凌君《日韩文化传入对中国的影响》吴莎莉柳安赵昊伟黄清悦王玮季国彪《关于苹果公司产品普及情况的调查》蒋浩贾镇毛乐方子航余晓彬陈瀚飞李磊李钊平《关于电子商务的起源、在义乌的发展及影响的调查》吴轶《关于义乌现今就业状况的研究》王程伟周子豪马骏杰吴桂跃童志成施政凯朱宇航朱振飞王韵《关于图书馆使用情况的研究》陆海瀛许罗兰卢灏王丽亚黄丽妃楼佩欣方雅靓《关于义乌的交通拥堵状况的调查》杨依鸣王挺蒋镇先王晓平三等奖：《关于青少年进KTV问题的研究》楼定浩蒋之越康聪聪颜柳涛《春节物价》贾姣姣张滢吴枭颖王思倩龚雅萍丁莉莉王梦婷《关于义乌市区停车难问题的调查》周易杨雅馨石思慧季寒赛金越徐燕燕陈焕《关于环保消费的调查》薛富国何靖宇陈俊毅吴顺乐李俊强宋哲源陈宇航《关于义乌低碳环保的调查》刘晴刘明霞王梦瑶张雅婷陈昀朱凯丽社会实践与社区服务成果评比一等奖：《有关燃气安全使用的调查报告》王翔鲍潇玫陈长何丽潘毅余明霞俞心悦周志罡《关于义乌老年活动中心娱乐问题的调研》季凡凡陈月迷黄露萍盛菲朱伊莎胡思嘉蒋佳希丁愫怡二等奖：《关于义乌市城乡公交一体化改革的调查研究》方伟政赵剑辉石思卿刘斌楼宇飞杨嘉俊陈晶龚成刘友棋《关于义乌市水电用量的调查》蒋程璐余若丹盛丹华朱碧莹胡莉洁傅奕萱吴锦华张梦莹陈婷英《关于义乌市内流动摊贩问题的研究报告》王奕雯王梦园陈亚萍叶岑滢周寒青童真黄圣涵楼佳铭楼杨航第十七届“乔山杯”中学生现场美术比赛自定义组一等奖：黄诗琪《感触义乌》王文岚《名胜义乌》二等奖：唐诗《眼见义乌》单色版画组一等奖：鲍家辉《田心起源》洪正彦《勾践山》楼丫《鸡毛换糖》二等奖：金韫之《县官和金龟的故事》吴梦婷《当典里》陈眈利《大安寺塔》三等奖：王臻《马 tan》团体二等奖：（常规项目组）第四届中小学生乒乓球联赛女子组团体获第一名女子单打第一名：金穗李慧婕第二名：蒋倩红第四名：叶梦娇男子组团体获第二名男子单打第一名：孟凯俊义乌市中小学科技运动会(Ⅰ)测向机制作: 一等奖：王筱婷吴夏菁二等奖：潘毅2米测向: 二等奖：叶俊胜三等奖：金晓蓓蒋乐健80米测向: 二等奖：金宵潘毅第七届中小学生排球传统校比赛三等奖：吴春伢陈诗艳王婷婷刘倩妤周靖男黄露坪吴露瑶叶岑滢王思洋金映芬吴思意周虹丽楼珍霖王艺娴第十届校园文化艺术节学生演讲（讲故事）比赛一等奖：何靖宇第十届校园文化艺术节学生音乐特色节目展演团体一等奖舞蹈:一等奖群舞《春满园》朱凌平吴依谌陈亚萍刘思思鲍矗垚王奕雯王佳怡龚子茹余思园骆丽亚龚子蔚吴凯丽黄可欣曹云涵楼星言器乐:二等奖小合奏《滚核桃》叶蓓朱静媛何沐航虞张华龚风帆沈丹萍黄婧钰骆秀刘晴应安钰朱碧莹张宁何苗楼苗彦独唱:一等奖：陈佳帅二等奖：虞雪晴铜管乐优秀展演奖：虞帆蒋晴波朱子墨贝凯林陈颖妮林晓岚葛瑶霜吴自豪余彦彬金万里骆琳金佳慧孙靓陈静怡王婷刘航玮沈浩哲陈坤铃贾梦婷曹康琛朱子杭陈元恪周轶江吴天元骆聿哲吴晖剑楼威虞晓双金澍来赵舒航叶一凯楼佳铭周靖男方昕昶楼灵芝金轩聂荷君楼思圆王俊王珂儿吴金旸徐鼎昌丁双乐楼亚文王玥乐吴子正陈月迷冯亿安余水刘主宸义乌市中小学科技运动会(Ⅱ)山鹰II电动飞机特技赛三等奖：叶旭刚何知博梦想号航母直航赛三等奖：季登辉电子制作(创新）一等奖:方宏亮电子制作(焊接）三等奖:方宏亮简易机器人（行走）三等奖:方宏亮。
递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用安徽高寒蕊(芜湖一中，安徽，)【关键字】递推关系建立应用【摘要】世界上的一切事物都在不经意之中变化着，在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的。
这种规律往往呈现出前因和后果的关系，故我们可以运用递推的思想去研究这些变化。
本文着重说明了递推关系的建立，并在此基础上简略介绍求解递推关系的方法。
接着，阐明递推关系与动态规划之间的关系，并比较了一般递推关系与动态规划之间的异同，同时举例说明递推关系在竞赛中的应用。
在文章的最后，总结出学好递推关系，不仅可以提高我们的数学素质，对信息学竞赛更是大有帮助。
目录【正文】第02页一、引论第02页二、递推关系的定义第02页三、递推关系的建立第02页⒈五种典型的递推关系第03页⒉递推关系的求解方法第06页四、递推关系的应用第06页五、总结第10页【附录】第10页【参考书目】第12页【程序描述】第12页【正文】一、引论瞬息变幻的世界，每一件事物都在随时间的流逝发生着微妙的变化。
而在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律的，这种规律往往呈现出前因和后果的关系。
即是说，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。
所谓“三岁看老”，说的就是这个道理。
这一道理也正体现了递推的思想。
递推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，在一切向“更快、更高、更强”看齐的当今信息学奥林匹克竞赛中更因简洁高效而显示出其独具的魅力。
在递推关系发挥重要作用的今天，深入研究其性质、特点便成为一件十分必要的事情。
本文就将围绕着递推关系的三大基本问题中的如何建立递推关系展开论述，并通过例题说明递推关系在当今信息学竞赛中的应用。
二、递推关系的定义相信每个人对递推关系都不陌生，但若要说究竟满足什么样的条件就是递推关系，可能每个人又会有不同的说法。
为了更好地研究递推关系，首先让我们明确什么是递推关系。
【定义1】给定一个数的序列H0,H1,…,H n,…若存在整数n0，使当n≥n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将H n与其前面的某些项H n(0≤i<n)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。
