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例 2 某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,…,295, 为了了解学生的学习情况,要按 1∶5 的比例抽取一个样本, 用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.
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解 按照 1∶5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷ 5＝59, 我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第一组是编号为 1～ 5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6～10 的 5 名学生,依次下 去,59 组是编号为 291～295 的 5 名学生.采用简单随机抽样 的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 k(1≤k≤5),那么抽取的学生编号为 k＋5l(l＝0,1,2,…,58),得 到 59 个 个 体 作 为 样 本 , 如 当 k ＝ 3 时 的 样 本 编 号 为 3,8,13,…,288,293.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.1.2
解析
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A 中总体容量较小,样本容量也较小,可采用抽签法;B
中总体中的个体有明显的差异,也不适宜采用系统抽样;D 中 总体容量较大,样本容量较小也不适宜采用系统抽样.
答案
C
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.1.2
2.为了了解参加一次知识竞赛的 1 252 名学生的成绩,决定采 用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,那么总体中
(3)在第一部分的个体编号 1,2,3,…,20 中,利用简单随机抽样 抽取一个号码 l.
(4)以 l 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到一个容 量为 50 的样本:l,l＋20,l＋40,… ,l＋980.
小结 系统抽样又称等距抽样,要求总体中不能含有一定的周 期性,否则其样本的代表性是不可靠的,甚至会导致明显的偏向.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.系统抽样的步骤
2.1.2
一般地,假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本, 可以按下列步骤进行系统抽样: (1)先将总体的 N 个个体 编号. 有时可直接利用个体自身
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所带的号码,如学号,准考证号,门牌号等; N (2)确定分段间隔 k 对编号进行分段,当 (n 是样本容量)是 n N 整数时,取 k＝ ; n (3)在第一段用 简单随机抽样 确定一个个体编号 s(s≤k); (4)按照一定的规则抽取样本.通常是将 s 加上间隔 k 得到 第 2 个个体编号 s＋k,再加 k 得到第 3 个个体编号 s＋2k , 依次进行下去,直到得到容量为 n 的样本.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.2
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[问题情境]
大家都知道盲人摸象的故事,四个盲人在庞大
的大象面前,每人只摸了大象的一个部位,就有了对大象与 众不同的认识.在他们争得面红耳赤,不可开交时,有一智 者对他们建议,要他们每个人按一定的间隔从左到右、从 上到下去摸大象,结果每个人都得到了大象的正确形象,你 知道这是一种什么方法吗？
2.1.2
2.1.2 系统抽样
【学习要求】 1.理解系统抽样的概念;
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2.掌握系统抽样的一般步骤,会用系统抽样从总体中抽取样 本; 3.理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 4.了解系统抽样在实际生活中的应用,提高学习数学的兴趣. 【学法指导】 通过对实际问题的探究,归纳应用数学知识解决实际问题的 方法,通过数学活动,感受数学对实际生活的需要,体会现实 世界和数学知识的联系.
问题 6 一般地,用系统抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一 个容量为 n 的样本,其操作步骤如何？
答 第一步,将总体的 N 个个体编号.
第二步,确定分段间隔 k,对编号进行分段.
第三步,在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体编号 l.
第四步,按照一定的规则抽取样本.
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2.1.2
2.1.2
例 3 为了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩,从中 抽取一个容量为 50 的样本,那么采用什么抽样方法比较恰 当？简述抽样过程.
解 适宜选用系统抽样,抽样过程如下:
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(1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2,3,…,1000.
(2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体.
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2.1.2
小结
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(1)解决系统抽样问题中两个关键的步骤为:
①分组的方法应依据抽取比例而定,即根据定义每组抽取一 个样本. ②起始编号的确定应用随机抽样的方法,一旦起始编号确定, 其他编号便随之确定了. (2)当总体中的个体数不能被样本容量整除时,需要在总体中 剔除一些个体.
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2.1.2
问题 2 你能归纳系统抽样的定义吗？
答
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一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,
可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则, 从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的 方法叫做系统抽样.
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解析
( B ) B.3,13,23,33,43 D.2,4,6,16,32
用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为 k,k＋ 50 d,k＋2d,k＋3d,k＋4d,其中 d＝ 5 ＝10,k 是 1 到 10 中用简单 随机抽样方法得到的数, 因此只有选项 B 满足要求.
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例 1 下列抽样中不是系统抽样的是
2.1.2
( C )
A.从标有 1～15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从 小号到大号排序,随机确定起点 i,以后为 i＋5,i＋10(超
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过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验 人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询 问,直到调查到事先规定的调查人数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等) 座位号为 14 的观众留下来座谈
(
)
A.从全班 48 名学生中随机抽取 8 人参加一项活动 B.一个城市有 210 家百货商店,其中大型商店 20 家,中型商 店 40 家,小型商店 150 家.为了掌握各商店的营业情况, 要从中抽取一个容量为 21 的样本 C.从参加模拟考试的 1 200 名高中生中随机抽取 100 人分 析试题作答情况 D.从参加模拟考试的 1 200 名高中生中随机抽取 10 人了 解某些情况
( A )
解析 将 20 分成 4 个组,每组 5 个号,间隔等距离为 5.
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2.1.2
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系统抽样的优点是简单易操作,当总体个数较多的时候也能 保证样本的代表性;缺点是对存在明显周期性的总体,选出来 的个体往往不具备代表性.从系统抽样的步骤可以看出,系统 抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问 题简单化,体现了数学转化的思想.
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2.1.2
跟踪训练 2 从编号为 1～50 的 50 枚最新研制的某种型号 的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验,若采用每部分选 取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的
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编号可能是 A.5,10,15,20,25 C.1,2,3,4,5
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探究点一 系统抽样的基本思想
2.1.2
问题 1 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见, 打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查,除了用
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简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方 法？
答 可以将这 500 名学生随机编号 1～500,分成 50 组,每组 10 人,第 1 组是 1～10,第二组是 11～20,依次分下去,然后用 简单随机抽样在第 1 组抽取 1 人,比如号码是 2,然后每隔 10 个号抽取一个,得到 2,12,22,…,492.这样就得到一个容量 为 50 的样本,这种抽样方法称为系统抽样.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.2
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1.系统抽样的概念 将总体分成 均衡 的若干部分,然后按照预先制定的规则, 从每一部分抽取 一个 个体,得到所需要的样本,这种抽样 的方法叫做系统抽样.在抽样过程中,由于抽样的间隔相等 , 因此系统抽样也称作 等距 抽样. 2.适用的条件 总体中个体差异不大并且总体的容量 很大.
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应随机剔除的个体数目是 A.2 B.3 C.4 D.5
( A )
解析 由 1 252＝50×25＋2 知,应随机剔除 2 个个体.
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2.1.2
3.有 20 个同学,编号为 1～20,现在从中抽取 4 人的作文卷进
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行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为 A.5,10,15,20 C.2,4,6,8 B.2,6,10,14 D.5,8,11,14
名工人.
(5)从第一段即 0001 号到 0100 号中随机抽取一个号 l.
(6)按编号将 l,100＋l,200＋l,…,900＋l 共 10 个号选出. 这 10 个号所对应的工人组成样本.
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2.1.2
1.下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是
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答 将总体中的所有个体编号.
问题 2 如果用系统抽样从 505 件产品中抽取 50 件进行质量 检查,由于 505 件产品不能均衡分成 50 部分,对此应如何处 理？
