14级《高等数学》(第12章)统测试卷

高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。

例：（错解）方程的阶数为2。

((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。

★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。

★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。

(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。

dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。

★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。

y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。

y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。

y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。

（新课标I 版01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题12概率和统计（含解析）理一．基础题组1. 【2013年某某省十所名校高三第三次联考试题】某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )A ．117B ．118C ．118．5D ．119．52. 【某某省某某市2014届高三9月摸底考试数学】已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<=( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73. 【某某市2013届高中毕业班第一次模拟】设随机变量ξ服从正态分布),1(2σN .若ξ<2)=0.8，则p(0<ξ<1)的值为（）P(A. 0.2B. 0.3C.0.4D. 0.64. 【某某市2013届高中毕业班第一次模拟】现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A. 0.852B. 0.8192 C O.8 D. 0.755. 【某某省某某市2013届高三第二次模拟考试】如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______.6. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】（本小题满分12分） 甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分最低为0分，至少得15分才能入选． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．试题解析：（Ⅰ）设乙得分为，则=0,15,30，03125555331010151012122C C C C PCC ， 215531051512C C P C ，305531013012C C P C 的分布列为1530E 151351530212124； ．7. 【某某省某某二中 康杰中学 某某一中 某某一中2013届高三第四次四校联考】为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345 x169178166175180y7580777681（ （2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其期望．【答案】（I ）35 ；（II ）①21件； ②所以随机变量ξ的分布列为P12 512 11265E ξ=.1123253(1)5C C P C ξ===，23253(2)10C P C ξ===，所以随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2p110 35 310- 所以随机变量ξ的期望1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 考点：1、分层抽样的性质和公式 2、简单随机变量的分布列及均值.8. 【某某省某某一中 康杰中学 某某一中 某某二中2014届高三第一次四校联考】(本小题满分12分)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为31，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响. （1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.ξ 0 1 2p110 35 3109. 【某某市2013-2014学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（Ⅱ）以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3人，记抽取的学生成绩不低于90分的人数为X，求X的分布列和期望.（Ⅱ）样本中成绩不低于90分的频率为0.0150200.0125200.0025200.6⨯+⨯+⨯=，所以从该校高三学生中随机抽取1人，分数不低于90分的概率为0.6．……………7分10. 【某某省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】(本小题满分12分)某用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数学期望.利用14，利用二项分布计算出每种情况下的概率，这部分是关键，以下的分布列和期望都需要用这些数.分布列为272791()01230.7564646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 令解：X 的可能取值为0,1,2,3.33113(3,),()()()444k k k XB P x kC -==分布列为所以1()30.754E X =⨯=. （12分） 考点：1.茎叶图；2.分布列；3.二项分布.11. 【某某省某某市2013届高三第二次模拟考试】某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？ （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3 个成绩中语文，外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （x ）.附：()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．()p K k ≥200．010 0．005 0．001 k 06．6357．87910．82812. 【某某市2013届高中毕业班第一次模拟】为了调査某大学学生在某天上网的时间，随机对l O O名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表l:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)从这100名男生中任意选出3人，其中恰有1人上网时间少于60分钟的概率；(II)完成下面的2X2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？表3:•附：13. 【某某省某某市2014届高三9月摸底考试数学】（本题满分12分）为了了解《中华人民某某国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门组织了一次知识竞赛，现随机抽取了某校20名学生的测试成绩，得到如图所示茎叶图：（1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率；（2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．试题解析：（1）优秀成绩4人；设优秀成绩人数为X ，至多一人成绩优秀为事件A ，则，()(0)(1)P A P X P X ==+==321161643320205257C C C C C +=……………………5分 (2) 由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率51=P …………………6分 ξ可取0,1,2,3 …………………7分ξ123P303)54(C)51()54(213⋅C223)51()54(⋅C333)51(C…………………12分 考点：茎叶图，随机变量的分布列及数学期望.14. 【某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成．第一排明文字符 ABCD密码字符 11121314第二排明文字符 EFGH密码字符 21222324第三排明文字符 MNPQ密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求()2P ξ＝；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．2,3,4ξξξ===的实际意义，分别求出相应的概率值，注意写出分布列需验证概率和是否为1，∴ξ的分布列为：∴1199101()2348323232E ξ=⨯+⨯+⨯=.……12分 考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列与期望.15．【某某省某某市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】（本小题满分12分） 某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：ξ 2 3 4P18 1932 932A B C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；（1）从 , ,（2）在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列和期望EX.考点：1、离散型随机变量的分布列和数学期望；2、离散型随机变量概率的计算.16. 【2012-2013学年度某某市高三第二次模拟测试卷】（本小题满分12分）某某市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通，把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[)25,20、第2组[)30,25、第3组[)35,30、第4组[)40,35、第5组[)45,40，得到的频率分布直方图如图所示：⑴若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持交通，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？⑵在⑴的条件下，某某市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者到学校宣讲交通安全知识，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望.（2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3，03663121(0)11C C P C ξ===，12663129(1)22C C P C ξ===，21663129(2)22C C P C ξ===，17. 【2013年某某省十所名校高三第三次联考试题】（本小题满分12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少?（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验． ① 求这两种金额之和不低于20元的概率；②若用X 表示这两种金额之和，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）203 ；（Ⅱ）①53，②20=EX ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由两种闯红灯的概率相减得4010320020020-=；（Ⅱ）①直接由古典概型公式即可得63()105P A ==，②先将X 的可能取值表示出来，再依次求概率即可得到X 的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是：二．能力题组1. 【某某省某某大学附中2014届高三9月月考题数学】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：，若，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（） A ．1256B.13128C.12D.7322. 【2012-2013学年度某某市高三第二次模拟测试卷】下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是n m 和，某次测试数学平均分分别是b a ,，则这两个班的数学平均分为2ba +；②从总体中抽取的样本),4.4,5(),9.3,4(),6.3,3(),1.3,2(),5.2,1(则回归直线y bx a =+必过点(3,3,6)；③已知ξ服从正态分布2(1,2)N ,且(11)0.3P ξ-≤≤=,则(3)0.2P ξ>= 其中正确的个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个3. 【某某省某某市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】已知平面区域(){()()()}{2212||2,|,,|224||2x D x y D x y x y y <⎫⎧==-+-<⎨⎬<⎩⎭.在区域D 1内随机选取一点P ,则点P 恰好取自区域D 2的概率是（ ）A.14B .4πC .16πD .32π考点：几何概型概率的计算.4. 【某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)等于()A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.25. 【某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )A.总偏差平方和B.残差平方和C.回归平方和D.相关指数R 26. 【某某省某某市2014届高三9月摸底考试数学】如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y 图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点在E 中的概率为( )A ．51B ．41C ．13D ．127. 【某某省某某大学附中2014届高三9月月考题】(本小题满分14分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为43,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为32,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ;【解析】()()()CD B P D C B P X P +==34132434313243143=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=,三．拔高题组1. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18πB ．14πC ．12πD ．1π考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识, 考查学生的基本运算能力．2. 【某某省某某大学附中2014届高三9月月考题】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：，若，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（）A ．1256 B.13128 C.12 D.7323. 【某某市2013-2014学年度高三年级摸底考试】在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为（ ）A ．13B ．23C ．19D ．594. 【某某省某某市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[)1000,1500，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定X 围内的人数的算法流程图，图乙输出的S =(用数字作答).。

2014年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．当x→x0时，若f(x)存在极限，g(x)不存在极限，则下列结论正确的是( )A．当x→x0时，f(x)g(x)必定存在极限B．当x→x0时，f(x)g(x)必定不存在极限C．当x→x0时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零D．当x→x0时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限正确答案：D解析：极限运算法则，可以举反例，若f(x)=x2，g(x)=lnx，则f(x)= x2=0，g(x)=lnx＝－∞，但f(x).g(x)=x2lnx=0；若f(x)=2，g(x)=sin=2，不存在，但f(x).g(x)=不存在；可见选项D正确．2．曲线y=x3－3x上切线平行于x轴的点是( )A．(0，0)B．(1，2)C．(一1，2)D．(0，2)正确答案：C解析：由导数几何意义可知，k切=y′(x0)=3—3=0，所以切点坐标为(1，一2)或(一1，2)，即选项C正确．3．函数f(x)=(x2—x一2)｜x3一x｜的不可导点个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：导数定义，f′(0)=所以f′－(0)==2，f′＋(0)==－2所以函数f(x)在x=0处不可导；同理，f′(1)=所以f′－(1)=一(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝4．f′＋(1)=(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝－4，所以函数f(x)在x=1处不可导；f′(－1)==(x－2)｜x3－x｜=0，所以函数f(x)在x=－1处可导；综上可知，函数f(x)共有2个不可导点，选项B正确．4．若f(x=sin(t一x)dt，则f(x)= ( )A．－sinxB．－1＋cosxC．sinxD．0正确答案：A解析：变限函数求导数，因为sin(t一x)dt sinudu，所以sin(t—x)dt=sinudu=0一sin(一x).(一1)=－sim，可见选项A正确．5．微分方程y′＋的通解是( )A．arctanx＋CB．(arctanx＋C)C．arctanx＋CD．＋arctanx＋C正确答案：B解析：一阶线性微分方程，由通解公式可得y=e－∫p(x)dx[∫Q(x).e∫p(x)dxdx+C]=.elnxdx+C]=(arctanx+C)，可见选项B正确．填空题6．设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且f(2)=3，则=___________．正确答案：9解析：利用连续性求极限，=3f(2)=9 7．设f(x)=，则f[f(x)]=___________．正确答案：解析：求复合函数的表达式，f[f(x)]=f[f(x)]=8．曲线y=xln(e＋)(x＞0)的渐近线方程是___________．正确答案：y=x+解析：计算斜渐近线，设直线y=ax+b为所求曲线的渐近线，则a==lne=1，b=所以，斜渐近线为y=x+．9．设y=ln，则y′｜x=0=___________．正确答案：-1解析：求导函数，因为y=ln[ln(1一x)一ln(1+x)]所以y′=，故y′(0)＝－1．10．曲线y=(x＞0)的拐点是___________．正确答案：()解析：求曲线的拐点，当x＞0时，y′=令y″=0，得x=，所以拐点为()．11．由曲线y=x和y=x2所围成的平面图形的面积是___________．正确答案：解析：据题意画图，求所围平面图形的面积S=(x—x2)dx=(x2一12．将函数f(x)=sin2x展开成x的幂级数为___________．正确答案：，x∈(一∞，+∞)解析：麦克劳林展式，f(x)=sin2x=cos2x，又因cosx=x2n，x∈(一∞，+∞)，所以cos2x=(2x)2n即f(x)=，x∈(一∞，+∞)．13．设(a×b).c=1，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)=___________．正确答案：2解析：混合积，向量积运算法则，在混合积计算中，如有两向量相同，则混合积为0．因此，[(a+b)×(b+c)].(c+a)=[a×(b+c)+b×(b+c)]=[a×b+a×c+b×b+b ×c].(c+a)=[a×b+a×c+b×c].(c+a)=(a×b).c+(a×b).a+(a×c).c+(a×c).a+(b×c).c+(b×c).a=(a×b).c－(b×c).a=2(a×b).c=214．微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为___________．正确答案：ln｜xy｜+x－y+C=0，C为任意常数解析：可分离变量的微分方程，(1+x)ydx+(1一y)xdx=0x+ln｜x+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜+C，C为任意常数．15．设二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=C1ex+C1e2x，那么非齐次y″＋ay′＋by=1满足的条件y(0)=2，y′(0)=－1的解为___________．正确答案：y=4ex－解析：求二阶线性常系数非齐次方程的通解，特征方程为r2+ar+b=0，r1=1，r2=2即(r－1)(r－2)=0，r2－3r+2=0，故a=－3，b=2．所以原微分方程为y″一3y′+2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，取k=0，因此，设特解y*=A，则(y*)′=0，(y*)″=0，代入可得A=，所以y*=，所以y″一3y′+2y=1的通解为y=C1ex+C2e2x+，再由y(0)=2，y′(0)=－1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex－解答题解答时应写出推理、演算步骤。

1. 【2014届高三原创预测卷理科数学试卷（安徽版）】如图3是一个从A →B 的“闯关游戏”，规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1，2，3，4的均匀的正四面体．在过第n 关时，需要抛掷n 次正四面体，如果这n 次面朝下的数字之和大于2n ，则闯关成功，否则称闯关失败． A →①→②→③→……→B 某人按规则进行闯关游戏，下列说法： （1）他闯第一关成功的概率为21； （2）他仅过第一关的概率为316； （3）他在这项游戏中最多能过三关；（4）他连过前两关，第三关失败的概率是25655．其中，正确的说法的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42. 【2014届山东高三数学预测卷（理科）】已知函数)3cos()(x a x f π=，a 为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数)(x f 在]4,0[上零点的个数小于5或大于6的概率为（ ） A.32 B. 65 C. 52 D. 31 3.【2014届山东高三数学预测卷（理科）】设随机变量ξ服从正态分布N (3，7)，若(2)(2)P a P a ξξ>+=<-，则a =（ ）1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 45678A ．1B ．2C ．3D ．44.【2014届山东高三数学预测卷（理科）】如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为（ ） A ．38B ．23C ．58D ．7125.【2014年高考原创预测卷（新课标理科）】某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1所示的频率分布直方图，样本数据分组为[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有（ ）A.5个B.6个C.8个D.10个6.【2014年高考原创预测卷（浙江理科）】以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布),1(2σN )0(>σ．若ξ在()1,0(内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握 程度越大．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47.【2014年高考原创预测卷（新课标）理】 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示，若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则a 的值为（ ）A.2 B ．0C ． 3D ．18.【2014年高考原创预测卷（新课标）理】某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S 表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S =0;当S 最大时,中一等奖,当S 最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次，则甲一次游戏中能中奖的概率是（ ）A ．12B ．17C ．23 D ．149.【学科网学易大联考新课标全国数学】 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程^^0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为 ( ) A ．70.09kg B ．70.12kg C ．70.55kg D ．71.05kg10.【2014年高考原创预测卷三（广东版）】在某大学校园内通过随机询问100 名性别不同的大学生是否爱甲组 乙组 891 a 822打篮球,得到如下的列联表:由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22100(10302040) 4.76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 参照右上附表，得到的正确结论( )A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱打篮球与性别有关”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱打篮球与性别无关”C.有97.5%以上的把握认为“是否爱打篮球与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“是否爱打篮球与性别无关”11.【学科网第二次大联考数学新课标全国卷（理）】先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果记为(a,b)，其中a 表示第一次抛掷的结果，b 表示第二次抛掷的结果，则函数32()f x x ax bx c =+++有极值点的概率为（ ） A ．34 B ．78 C ．49 D ．5912.【学科网关门卷大联考山东卷】进入4月份，天气渐暖，蔬菜上市品种逐渐增加.某蔬菜销售市场，根据连续5周的市场调研，对某种蔬菜的销售量x (千克)与价格y (元∕千克)统计数据(如表所示)表明：二者负相关，其回归方程为280y x =-+，则统计表格中的实数a 的值为（ ）周次 1 2 3 4 5 销售量x 18 19 1822 23 价格y4543a3533A ．40B ．41C ．42D ．4413.【学科网学易大联考浙江版】向曲线22+42330x y x y --+=内随机掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为 .14.【学科网关门卷大联考山东卷】给出以下四个命题：①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为30；②二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数是192-；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2，2σ)(σ>0)．若ξ在(-∞，1)内取值的概率为0．15，则ξ在(2，3)内取值的概率为0．7；④若双曲线224x y k -=的渐近线方程为12y x =±，则k =1． 其中正确命题的序号是 ．15.【2014年高考原创预测卷（新课标）理】如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点没有落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为 ．16.【2014年学科网解析团队学易高考冲刺金卷36套（江苏版）预测卷】有数学、物理和化学3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加不财兴趣小组的概率为____▲____．17.【2014年学科网解析团队学易高考冲刺金卷36套（江苏版）预测卷】某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.0，10.3，10.1，则这组数据的标准差差为 ▲ ．18.【2014年高考原创预测卷（江苏版）】用红、黄两种颜色随机地给正三棱锥的四个顶点染色，则“至少有一个面上的三个顶点同色”的概率等于 ▲ ． 19.【2014年高考原创预测卷（江苏版）】高三年级有男生480人，女生360人，若用分层抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为21的样本，则抽取男生的人数为________． 20.【2014年高考原创预测卷（山东版）】已知某天下午1点的温度是10C ，下午3点的温度是9C ，下午8点的温度是5C .将中午12点记为0点.已知当天下午的温度与时间线性相关，则线性回归方程为 .21. 【2014届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．22. 【2014届山东高三数学预测卷（理科）】关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确命题的序号为 .①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法； ④已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，，则)4(>X P 等于0.158 7 ⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人. 23.【2014年高考原创预测卷（江苏版）】甲乙丙丁四人玩传球游戏，第一次，甲传给乙丙丁三人中任意一人，第二次由拿球者再传给其他三人中任意一人，这样共传了四次，则第四次仍传回到甲的概率等于 ▲ ．24.【2014年高考原创预测卷（三）山东卷】（本小题满分12分）甲、乙、丙三位体育考生，参加2014年体育考试体能测试，在本次体能测试中有合格和不合格两个等级．若体能测试合格记1分，体能测试不合格记0分．假设甲、乙、丙体能测试合格的概率分别为231,,342，他们体能测试合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次体能测试中，这三名考生至少有一名体能测试合格的概率；（Ⅱ）记在这次体能测试中，甲、乙、丙三名考生所得分数之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．25.【学科网关门卷大联考山东卷】（本小题满分12分）为了解高一年级学生的基本数学素养，某中学特地组织了一次数学基础知识竞赛，随机抽取统测成绩得到一样本.其分组区间和频数是： [)60,50，2；[)70,60，7；[)80,70，10；[)90,80，x ； [90，100]，2. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题.（1）求样本的人数及x 的值；（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中[80,90)的矩形的高；（3）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望.26.【学科网学易大联考山东版】（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成．第一排明文字符 A B C D 密码字符11121314第二排明文字符 E F G H 密码字符21222324第三排明文字符M N P Q 密码字符123 4设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．（Ⅰ）求P(ξ＝2)；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．27.【学科网学易大联考浙江版】（本题满分14分）在2014年全国超级联赛上，兵乓球比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束.甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：出场顺序1号2号3号4号5号获胜概率12p q1225若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是18，比赛至少打满4场的概率为34（Ⅰ）求,p q的值（Ⅱ）求甲队获胜场数的分布列和数学期望28.【2014年高考原创预测卷（安徽版理科）】（本小题满分12分）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动. （1）试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会；若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖的概率都是13，请问：商场将奖金数额m最高定位多少元，才能使促销方案对商场有利？29.【2014年高考原创预测卷（广东版02）】（本小题满分12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下22⨯列联表,若喜欢数学课和不喜欢数学课的学生人数之比为1:3喜欢数学课不喜欢数学课合计男30 60 90女a b110合计200（1）求,a b的值;（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢．．．数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为ξ，求ξ的数学期望.30.【2014年高考原创预测卷（广东版）】（本小题满分12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下22⨯列联表,若喜欢数学课和不喜欢数学课的学生人数之比为1:3喜欢数学课不喜欢数学课合计男30 60 90女a b110合计200（1）求,a b的值;（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢．．．数学课的学生中随机抽取5人，①男生和女生抽取的人数分别是多少？② 5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为ξ，求ξ的数学期望.31.【2014年高考原创预测卷（广东版）】（本小题满分12分）某班共有学生40人，将以此数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示,已知第二组[60,70)与第四组[80,90)的频数之比为3:4.（1）请根据图中所给的数据，求,a b 的值；（2）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率； （3）为了了解学生这次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X 的分布列和数学期望.32.【2014年高考原创预测卷四（广东版）】某学校在数学竞赛初赛考试成绩中,随机抽取100名学生的笔试成绩(假设成绩都在[]75,100)，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入数学竞赛决赛． ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入数学竞赛决赛的概率；②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考前心理辅导，设第四组中有ξ名学生接受考前心理辅导，求ξ的分布列和数学期望．33.【2014年高考原创预测卷三（广东版）】某学校高一年级有,,,A B C D 四个班,其中,,A B C 班的人数如表1所示(其中D 班的人数暂未统计),该学校现计划从高一年级中采用分层抽样的方法选取18人参加5月的慰问敬老院活动,若已知A 班抽取了4人.班级 ABC人数40 30 60(1)求各班抽取人数;(2)若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一班级的概率;(3)现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次活动的主题．设其中来自A 班的人数为ξ，令21ηξ=+，求随机变量η的分布列及数学期望()E η.34.【2014年高考原创预测卷三（浙江版理科）】（本题满分14分）浙江某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为二等品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望． 35.【2014年高考原创预测卷三（浙江版理科）】（本题满分14分）浙江某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为二等品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望．36.【2014年高考原创预测卷（浙江版文科）】（本小题满分14分）某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95) [95,100)甲 3 7 20 40 20 10 乙515353573现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；（2）记甲乙分别生产一件产品A 给工厂带来的盈利和记为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望．37.【学科网高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】（本小题满分12分）某商场在五一节搞促销抽奖获积分活动，共设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为00(01)P P <<，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，活动结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求0P ；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？38.【学科网第二次大联考数学新课标全国卷（理）】（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各9件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图，但是乙厂记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示，规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）若甲、乙两厂产品中该种元素含量的平均值相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙厂该种元素含量的平均值超过甲厂平均值的概率；（Ⅲ）当3a =时，利用简单随机抽样的方法,分别在甲、乙两厂该种元素含量超过19（毫克）的数据中个抽取一个做代表,设抽取的两个数据中超过22（毫克）的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.39.【学科网第三次大联考数学新课标全国卷（理）】（本小题满分12分）某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查，发现每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关．若2T ≤，则销售利润为0元；若23T <≤，则销售利润为100元；若3T>，则销售利润为200元，设每台该种电器的无故障使用时间2T ≤，23T <≤，3T >这三种情况发生的概率分别是123P P P ，，，又知12P P ，是方程225150x x a -+=的两个根，且23P P =．（1）求123P P P ，，的值；（2）记X 表示销售两台该种电器的销售利润总和，求X 的分布列及期望． 40.【新课标第五套预测卷（理）】某班主任为了解所带班学生的数学学习情况，从全班学生中随机抽取了20名学生，对他们的数学成绩进行统计，统计结果如图． （Ⅰ）求x 的值和数学成绩在110分以上的人数；甲厂乙厂1 3 9 6 5 82 1 5 03 8 6 5 9 9 36 1 a（Ⅱ）从数学成绩在110分以上的学生中任意抽取3人，成绩在130分以上的人数为ξ，求ξ的期望．41.【新课标第Ⅱ套预测卷（理）】某年全国大学生运动会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有E和F两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。

2018年高考数学复习演练第十二章统计（含2014-2017年真题）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学复习演练第十二章统计（含2014-2017年真题））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第十二章统计1。

（2017•新课标Ⅲ，3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A。

月接待游客量逐月增加B。

年接待游客量逐年增加C。

各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳1。

A 由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误;年接待游客量逐年增加，故B正确;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳，故D正确;故选A。

2.(2017•山东，5)为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为= x+ ,已知x i=225，y i=1600，=4,该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（)A.160B.163C.166 D1702.C 由线性回归方程为=4x+ ，则= x i=22.5，= y i=160，则数据的样本中心点（22。

. 精选文档 第七单元 空间解析几何与向量代数 一、填空题

1、已知a与b垂直，且12|||,5||ba，则||ba_________,||ba_________。

2、一向量与ox轴和oy轴成等角，而与oz轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。 3、acbbcbaccba)()()(__________。

4、若两平面0kzykx与zykx20互相垂直，则__________k。

5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0zyx垂直的平面方程是____________。 6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2)，则该平面方程为_________。 7、设平面092:zkyx，若过点)6,4,5(，则_______;k又若与平面032zyx成45角，则__________k。

8、一平面过点(1,10,6),它在ox轴上的截距为3，在oz轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。 9、若直线531123zkykx与22531kzyx垂直，则_________k。

10、设,2)(cba则___________)()]()[(accbba。

11、过点)1,2,1(M且与直线1,43,2tztytx垂直的平面方程是___________。 12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zyxLzyxL则过1L

且

平行于2L

的平面方程是______________。

二、选择题 1、下列命题，正确的是（ ）

(A)kji是单位向量； (B)j非单位向量；

(C)22||aa； (D)babaa2)(

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试2014-2015学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。

4分，共20分）1. 设y xy z )1(+=, 则=∂∂xz12)1(-+y xy y .2. 函数22ln y x z +=在点)1,1(处的全微分=z d y x d 21d 21+. 3. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的切平面方程为062=-++z y x . 4. 设曲线1:22=+y x L , 则曲线积分=+⎰Ls y x d )(2π2.5. 函数)cos(e yz u x =在原点)0,0,0(处的梯度为)0,0,1(.二、（本题8分）设方程组⎩⎨⎧=-=uv y u v x 222确定了隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u , 求x u ∂∂与x v∂∂.解. ⎩⎨⎧+=⋅-⋅=x x x x vu uv u u v v 0222或者⎩⎨⎧=+=⋅-⋅01x x x x vu uv u u v v , 22v u u u x +-=, 22v u vv x +=.三、（本题8分）设),(y x y x f z -+=, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求x z∂∂与y x z ∂∂∂2.21f f z x '+'=221122211211f f f f f f z xy ''-''=''-''+''-''= 四、（本题8分）计算二重积分⎰⎰=Dx y I σd 22, 其中D 是由直线2=y , x y =及双曲线1=xy 围成的闭区域.49d d 12221==⎰⎰yyx x y y I五、（本题8分）计算曲线积分⎰+++=Ly x x x x y I d )(sin d )1cos (, 其中L 为由点)0,(a A 至点)0,(a B -的上半圆弧22x a y -=(0>a ).a a yx x x x y y x I BAD221d )(sin d )1cos (d d 2-=+++-=⎰⎰⎰π其中D 是半圆域222a y x ≤+, 0≥y .六、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑=S z I d , 其中∑为圆锥面22y x z +=位于圆柱体x y x 222≤+内部分.2932d d 2d d 22cos 02222=⋅=⋅+=⎰⎰⎰⎰-θππθr r r yx y x I D其中D 是圆域x y x 222≤+.七、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑++=y x z x z y z y x I d d d d d d 333, 其中曲面∑是由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭曲面的外侧.)12(524d d sin d 3d )(32224020222-=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπϕϕθππr r r vz y x I其中Ω为已知两曲面围成的闭区域. 八、（本题7分）求微分方程y y x y ln tan ='通解.x xxy y y d sin cos d ln 1= C x y ln sin ln ln ln += x C y sin e =九、（本题7分）求微分方程x y y cos =+''的通解. 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+= 原方程的一个特解为x x y sin 21*=原方程的通解为x x x C x C y sin 21sin cos 21++=十、（非化工类做）（本题6分）判断级数∑∞=1!2sin n nn 的收敛性.!2!2sin n n nn ≤且10!2)!1(2lim1<=++→∞n n n n n ⇒级数∑∞=1!2n nn 收敛, 所以级数∑∞=1!2sin n n n 收敛.十一、（非化工类做）（本题6分）把函数x x x f arctan )(=展开为x 的幂级数, 并指出成立的区间.∑∑⎰⎰∞=+∞=+-=-=+=022020212)1(d )(d 11)(n n n n x n x x n x x x xx x x f其中11≤≤-x .十二、（非化工类做）（本题6分）设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛, n n n b c a ≤≤(*N ∈n ), 证明级数∑∞=1n n c 也收敛.⇒⎪⎭⎪⎬⎫-≤-≤∑∑∞=∞=收敛11,0n n n n n n n n b a a b a c ∑∞=-1)(n n na c收敛⇒∑∞=1n n c 收敛.十、（化工类做）（本题6分）求函数333y x axy z --=(0>a )的极值.由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322y ax z x ay z y x 得驻点),(),0,0(a a 在点)0,0(处0922<-=-a B AC , 从而在)0,0(处不取极值；在点),(a a 处02722>=-a B AC , 06<-=a A , 从而在点),(a a 处取极大值3a .十一、（化工类做）（本题6分）求微分方程0)d (cos d )3(sin 32=+++y x y x y x x 的通解.0d cos )d d (d sin 33=+++y y y x x y x x所求通解为.sin cos 3C y y x x =++-十二、（化工类做）（本题6分）证明曲面0),(=--cz ay bz ax F 上任一点处的切平面都平行于同一向量, 其中c b a ,,为非零常数.所给曲面在任一点处的法向量为),,(2121F c F b F a F a n '-'-''=它始终平行于向量),,(a c b .。

洛阳市201 3——2014学年(上)高三年级统一考试数学试卷〔理〕 B卷本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部．第1卷1至2页，第2卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．一、选择题：此题共12个小题，每一小题5分．共60分．在每一小题给出的四个选项中。

只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设复数z＝21i--〔i为虚数单位〕，如此z的共轭复数z的虚部为A．1 B．－i C．－1 D．i2．集合A＝{1，2，4}，如此集合B＝{〔x，y〕｜x∈A，y∈A}中元素的个数为 A．3 B．6 C．8 D．93．执行右图所示的程序框图，假设输入x＝8，如此输出y的值为A．－34 B．12C．52 D．34．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22()a b c＋－＝4，C＝120°，如此△ABC的面积为A．3B．23C3．35．F1，F2是双曲线214x2y－＝的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，一个交点为P，如此｜PF2｜＝A．6 B．4 C．2 D．16．设实数x，y满足不等式组如此yx＋3的取值范围是A．[0，23] B．[14，23]C ．[0，12]D ．[14，12]7．一个几何体的三视图如下列图，如此该几何体的体积为A ．12－πB ．12－2πC ．6－πD ．4－π8．2sin α＋cos α＝，如此tan2α＝A ．34B ．43C ．－34D ．－439．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，如此不同的分配方案有A ．30种B ．60种C ．90种D ．150种10．正三棱柱ABC －A B C '''的所有顶点都在球O 的球面上，AB ＝3，AA '＝2，如此球O的体积为A ．43πB ．83πC ．323πD ．643π11．f 〔x 〕＝asin2x ＋bcos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，假设f 〔x 〕≤｜f 〔6π〕｜对一切x ∈R 恒成立，且f 〔2π〕＞0，如此f 〔x 〕的单调递增区间是A ．[k π－3π，k π＋6π]〔k ∈Z 〕B ．[k π＋6π，k π＋23π]〔k ∈Z 〕C ．[k π，k π＋2π]〔k ∈Z 〕D ．[k π－2π，k π]〔k ∈Z 〕12．函数f 〔x 〕＝｜x ＋1x ｜－｜x －1x ｜，假设关于x 的方程f 〔x 〕＝2m 有四个不同的实根，如此实数m 的取值范围是A ．〔0，2〕B ．〔2，＋∞〕C ．〔1，＋∞〕D ．〔0，1〕第2卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：此题共4个小题,每一小题5分,共20分．13．曲线y ＝x lnx 在点〔e ，e 〕处的切线方程为_____________．14．F1，F2是椭圆2221x a b 2y ＋＝〔a ＞b ＞0〕的两个焦点，P 为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，如此该椭圆的离心率为___________．15．用min{a ，b}表示a ，b 两个数中的较小的数，设f 〔x 〕＝min{2x x ，那么由函数y ＝f 〔x 〕的图象、x 轴、直线x ＝12和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为_____________．16．在平行四边形ABCD 中，｜AD ｜＝4，∠BAD ＝60°,E 为CD 的中点，假设·BE ＝4，如此｜｜______________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分为12分〕数列{n a }的前n 项和n S ＝2n a －12n ＋＋2〔n 为正整数〕．〔1〕求数列{n a }的通项公式；〔2〕令n b ＝21log a ＋22log 2a ＋…＋2log n a n ，求数列{1n b }的前n 项和n T ．18．〔本小题总分为12分〕如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ＝2AB ．〔1〕证明：PC ⊥AB ；〔2〕求二面角B －PC －D 的余弦值．19．〔本小题总分为12分〕某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规如此如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题完毕，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题完毕，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题完毕，淘汰出局．甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为34，12，13，且各题回答正确与否相互之间没有影响． 〔1〕求甲同学能进入下一轮的概率；〔2〕用X 表示甲同学本轮答题完毕时累计分数，求X 的分布列和数学期望．20．〔本小题总分为12分〕动圆过定点A 〔0，2〕，且在x 轴上截得的弦MN 的长为4．〔1〕求动圆圆心的轨迹C 的方程；〔2〕过点A 〔0，2〕作一条直线与曲线C 交于E ，F 两点，过E ，F 分别作曲线C 的切线，两切线交于P 点，当｜PE ｜·｜PF ｜最小时，求直线EF 的方程．21．〔本小题总分为12分〕函数f 〔x 〕＝1xax －＋lnx ＋1．〔1〕假设函数f 〔x 〕在[1，2]上单调递减，求实数a 的取值范围；〔2〕假设a ＝1，k ∈R 且k ＜1e ，设F 〔x 〕＝f 〔x 〕＋〔k －1〕lnx －1，求函数F 〔x 〕在[1e ，e]上的最大值和最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

上海立信会计学院2014～2015学年第一学期14级《高等数学》（第九章）统测试卷（考试时间90分钟，闭卷） 共 4 页1.已知42),(y x ey x f +=，则 ( )(A))0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 (B))0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在 (C))0,0(x f '存在，)0,0(y f '不存在 (D))0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在 2.设函数dt t y x y x y x u y x yx ⎰+-+-++=)()()(),(ψϕϕ，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 ( )(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂ (B)2222y u x u ∂∂=∂∂ (C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂ (D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ 3.设可微函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零 (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零 (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零 (D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在 4.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数，且0),(≠'y x y ϕ，已知),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点，则下列选项正确的是 ( ) (A)若0),(00='y x f x ，则0),(00='y x f y (B)若0),(00='y x f x ，则0),(00≠'y x f y (C)若0),(00≠'y x f x ，则0),(00='y x f y (D)若0),(00≠'y x f x ，则0),(00≠'y x f y5.若函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的两个一阶偏导数存在，则 ( ) (A)),(y x f 在点0P 处连续 (B)),(0y x f 在0x x =处连续 (C)dy yzdx x z dz P P ⋅∂∂+⋅∂∂=00|| (D)前三个选项都不对 (C)dy y x f dx ⎰⎰110),( (D)dy y x f dx x x ⎰⎰-210),(二、填空题（每小题2分，共10分） 1.=+-→xyxy y x 42lim )0,0(),（ 2.函数),(v u f 由关系式)()),((y g x y y xg f +=确定，其中函数)(y g 可微，且0)(≠y g ，则=∂∂∂vu f2 3.设),(v u f 是二元可微函数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x y f z ,，则=∂∂-∂∂y zy x z x 4.设二元函数)1ln()1(y x ex z y x +++=+，则=)0,1(|dz5. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处梯度Mgradu =三、计算题（每小题7分，共56分）1.设xy e y x z arctan22)(-+=，求dz 与yx z∂∂∂2。