简单的线性规划问题_PPT

y>x06 y=x06
在 A 点的上方取 B(x0, y), 则 y>x06. 在 A 点的下方取 C(x0, y), 则 y<x06.
于是得结论:
o
6 y<x06
B · x 6 A · C ·
0
xy=6
x
对于不等式 y>f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的上方; y<f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的下方.
二元一次方程 AxByC=0 (A、B不同时为0) 在坐 标平面上表示一条直线. 二元一次不等式 AxByC > 0 (或<0) (A、B不同 时为 0 ) 在坐标平面上表示的是一个区域. 是直线 AxByC=0 一旁的区域.
操作题: 在坐标平面上画出直线 xy=6. (1) 对于方程 xy=6, 任意取 3 组解, 在坐标平面 上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (2) 对于不等式 xy>6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (3) 对于不等式 xy<6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? y (1) (0, 6), (1, 5), (2, 4). 在直线 xy=6上. (2) (0, 7), (2, 6), (6, 4). 在直线 xy=6 的右下边. (3) (3, 2), (0, 1), (6, 1). 在直线 xy=6 的左上边.
练习: (课本86页) 第 1、 2 题 .
(补充). 分别画出下列不等式表示的平面区域: (1) xy1<0; (2) 2xy2≤0; (3) x3y; (4) y>0.
练习: (课本86页) 1. 不等式 x2y6>0 表示的区域在直线 x2y6=0 的( B ) (A) 右上方. (B) 右下方. (C) 左上方. (D) 左下方. 解: 取原点(0, 0)检验, 得 x2y6=0206 =6>0, 满足不等式. ∴不等式 x2y6>0 表示的

A. 3
B.
12 5
C . 24
D.
24 5
解 析 ： 因 为 x， y R ， 且 x 2 y 1 ， 所 以 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示 ， 函 数 y x y 4x 2y
2 2

x 2
2

y
1 5.
2
当 x 2 ， y 1 时 ， 即 取 P 2 ,1 时 ， u 的 值 为 最 小 ， 但 是 点 P 2 ,1 不 在 区 域 x 2 y 1 内 ， 所 以 函 数 u x y 4 x 2 y不 在 点 P 取 得 最 小 值 ．
(2)判定不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0) 所表示的平面区域时，只要在直线 Ax+By+C=0的一侧任意取一点(x0,y0),将它的 坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等 式,不等式就表示① 该点所在一侧 的平面区 域；如果不满足不等式，就表示这个点所在 区域的② 另一侧 平面区域.
5
.
解析：作出可行域， x y 1 0 由 ， x 0 得 最 优 解 为 A 1, 2 ， 所以x
2
y 的 最 小 值 为 5.
2
5 .不 等 式 x 1 y 1 2 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 是 8 。
解 析 ：x 1 y 1 2 可 化 为 x 1 0 或 y 1 0 x y 4 0 x 1 0 y 1 0 x y 2 0 x 1 0 y 1 0 . x y 0
2 2
但 是 ， 当 整 体 x 2

普通高中课程标准实验教科书 （人民教育出版社）A版
必修5第三章《不等式》
3.3.2简单的线性规划问题
3.3.2简单的线性规划问题
学习目标： 1.理解线性规划有关概念（约束条件、目规划问题．
位于新疆克拉玛依市的中国石油公司为开 拓市场，深度开发原油，计划生产甲、乙两 种产品．这两种产品都需要两种石油原料， 生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料 1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种 原料2kg.现有A种原料1200kg,B种原料800kg. 生产甲产品每工时的利润是30元，生产乙产 品每工时的平均利润是40元.
z 302 402
最优解所对应 的点就是在可 行域内到直线 距离最大的点.
【问题】表示平面区域内任意一点P（x,y）到直 线30x＋40y＝0的距离d .
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或 最小值的问题，称为线性规划问题．
数形 结合
与直线在y轴上的截 距的联系,平移直线.
与点到直线的距离 的联系，运动点.
设工厂生产优质套装x件，生产精品套装y件，
获得利润为Z，则Z = 2x + 3y，求Z的最大值.
x
0
（4
0
） 尝
…
试
1
解 答
…
1
3
4
4
y
Z=2x+3y
1
3
2
6
…
…
0
2
…
…
2
12
1
11
2
14
y 2 x z ,表 示 k 2 ,b z 的 直 线 .
33
33
（4 ）
平 行 移 动 直 线 y2x. 3

y
5 4
3
2 1
x-4y+3=0
0
1
2
3
4
5
6
7
X
练 习
x - 4y -3 画出不等式组 3x 5y 25 表示的平面区域 . x 1
y
5 4
x=1
3
2 1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
1 2 3 4 5 6 7
0
X
练 习
x - 4y -3 画出不等式组 3x 5y 25 表示的平面区域 . x 1
（3）移
3x+5y-25=0
2 3 4 5 6 7
0
X
x=1
l0
求解线性规划问题的一般步骤
（1）画
C
y
5 4 3 A 2 1 B 1
（2）作
x-4y+3=0
（3）移 （4）求
3x+5y-25=0
2 3 4 5 6 7
0
X
x=1
l0
例 1
设z=3x－10y，式中变量x、y满足下
x - 4y -3 列条件 3x 5y 25 ， 求z的最大值和最小值。 x 1
问 题
设z=2x＋y，式中变量x、y满足下
x - 4y -3 列条件 3x 5y 25 ① 求z的最大值和最小值。 x 1
y
5 4 3 A 2 1 C
x-4y+3=0
B
1 2 3 4 5 6
3x+5y-25=0
7
0
X
x=1
问 题
设z=2x＋y，式中变量x、y满足下

阅读课本88页“第二自然段”认识下列概 念：
1.约束条件、线性约束条件 2.目标函数、线性目标函数 3.线性规划问题 4.可行解、可行域、最优解
变式：
1 2 3
z 3x 2 y 的最大值？ z 2 x 6 y 的最大值？ z 2 x 3y 的最大值？
3.3.2简单的线性规划 问题(一)
引入新课
例： 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所 有的日生产安排是什么？ A 4
16
B 4
若生产一件甲产品获利2万元，生产一 该厂所有的日生产安排是什么？ 件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排 利润最大？
0, 0 0,1 0, 2 0,3 1, 0 1,1 1, 2 1,3 2, 0 2,1 2, 2 2,3 3, 0 3,1 3, 2 设工厂获得的利润为z, 4, 0 4,1 4, 2 则 z=2x+3y
甲产品 乙产品
x y
耗时 1 2
8
12
分析：
甲产品 乙产品
12 8 解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，则
16
x y
A 4
B 4
耗时 1 2
4 x 16 4 y 12 x 2 4 y 3 即 x 2 y 8 x 0 y 0

A B
3 x 5 y 25 0
O
2
4
6
x
讲授新课
例2.求z＝x－y的取值范围， 使式中的x、y满足约束条件：
x 2y 2 0 x 2 0 y 1 0
课堂小结
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
讲授新课
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步：求出目标函数的最大值或最
y
4
x 1
C
x 4y 3 0
2
A B
3 x 5 y 25 0
O
2
4
6
x
讲授新课
以经过点A(5,2)的直线l2所对应的z最大， 以经过点B(1,1)的直线l1所对应的z最小. 所以，zmax=2×5+2=12，zmin=2×1+1=3.
y
l1 4 C
2
x 1
l2
x 4y 3 0
小值.
讲授新课 例题分析
例1.设z＝2x＋y，式中变量x、y满足
x 4 y 3, 下列条件： 3 x 5 y 25, x 1,
..学..科..网.
(1)
求z的最大值和最小值.
讲授新课
x 4 y 3, 3 x 5 y 25, x 1, (1)

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x - y 0 Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3 (1)已知 x y - 1 0 y 1 0
求z=2x+y的最大值和最小值。
x+2y4, （2）在约束条件 x–y 1, 下 x+20 求目标函数z=3x–y的最小值和最大值 zmin=3(–2)–3= –9.
m ax
m in
11
求：
因此当x＝9，y＝8时，zmin＝－3×9＋2×8＝－11. 5 5 当x＝－2，y＝2时，zmax＝－3×(－2)＋2×2＝11.
例2.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9 t，电力4 KW，劳动力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg 要用煤4 t，电力5 KW，劳动力10个．又知制成甲产品1 kg 可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只 有煤360 t，电力200 KW，劳动力300个，在这种条件下应生 产甲、乙两种产品各多少千克获得最大经济效益？ 解：设此工厂应分别生产甲、乙产品x kg、y kg，利润z万元，则依 题意可得约束条件：
y
x=1
C
x-4y=-3
A
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
x－y－2＝0， 3 2 2 71 3 (2)求z＝x ∴t＝ 远．联立 ， ＋y 的最值．∴t＝，2 得C 24， 2 2y－3＝0，

解析：在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，
0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区(包含边界)(图略)，易得当目标函数z1＝2x
－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区
域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最
z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3
，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1
－(－3)＝4，dmax＝ −3 − 5 2
所以z的取值范围为[16，64].
+ 2 − 2 2 ＝8.
y
2．(变问题)若例2中条件不变，将“z＝ ”改为“z＝|x＋y|”，如何
，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科
教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1
名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支
5
持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是_____．
反思感悟
第三节 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
·考向预测·
考情分析：主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范
围、参数的取值(范围)以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔
也会出现斜率型和距离型的目标函数，此部分内容仍是高考的热点，
主要以选择题和填空题的形式出现．
学科素养：通过线性规划在求最值中的应用问题考查直观想象、数
最大值
最小值
最大值
在线性约束条件下求线性目标函数的________或

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产品 生产甲种产品 1工时 生产乙种产品 1工时
原料A数量 原料B数量 (kg) (kg) 3 2 1 2
利润 （元） 30
限额数量
1200
800
40 复习提问 问题导入 例01解析 例02解析 例03解析 课堂小结 布置作业
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快退
快进
解析:设计划生产甲种产品x工时,乙种产品y工时, 3x 2 y 1200 x 2 y 800 则x, y满足线性约束条件 : x 0 y 0
货物 甲 每袋体积 每袋重量 每袋利润 （单位：m3) （单位：百千克） （单位：百元） 复习提问 5 1
20 问题导入 例01解析 乙 4 2.5 10 例02解析 例03解析 问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋（不一定 都是整袋）时，可获得最大利润？ 课堂小结 布置作业
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即 : M 200,300
3x 2 y 1200 x 200 解方程组 x 2 y 800 y 300
zmax 30 200 40 300 18000 答 : 用200工时生产甲种产品用300工时生产 , 复习提问
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解析:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购 买丙种食物 10 x y 千克.x, y满足线性约束条件 : 400 x 600 y 400 10 x y 4400 y 2 2 x y 4 800 x 200 y 400 10 x y 4800 复习提问 x 0, y 0 x y 10 10 x y 0 注意考虑问题的实际意义. x 0 问题导入