江苏省泰州中学附中2016届九年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 苏科版

江苏省泰州中学附中2016届九年级数学下学期第一次月考试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算4﹣2的结果是（）A．﹣8 B．﹣C．﹣D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．（﹣2a3）2=4a6C．a6÷a3=a2D．（a+2b）2=a2+2ab+b23．一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黑球，摸一次，摸到黑球的概率为（）A．B．C．D．14．已知点G为△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BCG的面积为（）A．6 B．4 C．3 D．25．半径为2的⊙O中，弦AB=2，弦AB所对的圆周角的度数为（）A．60° B．60°或120°C．45°或135°D．30°或150°6．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（）A．（2，12） B．（2，0）C．（﹣2，12）D．（﹣2，0）二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．函数y=的自变量x的取值范围为．8．因式分解：64﹣4x2= ．9．“中国好人”张凤芝开办培训学校，据统计她共为近2000人免去学费，省去近120万元费用，120万用科学记数法表示为．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA= ．11．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为．12．一组数﹣1、x、2、2、3、3的众数为3，这组数的方差为．13．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=°．14．关于x的方程﹣2x2+bx+c=0的解为x1、x2（x1＜x2），﹣2x2+bx+c=1的解为x3、x4（x3＜x4），用“＜”连接x1、x2、x3、x4为．15．如图，在半圆中AB为直径，弦AC=CD=6，DE=EB=2，弧CDE的长度为．16．如图，矩形ABCD的顶点AB在x轴上，点D的坐标为（6，8），点E在边BC上，△CDE 沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处，若△ODF为等腰三角形，点E的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17．（1）计算：．（2）化简（a+b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣2a（a﹣3b）．18．化简（﹣4）÷并求值，其中x满足x2﹣2x﹣8=0．19．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？20．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？21．已知不等臂跷跷板AB长为4米，如图1，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α，如图2，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β，已知α=30°，β=37°，求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH（sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）．22．已知等边△ABC内接于⊙O，AD为O的直径交线段BC于点M，DE∥BC，交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为6，求BE的长．23．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanA=，CD⊥AB于点D，DE⊥AC，点F在线段BC上，EF交CD于点M．（1）求CD的长；（2）若△EFC与△ABC相似，试求线段EM的长．24．在平面直角坐标系中，直线y1=x+m与双曲线y2=交于点A、B，已知点A、B的横坐标为2和﹣1．（1）求k的值及直线与x轴的交点坐标；（2）直线y=2x交双曲线y=于点C、D（点C在第一象限）求点C、D的坐标；（3）设直线y=ax+b与双曲线y=（ak≠0）的两个交点的横坐标为x1、x2，直线与 x轴交点的横坐标为x0，结合（1）、（2）中的结果，猜想x1、x2、x0之间的等量关系并证明你的猜想．25．已知直线y=﹣x+2分别交x、y轴于点A、B，点C为线段OA的中点，动点P从坐标原点出发，以2个单位长度/秒的速度向终点A运动，动点Q从点C出发，以个单位长度/秒的速度向终点B运动．过点Q作QM∥AB交x轴于点M，动点P、Q同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点P运动的时间为t秒，PM的长为y个单位长度．（1）∠BCO=°；（2）求y关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）是否存在时间t，使得以PC为直径的⊙D与直线QM相切？若存在，求t的值；不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）、B（2，0），交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点H，直线y=kx（k＞0）交抛物线于点M、N（点M在N的右侧），交抛物线的对称轴于点D．（1）求b和c的值；（2）如图（1），若将抛物线y=x2+bx+c沿y轴方向向上平移个单位，求证：所得新抛物线图象均在直线BC的上方；（3）如图（2），若MN∥BC．①连接CD、BM，判断四边形CDMB是否为平行四边形，说明理由；②以点D为圆心，DH长为半径画圆⊙D，点P、Q分别为抛物线和⊙D上的点，试求线段PQ 长的最小值．2015-2016学年江苏省泰州中学附中九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算4﹣2的结果是（）A．﹣8 B．﹣C．﹣D．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算，即可求出答案．【解答】解：4﹣2==；故选D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．（﹣2a3）2=4a6C．a6÷a3=a2D．（a+2b）2=a2+2ab+b2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，和的平方等于平方和加积的二倍，可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：B．3．一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黑球，摸一次，摸到黑球的概率为（）A．B．C．D．1【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黑球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黑球，∴摸一次，摸到黑球的概率为： =．故选C．4．已知点G为△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BCG的面积为（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】三角形的重心．【分析】根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴AG：GD=2：1，∴S△ABG=2S△BGD，S△CAG=2S△CGD，∴△BGC的面积=×△ABC的面积=4，故选：B．5．半径为2的⊙O中，弦AB=2，弦AB所对的圆周角的度数为（）A．60° B．60°或120°C．45°或135°D．30°或150°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】首先根据题意画出图形，然后作直径BC，则∠A=90°，由半径为2的⊙O中，弦AB=2，即可求得∠C与∠D的度数．【解答】解：如图，作直径BC，则∠A=90°，∵BC=2×2=4，弦AB=2，∴tan∠C==，∴∠C=60°，∴∠D=180°﹣∠C=120°，∴弦AB所对的圆周角的度数为：60°或120°．故选B．6．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（）A．（2，12） B．（2，0）C．（﹣2，12）D．（﹣2，0）【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，得出4+2b+c=0，进一步得出8﹣2b ﹣c=12，把x=2代入y=2x2﹣bx﹣c得y=8﹣2b﹣c=12，即可得到图象必过点．【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，∴4+2b+c=0，∴8﹣2b﹣c=12，把x=2代入y=2x2﹣bx﹣c得y=8﹣2b﹣c=12，∴二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（2，12）．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．函数y=的自变量x的取值范围为x≥﹣1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．8．因式分解：64﹣4x2= 4（4+x）（4﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提去公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：64﹣4x2=4（16﹣x2）=4（4+x）（4﹣x）．故答案为：4（4+x）（4﹣x）．9．“中国好人”张凤芝开办培训学校，据统计她共为近2000人免去学费，省去近120万元费用，120万用科学记数法表示为 1.2×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将120万用科学记数法表示为：1.2×106．故答案为：1.2×106．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，∴sinA=．故答案为：．11．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为12π．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故答案为：12π．12．一组数﹣1、x、2、2、3、3的众数为3，这组数的方差为 2 ．【考点】方差；众数．【分析】根据众数定义得出x=3，根据方差公式即可解决．【解答】解：∵一组数﹣1、x、2、2、3、3的众数为3，∴x=3，∴这组数据的平均数==2，∴方差s2= [（﹣1﹣2）2+（3﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（3﹣2）2]=2，故答案为2．13．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=90 °．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设∠A为x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A为x，则∠B为2x，∠C为3x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，则x+3x=180°，解得，x=45°，∴∠B=2x=90°，∴∠D=90°，故答案为：90．14．关于x的方程﹣2x2+bx+c=0的解为x1、x2（x1＜x2），﹣2x2+bx+c=1的解为x3、x4（x3＜x4），用“＜”连接x1、x2、x3、x4为x1＜x3＜x4＜x2．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】画出抛物线y=﹣2x2+bx+c与抛物线y=﹣2x2+bx+c﹣1的图象，利用图象法即可解决问题．【解答】解：∵于x的方程﹣2x2+bx+c=0的解为x1、x2（x1＜x2），﹣2x2+bx+c=1的解为x3、x4（x3＜x4），∴抛物线y=﹣2x2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0），抛物线y=﹣2x2+bx+c﹣1与x轴交于（x3，0），（x4，0），由图象可知：x1＜x3＜x4＜x2．故答案为x1＜x3＜x4＜x2．png_iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAANkAAACrCAYAAADrVDm8AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsMAAA7DAcdvqGQAAA4HSURBVHhe7Z0/aBRdF4eDWFiIGB EJEkUkgkiKfJAX834EEbGwkMVCJEUKi7wgImIhS/gUsUihkCKFhQspLCzygoWFhbAWFilSpLCwsNgiRYoUFilSpAjcb3+zM+vN5s7fnT9nDr8HxmQmcd1d7zPn3nPPvTtiCCGFQskIKRhKJoTt7W2zt 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ojGaVdMZ+WPZNE3iCgBSVVE/58VIhmKfl0fhI50efhmOemjj4voXbZ6/0bYP4ExGCbQg8+WTr9iOjt9yfC8Q55jVDeSVEX8Tb2wxIeL8AWa8U80FkfjxF3fPu9l66IbKcZi1VZ8hN1setcZxWSRZOvE UiVDA3bthx/2RIM7N46oxuV1M/3fC9qmfQ1/F4/VanfHe9bvuBicnC4Le0x2JLPo30AomCAS3NQDSpUMiYVDS1sin2jHNPuNKuzunpTgsXqPE/cwKKsK/TCKgrAlA/ZNYvA9ItWS5KZuU5pkmDOz6xX jnuj169d70c0Hd/eskvU3vkkoGao/yswsgkHJiB5Kk2yYj5EdZmK6100MrEomGeb5sKA06lNh8oaS6aU0ybIuIQmiW1bJ7OhoH3FRER9CiKMsKJleSpMMZUuZt+H2x27D79ibLJKBoHtbVgKEkumlNM kw/5R0/Y2LoWoZ+ySXDGDPyKJ3Ng6gZHopRbLgM5qHAWOrsiXDureozzfLE0h2YdTdtR3+dZMqKUUyVLen2QbbBcZWSeXIi2ALhWEicFIYyfRSimSoundV3kfRK4T9czcvW7AAZETLWMBJyfRSimSIY kWuhC4SrBiYnJz0z4qDkumlFMkwHgv7pEvpILuI51/0zlqUTC+FS4bxDMY1dQbzZXGfPDMslEwvhUuGubGy98vIG8yZYR1c1KfTDAsl00vhkqHKA9UedQdzZkUWDVMyvZQyJtNA0SukKZleKJkQKJle KJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQIBm3H9AJJRMCI5leKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJk QKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJleKJkQKJlWjPk/71Ww8QQBQGgAAAAASUVORK5CYILoj4HkvJjnvZE=15．如图，在半圆中AB为直径，弦AC=CD=6，DE=EB=2，弧CDE的长度为．【考点】弧长的计算；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质．【分析】过点E作EH⊥CD于H，连接OC、OE、AE，如图所示．根据弧、弦和圆周角的关系可得∠COE=90°，根据圆周角定理可得∠CAE=45°，再根据圆内接四边形对角互补及同角的补角相等可得∠HDE=45°，然后运用勾股定理可依次求出CE，CO，然后运用圆弧长公式就可解决问题．【解答】解：过点E作EH⊥CD于H，连接OC、OE、AE，如图所示．∵AC=CD，DE=EB，∴，，∴∠COE=∠AOB=90°，∴∠CAE=45°．∵∠CDE+∠CAE=180°，∠CDE+∠HDE=180°，∴∠HDE=∠CAE=45°．在Rt△DHE中，HE=DE•sin∠HDE=2×=，DH=DE•cos∠HDE=2×=．在Rt△CHE中，CE===10．在Rt△COE中，CO=CE=5，∴弧CDE的长度为=．故答案为．16．如图，矩形ABCD的顶点AB在x轴上，点D的坐标为（6，8），点E在边BC上，△CDE 沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处，若△ODF为等腰三角形，点E的坐标为（16，3）或（4+6，2﹣2）或（，）．【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．【分析】先依据勾股定理求得OD=10，①当OD=DF时，由勾股定理可求得AF=6，故此可求得OF=12，由翻折的性质可知DC=10，从而得到点E的横坐标为16，FB=4，最后在Rt△EFB中，依据勾股定理列方程求解即可；②当OD=OF时．先求得AF=4，由勾股定理可求得DF=4，从而得到点E的横坐标为6+4，FB=4﹣4，最后在Rt△EFB中，依据勾股定理列方程求解即可；③当OF=DF时，设点F的坐标为（b，0），依据两点间的距离公式列出关于b的方程可求得b=．即OF=，从而得到AF=，依据勾股定理可求得DF=，从而得到点E的横坐标为，BF=6，最后在Rt△EFB中，依据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：∵点D的坐标为（6，8），∴OD=10．①当OD=DF=10时．∵DF=10，AD=8，∴AF=6．∴OF=12．由翻折的性质可知：DC=DF=10，FE=CE，∴点E的横坐标为16．∴FB=4．设点E的纵坐标为a，则FE=8﹣a．在Rt△EFB中，FB2+BE2=FE2，即42+a2=（8﹣a）2，解得a=3．∴点E的坐标为（16，3）．②当OD=OF时．∵OF=10，0A=6，∴AF=4．∵在Rt△DAF中，DF==4．∴点E的横坐标为6+4．∴FB=4﹣4．设点E的纵坐标为a，则FE=8﹣a．在Rt△EFB中，FB2+BE2=FE2，即（4﹣4）2+a2=（8﹣a）2，解得a=2﹣2．∴点E的坐标为（4+6，2﹣2）．③当OF=DF时，设点F的坐标为（b，0），则82+（b﹣6）2=b2．解得：b=．即OF=．∵OA=6，OF=，∴AF=．∴DF==．由翻折的性质可知：DC=DF，则点E的横坐标为+6=．在Rt△EFB中，FB2+BE2=FE2，即（﹣）2+a2=（8﹣a）2，解得a=．∴点E的坐标为（，）．综上所述，点E的坐标为（16，3）或（4+6，2﹣2）或（，）．故答案为：（16，3）或（4+6，2﹣2）或（，）．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17．（1）计算：．（2）化简（a+b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）﹣2a（a﹣3b）．【考点】实数的运算；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：原式=﹣3﹣1﹣2+2=﹣6+2；（2）原式=a2+2ab+b2﹣a2+4b2﹣2a2+6ab=﹣2a2+6ab+5b2．18．化简（﹣4）÷并求值，其中x满足x2﹣2x﹣8=0．【考点】分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=x﹣2，由x2﹣2x﹣8=0，即（x﹣4）（x+2）=0，得到x=4或x=﹣2（舍去），则x=4时，原式=4﹣2=2．19．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据认为无所谓的家长是80人，占20%，据此即可求得总人数；（2）利用360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数6500乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）这次调查的家长人数为80÷20%=400人，反对人数是：400﹣40﹣80=280人，；（2）360°×=36°；（3）反对中学生带手机的大约有6500×=4550（名）．20．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？【考点】列表法与树状图法；游戏公平性．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图可求得甲胜的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：根据题意画图如下：则所有取牌的可能性共有9种；（2）∵两次抽得相同花色的有5种情况，∴A方案：P（甲胜）=，∵两次抽得数字和为奇数的有4种情况，∴B方案：P（甲胜）=，则选择A方案．21．已知不等臂跷跷板AB长为4米，如图1，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α，如图2，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β，已知α=30°，β=37°，求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH（sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）．【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据三角函数的知识分别用OH表示出AO，BO的长，再根据不等臂跷跷板AB长4米，即可列出方程求解即可．【解答】解：根据题意得：AO=OH÷sinα，BO=OH÷sinβ，AO+BO=OH÷sinα+OH÷sinβ，即OH÷sinα+OH÷sinβ=4，则OH====（米）．即故跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是米．22．已知等边△ABC内接于⊙O，AD为O的直径交线段BC于点M，DE∥BC，交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为6，求BE的长．【考点】切线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质得出O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，得出∠BAM=∠CAM=30°，因此∠AMB=90°，由平行线的性质得出∠EDA=90°，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出BM=AB=3，连接OB，则∠OBM=30°，得出OM=OB，由勾股定理求出OB，由平行线的性质得出=，求出AE，即可得出BE的长．【解答】（1）证明：∵等边△ABC内接于⊙O，∴∠ABC=60°，O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，∴∠BAM=∠CAM=30°，∴∠AMB=90°，∵DE∥BC，∴∠EDA=∠AMB=90°，∵AD为⊙O的直径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴BM=AB=3，连接OB，如图所示：则∠OBM=30°，∴OM=OB，由勾股定理得：OB2﹣OM2=BM2，即OB2﹣（OB）2=32，解得：OB=2，∴OM=，AM=3，AD=4，∵DE∥BC，∴=，即=，解得：AE=8，∴BE=AE﹣AB=8﹣6=2．23．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanA=，CD⊥AB于点D，DE⊥AC，点F在线段BC上，EF交CD于点M．（1）求CD的长；（2）若△EFC与△ABC相似，试求线段EM的长．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）由已知条件易求BC、AB的长，再根据△ACB的面积为定值即可求出CD的长，（2）若△EFC与△ABC相似，则CE可以和BC为对应边，也可以和AC为对应边，所以此题要分两种情况讨论求出CF的长，再由△DEM∽△CFM即可求出不同情况下EM的长．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，tanA=，∴BC=4，∴AB==5，∵CD⊥AB于点D，∴AC•BC=AB•CD，∴CD=2.4；（2）∵CD⊥AB于点D，tanA=，AC=3，∴AD=，∵DE⊥AC，tanA=，∴AE=，DE=，∴CE=3﹣=，若△EFC与△ABC相似，则或，解得：CF=或，EF=或，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴△DEM∽△CFM，∴，∴EM=或．24．在平面直角坐标系中，直线y1=x+m与双曲线y2=交于点A、B，已知点A、B的横坐标为2和﹣1．（1）求k的值及直线与x轴的交点坐标；（2）直线y=2x交双曲线y=于点C、D（点C在第一象限）求点C、D的坐标；（3）设直线y=ax+b与双曲线y=（ak≠0）的两个交点的横坐标为x1、x2，直线与 x轴交点的横坐标为x0，结合（1）、（2）中的结果，猜想x1、x2、x0之间的等量关系并证明你的猜想．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决．（2）解方程组即可解得C 、D 坐标．（3）结论：x 1+x 2=x 0，由消去y 得：ax 2+bx ﹣k=0，所以x 1+x 2=﹣，又直线y=ax+b与x 轴的交点为（﹣，0），所以x 0=﹣，所以x 1+x 2=x 0．【解答】解：（1）由题意：解得，∴y 1=x ﹣1，y 2=，∴k=2，直线y 1=x ﹣1与x 轴的交点为（1，0）．（2）由解得，所以点C （1，2），D （﹣1，﹣2）． （3）结论：x 1+x 2=x 0，理由：由消去y 得：ax 2+bx ﹣k=0，∵直线y=ax+b 与双曲线y=（ak≠0）的两个交点的横坐标为x 1、x 2， ∴x 1+x 2=﹣，直线y=ax+b 与x 轴的交点为（﹣，0）， ∴x 0=﹣， ∴x 1+x 2=x 0．25．已知直线y=﹣x+2分别交x 、y 轴于点A 、B ，点C 为线段OA 的中点，动点P 从坐标原点出发，以2个单位长度/秒的速度向终点A 运动，动点Q 从点C 出发，以个单位长度/秒的速度向终点B运动．过点Q作QM∥AB交x轴于点M，动点P、Q同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点P运动的时间为t秒，PM的长为y个单位长度．（1）∠BCO=45°°；（2）求y关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）是否存在时间t，使得以PC为直径的⊙D与直线QM相切？若存在，求t的值；不存在，说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）先分别求得点A和点B的坐标，从而得到点C的坐标，从而得到OB=OC，于是可求得∠BC O的度数；（2）先由相似三角形的性质得到CM的长，然后依据PM=CO+CM﹣OP可求得y与t的函数关系式；（3）当点P在点C的左边时，可求得DM=1，由tan∠NMD=，可求得DN=，然后可求得DC=1﹣t，从而可求得t的值；当点P在点C的右侧时，可求得DC=t﹣1，DN=，从而可求得t的值．【解答】解：（1）∵令y=0得﹣x+2=0，解得：x=4，∴A（0，4）．∴OA=4．∵点C为线段OA的中点，∴OC=2．∵令x=0得：y=2，∴B（0，2）．∴OB=2．∴OB=OC．又∵∠BOC=90°，∴∠BCO=45°．故答案为：45．（2）如图1所示：∵OB=CO=2，∠BOC=90°，∴BC=OB=2．∵OA=4，OC=2，∴AC=2．设点P和点Q的运动时间为t，则OP=2t，QP=t．∵QM∥AB，∴，即，解得CM=t．∴PM=CO+CM﹣OP=2+t﹣2t=2﹣t（0≤t≤2）．∴y与t的函数关系是为y=2﹣t（0≤t≤2）．（3）如图2所示：设N为切线，连接DN．∵OP=2t，OC=2，∴PC=2﹣2t．∴PD=DC=1﹣t．∴DM=PM﹣PD=2﹣t﹣（1﹣t）=1．∵MQ是圆D的切线，∴DN⊥QM．∵OB=2，OA=4，∴tan∠BAO=．∵QM∥AB，∴tan∠NMP=．∴DN=DM=．∴1﹣t=，解得：t=1．如图3所示：设N 为切线，连接DN ．∵OP=2t，OC=2， ∴PC=2t﹣2． ∴DC=DP=t﹣1． ∴DM=t﹣1+2﹣t=1．∴DN=．∴t﹣1=，解得：t=1+．综上所述，当t=1﹣或t=1+时，以PC 为直径的⊙D 与直线QM 相切．26．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 交x 轴于点A （﹣1，0）、B （2，0），交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点H ，直线y=kx （k ＞0）交抛物线于点M 、N （点M 在N 的右侧），交抛物线的对称轴于点D ． （1）求b 和c 的值；（2）如图（1），若将抛物线y=x 2+bx+c 沿y 轴方向向上平移个单位，求证：所得新抛物线图象均在直线BC 的上方； （3）如图（2），若MN∥BC．①连接CD 、BM ，判断四边形CDMB 是否为平行四边形，说明理由；②以点D 为圆心，DH 长为半径画圆⊙D，点P 、Q 分别为抛物线和⊙D 上的点，试求线段PQ 长的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A、B两点代入转化为方程组，即可解决问题．（2）由消去y得到x2﹣2x+=0用判别式解决．（3）根据两点间距离公式，利用配方法转化为二次函数最值问题即可解决．【解答】解：（1）由题意，解得，所以b=﹣1，c=﹣2．（2）∵抛物线为y=（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2，沿y轴方向向上平移个单位，∴新抛物线为y=x2﹣x﹣，设直线BC为y=kx+b，由题意得，解得，所以直线BC为y=x﹣2，由消去y得到x2﹣2x+=0，∵△=4﹣5=﹣1＜0，∴方程组无解，抛物线与直线BC没有交点．（3）①∵MN∥BC，∴k=1，OM＞OB，∴MN≠BC，∴四边形CDMB不是平行四边形．②设点P（m，m2﹣m﹣2），∵点D坐标为（，），∴PD2=（m﹣）2+（m2﹣m﹣）2=（m﹣）2+[（m﹣）2﹣]2=（m﹣）4﹣（m﹣）2+=[（m﹣）2﹣]2+，∴PD2的最小值=，∴PD的最小值=，∵DQ=，∴线段PQ的最小值=．。