RLS递归最小二乘

RLS 算法的改进方法李天舒摘要：递归最小二乘（RLS ）算法已被广泛应用于自适应鉴定，预测，过滤等诸多领域。

本文提出在标准递推公式中增加一个二阶微分项，创造一个新的方法提高系统的跟踪能力。

测试结果表明，这样可以大大提高RLS 算法的收敛能力。

关键词：自适应模型算法，RLS ，跟踪能力；1 引言自适应模型算法已成功适用于各个领域，如通信，雷达，声纳和生物医学工程，这是因为他们可以跟踪随时间变化的系统统计参数，以及在未知环境中很好的工作。

自适应模型算法大致可以分为三类：1基于维纳滤波理论的算法，均方（LMS ）算法。

2基于卡尔曼滤波理论的算法。

3 递归最小二乘算法（RLS ）。

其中，RLS 算法优于其他二种算法，并应用于许多领域。

它具有很好最佳线性无偏估计当测量噪声是零均值白噪声时。

他们也可以迅速收敛到最优解。

多种形式的RLS 算法已经被提出，例如 Park 和Jun[5]的具有快速跟踪能力的自扰动RlS 算法，Jiang 和Cook 的具有高抗干扰能力的快速跟踪参数的RlS 算法，基于卡尔曼滤波，Eom 和Park 的RLS 算法具有快速跟踪能力和抗噪声干扰能力 [7]。

通过在标准递推公式增加一个中二阶微分项，本文中提出一种新的提高跟踪能力的方法。

测试表明新的方法能极大的提高RLS 算法的收敛能力。

2 标准的RLS 算法设模型的输入，估计输出和期望输出在时间t 时刻分别为x(t)，ˆ()y t 和y(t)。

所以y(t)通过下面的式子给出：()()()()T y t t x t n t ϕ=+ （1） 其中12()[(),(),......()]T N x t x t x t x t =，N 是模型的系列，n(t)是零均值方差为2σ的白噪声，12()[(),(),......()]T N t t t t ϕϕϕϕ=是模型的期望参数向量。

标准RLS 算法可以表述为：ˆˆ()()()()()()T e t y t yt y t t x t ϕ=-=- （2）11(1)()()1()(1)()T P t x t k t x t P t x t λλ---=+- （3）11()(1)()()(1)T P t P t k t x t P t λλ--=--- （4）ˆˆ()(1)()()t t k t e t ϕϕ=-+ （5） 其中e(t)为误差，12ˆˆˆˆ()[(),(),......()]T N t t t t ϕϕϕϕ=是在t 时刻估计参数向量，12()[(),(),......()]T N k t k t k t k t =是卡尔曼增益向量，P （t ）是方差矩阵的逆，它的初始值是1(0)P I δ-=（δ很小的正数），01λ<<是遗忘因子。

递推最小二乘法中数据饱和现象的一种消除方法递推最小二乘法(RecursiveLeastSquares,RLS)是一种广泛用于许多优化技术和控制问题的流行算法。

它能够根据可用数据迭代计算一组估计值，以期得到一个尽可能准确的结果。

但是，RLS过程中，随着数据量的增加，计算出的估计值就会出现饱和，并影响数据准确性。

为了解决这个问题，本文提出了一种用于消除RLS数据饱和现象的新技术，可以有效地消除数据饱和，提高数据准确性。

首先，让我们仔细研究RLS中的数据饱和现象以及其产生的原因。

RLS是一种基于一组历史数据的机器学习算法，它根据现有的数据，进行实时的更新估计值。

但是，随着数据量的增加，由于历史数据的限制，即使用最小二乘法拟合出的回归参数当前面对的观测值也不一定能得到准确估计，它们会呈现出饱和状态，受到数据量所限，无法进行更新。

为了解决RLS数据饱和现象，本文提出了一种可有效消除数据饱和的新技术，即“前景视野”算法。

该算法的核心思想是通过引入步长平稳性的约束条件，利用历史数据，分析当前观测值，构建一组新的估计值，以防止出现饱和现象。

首先，使用最小二乘法计算出历史数据的估计值，该估计值被用作下一步计算的一定步长更新值；然后，在每一次更新时，通过引入步长平稳性的约束条件，即参数更新步长尽可能小，计算出一组新的估计值，以消除数据的饱和现象；最后，将这些新的估计值作为模型的参数，使用RLS方法进行参数更新，以期更准确地拟合数据。

为了证明“前景视野”算法在消除数据饱和方面的有效性，本文采用了一组真实的数据，并进行了实验与比较。

本文在一组真实的实验数据上，使用RLS算法迭代计算，比较两种算法的计算结果。

结果表明，使用历史数据引入步长约束的“前景视野”算法，能够有效地消除RLS的数据饱和现象，提高数据准确度；而普通的RLS算法，由于历史数据的限制，会出现数据饱和问题，使得计算结果准确度降低。

综上所述，本文提出了一种基于历史数据引入步长平稳性约束的新技术，可以有效地消除RLS数据饱和现象，提高数据准确度，比普通RLS算法更有效，并拥有良好的实验结果。

自适应滤波的方法
自适应滤波是一种对信号进行滤波的方法，其可以根据观测到的信号实时调整滤波器参数，以提高滤波效果。

常用的自适应滤波方法包括：
1. 最小均方（LMS）自适应滤波器：该方法依据最小均方误差准则进行滤波，在每一时刻根据观测信号对滤波器系数进行更新。

2. 递归最小二乘（RLS）自适应滤波器：该滤波器通过在线解最小二乘问题，实现对噪声的最优抑制。

3. Kalman滤波器：该滤波器是一种最优化滤波器，它最小化误差的平方和，同时考虑信号的先验知识。

由于需要计算协方差矩阵和卡尔曼增益，计算量较大。

4. 无参数自适应滤波器：这种方法不依赖于任何先验的信号统计信息，仅根据观测信号本身对滤波器系数进行估计，常见的方法包括快速自适应滤波器（FNLMS）和非线性自适应滤波器（NLA）。

这些方法比起传统滤波，具有更好的适应性和鲁棒性，并且可以用于实时处理信号。

RLS 算法的改进方法李天舒摘要：递归最小二乘（RLS ）算法已被广泛应用于自适应鉴定，预测，过滤等诸多领域。

本文提出在标准递推公式中增加一个二阶微分项，创造一个新的方法提高系统的跟踪能力。

测试结果表明，这样可以大大提高RLS 算法的收敛能力。

关键词：自适应模型算法，RLS ，跟踪能力；1 引言自适应模型算法已成功适用于各个领域，如通信，雷达，声纳和生物医学工程，这是因为他们可以跟踪随时间变化的系统统计参数，以及在未知环境中很好的工作。

自适应模型算法大致可以分为三类：1基于维纳滤波理论的算法，均方（LMS ）算法。

2基于卡尔曼滤波理论的算法。

3 递归最小二乘算法（RLS ）。

其中，RLS 算法优于其他二种算法，并应用于许多领域。

它具有很好最佳线性无偏估计当测量噪声是零均值白噪声时。

他们也可以迅速收敛到最优解。

多种形式的RLS 算法已经被提出，例如 Park 和Jun[5]的具有快速跟踪能力的自扰动RlS 算法，Jiang 和Cook 的具有高抗干扰能力的快速跟踪参数的RlS 算法，基于卡尔曼滤波，Eom 和Park 的RLS 算法具有快速跟踪能力和抗噪声干扰能力[7]。

通过在标准递推公式增加一个中二阶微分项，本文中提出一种新的提高跟踪能力的方法。

测试表明新的方法能极大的提高RLS 算法的收敛能力。

2 标准的RLS 算法设模型的输入，估计输出和期望输出在时间t 时刻分别为x(t)，ˆ()y t 和y(t)。

所以y(t)通过下面的式子给出：()()()()T y t t x t n t ϕ=+ （1） 其中12()[(),(),......()]T N x t x t x t x t =，N 是模型的系列，n(t)是零均值方差为2σ的白噪声，12()[(),(),......()]T N t t t t ϕϕϕϕ=是模型的期望参数向量。

标准RLS 算法可以表述为：ˆˆ()()()()()()T e t y t yt y t t x t ϕ=-=- （2）11(1)()()1()(1)()TP t x t k t x t P t x t λλ---=+- （3） 11()(1)()()(1)T P t P t k t x t P t λλ--=--- （4）ˆˆ()(1)()()t t k t e t ϕϕ=-+ （5） 其中e(t)为误差，12ˆˆˆˆ()[(),(),......()]T N t t t t ϕϕϕϕ=是在t 时刻估计参数向量，12()[(),(),......()]T N k t k t k t k t =是卡尔曼增益向量，P （t ）是方差矩阵的逆，它的初始值是1(0)P I δ-=（δ很小的正数），01λ<<是遗忘因子。

目录自适应均衡算法--RLS法的仿真分析研究 (2)一、背景知识 (2)1.1、自适应均衡原理 (2)1.2、RLS算法的背景资料 (3)二、自适应均衡算法--RLS算法设计及分析 (3)2.1、RLS算法的基本原理： (3)2.2、自适应均衡算法--RLS算法设计及流程 (6)2.3 自适应均衡算法—RLS算法结果分析 (8)三、小结 (10)3.1项目分工 (10)3.2个人心得 (10)自适应均衡算法--RLS法的仿真分析研究一、背景知识1.1、自适应均衡原理由于多径衰落引起的时延扩展造成了高速数据传输时码元之间的干扰。

采用增加平均信号电平的方法也无法降低时延扩展引起的误码率，只有采用自适应均衡技术，才是根本的解决办法。

均衡有两个基本途径：一是频域均衡，它使包含均衡器在内的整个系统的总传输特性满足无失真传输的条件。

它往往是分别校正幅频特性和群时延特性，通常，线路均衡便采用频域均衡法。

二是时域均衡，就是直接从时间响应考虑，使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间串扰的条件。

目前广泛利用横向滤波器作时域均衡器，它可根据信道特性的变化而进行调整。

时域均衡器可以分两大类：线性均衡器和非线性均衡器。

如果接收机中判决的结果经过反馈用于均衡器的参数调整，则为非线性均衡器；反之，则为线性均衡器。

在线性均衡器中，最常用的均衡器结构是线性横向均衡器，它由若干个抽头延迟线组成，延时时间间隔等于码元间隔。

非线性均衡器的种类较多，包括判决反馈均衡器(DFE)、最大似然(ML)符号检测器和最大似然序列估计等。

均衡器的结构可分为横向和格型等。

均衡器的收敛时间受均衡算法、均衡器结构和信道特性的变化情况所决定。

通常，均衡器需要通过重复性地周期训练保证能够一直有效地抑制码间干扰。

所以，用户数据序列需要被分割成数据分组或时隙分段发送。

均衡器通常工作在接收机的基带或中频信号部分，基带信号的复包络含有信道带宽信号的全部信息，所以，均衡器通常在基带信号完成估计信道冲激响应和解调输出信号中实现自适应算法等在移动通信领域中，码间干扰始终是影响通信质量的主要因素之一。

实验二 递推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨识(F-Test ）1 实验方案设计1.1 生成输入数据和噪声用M 序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声。

生成白噪声时，首先利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数，再利用U[0,1]均匀分布的随机数生成标准正态分布的白噪声。

1.2 过程仿真辨识模型的形式取)()()()()(11k e k u z B k z z A +=--，为方便起见，取n n n b a == 即nn n n zb a b z b z B z a a a z a z A ------++++=++++=...1)(...1)(22112211用M 序列作为辨识的输入信号。

1.3 递推遗忘因子法数据长度L 取534，初值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000010000100001)0(001.0)0(P θ 1.4 计算损失函数、噪声标准差损失函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=μθμττ)()1()()]1(ˆ)()([)1()(2k h k P k h k k h k z k J k J噪声标准差θλdim )(ˆ-=L L J1.6 F-Test 定阶法计算模型阶次统计量t)22,2(~222)1()1()()1,(----++-=+n L F n L n J n J n J n n t其中，)(∙J 为相应阶次下的损失函数值，L 为所用的数据长度，n 为模型的估计阶次。

若a t n n t >+)1,(，拒绝00:n n H >，若a t n n t <+)1,(，接受00:n n H >，其中αt 为风险水平α下的阀值。

这时模型的阶次估计值可取1+n 。

1.6 计算噪信比和性能指标噪信比22ye σση= 参数估计平方相对偏差i i i ni i i θθθθθδˆ~,~1221-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑= 参数估计平方根偏差ii i n i ini iθθθθθδˆ~,)()~(2122122-==∑∑== 2 编程说明M 序列中，M 序列循环周期取15124=-=p N ，时钟节拍t ∆=1Sec ，幅度1=a ，特征多项式为1)(56⊕⊕=s s s F 。

无模型自适应控制算法无模型自适应控制算法是一种控制方法，可用于系统动态模型未知或难以确定的情况。

这种算法通过利用系统的输入和输出数据来在线估计并调整控制器的参数，以适应系统的变化。

本文将介绍无模型自适应控制算法的原理、应用和优缺点。

无模型自适应控制算法的基本原理是利用递归最小二乘法（RLS）来在线估计系统的动态特性。

控制器的参数根据估计的系统动态特性不断调整，以实现对系统的精确控制。

无模型自适应控制算法主要由以下几个部分组成：参数估计器，控制器，信号发生器和目标模型。

首先，参数估计器使用递归最小二乘法（RLS）来估计系统的动态特性。

其基本思想是通过对系统输入和输出数据的观测和分析，逐步找到最佳参数，以逼近真实的系统特性。

参数估计器会不断更新参数的估计值，以最小化估计误差。

然后，控制器利用参数估计器提供的系统特性信息来生成控制信号。

控制器的目标是使系统的输出尽可能接近期望值。

控制器可以根据实际情况调整自身的参数，以实现更好的控制效果。

信号发生器用于生成系统的输入信号。

输入信号的选择对于控制系统的性能和鲁棒性至关重要。

通常，输入信号具有一定的随机性，以保证系统的正常运行并提供足够的信息来估计系统的特性。

目标模型是控制系统的期望输出模型。

通过比较实际输出和目标模型的差异，控制器可以调整自身的参数，以使实际输出更接近期望输出。

目标模型通常可以根据系统的要求和性能指标进行选择。

无模型自适应控制算法可以应用于许多领域，如机器人控制、过程控制和自动驾驶等。

它在系统具有不确定性和非线性特性时尤其有用。

通过在线估计系统的动态特性和自适应调整控制器的参数，无模型自适应控制算法能够更好地适应系统的变化和不确定性，提高系统的控制性能和鲁棒性。

与传统的模型基准自适应控制算法相比，无模型自适应控制算法具有以下几个优点：1.不需要准确的系统模型：传统的自适应控制算法需要系统的准确模型，而无模型自适应控制算法可以在不知道系统模型的情况下进行控制。

4 递归最小二乘自适应算法及仿真4.1 引言最小二乘(RLS)法是一种典型的有效的数据处理方法。

由著名学者高斯在1795年提出，他认为，根据所获得的观测数据来推断未知参数时，未知参数最可能的值是这样一个数据，即它使各项实际观测值和计算值之间的差的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小。

这就是著名的最小二乘法。

前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。

自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。

这个准则根据输入数据的长期统计特性寻求最佳滤波。

然而，我们通常己知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特性进行估计或近似。

LMS 算法、格形梯度算法都是这样。

而最小二乘算法就是能直接根据一组数据寻求最佳解。

换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。

对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器;而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器。

因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。

递推最小二乘法(R 璐)是最小二乘法的一类快速算法。

4.2 递推最小二乘（RLS ）算法递推最小二乘(RLS)算法是一种在自适应迭代的每一步都要求最优的迭代算法，滤波器输出信号法，滤波器输出信号()y n 等于输入信号()x n 与冲激响应序列()i w n 的卷积和，即()()()11Mk k y n w n x n k ==*-+∑ K 1,2,...,n N = (4.1)误差信号()()()e n d n y n =-。

由此可以得到自适应横向滤波器按最小均方准则设 计的代价函数()()()()2211N N i i J n e n d i y i ====-⎡⎤⎣⎦∑∑ （4.2） 式中()d i 与()y i 分别为自适应滤波器的期望相应于输出信号。

()e i 为误差信号。

递归最小二乘正则化
递归最小二乘正则化是一种正则化方法，常用于机器学习和数据分析中。

它通过在最小二乘法的基础上，对回归系数进行正则化处理，以提高模型的泛化能力和鲁棒性。

递归最小二乘正则化的基本思想是，在每次迭代中，通过最小化损失函数来估计回归系数。

在这个过程中，正则化项被添加到损失函数中，以限制回归系数的大小，从而避免过度拟合。

具体来说，递归最小二乘正则化可以采用不同的正则化项，如L1正则化和L2正则化。

这些正则化项可以通过不同的方式限制回归系数的大小，从而提高模型的鲁棒性和泛化能力。

递归最小二乘正则化是一种简单有效的正则化方法，它可以在不影响模型精度的情况下，提高模型的鲁棒性和泛化能力。

在实际应用中，递归最小二乘正则化被广泛用于机器学习和数据分析中，尤其是在处理高维数据和噪声数据时。

论文第三章LMS和RLS自适应滤波器的仿真实现与比较自适应滤波器是一种能够根据输入信号的特性自动调整其滤波器性能的滤波器。

LMS（最小均方）和RLS（递归最小二乘）是两种常用的自适应滤波器算法。

本文将对这两种算法进行仿真实现，并对其性能进行比较。

首先，我们实现了LMS自适应滤波器的仿真。

LMS自适应滤波器通过不断调整滤波器系数来最小化预测误差的均方误差。

在仿真中，我们生成了一个包含噪声的信号作为输入信号，并设置了一个期望的滤波器响应。

然后，我们使用LMS算法来自适应调整滤波器的系数，使其逼近期望的响应。

最后，我们比较了实际和期望的滤波器响应，并计算了均方误差。

接下来，我们实现了RLS自适应滤波器的仿真。

RLS自适应滤波器使用递归最小二乘算法来调整滤波器的系数。

在仿真中，我们同样生成了一个包含噪声的输入信号，并设置一个期望的滤波器响应。

然后，我们使用RLS算法来递归地更新滤波器的系数，使其逼近期望的响应。

最后，我们比较了实际和期望的滤波器响应，并计算了均方误差。

在比较LMS和RLS自适应滤波器的性能时，我们主要关注以下几个方面：收敛速度、稳定性和计算复杂度。

收敛速度是指自适应滤波器达到期望的响应所需要的时间。

稳定性是指自适应滤波器在逼近期望的响应时是否会出现不稳定的情况。

计算复杂度是指实现自适应滤波器算法所需要的计算量。

根据我们的仿真结果，我们可以得出以下结论：LMS自适应滤波器的收敛速度较快，但在达到期望的响应后可能会出现振荡的情况，所以在实际应用中需要设置合适的步长参数来平衡收敛速度和稳定性。

RLS自适应滤波器的收敛速度较慢，但在达到期望的响应后相对稳定，不容易出现振荡的情况。

然而，RLS算法的计算复杂度较高，需要大量的计算资源。

总的来说，LMS和RLS自适应滤波器都有各自的优势和劣势。

在实际应用中，我们需要根据具体的需求来选择合适的自适应滤波器算法。

如果追求较快的收敛速度和较低的计算复杂度，可以选择LMS算法；如果追求较稳定的滤波器性能并且有充足的计算资源，可以选择RLS算法。

最小二乘RLS 、最小均方LMS、最小二乘格型LSL 三种算法mtlab代码clear allclcclose alla1=1.558;a2=-0.81;N=2000;%迭代次数M=100;%仿真次数de=1;sum1=zeros(1,N);sum2=zeros(1,N);sum3=zeros(1,N);%% lslfor k=1:Mv=randn(1,N);x(1)=v(1);x(2)=a1*x(1)+v(2);for n=3:Nx(n)=v(n)+a1*x(n-1)+a2*x(n-2);endeb=zeros(3,N);ef=zeros(3,N);D=zeros(3,N);r=zeros(3,N);Ef=zeros(3,N);Eb=zeros(3,N);Ef(:,1)=de;Eb(:,1)=de;r(:,1)=1;kf=zeros(3,N);kb=zeros(3,N);eb(1,:)=x;ef(1,:)=x;r(1,:)=1;for n=2:NEb(1,n)=Ef(1,n-1)+x(n).^2;Ef(1,n)=Eb(1,n);for m=1:2D(m+1,n)=D(m+1,n-1)+(eb(m,n-1)*ef(m,n))/r(m,n-1);ef(m+1,n)=ef(m,n)-(D(m+1,n)*eb(m,n-1))/Eb(m,n-1);eb(m+1,n)=eb(m,n-1)-(D(m+1,n)*ef(m,n))/Ef(m,n);Ef(m+1,n)=Ef(m,n)-(D(m+1,n)).^2/Eb(m,n-1);Eb(m+1,n)=Eb(m,n-1)-(D(m+1,n)).^2/Ef(m,n);r(m+1,n-1)=r(m,n-1)-(eb(m,n-1)).^2/Eb(m,n-1);kb(m+1,n)=D(m+1,n)/Eb(m,n-1);kf(m+1,n)=D(m+1,n)/Ef(m,n);endw1(n)=kb(2,n)-kf(2,n)*kb(3,n);w2(n)=kb(3,n);ee(n)=eb(3,n)^2+ef(3,n)^2;endsum1=sum1+w1;sum2=sum2+w2;sum3=sum3+ee;end%%mw1=sum1/M;mw2=sum2/M;ms=sum3/M;mse2=20*log10(ms/max(ms));%% lmsDe=10000;lw1=zeros(1,N);lw2=zeros(1,N);c11=zeros(1,N);c12=zeros(1,N);c21=zeros(1,N);c22=zeros(1,N);g1=zeros(1,N);g2=zeros(1,N);la=0.9777;u1=0.002;%收敛步长for r=1:Mc11(1)=De;c12(1)=0;c21(1)=0;c22(1)=De;c11(2)=De;c12(2)=0;c21(2)=0;c22(2)=De;gw1=zeros(1,N);gw2=zeros(1,N);e=zeros(1,N);e1=zeros(1,N);yk=zeros(1,N);v=randn(1,N);x(1)=v(1);x(2)=a1*x(1)+v(2);for i=3:Nx(i)=a1*x(i-1)+a2*x(i-2)+v(i);endfor i=3:Nu(i)=[x(i-1) x(i-2)]*[c11(i-1) c12(i-1);c21(i-1) c22(i-1)]*[x(i-1);x(i-2)];g11(i)=[c11(i-1)*x(i-1)+c12(i-1)*x(i-2)]/[la+u(i)];g21(i)=[c21(i-1)*x(i-1)+c22(i-1)*x(i-2)]/[la+u(i)];lw1(i)=lw1(i-1)+g11(i)*[x(i)-lw1(i-1)*x(i-1)-lw2(i-1)*x(i-2)];lw2(i)=lw2(i-1)+g21(i)*[x(i)-lw1(i-1)*x(i-1)-lw2(i-1)*x(i-2)];c11(i)=la^(-1)*[c11(i-1)-c11(i-1)*g11(i)*x(i-1)-c21(i-1)*g11(i)*x(i-2)];c12(i)=la^(-1)*[c12(i-1)-c12(i-1)*g11(i)*x(i-1)-c22(i-1)*g11(i)*x(i-2)];c21(i)=la^(-1)*[c21(i-1)-c11(i-1)*g21(i)*x(i-1)-c21(i-1)*g21(i)*x(i-2)];c22(i)=la^(-1)*[c22(i-1)-c12(i-1)*g21(i)*x(i-1)-c22(i-1)*g21(i)*x(i-2)];e1(i)=x(i)-lw1(i-1)*x(i-1)-lw2(i-1)*x(i-2);mer1(r,i)=e1(i);lww1(r,i)=lw1(i);lww2(r,i)=lw2(i);yk(i)=x(i-1)*gw1(i)+x(i-2)*gw2(i);e(i)=x(i)-yk(i);gw1(i+1)=gw1(i)+2*u1*e(i)*x(i-1);gw2(i+1)=gw2(i)+2*u1*e(i)*x(i-2);gww1(r,i)=gw1(i);gww2(r,i)=gw2(i);mer(r,i)=e(i);endendfor i=1:Nlmww1(i)=mean(lww1(:,i));lmww2(i)=mean(lww2(:,i));gmw1(i)=mean(gww1(:,i));gmw2(i)=mean(gww2(:,i));me1(i)=(norm(mer1(:,i),2))^.2;me(i)=(norm(mer(:,i),2))^.2/m;endgw11=gw1(:,1);gw12=gw1(:,2);mse1=20*log10(me1/max(me1));mse=20*log10(me/max(me));figure(1)plot(w1,'r')hold onplot(w2,'b')plot(lw1,'c')plot(lw2,'m')plot(gw1,'k')plot(gw2,'g')title('LSL,RLS与LMS的权系数对比图(单次)')legend('LSLw1','LSLw2','RLSw1','RLSw2','LMSw1','LMSw2',0) xlabel('迭代次数n')ylabel('权系数w')shgfigure(2)plot(mw1,'r')hold onplot(mw2,'b')plot(lmww1,'c')plot(lmww2,'m')plot(gmw1,'k')plot(gmw2,'g')title('LSL,RLS与LMS的权系数对比图(100次平均)') legend('LSLw1','LSLw2','RLSw1','RLSw2','LMSw1','LMSw2',0) xlabel('迭代次数n')ylabel('权系数w')figure(3)plot(mse1,'k')hold onplot(mse2,'b')plot(mse,'r')xlabel('迭代次数n')ylabel('误差的值(取对数)')title('误差的值(归一化取对数)')legend('RLSmse','LSLmse','LMSmse',0)。

线性方程组的最优求解方法一．递推最小二乘法设线性方程组b Ax = (1)则有k b k =x :A ),(, (n k ,2,1=) (2)其中，[]kn k k a a a k ,,,:),(21 =A ，[]Tn x x x ,,,21 =x 。

设x :A ),()(k k f = (3)下面采用基于递推最小二乘法(RLS)的神经网络算法来训练权值向量x ，以获得线性方程组（1）的解x 。

由式（3）可知，若以)(k f 为神经网络输出，以k b 为神经网络训练样本，以x 为神经网络权值向量，[]kn k k a a a k ,,,:),(21 =A 为神经网络输入向量，则解线性方程组的神经网络模型如同1所示。

图1 神经网络模型采用RLS 算法训练神经网络权值向量x ，其算法如下：（1）神经网络输出：x :A ),()(k k f = (4)（2）误差函数：)()(k f b k e k -= (5)（3）性能指标：∑==n k k e J 12)(21 (6)（4）使min =J 的权值向量x ，即为所求的神经网络权值向量x ，这是一个多变量线性优化问题，为此，由0=∂∂xJ可得最小二乘递推法（RLS ）：]),([1k k k k k k b x :A Q x x -+=+ (7)),(),(1),(:A P :A :A P Q k k k Tk T k k+= (8)k k k k P :A Q I P )],([1-=+ (9)()n k ,,2,1 =随机产生初始权值向量)1,(0n rand =x ，设n n ⨯∈=R I P α0（α是足够大的正数（一般取10610~10=α），n n ⨯∈R I 是单位矩阵），通过对样本数据训练，即可获得神经网络权值向量x ，此即为线性方程组（1）的解。

二．具有遗忘因子的递推最小二乘估计公式为：]),([1k k k k k k b x :A Q x x -+=+ (10)),(),(),(:A P :A :A P Q k k k Tk T k k+=λ (11)k k k k P :A Q I P )],([11-=+λ(12)式中，1:)],(:),([)(-=k A k A k T W P ，W 为加权对角阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--10021λλλn n W（nn ⨯∈=R I P α0，10610~10=α）。

递归最小二乘（RLS ）算法是一种典型的数据处理方法，由著名学者高斯在1795年提出，高斯认为，根据所获得的观测数据来推断未知参数时，未知参数最可能的值是这样一个数据，即它使各项实际观测值和计算值之间的差的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小，这就是著名的最小二乘。

递归最小二乘（RLS ）算法在信号自适应滤波分析中广泛应用，递归最小二乘（RLS ）算法收敛速度快，且对自相关矩阵特征值的分散性不敏感，然而其计算量较大。

本章主要内容是研究基于RLS 进行数据的预测与MATLAB 实现。

学习目标：（1）学习和掌握递归最小二乘（RLS ）算法原理；（2）学习和掌握MATLAB 编程实现RLS 算法进行数据预测等。

5.1 递归最小二乘（RLS ）算法应用背景在自适应滤波系统中，最陡梯度（LMS ）法由于其简便性及易用性得到广泛的应用。

但各种最陡梯度（LMS ）算法收敛速度较慢，特别是对于非平稳信号的适应性差。

究其原因主要是各种最陡梯度（LMS ）算法只是简单的用以各时刻的抽头参量等作为该时刻数据块估计，采用平方误差为极小原则，而没有考虑到当前时刻的抽头参量等，来对以往各时刻的数据块做重新估计，即没有采用累加平方误差最小原则（即所谓的最小平方（LS ） 准则）。

为了克服各种最陡梯度（LMS ）算法收敛速度慢，信号非平稳适应性差等缺点，根据最小平方（LS ）准则，即在每时刻对所有输入信号作重估，采用LS 准则。

这种方法是在现有的约束条件下，利用了最多的可利用信息的准则，在很大程度上提高了算法收敛速度，并且它也是一种最有效，信号非平稳的适应性能最好的算法之一。

按照这样一种改进算法思路，广大学者建立起来的适应非平稳信号处理的方法就是递归最小二乘（RLS ：Recursive Least Square ）算法，又称为广义Kalman 自适应算法。

用矩阵来表示RLS 算法显得较为简便，因此我们首先定义一些向量和矩阵。

RLS算法（Recursive Least Squares Algorithm）RLS算法是一种自适应滤波算法，用于系统辨识和信号处理中的参数估计。

它通过递归更新的方式，根据当前观测到的输入和输出数据，以最小化均方误差的准则来估计系统的参数。

具体来说，RLS算法使用最小二乘法的思想，在每个时间步骤上根据当前的输入和输出数据计算一个权重向量，该权重向量表示了系统参数的估计。

然后，通过更新这个权重向量，使得下一时间步骤的估计结果更加准确。

RLS算法的主要特点是具有快速收敛速度和良好的稳定性。

它能够在动态环境中进行在线估计，并且对非线性和时变系统也有一定的适应能力。

然而，由于需要存储和更新协方差矩阵，RLS算法的计算复杂度较高。

EKF算法（Extended Kalman Filter Algorithm）EKF算法是一种非线性滤波算法，是基于卡尔曼滤波算法（Kalman Filter）的扩展版本。

它通过线性化非线性系统模型，将卡尔曼滤波算法应用于非线性系统的状态估计问题。

具体来说，EKF算法使用一个线性化的状态转移函数和观测函数来近似非线性系统的动态过程和测量方程。

然后，通过卡尔曼滤波算法中的预测和更新步骤，以最小化预测与观测之间的误差来估计系统的状态。

EKF算法的主要特点是能够对非线性系统进行较好的估计，同时具有一定的适应能力。

它被广泛应用于机器人导航、目标跟踪、传感器融合等领域。

然而，由于需要进行系统模型的线性化，EKF算法对于高度非线性的系统可能存在精度损失的问题。

此外，它还对初始状态的选择和噪声统计特性的准确性要求较高。

综上所述，RLS算法和EKF算法都是常用的参数估计算法，分别适用于线性和非线性系统。

选择哪种算法取决于系统模型的特性以及实际应用的需求。

1。

递推最小二乘参数估计(RLS)考虑如下系统：() 1.5(1)0.7(2)(1)0.5(2)()y k y k y k u k u k k ξ--+-=-+-+ 式中(k )为方差为0.1的白噪声。

采用方差为1的白噪声序列作为输入信号u (k ):clear all; close all;a=[1 -1.5 0.7]';b=[1 0.5]';d=3; %对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1; %计算阶次L=500; %数据长度uk=zeros(d+nb,1);yk=zeros(na,1); %输入输出初值u=randn(L,1); %输入采用方差为1的白噪声序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); % 方差为0.1的白噪声干扰序列theta=[a(2:na+1);b]; %对象参数真值thetae_1=zeros(na+nb+1,1); %参数初值P=10^6*eye(na+nb+1);for k=1:Lphi=[-yk;uk(d:d+nb)]; %此处phi 为列向量y(k)=phi'*theta+xi(k); %采集输出数据%递推公式K=P*phi/(1+phi'*P*phi);thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1); P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P;%更新数据thetae_1=thetae(:,k);for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endplot([1:L],thetae); %line([1:L],[theta,theta]); xlabel('k');ylabel('参数估计a,b');legend('a_1','a_2','b_0','b_1');axis([0 L -2 2]);thetae =-1.49740.70311.01380.5008（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

rls算法matlab代码RLS（递推最小二乘法）是一种常用的算法，用于估计系统的状态和参数。

Matlab是一款广泛应用于数值计算和算法实现的软件，其中提供了RLS算法的实现代码。

本篇文章将向您介绍如何使用Matlab实现RLS算法。

一、算法概述RLS算法是一种递推最小二乘法，用于在线估计系统的状态和参数。

它通过迭代的方式，利用历史数据来估计当前时刻的状态和参数。

算法的核心思想是利用历史数据来拟合系统模型，并不断更新模型的参数，以达到更好的估计效果。

二、Matlab代码实现下面是一个简单的Matlab代码实现示例，用于演示如何使用Matlab实现RLS算法。

```matlab%初始化参数n=100;%数据点数dt=0.1;%时间间隔M=10;%滤波器阶数w=randn(M,1);%噪声系数h=randn(M,1);%系统模型系数alpha=randn(M,1);%RLS滤波器系数theta=zeros(M,1);%系统参数R=randn(n,M);%输入输出数据矩阵x=zeros(n,1);%状态变量y=zeros(n,1);%输出变量%RLS滤波器更新过程fork=2:nx(k)=x(k-1)+dt*h*theta(M-1);%系统状态转移y(k)=R(k,M)*theta(M-1)+w(M)+alpha(M-1);%输出数据z=R(k,1:M-1)*theta(M-1);%RLS滤波器输入数据alpha(k)=(z'*z-R(k,k))\(z'*y(k));%RLS滤波器更新系数theta(M-1)=y(k)-z*theta(k);%系统参数更新theta=theta/sum(theta);%归一化系统参数向量end```上述代码中，我们首先初始化了一些参数，包括数据点数、时间间隔、滤波器阶数、噪声系数、系统模型系数、RLS滤波器系数、系统参数向量和输入输出数据矩阵等。

然后，我们使用RLS滤波器更新过程来估计系统参数。