导数与函数单调性的关系
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导数与函数单调性的关系
教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。若函数)(x f y =在某个区间I 上可导(对于区间端点,只要求它存在左(或右)导数)则称)(x f 为区间I 上的可导函数。那么区间I 上的可导函数与函数单调性有什么关系呢?
一、 0>)('x f (或0<)('x f )是)(x f y =在某个区间I 上为增(或减)函数的充分不必要条件
设函数)(x f y =在某个区间I 上可导,如果0>)('x f ,则)(x f 为增函数;如果
0<)('x f ,则)(x f 为减函数。
(参考书目(1)第127页) 但当)(x f y =在某个区间I 上为增(或减)函数时,并不能得到0>)('x f (或
0<)('x f )
。例如:3x x f y ==)(在),(+∞-∞上单调递增,但032≥=x x f )('。即0>)('x f (或0<)('x f )是)(x f y =在某个区间I 上为增(或减)函数的充分不必要条件。
二、若函数)(x f y =为区间(a,b)内的可导函数,则0≥)('x f (或0≤)('x f )是)(x f y =在区间(a ,b )内为增(或减)函数的必要不充分条件。 证明:设x 为区间(a,b)内任一点,当x ∆充分小时仍有),(b a x x ∈∆+,由于)(x f y =在区间(a ,b )内为增函数,所以0>∆-∆+x
x f x x f )()(,即0≥)('x f 。 但0≥)('x f 时,)(x f y =在区间(a ,b )内不一定为增函数。
例如:⎩⎨⎧≥-<=)
()()()(b x b x b x x f 20则0≥)('x f 但)(x f 在),(+∞-∞上不是增函数。 三、 函数)(x f y =在某个区间I 上可导,则)(x f y =在区间I 上为增(或减)函数的充要条件为:
(1)对一切I x ∈都有0≥)('x f (或0≤)('x f )
(2)使得0=)('x f 的点x 不连续。
证明见参考书目(2)第187页。
值得注意的是单调函数可以在无穷多个点处使得0=)('
x f 。
例如:k k x x f 2+-=)sin()(π ),[22ππππ+-
∈k k x Z k ∈在R 上单调递增,
当πk x =,Z k ∈时0=)('x f 。 有了前面的充要条件,我们来解答2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学19题:已知函数1323+-+=x x ax x f )(在R 上单调递减,求实数a 的取值范围。
解: 1632-+=x ax x f )(',
令0≤)('x f 在R 上恒成立得⎩
⎨
⎧≤+=∆<0a 12360a 解得3a -≤, 当且仅当⎪⎩
⎪⎨⎧=-=31x 3a 时0=)('x f , ∴实数a 的取值范围是],(3--∞。
参考书目:
(1)《数学》第三册(选修Ⅱ) 人民教育出版社中学数学室 编著 人民教育出版社出版。
(2)《数学分析》上册 华东师范大学数学系 编 高等教育出版社出版。