、函数的单调性 1. 单调函数的定义
增函数 减函数
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值
X 1，
X 2
当X i f(X 2)，那么就说函
数f(X)在区间D 上是增函数
数f(x)在区间D 上是减函数
2. 单调区间的定义
若函数y = f(X)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数 y = f(X)在这一区间上具有 俨格的)单调性，区间
D 叫做y = f(X)的单调区间. 二、函数的最值
前提
设函数y =f(x)的定义域为
I ，如果存在实数M 满足
条件 ①对于任意x € I ，都有f(x) < M ;
②存在X o € I ，使得f(X o )= M
①对于任意x € I ，都有f(x) > M ; ②存在X o € I ，使得f( X o ) = M
结论
M 为最大值
M 为最小值
［小题能否全取］
1 . (2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
( )
第三节 函数的单调性与最值
［知识能否忆
起］
定义
图象 描述
自左向右看图象逐渐上升
A . y = x + 1
3
1
B . y =— x
C
. y
= X
D . y = x 凶
解析：选D 由函数的奇偶性排除 A ，由函数的单调性排除 数，又该函数为奇函数，故选
D.
B 、
C ，由y = X |X |的图象可知此函数为增函
2.函数y = （2k + 1）x + b 在（— 8，+^ ）上是减函数，则（
）
D . k< —
0 H K
解析：函数f(x)的对称轴x = 1,单调增区间为［1,4］ , f(x)max = f(-2) = f(4) = 8. 答案：［1,4］ 8
故—1 (—1,0) U (0,1)
总结
1•函数的单调性是局部性质
从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征•在某个区间上 单调，在整个定义域上不一定单调.
2 .函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域.对于
基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函 数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据 “同则增，异则减”的
法则求解函数的单调区间.
［注意］单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并 集符号“U”联结，也不能用 “或”联结.
1
函数单调性的判断
&典题导入
1
［例1］证明函数f(x)= 2x -一在( — 8, 0)上是增函数.
x
［自主解答］设X 1, X 2是区间(-8, 0)上的任意两个自变量的值，且 X 11 1
则 f(X 1) = 2X 1 - , f(X 2) = 2X 2-
解析：选D 函数y = (2k + 1)x + b 是减函数, 则 2k + 1<0,
(教材习题改编 4 A.4 )函数f(x) = 1-x 1 - x 的最大值是(
5 ^3 B. C.~ 4
4
解析：选D
•/ 1- x(1 — x) = x 2-x + 1 = x -
站+4,
(教材习题改编
)f(x) = x 2
- 2x(x € [ - 2,4])的单调增区间为 小 1 一
4
..0< ---------------
1 — x(1 —
X )3'
已知函数f(x)为R 上的减函数，若m解析：由题意知f(m)>f(n);
>1，即 |x|<1，且 X M 0. f(x
1)— f(X 2
)=
2x2
-
X 2
=
2(X1—X2)+ 2—X=(X1 —X2)2+ ±
1 由于X! 2 + >0 , 因此f(X l)—f(X2)<0 ,
X1X2 即f(X i)-由题悟法
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1) 结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断
)证明；
⑵可导函数则可以利用导数证明. 对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.
心以题试法
—2X
1•判断函数g(x)= 在(1 , +8 )上的单调性.
X—1
一2X1一2X2
则g(X1)—宓)=百一x;—!
求函数的单调区间
缶典题导入
［例2］ (2012长沙模拟)设函数y = f(x)在(— 8,+8 )内有定义.对于给定的正数k,定义函数f k(x)= f(X ) f(X 尸k,
取函数f(x) = 2—|X'当k= 2时，函数f
k(x)的单调递增区间为()
I k, f(x 戸k,
A. (— 8,0)
B. (0 , +8 ) C . ( —8,—1) D .(1 , +8 )
［自主解
答］
1
由f(x)>2，得—
1
1 1.
「2—X, X> 1,
所以f|(x)^ 2, —1V X V 1, 1
故5(X)的单调递增区间为(一8,—1).［答案］C
〔2X, X<— 1.
盜二題多変
解：任取X1, X2^ (1 , + 8)，且X12 X1
—
X2
X1
—
* 1 X2
— 1 '由于1因此g(X1) —g(x2)<0,即卩g(X1)所以X1 —X2<0 , (X1 —1)(X2 —
1)>0 ,
故g(x)在(1, + 8)上是增函数.
f k(x)的单调递增区间为(0,
