数学建模第六章代数方程与差分方程模型模板

差分方程模型一.引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1）微分法建模（静态优化模型），如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2）微分方程建模（动态模型），如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3）稳定性方法建模（平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4）变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1）逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2）层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic 模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是, 往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

或 G(x , yi , yi1 , , yin ) 0 或 H (x , yi , yi , , n yi ) 0
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为

依此类推，可得一系列的点
P1( x1, y1 ), P2 ( x2 , y1), P3 ( x2 , y2 ), P4 ( x3, y2 ),
图上的箭头表示求出 Pk 的次序，由图知
lim
k
Pk
(
x,
y)
P0
(
x0
,
y0
)
即市场经济趋于稳定。
14
并不是所有的需求g 函数和供 应函数都趋于稳定，若给定
其中含 的最yt高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。
差分方程也t 可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分
方程
2 yt yt yt可以0 写成
yt2 yt1 yt 0
2
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若 解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称 此解为该差分方程的通解。
(3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
xk 1 g( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
12
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出 供应函数和需求函数的图形 ，设两条曲线相交于 P0 (x0, y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时
t3
最小。根据这一方程可以迭代求解以后各年第一 季度销售
23
量的预测值 y6 21, y7 19,。第7年销售量预测值居然小于第 6年的，稍作分析，不难看出，如分别对第一季度建立差分 方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对 同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建 立一个共用于各个季度的差分方程，为此，将季度编号为 t 1,2, 20，令 yt a1 yt4 a2 yt8 a3，利用全体数据来拟合 求拟合得到最好的系数。即求 a1, a2 , a3使得

洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0

pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2

pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(

第六章 微分方程与数学建模
第一节 微分方程 第二节 微分方程在数学建模中的应用
第一节 微分方程
一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶 微分方程 四、二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
1. 引例
例 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
dp dy

原方程化为
p
dp dy

f
(
y,
p)

设方程
p dp dy
f (y, p)
的通解为
y

p
(x,C1)

则利用
分离变量法得原方程的通解为


(
dy y,C1)

x

C2

四、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的一般形式
二阶常系数齐次线性微分方程的形式
如果 f (x) 不恒等于 0，则方程
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1

( 2
y1

y2 )
ex cos x,
y2

1 2i
( y1

y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sinx).
2.二阶常系数非齐次线性微分方程
解 这是齐次方程，可以化成如下形式
dx x dy
x2 y2 x
y
y

x y
2
1
令

设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x

第六章 代数与建模§1 特征值与特征向量在层次分析法中的应用模型一、层次分析模型的基本原理层次分析法的本质就是多因素的权重确定方法。

设有n 个因素，确定它们相对某个事情、标准之下各自的重要性大小、各自所占的地位的大小的量化。

先分析一种特殊情况之下的权重的存在与确定方法：（1）单位重量大小的石头分解模型：将一个单位重量的石头分成n 块小石头C 1,C 2,…，C n精确称出它们的重量w 1,…w n,则向量就是每一个小石头在整个石头中的权重。

这是非常形象化的概念与意义。

Tn w w w w ),,(21L =为了从总体上显示这些权重以及其重要的性质，权重之间的比较应当是非常有价值的一种数学模型，因此将它们进行两两比较，形成矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A /////////212221212111L M M M M L L 如果记：，则有：Tn w w w w ),,(21L =nw Aw =，这表明权重向量是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。

w 矩阵A 满足，这表明：位置处的元素为所在的行和所在的列上，在对称位置即列、行数相同处的两个元素的乘积，称这种矩阵A 为一致矩阵。

jkij ik a a a .=).(k i 一致矩阵A 的基本性质:1、A 有唯一非零特征值n 2、A 的任何一列向量都是对应于特征根n 的特征向量。

这表明：真正精确的权重，进行两两对比所形成的矩阵，必是一致矩阵。

其基本特点是：有唯一非零特征值n ；A 的任何一列向量都是对应于特征根n 的特征向量，并且在所有特征向量中，归一化的即分量之和为1的特征向量就是相应的权向量。

（2）一般情况下，如果对于各因素的权重不易具体确定时，可以先形成相互的对比量化结果，即权重的对比，这种对比显示了相对分析的模式，也是单一的描述到直接进行关系分析与显示思想的进展。

-192-第十六章 差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。

下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。

§1 差分方程1.1 差分方程简介规定t 只取非负整数。

记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=∆+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为t y 的二阶差分。

类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y ∆。

由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。

差分方程也可以写成不显含差分的形式。

例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。

满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。

类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。

若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a 。

其对应的齐次方程为0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2）容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为（2）的解，则)2(2)1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其中21,c c 为任意常数。

若)1(t y 是方程（2）的解，)2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。

方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程00110=+++-a a a n n λλ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。

di si
dt
s(t) i(t) 1
Anna
di
dt
i(1
i)
i(0)
i 0
16
模型2
di
dt
i(1
i)
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
i(t)
1
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
k
0
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx dt rx, x(0) x0
x(t t) x(t) rt x(t)
x(t) x e rt 0
x(t) x0 (er )t x0 (1 r)t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
在D内作相轨线 i(s)
的图形，进行分析
2012-3-17
Anna
D 0
s
1
22
模型4 相轨线 i(s) 及其分析
SIR模型
di dt
si
i
ds dt
si
di
ds
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i
s s0
i 0
D
0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向
~ 日接触率 1/ ~平均感染期

结果分析： 可以看到，对于不同的b，xk的变化规律有较大差 别。为了研究这种差别的机理，需要得到方程（10） 的表达式。注意到一阶差分方程（3）的解为（5）式， 对于二阶差分方程可以寻求形如xk=λk的解，将其代 入（10）式得 2 p q 0 （11） 代数方程（11）称为差分方程（10）的特征方程， 方程（11）的根 p p 2 4q 1,2 丘鹤数量的变化趋势，即 k→∞时xk的极限状态。 在自然环境下（3）式的解得形式为 xk =akx0， a=1+r， k=0,1,2,… （5） 显然当a>1（即r>0）时xk →∞，而a<1（即r<0）时 xk →0，表明在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒 于灭绝。 在人工孵化条件下由（4）式可得 xk=akx0 +b(1+a+…+ak-1) =akx0 +b(1- ak-1)/(1-a) ， k=0,1,2,… （6） 当a<1（即r<0）时xk →x= b/(1-a) 。对于充分大的k用 （4）式计算xk的结果如图表示：
例2 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含 污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能 使污水浓度降低一半？
记第k天的污水浓度为ck ，则第k+1天的污水 浓度为 ck+1=(1-q) ck, k=0,1,2,… （2） 从K=0开始递推n次可得cn=(1+r)n c0,以cn=c0/2， lg 2 n 代入可解出 ，n天后污水浓度降低一半。
function x=minos1(x0,n,r)%建立名为minos1的函数M文件，x0， n，r可以调节 a=1+r; x=x0;%赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k);%按照（3）迭代计算 End >> k=(0:20)'; >> y1=minos1(100,20,0.0194); >> y2=minos1(100,20,-0.0324); >> y3=minos1(100,20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3']),%对结果四舍五入取整数 >> plot(k,y1,k,y2,‘*’,k,y3,‘--’)%将三条线画在一个图上 >> gtext('r=0.0194'),gtext('r=-0.0324'),gtext('r=-0.0382'),%在图 上做标记 >> grid on

存入银行1年后，到期本息和小于奖学金数额
其中第 i(1in)份基金 x i , 存款期限为 i年，
那么只有当第 i(1in1)份基金 x i 按最优
i 存款策略存款 年后 的本息和等于当年的奖学金数,
并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于 原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才 能达到最多。
证明：当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息 全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。
4）国库券在没有到期之前，不得进行贴现。
4．模型建立
问题一：只存款不购买国库券的情况。
定理1 一定数额的资金H先存定期 m年再存定期 k
年和先存定期k年再存定期 m年，本息和相等。 （ m,k(1,2,3,5))
教学ppt
5
k 证明： 设 Lm , Lk 分别为定期 m年和 年的年利率，
则一定数额的资金H 先存定期m年再存定期k年的本息和为
银行存款税后年 最佳存款策 均利率（%）
1.800
(1)
1.816
(2)
1.944
1.833
(3)
1.919
2.160
1.849
(3,1)
1.982
2.099
1.866
(5)
1.974
2.124
2.3042.230 2.2源自5(5,1)教学ppt
银行存款税后最佳年均利 率（%） 1.800 1.944 2.164
教学ppt
3
分析问题（二）
研究题目所给的数据，我们可以发现，同期的国库券 年利率明显高于银行存款的年利率，所以首先应考虑尽 可能多的购买国库券，但由题意可知，国库券发行的时 间不是固定的，若一味的追求高利率，有时反而会增加 活期存款所占的比重，所得平均年利率不一定为最优。

(a
1),
xt


(a
1)N
Pt

,于是(2)式又可改写为
xt1 bxt (1 xt ) f ( xt ), t 0,1,2,
（3）
虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0， 其差微后分分的方方程程x1（稳可定3利）性用有的方两讨程个论确平，定衡非的点线递，性推即差关x分系*=方迭0和程代平求衡出x*点。的b稳b。1定类性似也于
r(xm ) 0
s r r(x) r(1 x )
xm
xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
xm
xm/2
0
xm/2 xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
Fn

c1

1
2
5
n

c2

1
2
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
由初始条件 F1 1, F2 1 得
1 c1 2
5
c2
1 2
5

1
2
2
1 5
c1
2

c2
1 2
5

1
联立解得:
c1
xk b1xk1 L bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
{ 例:求Fibonacci数的通项: