2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题31：折叠问题一、选择题1. 2012广东梅州3分如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2= A．150°B．210°C．105°D．75°答案A;考点翻折变换折叠问题,三角形内角和定理;分析∵△A′DE是△ABC翻折变换而成,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°;∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°,∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°;故选A;2. 2012江苏南京2分如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’D’经过B,EF为折痕,当D’F⊥CD时,CFFD的值为A. 312-B.36C.2316-D.318+答案A;考点翻折变换折叠问题,菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值;分析延长DC与A′D′,交于点M,∵在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,∴∠DCB=∠A=60°,AB∥CD;∴∠D=180°-∠A=120°;根据折叠的性质,可得∠A′D′F=∠D=120°,∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°;∵D′F⊥CD,∴∠D′FM=90°,∠M=90°-∠FD′M=30°;∵∠BCM=180°-∠BCD=120°,∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°;∴∠CBM=∠M;∴BC=CM;设CF=x,D′F=DF=y, 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y;∴FM=CM+CF=2x+y,在Rt△D′FM 中,tan∠M=tan30°=D F y FM 2x y '==+x =;∴CF x FD y ==;故选A; 3. 2012江苏连云港3分小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,这样就可以求出°角的正切值是A ＋1B ＋1C ．D 答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,勾股定理;分析∵将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,∴AB＝BE,∠AEB＝∠EAB＝45°,∵还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处, ∴AE＝EF,∠EAF＝∠EFA＝0452＝°;∴∠FAB＝°;设AB ＝x,则AE ＝EF x,∴°＝tan∠FAB＝t FB 1AB x==;故选B; 4. 2012广东河源3分如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A′重合．若∠A＝75o,则∠1＋∠2＝A ．150oB ．210oC ．105oD ．75o答案A;考点折叠的性质,平角的定义,多边形内角和定理;分析根据折叠对称的性质,∠A′＝∠A＝75o;根据平角的定义和多边形内角和定理,得∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－∠ADA′＋∠AEA′＝∠A′＋∠A＝1500;故选A;5. 2012福建南平4分如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为A．32B．52C．94D．3答案B;考点翻折变换折叠问题,正方形的性质,折叠的性质,勾股定理;分析∵正方形纸片ABCD的边长为3,∴∠C=90°,BC=CD=3;根据折叠的性质得：EG=BE=1,GF=DF;设DF=x,则EF=EG＋GF=1＋x,FC=DC－DF=3－x,EC=BC－BE=3－1=2;在Rt△EFC中,EF2=EC2＋FC2,即x＋12=22＋3－x2,解得：3x2 =;∴DF=32,EF=1＋35=22;故选B;6. 2012湖北武汉3分如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A 恰好落在边BC的点F处．若AE＝5,BF＝3,则CD的长是A．7 B．8 C．9 D．10答案C;考点折叠的性质,矩形的性质,勾股定理;分析根据折叠的性质,EF=AE＝5；根据矩形的性质,∠B=900;在Rt△BEF中,∠B=900,EF＝5,BF＝3,∴根据勾股定理,得BE4;∴CD=AB=AE＋BE=5＋4=9;故选C;7. 2012湖北黄石3分如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8 cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为A. 25cm8B.25cm4C.25cm2D. 8cm答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,矩形的性质,勾股定理;分析设AF=xcm,则DF=8-xcm,∵矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,∴DF=D′F,在Rt△AD′F 中,∵AF 2=AD′2＋D′F 2,即x 2=62＋8－x 2,解得：x=()25cm 4;故选B; 8. 2012湖北荆门3分如图,已知正方形ABCD 的对角线长为2,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,则图中阴影部分的周长为A ． 8B ． 4C ． 8D ． 6答案C; 考点翻折变换折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理;分析如图,∵正方形ABCD 的对角线长为22,即BD=22,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°,∴AB=BDcos∠ABD=BDcos45°=222=22⨯; ∴AB=BC=CD=AD=2;由折叠的性质：A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD,∴图中阴影部分的周长为A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8;故选C;9. 2012四川内江3分如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=5点E 、F 分别在AB 、CD 上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处,则阴影部分图形的周长为答案D;考点翻折变换折叠问题,矩形和折叠的性质;分析根据矩形和折叠的性质,得A 1E=AE,A 1D 1=AD,D 1F=DF,则阴影部分的周长即为矩形的周长,为210+5=30;故选D;10. 2012四川资阳3分如图,在△ABC 中,∠C＝90°,将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处,已知MN∥AB,MC＝6,NC ＝23,则四边形MABN 的面积是A ．63B ．123C ．183D ．243答案C;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,相似三角形的判定和性质,分析连接CD,交MN 于E,∵将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处,∴MN⊥CD,且CE=DE;∴CD=2CE;∵MN∥AB,∴CD⊥AB;∴△CMN∽△CAB; ∴2CMN CAB S CE 1S CD 4∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭; ∵在△CMN 中,∠C=90°,MC=6,NC=23 ,∴CMN 11S CM CN 62 3 6 322∆=⋅=⨯⨯= ∴CAB CMN S 4S 46 3 24 3∆∆==⨯=;∴CAB CMN MABN S S S 24 36 318 3∆∆=-=-=四形边;故选C;11. 2012贵州黔东南4分如图,矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠,使点D 落在BC 上的F 处,已知AB=6,△ABF 的面积是24,则FC 等于A ．1B ．2C ．3D ．4答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,勾股定理;分析由四边形ABCD 是矩形与AB=6,△ABF 的面积是24,易求得BF 的长,然后由勾股定理,求得AF 的长,根据折叠的性质,即可求得AD,BC 的长,从而求得答案：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°,AD=BC;∵AB=6,∴S △ABF =12ABBF=12×6×BF=24;∴BF=8; ∴2222AF AB BF 6810=+=+=;由折叠的性质：AD=AF=10,∴BC=AD=10;∴FC=BC﹣BF=10﹣8=2;故选B;12. 2012贵州遵义3分如图,矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE,延长BG 交CD 于F 点,若CF=1,FD=2,则BC 的长为A ．32B ．26C ．25D ．23答案B;考点翻折变换折叠问题,矩形的性质和判定,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理;分析过点E 作EM⊥BC 于M,交BF 于N;∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,∵∠EMB=90°,∴四边形ABME 是矩形;∴AE=BM,由折叠的性质得：AE=GE,∠EGN=∠A=90°,∴EG=BM;∵∠ENG=∠BNM,∴△ENG≌△BNMAAS;∴NG=NM;∵E 是AD 的中点,CM=DE,∴AE=ED=BM=CM;∵EM∥CD,∴BN：NF=BM ：CM;∴BN=NF;∴NM=12CF=12;∴NG=12; ∵BG=AB=CD=CF+DF=3,∴BN=BG﹣NG=3﹣1522=;∴BF=2BN=5∴BC ==故选B;13. 2012山东泰安3分如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 与CD 的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG 的面积之比为A ．9：4B ．3：2C ．4：3D ．16：9答案D;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质;分析设BF=x,则由BC=3得：CF=3﹣x,由折叠对称的性质得：B′F=x;∵点B′为CD 的中点,AB=DC=2,∴B′C=1;在Rt△B′CF 中,B′F 2=B′C 2+CF 2,即22x 1(3x)=+-,解得：5x 3=,即可得CF=54333-=; ∵∠DB′G=∠DGB′=90°,∠DB′G+∠CB′F=90°,∴∠DGB′=∠CB′F;∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′;根据面积比等于相似比的平方可得： 22PCB B DG S FC 416()S B D 39∆'∆'⎛⎫=== ⎪'⎝⎭;故选D; 14. 2012山东潍坊3分已知矩形ABCD 中,AB=1,在BC 上取一点E,沿AE 将ΔABE 向上折叠,使B 点落在AD 上的F 点,若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,则AD= ．AD ．2 答案B;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,正方形的判定和性质,相似多边形的性质; 分析∵矩形ABCD 中,AF 由AB 折叠而得,∴ABEF 是正方形;又∵AB=1,∴AF= AB=EF=1;设AD=x,则FD=x －1;∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,∴EF AD FD AB =,即1x x 11=-; 解得115?x =2+,215x =2-负值舍去; 经检验115x 2+=是原方程的解;故选B; 15. 2012广西河池3分如图,在矩形ABCD 中,AD ＞AB,将矩形ABCD 折叠,使点C 与点A 重合, 折痕为MN,连结CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1︰4,则MN BM 的值为 A ．2B ．4C ．25D ．26 答案D;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理;分析过点N 作NG⊥BC 于G,由四边形ABCD 是矩形,易得四边形CDNG 是矩形,又由折叠的性质,可得四边形AMCN 是菱形,由△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,可得DN ：CM=1：4,然后设DN=x,由勾股定理可求得MN 的长,从而求得答案：过点N 作NG⊥BC 于G,∵四边形ABCD 是矩形,∴四边形CDNG 是矩形,AD∥BC;∴CD=NG,CG=DN,∠ANM=∠CMN;由折叠的性质可得：AM=CM,∠AMN=∠CMN,∴∠ANM=∠AMN;∴AM=AN;∴AM=CM,∴四边形AMCN 是平行四边形;∵AM=CM,∴四边形AMCN 是菱形;∵△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：4,∴DN：CM=1：4;设DN=x,则AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5x,CG=x;∴BM=x,GM=3x;在Rt△CGN 中,()2222NG CN CG 4x x 15x =-=-=, 在Rt△MNG 中,()()2222MN GM NG 3x 15x =26x =+=+, ∴MN 26x ==26BM x;故选D; 16. 2012河北省3分如图,在平行四边形ABCD 中,∠A=70°,将平行四边形折叠,使点D 、C 分别落在点F 、E 处点F 、E 都在AB 所在的直线上,折痕为MN,则∠AMF 等于A ．70°B ．40° C．30° D．20°答案B;考点翻折变换折叠问题,平行四边形的性质,平行线的性质,平角的定义;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD;∵根据折叠的性质可得：MN∥AE,∠FMN=∠DMN,∴AB∥CD∥MN;∵∠A=70°,∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°;∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°;故选B;17. 2012青海西宁3分折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段．在折纸中,蕴涵许多数学知识,我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等B．在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形答案C;考点翻折变换折叠问题;分析如图②,∵△CDE由△ADE翻折而成,∴AD=CD;如图③,∵△DCF由△DBF翻折而成,∴BD=CD;∴AD=BD=CD,点D是AB的中点;∴CD=12AB,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;故选C;二、填空题1. 2012上海市4分如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D在AC上,将△ADB 沿直线BD翻折后,将点A落在点E处,如果AD⊥ED,那么线段DE的长为▲ ．1;考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质;分析∵在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1, ∴0BC 1AC 3tan A tan30===∠; ∵将△ADB 沿直线BD 翻折后,将点A 落在点E 处,∴∠ADB=∠EDB,DE=AD;∵AD⊥ED,∴∠CDE=∠ADE=90°,∴∠EDB=∠ADB=00036090=1352-; ∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°;∵∠C=90°,∴∠CBD=∠CDB=45°;∴CD=BC=1;∴DE=AD=AC﹣CD=31-;2. 2012浙江丽水、金华4分如图,在等腰△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O,点C 沿EF 折叠后与点O 重合,则∠CEF 的度数是 ▲ ． 答案50°;考点翻折变换折叠问题,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的判定和性质;分析利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°,以及∠OBC＝∠OCB＝40°,再利用翻折变换的性质得出EO ＝EC,∠CEF＝∠FEO,进而求出即可：连接BO,∵AB＝AC,AO 是∠BAC 的平分线,∴AO 是BC 的中垂线;∴BO＝CO;∵∠BAC＝50°,∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O,∴∠OAB＝∠OAC＝25°;∵等腰△ABC 中, AB ＝AC,∠BAC＝50°,∴∠ABC＝∠ACB＝65°;∴∠OBC＝65°－25°＝40°;∴∠OBC＝∠OCB＝40°;∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合,∴EO＝EC,∠CEF＝∠FEO;∴∠CEF＝∠FEO＝1800－2×400÷2＝50°;3. 2012浙江绍兴5分如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在BC,CD 上,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点B′处,又将△CEF 沿EF 折叠,使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为 ▲ ;答案3;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值;分析连接CC′,∵将△ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点B′处,又将△CEF沿EF折叠,使点C落在EB′与AD的交点C′处,∴EC=EC′,∴∠EC′C=∠ECC′,∵∠DC′C=∠ECC′,∴∠EC′C=∠DC′C.∴CC′是∠EC'D的平分线;∵∠CB′C′=∠D=90°,C′C=C′C,∴△CB′C′≌△CDC′AAS;∴CB′=CD;又∵AB′=AB,∴B′是对角线AC中点,即AC=2AB;∴∠ACB=30°;∴tan∠ACB=tan30°=AB1BC3=;∴BC：AB=3;4. 2012浙江台州5分如图,将正方形ABCD沿BE对折,使点A落在对角线BD上的A′处,连接A′C,则∠BA′C=▲ 度．答案;考点折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,平角定义;分析由折叠的对称和正方形的性质,知△ABE≌△A′BE,∴∠BEA′=,△A′DE是等腰直角三角形;设AE=A′E=A′D =x,则ED=2x;设CD=y,则BD=2y;∴ED2x BD2y==2==2A D x CD y'，;∴ED BD=A D CD';又∵∠EDA′=∠A′DC=450,∴△EDA′∽△A′DC;∴∠DA′C=∠DEA′=＋450=;∴∠BA′C=1800－=;5. 2012江苏宿迁3分如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C’,D’处,C’E交AF于点G.若∠CEF=70°,则∠GFD’=▲ °.答案40;考点折叠问题矩形的性质,平行的性质;分析根据折叠的性质,得∠DFE=∠D’FE;∵ABCD 是矩形,∴AD∥BC;∴∠GFE=∠CEF=70°,∠DFE=1800－∠CEF=110°;∴∠GFD’=∠D’FE－∠GFE=110°－70°=40°;6. 2012江苏盐城3分如图,在△ABC 中,D,、E 分别是边AB 、AC 的中点,∠B=50°o.现将△ADE 沿DE 折叠,点A 落在三角形所在平面内的点为A 1,则∠BDA 1的度数为 ▲ °. 答案80; 考点翻折变换折叠问题,折叠对称的性质,三角形中位线定理,平行的性质; 分析∵D、E 分别是边AB 、AC 的中点,∴DE∥BC 三角形中位线定理;∴∠ADE=∠B=50°两直线平行,同位角相等;又∵∠ADE=∠A 1DE 折叠对称的性质,∴∠A 1DA=2∠B;∴∠BDA 1=180°－2∠B=80°;7. 2012江苏扬州3分如图,将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处,如果AB 2BC 3=,那么tan∠DCF 的值是 ▲ ．答案52; 考点翻折变换折叠问题,翻折对称的性质,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义; 分析∵四边形ABCD 是矩形,∴AB＝CD,∠D＝90°,∵将矩形ABCD 沿CE 折叠,点B 恰好落在边AD 的F 处,∴CF＝BC,∵AB 2BC 3=,∴CD 2CF 3=;∴设CD ＝2x,CF ＝3x, ∴22DF=CF CD 5x -=;∴tan∠DCF＝DF 5x 5=CD 2x 2=; 8. 2012湖北荆州3分如图,已知正方形ABCD 的对角线长为2,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,则图中阴影部分的周长为 ▲答案8;考点翻折变换折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理;分析如图,∵正方形ABCD 的对角线长为22,即BD=22,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°,∴AB=BDcos∠ABD=BDcos45°=222=22⨯; ∴AB=BC=CD=AD=2;由折叠的性质：A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD,∴图中阴影部分的周长为A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8;9. 2012湖南岳阳3分如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,沿AD 折叠,使点B 落在斜边AC 上,若AB=3,BC=4,则BD= ▲ ． 答案32; 考点翻折变换折叠问题;1052629分析如图,点E 是沿AD 折叠,点B 的对应点,连接ED,∴∠AED=∠B=90°,AE=AB=3,∵在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,∴2222AC=AB +BC 3+45==;∴EC=AC﹣AE=5﹣3=2;设BD=ED=x,则CD=BC ﹣BD=4﹣x,在Rt△CDE 中,CD 2=EC 2+ED 2,即：4﹣x 2=x 2+4,解得：x=32;∴BD=32; 10. 2012四川达州3分将矩形纸片ABCD,按如图所示的方式折叠,点A 、点C 恰好落在对角线BD上,得到菱形BEDF.若BC=6,则AB 的长为 ▲ .答案23;考点翻折变换折叠问题,折叠的性质,菱形和矩形的性质,勾股定理;分析设BD 与EF 交于点O;∵四边形BEDF 是菱形,∴OB=OD=12BD; ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠C=90°;设CD=x,根据折叠的性质得：OB=OD= CD=x,即BD=2x,在Rt△BCD 中,BC 2+CD 2=BD 2,即62+x 2=2x 2,解得：x=23;∴AB=CD=23;11. 2012贵州黔西南3分把一张矩形纸片矩形ABCD 按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF,若AB ＝3cm,BC ＝5cm,则重叠部分△DEF 的面积为 ▲ cm 2;答案5110;考点折叠问题,折叠的性质,矩形的性质,勾股定理;分析设ED=x,则根据折叠和矩形的性质,得A′E=AE=5－x,A′D=AB=3;根据勾股定理,得222ED A E A D ='+',即()222x 5x 3=-+,解得17x 5=; ∴DEF 11751S 3=2510∆=⋅⋅cm 2; 12. 2012河南省5分如图,在Rt△ABC 中,∠C=900,∠B=300,BC=3,点D 是BC 边上一动点不与点B 、C 重合,过点D 作DE⊥BC 交AB 边于点E,将∠B 沿直线DE 翻折,点B 落在射线BC 上的点F 处,当△AEF 为直角三角形时,BD 的长为 ▲答案1或2;13. 2012内蒙古包头3分如图,将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折,使点A 落在BC 边上的A ′点处,且DE ∥BC ,下列结论：① ∠AED ＝∠C ；② A D A E DB EC''=； ③ BC= 2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边;其中正确结论的个数是 ▲ 个;答案4;考点折叠问题,折叠对称的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系,三角形中位线定理,全等、相似三角形的判定和性质;分析①∵DE ∥BC,∴根据两直线平行,同位角相等,得∠AED ＝∠C;∴①正确;②∵根据折叠对称的性质,A ′D=AD,A ′E=AE;∵DE ∥BC,∴根据两直线分线段成比例定理,得AD AE DB EC =;∴A D A E DB EC ''=;∴②正确;③连接A A ′,∵根据折叠对称的性质,A ,A ′关于DE 对称;∴A A ′⊥DE;∵DE ∥BC,∴A A ′⊥BC;∵A ′D=AD,∴∠DA A ′＝∠D A ′A;∴∠DB A ′＝∠D A ′B;∴BD= A ′D;∴BD=AD;∴DE 是△ABC 的中位线;∴BC= 2DE;∴③正确;④∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE;∵由③BC= 2DE,∴ADE ABC 1S S 4∆∆=;∵根据折叠对称的性质,△ADE ≌△A ′DE;∴ABC AD A E 1S S 2∆'=四形边;∴BD A E A C ABC 1S S =S 2∆'∆'∆+,即BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边;∴④正确;综上所述,正确结论的个数是4个;14. 2012黑龙江绥化3分长为20,宽为a 的矩形纸片10＜a ＜20,如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形称为第一次操作；再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形称为第二次操作；如此反复操作下去,若在第n 次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作停止．当n=3时,a 的值为 ▲ .答案12或15;考点翻折变换折叠问题,正方形和矩形的性质,剪纸问题,分类归纳图形的变化类;分析根据操作步骤,可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中,哪一条边是矩形的宽;当10＜a ＜20时,矩形的长为20,宽为a,所以,第一次操作时,所得正方形的边长为a,剩下的矩形相邻的两边分别为20－a,a;第二次操作时,由20－a＜a可知所得正方形的边长为20－a,剩下的矩形相邻的两边分别为20－a,a－20－a=2a－20;∵20－a－2a－20=40－3a,∴20－a与2a－20的大小关系不能确定,需要分情况进行讨论;第三次操作时,①当20－a＞2a－20时,所得正方形的边长为2a－20,此时,20－a－2a－20=40－3a,∵此时剩下的矩形为正方形,∴由40－3a=2a－20得a=12;①当2a－20＞20－a时,所得正方形的边长为20－a,此时,2a－20－20－a=3a－40,∵此时剩下的矩形为正方形,∴由3a－40=20－a得a=15;故答案为12或15;15. 2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分如图所示,沿DE折叠长方形ABCD的一边,使点C落在AB边上的点F处,若AD=8,且△AFD的面积为60,则△DEC的面积为▲答案2898;考点翻折变换折叠问题,矩形的性质,折叠对称的性质,勾股定理; 分析∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,BC=AD=8,CD=AB;∵△AFD的面积为60,即12ADAF=60,解得：AF=15;∴DF17==;由折叠的性质,得：CD=CF=17;∴AB=17;∴BF=AB－AF=17－15=2; 设CE=x,则EF=CE=x,BE=BC－CE=8－x,在Rt△BEF中,EF2=BF2＋BE2,即x2=22＋8－x2,解得：x=174,即CE=174,∴△DEC的面积为：12CDCE=12×17×17289=48;三、解答题1. 2012天津市10分已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A11,0,点B0,6,点P为BC边上的动点点P不与点B、C重合,经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP．设BP=t．Ⅰ如图①,当∠BOP=300时,求点P的坐标；Ⅱ如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t 的式子表示m ；Ⅲ在Ⅱ的条件下,当点C′恰好落在边OA 上时,求点P 的坐标直接写出结果即可． 答案解：Ⅰ根据题意,∠OBP=90°,OB=6;在Rt△OBP 中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t;∵OP 2=OB 2+BP 2,即2t 2=62+t 2,解得：t 1=23,t 2=－23舍去． ∴点P 的坐标为23 ,6;Ⅱ∵△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP;∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC;∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°;∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ;又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ;∴OB BP PC CQ=; 由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11－t,CQ=6－m ．∴6t 11t 6m =--;∴2111m t t 666=-+0＜t ＜11; Ⅲ点P 的坐标为11133-,6或11+133,6; 考点翻折变换折叠问题,坐标与图形性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质;分析Ⅰ根据题意得,∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP 中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理,即可得方程,解此方程即可求得答案;Ⅱ由△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QC P 折叠得到的,可知△OB′P≌△OBP, △QC′P≌△QCP,易证得△OBP∽△PCQ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;Ⅲ首先过点P 作PE⊥OA 于E,易证得△PC′E∽△C′QA,由勾股定理可求得C′Q 的长,然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+,即可求得t 的值： 过点P 作PE⊥OA 于E,∴∠PEA=∠QAC′=90°;∴∠PC′E+∠EPC′=90°;∵∠PC′E+∠QC′A=90°,∴∠EPC′=∠QC′A ;∴△PC′E∽△C′QA;∴PE PC AC C Q'='';∵PC′=PC=11－t,PE=OB =6,AQ=m,C′Q=CQ=6－m, ∴22AC C Q AQ 3612m '='-=-; ∴611t 6m3612m -=--; ∵6t 11t 6m =--,即611t t 6m -=-,∴66=t3612m -,即23612m=t -; 将2111m t t 666=-+代入,并化简,得23t 22 t 36=0-+;解得：12111311+13t t 33-==，; ∴点P 的坐标为11133-,6或11+133,6; 2. 2012海南省11分如图1,在矩形ABCD 中,把∠B、∠D 分别翻折,使点B 、D 分别落在对角线BC 上的点E 、F 处,折痕分别为CM 、AN.1求证：△AND≌△CBM.2请连接MF 、NE,证明四边形MFNE 是平行四边形,四边形MFNE 是菱形吗请说明理由3P 、Q 是矩形的边CD 、AB 上的两点,连结PQ 、CQ 、MN,如图2所示,若PQ=CQ,PQ∥MN;且AB=4,BC=3,求PC 的长度.答案1证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠B,AD=BC,AD∥BC;∴∠DAC=∠BCA;又由翻折的性质,得∠DAN=∠NAF,∠ECM=∠BCM,∴∠DAN=∠BCM;∴△AND≌△CBMASA;2证明：∵△AND≌△CBM,∴DN=BM;又由翻折的性质,得DN=FN,BM=EM,∴FN=EM;又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC,∴FN∥EM;∴四边形MFNE 是平行四边形;四边形MFNE 不是菱形,理由如下：由翻折的性质,得∠CEM=∠B=900,∴在△EMF 中,∠FEM＞∠EFM;∴FM＞EM;∴四边形MFNE 不是菱形;3解：∵AB=4,BC=3,∴AC=5;设DN=x,则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3 x＋5 x=12,解得x=32,即DN=BM=32;过点N作NH⊥AB于H,则HM=4－3=1;在△NHM中,NH=3,HM=1,由勾股定理,得∵PQ∥MN,DC∥AB,∴四边形NMQP在△CBQ中由勾股定理,得BQ=1;∴NP=MQ=12;∴PC=4－32－12=2;考点翻折问题,翻折的性质,矩形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,菱形的判定,勾股定理;分析1由矩形和翻折对称的性质,用ASA即可得到△AND≌△CBM;2根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明;3设DN=x,则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=32;过点N作NH⊥AB于H,则由勾股定理可得NM=从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ,即可求得;因此,在△CBQ中,应用勾股定理求得BQ=1;从而求解;3. 2012广东省9分如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE 沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合．1求证：△ABG≌△C′DG；2求tan∠ABG的值；3求EF的长．答案1证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成,∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,∴∠ABG=∠ADE;在△ABG≌△C′DG中,∵∠BAG=∠C,AB= C′D,∠ABG=∠AD C′,∴△ABG≌△C′DGASA;2解：∵由1可知△ABG≌△C′DG,∴GD=GB,∴AG+GB=AD;设AG=x,则GB=8﹣x,在Rt△ABG中,∵AB2+AG2=BG2,即62+x2=8﹣x2,解得x=74;∴7AG74tan ABGAB624∠===;3解：∵△AEF是△DEF翻折而成,∴EF垂直平分AD;∴HD=12AD=4;∵tan∠ABG=tan∠ADE=724;∴EH=HD×724=4×77=246;∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,∴HF是△ABD的中位线;∴HF=12AB=12×6=3;∴EF=EH+HF=725 +3=66;考点翻折变换折叠问题,翻折变换的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义,三角形中位线定理;分析1根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,故可得出结论;2由1可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8-x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长,从而得出tan∠ABG的值;3由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=12AD=4,再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线,故可得出HF的长,由EF=EH+HF即可得出结果;4. 2012广东深圳8分如图,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E、交BC于点F,连接AF、CE.1求证：四边形AFCE为菱形；2设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．答案1证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEF=∠EFC;由折叠的性质,可得：∠AEF=∠CEF,AE=CE,AF=CF,∴∠EFC=∠CEF;∴CF=CE;∴AF=CF=CE=AE;∴四边形AFCE为菱形;2解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2;理由如下：由折叠的性质,得：CE=AE;∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°;∵AE=a,ED=b,DC=c,∴CE=AE=a;在Rt△DCE中,CE2=CD2+DE2,∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2;考点翻折变换折叠问题,矩形的性质,折叠的性质,平等的性质,菱形的判定,勾股定理;分析1由矩形ABCD与折叠的性质,易证得△CEF是等腰三角形,即CE=CF,即可证得AF=CF=CE=AE,即可得四边形AFCE为菱形;2由折叠的性质,可得CE=AE=a,在Rt△DCE中,利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2;答案不唯一5. 2012广东珠海9分已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上不含点A、B,把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上．1当P、C都在AB上方时如图1,判断PO与BC的位置关系只回答结果；2当P在AB上方而C在AB下方时如图2,1中结论还成立吗证明你的结论；3当P、C都在AB上方时如图3,过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,证明：AB=4PD．答案解：1PO与BC的位置关系是PO∥BC;21中的结论PO∥BC成立;理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO;又∵OA=OP,∴∠A=∠APO;∴∠A=∠CPO;又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角,∴∠A=∠PCB;∴∠CPO=∠PCB;∴PO∥BC;3证明：∵CD为圆O的切线,∴OC⊥CD;又∵AD⊥CD,∴OC∥AD;∴∠APO=∠COP;由折叠可得：∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP;又∵OA=OP,∴∠A=∠APO;∴∠A=∠APO=∠AOP;∴△APO为等边三角形;∴∠AOP=60°;又∵OP∥BC,∴∠OBC=∠AOP=60°;又∵OC=OB,∴△BC为等边三角形;∴∠COB=60°;∴∠POC=180°﹣∠AOP+∠COB=60°;又∵OP=OC,∴△POC也为等边三角形;∴∠PCO=60°,PC=OP=OC;又∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°;在Rt△PCD中,PD=12 PC,又∵PC=OP=12AB,∴PD=14AB,即AB=4PD;考点折叠的性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,平行的判定和性质,切线的性质,全等三角形的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质;6. 2012福建龙岩12分如图1,过△ABC的顶点A作高AD,将点A折叠到点D如图2,这时EF 为折痕,且△BED和△CFD都是等腰三角形,再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG 折叠,使B、C两点都与点D重合,得到一个矩形EFGH如图3,我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．1若△ABC的面积为6,则折合矩形EFGH的面积为；2如图4,已知△ABC,在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；3如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,那么,BC边上的高AD= ,正方形EFGH的对角线长为．答案解：13;2作出的折合矩形EFGH：32a ；;考点新定义,折叠问题,矩形和正方形的性质,勾股定理;分析1由折叠对称的性质,知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半,2按题意,作出图形即可;3由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,那么,正方形边长为a,BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a;根据勾股定理可得正方形EFGH;7. 2012福建龙岩13分矩形ABCD中,AD=5,AB=3,将矩形ABCD沿某直线折叠,使点A的对应点A′落在线段BC上,再打开得到折痕EF．1当A′与B重合时如图1,EF= ；当折痕EF过点D时如图2,求线段EF的长； 2观察图3和图4,设BA′=x,①当x的取值范围是时,四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下,利用图4证明四边形AEA′F是菱形．答案解：15;由折叠轴对称性质知A′D=AD=5,∠A=∠EA′D=900;在Rt△A′DC中,DC=AB=2,∴ A C4'==;∴A′B=BC－A′C=5－4=1;∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=900,∴∠BEA′=∠FA′C;又∵∠B=∠C=900,∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF;∴A E A BA F FC''=',即A E153'=∴5A E3 '=;在Rt△A′EF中,EF;2①3x5≤≤;②证明：由折叠轴对称性质知∠AEF=∠FEA′,AE=A′E,AF=A′F;又∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEA′ ;∴∠AEF=∠AFE ;∴AE=AF;∴AE=A′E=AF=A′F;∴四边形AEA′F 是菱形;考点折叠的性质,矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,平行的性质,等腰三角形的性质,菱形的判定;分析1根据折叠和矩形的性质,当A′与B 重合时如图1,EF= AD=5;根据折叠和矩形的性质,以及勾股定理求出A′B 、A′F 和FC 的长,由Rt△EBA′∽Rt△A′CF 求得5A E 3'=,在Rt△A′EF 中,由勾股定理求得EF 的长; 2①由图3和图4可得,当3x 5≤≤时,四边形AEA′F 是菱形;②由折叠和矩形的性质,可得AE=A′E,AF=A′F;由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF;从而AE=A′E=AF=A′F;根据菱形的判定得四边形AEA′F 是菱形;8. 2012湖北恩施8分如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC 的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB 落到线段EA 上,折出点B 的新位置B′,因而EB′=EB．类似地,在AB 上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论． 答案证明：设正方形ABCD 的边长为2,E 为BC 的中点,∴BE=1;∴AE =;又1;1;∴)AB AB 12"=：：;∴点B″是线段AB 的黄金分割点; 考点翻折折叠问题,正方形的性质,勾股定理,折叠对称的性质,黄金分割;分析设正方形ABCD 的边长为2,根据勾股定理求出AE 的长,再根据E 为BC 的中点和翻折不变性,求出AB″的长,二者相比即可得到黄金比;9. 2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分如图,抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于A ﹣1,0,B4,0两点,交y 轴于点C,与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D,点P 是抛物线上一动点． 1求抛物线解析式及点D 坐标；2点E 在x 轴上,若以A,E,D,P 为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P 的坐标；3过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q′．是否存在点P,使Q′恰好落在x 轴上若存在,求出此时点P 的坐标；若不存在,说明理由． 答案解：1∵抛物线y=ax 2+bx+2经过A ﹣1,0,B4,0两点,。
