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江苏省2010年普通高校专转本选拔统一考试
数 学 试 题
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.设当0x →时，函数()sin f x x x =-与()n g x ax =是等价无穷小，则常数,a n 的值为( )
A. 1,36a n ==
B. 1,33a n ==
C. 1,412a n ==
D. 1,46
a n == 2.曲线223456
x x y x x -+=-+的渐近线共有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3.设函数22
()cos t x x e tdt Φ=⎰，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于( ) A. 222cos x xe x B. 222cos x xe x - C. 2cos x xe x - D. 22cos x e x -
4.下列级数收敛的是( )
A. 11n n n ∞=+∑
B. 21
21n n n n ∞=++∑ C. 1n n ∞= D. 212n n n ∞=∑ 5.二次积分11
01(,)y dy f x y dx +⎰
⎰交换积分次序后得( ) A.
1101(,)x dx f x y dy +⎰⎰ B. 2110(,)x dx f x y dy -⎰⎰ C. 2111(,)x dx f x y dy -⎰⎰ D. 2111
(,)x dx f x y dy -⎰⎰ 6.设3()3f x x x =-，则在区间(0,1)内( )
A. 函数()f x 单调增加且其图形是凹的
B. 函数()f x 单调增加且其图形是凸的
C. 函数()f x 单调减少且其图形是凹的
D. 函数()f x 单调减少且其图形是凸的
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
7. 1lim()1
x x x x →∞+=- 8. 若(0)1f '=，则0()()lim x f x f x x
→--= 9. 定积分31
2111x dx x -++⎰的值为
10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k ==，若a 与b 垂直，则常数k = 绝密★启用前
11.
设函数z =10x y dz
=== 12. 幂级数0
(1)n
n n x n ∞=-∑的收敛域为
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限2011lim()tan x x x x
→- 14、设函数()y y x =由方程2x y y e
x ++=所确定，求22,dy d y dx dx
15、求不定积分arctan x xdx ⎰
16
、计算定积分40⎰
17、求通过点(1,1,1)，且与直线23253x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直，又与平面250x z --=平行的直
线的方程。
18、设2(,)x
z y f xy e =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂
19、计算二重积分D
xdxdy ⎰⎰，其中D
是由曲线x =y x =及x 轴所围
成的闭区域。
20、已知函数x y e =和2x y e -=是二阶常系数齐次线性微分方程"'0y py qy ++=的两个解，试确定常数p,q 的值，并求微分方程"'x y py qy e ++=的通解。
四、证明题（每小题9分，共18分）
21、证明：当1x >时，121122
x e x ->+
22、 设(),0,()1,
0,x x f x x x ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数，且'(0)0,(0)1ϕϕ==，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导。
五、综合题（每小题10分，共20分）
23、设由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。
24、设函数()f x 满足方程'()()2x
f x f x e +=，且(0)2f =，记由曲线'()()f x y f x =与直线1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞
