《圆锥曲线》---------双曲线
主要知识点
1、双曲线的定义:
(1)定义：_____________________________________________________________
(2)数学符号：________________________
(3)应注意问题：
2
点坐标？
3、双曲线的几何性质
（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？
（3）当时b a =，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法
（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22221(0,0)x y a b b a
-=>>），则渐近线方程为
________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为
__________________________。
（2）待定系数法求双曲线的方程 ①与双曲线22221x y a b
-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；
②若双曲线的渐近线方程是b y x a =±
，则双曲线的方程可表示为_____________________； ③与双曲线22221x y a b
-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为
______________________________________；
⑤与椭圆22221x y a b
+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。
5．双曲线离心率的有关问题
（1）c e a
=，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。
（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e =
（3）双曲线离心率及其范围的求法。 ①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。
②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；b ．通过判别式?；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算
（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？
（2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________
二、典型例题：
考点一：双曲线的定义
例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2+y 2=2外切，与圆C 2：(x -4)2+y 2
=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
变式训练：由双曲线4
922y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.
巩固训练：(1). F 1、F 2是双曲线162x －20
2y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.
(2).过双曲线x 2-y 2
=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 . (3).一动圆与两定圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为
A.椭圆
B. 双曲线
C.双曲线的一支
D.抛物线
考点二：双曲线的方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线16
922y x -=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；
（2）与双曲线4
1622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）. 变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y =0,
（1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程；
（2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程；
（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.
巩固训练：(1)求与椭圆22
1255
x y +=共焦点且过点的双曲线的方程； (2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；
(3)已知双曲线的离心率e =(5,3)M - ，求双曲线的方程；
(4)与双曲线142
2
=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程; (5)已知双曲线12222=-b
y a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.
(6).已知方程22
121
x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.
考点三：双曲线的几何性质
例3 双曲线C ：22
22
b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上
存在一点P ，使AP ·=0，求此双曲线离心率的取值范围.
变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.
巩固训练：（1）已知双曲线12222=-b
y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：
A.1
B. 2
C.3
D.4
(2)已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3
π，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.233
(3)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.
(4)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为F (4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为:
A. 8
B. 16
C. 20
D. 24
考点四：双曲线的离心率
例1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 1作垂直于X 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。 变式训练：
1、若△AF 2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。
2、若△AF 2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
3、若△AF 2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
巩固训练：
1、已知F 1、F 2分别是双曲线 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 2作倾斜角为?60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
2、已知F 1、F 2分别是双曲线 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围为_______,有两个公共点，则k 的取值范围为_______,有一个公共点，则k 的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则k 的取值范围为_______。
考点五：双曲线中的焦点三角形
例、设F 1和F 2为双曲线2
2
x y 1169
-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600求△F 1PF 2的面积 变式训练：设F 1和F 2为双曲线2
2
x y 1169
-=的两个焦点，P 是双曲线上一点， 已知∣PF 1∣∣PF 2∣=32,求∠F 1PF 2的余弦值与三角形F 1PF 2面积
巩固训练： 1. 双曲线22
1169
x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是____________
2、已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是 ．
3、 设F 1和F 2为双曲线2
2x y 14
-=的两个焦点，P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=900, 则三角形F 1PF 2面积是 4、设F 1和F 2为双曲线2
2
x y 1169
-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600则P 点到F 1和F 2两点的距离之和为___________ 5、已知双曲线C 22
22x y 1a b
-=（a>0,b>0）的两个焦点为F 1(-2,0) ,F 2(2,0),点P （3，
）在双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）记O 在坐标原点，过Q （0，2）的
直线L 与双曲线C 相交于不同的两点E,F ，若△OEF 的面积，求直线L 的方程 考点六：直线和双曲线的位置关系
例4. 已知曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率e =l 过A (a ，0)、B
(0,)b -两点，原点O 到l 的距离是2
。(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?ON OM ，求直线m 的方程。
变式训练：直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.