2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点9-排列组合(Word版,含解析)

热门题型 题型1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 题型2 排列数与组合数的计算 题型3 与排列相关的常见问题 题型4 与组合相关的常见问题 题型5 排列组合的综合应用

题型1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 例1 (1)设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P(x，y)． ①若x＋y≤6，这样的P点有________个． ②若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P点又有________个． (2)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ (3)已知a∈{－1，2，3}，b∈{0，1，3，4}，r∈{1，2}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2所表示的不同的圆的个数有________．

（2）方法一：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个． 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 方法二：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． （3）∵a∈{－1，2，3}，∴a有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，∴共有3×4×2＝24个不同的圆． 【解题技巧】利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定． 如(1)①题中完成这件事分5类即可；(3)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终． 变式1.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）. A.24 B.18 C. 12 D.9 解析 从EF的最短路径有6种走法，从F→G的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318种走法. 选B．

题型2 排列数与组合数的计算 例2.（2016江苏23）（1）求34677C4C的值；（2）设*,mnN，nm…，求证： 121C2C3Cmmmmmmmmm212C1C1Cmmmnnnnnm



．

所以左边 211122311CCCCmmmmmmmnm2113311CCC=mmmmmnm21411CCmmmnm





21+111CCmmnnm



2+21Cmnm右边．

证法二（数学归纳法）：对任意的*mN， ①当nm时，左边1C1mmmm，右边221C1mmmm，等式成立. ②假设nkkm…时命题成立，即121C2C3Cmmmmmmmmm 212C1C1Cmmmkkkkkm

， 当1nk时，左边121C2C3Cmmmmmmmmm11C1C2Cmmmkkkkkk 2211C2Cmmkkmk

.

因此222131C2C1Cmmmkkkmkm，因此左边右边，因此1nk时命题也成立． 综合①②可得命题对任意nm…均成立． 评注 本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考

查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有111CCCmmmkkk，CCmkmkk，11CCkknnkn，而且还有此题中出现的111C1Cmmkkkm,1,,kmmn，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．

题型3 与排列相关的常见问题 例3 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面； (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端． 解析： (1)从7个人中选5个人来排，是排列．有A75＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件． (3)(优先法) (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种． (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法， 故共有A44×A53＝1 440种． (6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A53·A3

3

＝720种． (7)(消序法)A772＝2 520. (8)(间接法)A77－2A66＋A55＝3 720. 位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类． 【解题技巧】求解排列应用题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中

消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法

题型4 与组合相关的常见问题 例4 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选； (4)至少有2名女生当选； (5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

第二步：选2男1女补足5人有C62C41种； 第三步：为这3人安排工作有A33种． 由分步乘法计数原理共有C71C51C62C41A33＝12 600种选法． 【解题技巧】组合问题常有以下两类题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

题型5 排列组合的综合应用 例5 （2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）. 解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四

个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A120个(或4454CA120个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454CCA960.故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N个. 【高考真题链接】 1.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）

解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326CC种选法，2女2男有2226CC种选法； 第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A种选法． 所以共有 1322226264CCCCA22011512660种选法．

2.（2013浙江理14）将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排，且BA,均在C的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可。 当C在左边第1个位置时,有55A； 当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可以选,有2343AA； 当C在左边第3个位置时,有23233323AAAA， 共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有480种.

3.（2013山东理10）用0，1，，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A. 243 B. 252 C. 261 D. 279