控制系统的数学模型

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控制工程数学模型

控制⼯程数学模型

1 控制系统的数学模型

数学模型是描述系统输⼊量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数⽅程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程，描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。

对于给定动态系统，数学模型表达不唯⼀。⼯程上常⽤的有：微分⽅程，传递函数和状态⽅程。不过对于线性系统，它们之间是等价的。

2 建⽴数学模型的⽅法

1. 解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式，建⽴模型。2. 实验法

⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近，这种⽅法也称为系统辨识。

3 数学模型的形式

1. 时间域微分⽅程差分⽅程状态⽅程（⼀阶微分⽅程组）2. 复数域传递函数结构图3. 频率域

频率域

4 建⽴数学模型的⼀般步骤

⽤解析法列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤是：1. 分析系统⼯作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。2. 从系统输⼊端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件、部件的动态微分⽅程。3. 消去中间变量，得到⼀个描述元件或系统输⼊、输出变量之间关系的微分⽅程。4. 写成标准化形式。与输⼊有关项放在等式右侧，与输出有关项放在等式左侧，且各阶导数项按降幂排列。

5 控制系统微分⽅程的列写

5.1 机械系统

在机械系统中，有些构件惯性和刚度较⼤，有些构件惯性较⼩、柔度较⼤。

我们将前者的弹性忽略视其为质量块，将后者的惯性忽略视其为⽆质量弹簧。

这样，机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。1. 质量

2. 弹簧

3. 阻尼

5.1.1 机械平移系统列出各元件的动态微分⽅程：

常见控制系统的数学模型介绍

1.控制系统简介

根据不同的系统分类需要建立不同的数学模型，常见分类如下：

按输入信号类型：

定值控制：输入一个定值，期望被控对象恒定。例如定速巡航、恒温控制等

程序控制：规律性输入，期望被控对象按一定规律执行。例如自动驾驶，热处理等，洗衣机

随动控制：输入参数不确定，期望被控对象根据输入做出规律反应。例如：雷达跟踪、天气检测等。

根据系统信息流传递分类：

连续系统：时间连续性、空间连续性，用微分方程描述

离散系统：计算机，用差分方程描述

按系统自身特性分类：

线性系统：组成系统的所有元件或子系统都是线性的，具有叠加性，例如加法和乘法

非线性系统：至少有一个元件是非线性的

按系统输入输出：

单输入单输出：经典控制理论

多输入多输出：现代控制理论

按控制规律：

经典控制系统

现代控制系统

模糊控制系统

神经网络控制系统

。。。。。。

2. 怎么建立一个控制系统的数学模型

根据上述分类过程，可以获得对应的数学模型描述：单输入单输出、多输入多输出；定常参数、时变参数；连续、离散；集中参数系统、分布参数系统等等。（集中参数系统意思是变量仅是时间的函数，分布参数系统变量不仅是时间的函数，还是空间的函数）

2.1 机理建模根据系统塞恩运动学或动力学规律进行建模，也就是分析法，或者说专家知识。例如：牛顿定律，麦克斯韦方程等。这种方式建立成功时，十分精确，但需要大量的专家精力。这是该课程的主要关注方式，要求模型必须准确，且抓住主要因素，尽可能简化数学模型。

2.2 实验建模

给系统施加特定的输入，记录系统的变化情况，通过分析输入输出情况，去拟合出一个数学模型，这种方式类似于当前神经网络的方法。这种方式也称为辨识模型，同样要耗费大量的时间成本，而且模型没有机理建模准确。但会用于没法获得专家知识的情况，例如涡流、大型电网等，一个是物理研究未达到，一个是超大模型，专家力不能及。

2.3 混合模式

尽管课程中未提及，但我认为这应该属于智能控制的范畴，专家给出一定的机理分析，给辨识模型提出起点，使其能更好的找到辨识方向，同时约束了辨识模型。这在一定程度上获得了机理建模的准确性和辨识建模的泛用性，获得了两种模型的优势。在后面的项目中，主要研究该课题，方向在机器人和无人机的自主控制。

内部控制系统评价定量分析的数学模型

随着企业规模的扩大和风险的增加，内部控制系统的评价变得越来越重要。为了对内部控制系统进行全面、准确的评价，需要借助数学模型来进行定量分析。本文将介绍内部控制系统评价定量分析的数学模型，并探讨其应用。

一、概述

内部控制是指企业为实现经营目标，确保资产的安全、准确记录交易、遵循法规、规范业务流程等各类控制措施的总称。内部控制系统评价的目的是评估企业内部控制体系的有效性和可行性，为企业管理者提供改进措施。

二、数学模型

1. 贝叶斯网络模型

贝叶斯网络模型是一种概率图模型，通过描述事物间的相互关系，分析因果关系的强弱，从而评估内部控制系统的有效性。通过建立各个控制点的贝叶斯网络模型，可以量化各项控制措施对于风险的影响程度，并计算出整体的风险水平。

2. 层次分析模型

层次分析模型是一种定量分析方法，通过对内部控制系统的各个要素进行分层次的两两比较和权重分配，来评估内部控制系统的整体性能。通过构建层次分析模型，可以确定内部控制系统各项要素的重要性，并为改进措施的制定提供数学依据。

3. 控制链模型

控制链模型是通过描述内部控制系统中控制要素的依赖关系，评估控制链的强弱程度。通过量化各个控制要素的控制力度和被控制程度，可以评估控制链的可靠性和有效性，为内部控制系统的改进提供指导。

三、应用案例

以某企业的采购管理为例，应用数学模型评价内部控制系统的有效性。

1. 建立贝叶斯网络模型

根据采购管理的各项控制措施，建立贝叶斯网络模型，包括供应商审核、采购订单审核、收货检验等多个节点。通过概率计算和条件推理，评估各个节点的风险水平，并计算出整体的风险水平。

2. 构建层次分析模型

将采购管理的各个要素进行层次化比较和权重分配，包括采购流程、内部审核、采购人员素质等。通过计算各个要素的权重，评估内部控制系统的整体性能，并为改进提供决策支持。

3. 评估控制链的可靠性通过分析采购管理的各个控制要素之间的依赖关系，量化控制链的可靠性。从供应商筛选、数据录入、订单审核到收货检验等环节，评估控制链中的薄弱环节，并提出改进建议。