(整理)自动控制系统的数学模型

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精品文档 第二章 自动控制系统的数学模型

教学目的：

（1） 建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2） 掌握传递函数的概念及求法。

（3） 通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4） 通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5） 掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6） 通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力

教学要求：

（1） 正确理解数学模型的特点；

（2） 了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；

（3） 牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；

（4） 掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；

（5） 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；

（6） 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：

有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换； 求第K条前向通道特记式的余子式k。

教学方法：讲授

本章学时：10学时

主要内容：

2.0 引言

2.1 动态微分方程的建立

2.2 线性系统的传递函数

2.3 典型环节及其传递函数

2.4系统的结构图

2.5 信号流图及梅逊公式

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精品文档 2.0引言：

什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？

1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。

２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数

2. 建立动态模型的方法

１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。

２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。

3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。

2.1动态微分方程的建立

无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。

为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程的步骤：

1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。

2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分

方程（或运动方程）。

3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。

二、举例

例1 R—L—C电路

根据电路基本原理有:

dtduciuuLRcrcdtdii 精品文档

精品文档 rcccuudtduRcdtudLc22

例2 质量－弹簧－阻尼系统

由牛顿定律： maF

22dtydmdtdyfkyF

Fkydtdyfdtydm22

3） 电动机：

电路方程： aaaaariRdtdiLEu (1)

动力学方程： dtdJMMc (2)

(4) (3)

addaikMkE

(4) (2) 得：(5)

dcdakMdtdkJi 精品文档

精品文档 (3)(5)(1) 得：

)(22cdacaarddadaMkRdtdMRLukdtdkJRdtdkJL

整理并定义两个时间常数

mdaTkJR2 机电时间常数

aaaTRL 电磁时间常数

 电机方程

(........)122rdmmaukdtdTdtdTT

如果忽略阻力矩 即0cM，方程右边只有电枢回路的控制量ru，则电机方程是一典型二阶方程

如果忽略aT（0aT）电机方程就是一阶的

rdmukdtdT1

小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。

2.2线性系统的传递函数

求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.

1. 传递函数的定义：

传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

线性定常控制系统微分方程的一般表达式：

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 精品文档

精品文档 )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，),,3,2,1(niai和),,2,1(mjbj是与系统结构和参数有关的常系数。

设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：

)(][)(][11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn

于是，由定义得系统传递函数为：

)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm

式中mmmmbsbsbsbsM1110)(

nnnnasasasasN1110)(

2. 关于传递函数的几点说明：

1）传递函数的概念只适应于线性定常系统。

2）G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

3）传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关。

4）传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律。

5）传递函数分子多项式阶次（m）小于等于分母多项式的阶次（n）。

6）传递函数与微分方程之间的关系。

)()()(sRsCsG

如果将dtdS置换 微分方程传递函数

7）脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲)(t输入时的输出响应。

因为 1)]([)(tLsR

ttdgtrdtgtrsRsCLsCLtc0011)()()()()]()([)]([)(

传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

3.传递函数的求法： 精品文档

精品文档 图 2-6

输入量Xr=u，输出量Xc=i。列回路电压方程：

u=Ri+Ldtdi （2—27）

即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）

经整理得：)()(sXrsXc=1/11sTR （2—29）

其中 Tl=RL,为电路的时间常数。

思考题：

)0()0()(][('222ysysysdtydL，什么是零初始条件？

如何从该框图求得与之间的关系？

传递函数从微分方程

2.3典型环节及其传递函数

任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。下面分别加以介绍： 精品文档

精品文档 1． 比例环节

KsG)(

式中 K——增益

特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。

2． 惯性环节

11)(TSsG

式中 T——时间常数

特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。

3． 微分环节

理想微分 KSsG)(

一阶微分 1)(SsG

二阶微分 12)(22SSsG

特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。

实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。

4．积分环节

SsG1)(

特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。

5． 振荡环节

1212)(22222TSSTSSsGnnn

式中 ξ——阻尼比)10(

n——无阻尼自然振荡频率

nT1

特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。

6． 纯时间延时环节

)()(trtc