2017-2018学年广东省佛山市高一(上)期末数学试卷
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第1页（共21页）2017-2018学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请
将正确的选项填在答题卷上）
1．（5分）已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{﹣1，0，1}和B＝{x|x2
＝x}关系的韦恩（Venn）
图是（）
A．B．
C．D．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+∞）上是增函数的是（）
A．y＝ex
﹣e﹣x
B．y＝C．y＝sinxD．y＝ln|x|
3．（5分）已知＝（1，0），＝（1，1），且（），则λ＝（）
A．2B．1C．0D．﹣1
4．（5分）已知tanα＝﹣，，则sinα﹣cosα＝（）
A．B．C．D．
5．（5分）函数y＝x2
+ln|x|的图象大致为（）
A．B．
C．D．
第2页（共21页）6．（5分）已知＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则||＝（）
A．2B．C．D．1
7．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，则使得f（2x
）＞f（）成立的x的
取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）
8．（5分）如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则＝（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知α，β为锐角，且tanα＝7，sin（α﹣β）＝，则cos2β＝（）
A．B．C．D．
10．（5分）若0＜a＜b＜1，则错误的是（）
A．a3
＜b2
B．2a
＜3b
C．log
2a＜log
3bD．log
a2＜log
b3
11．（5分）将函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的图象向右平移θ个单位后得到的图象关于直
线x＝对称，则θ的最小正值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发，绕着点O逆时针旋
转，在旋转的过程中，记∠AOP＝x（0＜x＜π），OP所经过的单位圆O内区域（阴影部
分）的面积为S，记S＝f（x），则下列选项判断正确的是（）
第3页（共21页）A．当x＝时，S＝
B．当任意x
1，x
2∈（0，π），且x
1≠x
2，都有＜0
C．对任意x∈（0，），都有f（）+f（）＝π
D．对任x∈（0，），都有f（x+）＝f（x）+
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）计算：＝．
14．（5分）在平行四边形ABCD中，E为AB上的中点．若DE与对角线AC相交于F．且
＝，则λ＝．
15．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：
①定义域为R；
②值域为[0，1]；
③f（x）﹣f（﹣x）＝0．
试写出一个函数解析式f（x）＝．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），x∈R，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|
的图象的交点共有个．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答必须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知cos，．
（1）求sin2α的值；
（2）求cos（）cos（）的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示
（1）求函数的解析式．
第4页（共21页）（2）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
19．（12分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝，点P为矩形内一点，且||＝1，
设，∠BAP＝α
（1）当α＝，求的值
（2）（）的最大值．
20．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、
呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于
或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或
等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变
化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f（x）＝．
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82
≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）
第5页（共21页）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝6﹣2x，设H（x）＝min{f（x），g（x）}（其
中min{p，q}表示p，q中的较小者）．
（1）在坐标系中画出H（x）的图象；
（2）设函数H（x）的最大值为H（x
0），试判断H（x
0）与1的大小关系，并说明理由，
（参考数据：ln2.5≈0.92，ln2.625≈0.97，ln2.75≈1.01．）
22．（12分）已知f（x）＝x|x﹣a|（a＞0），
（1）当a＝2时，求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值；
（2）对任意的x
1，x
2∈[﹣1，1]，都有|f（x
1）﹣f（x
2）|≤4成立，求实数a的取值范围．
第6页（共21页）2017-2018学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请
将正确的选项填在答题卷上）
1．（5分）已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{﹣1，0，1}和B＝{x|x2
＝x}关系的韦恩（Venn）
图是（）
A．B．
C．D．
【分析】先求出集合B，结合元素关系判断B是A的真子集，即可得到结论．
【解答】解：B＝{0，1}，
则B?A，
则对应的Venn图是B，
故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图的应用，求出集合元素，判断集合关系是解决本题的关键．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又是在区间（1，+∞）上是增函数的是（）
A．y＝ex
﹣e﹣x
B．y＝C．y＝sinxD．y＝ln|x|
【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否命题即可．
【解答】解：A．f（﹣x）＝e﹣x
﹣ex
＝﹣（ex
﹣e﹣x
）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，
∵y＝ex
是增函数，y＝e﹣x
是减函数，则y＝ex
﹣e﹣x
是增函数，满足条件．，
B．y＝的定义域为[0，+∞），则函数为非奇非偶函数，不满足条件．
C．y＝sinx是奇函数，则（1，+∞）上不单调，不满足条件．
D．f（﹣x）＝ln|﹣x|＝ln|x|＝f（x）是偶函数，不满足条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性的
性质是解决本题的关键．
3．（5分）已知＝（1，0），＝（1，1），且（），则λ＝（）
第7页（共21页）A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得（）的坐标，由向量垂直与向量
数量积的关系可得（）?＝（1+λ）×1+0＝0，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，已知＝（1，0），＝（1，1），
则（）＝（1+λ，λ），
若（），则（）?＝（1+λ）×1+0＝0，
解可得λ＝﹣1；
故选：D．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系．
4．（5分）已知tanα＝﹣，，则sinα﹣cosα＝（）
A．B．C．D．
【分析】由已知求得α值，进一步求得sinα、cosα的值得答案．
【解答】解：由tanα＝﹣，且，得α＝，
∴sinα﹣cosα＝sin﹣cos＝．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了特殊角得三角函数值，是基础题．
5．（5分）函数y＝x2
+ln|x|的图象大致为（）
A．B．
第8页（共21页）C．D．
【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．
【解答】解：∵f（﹣x）＝x2
+ln|x|＝f（x），
∴y＝f（x）为偶函数，
∴y＝f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，
当x→0时，y→﹣∞，故排除D，
或者根据，当x＞0时，y＝x2
+lnx为增函数，故排除D，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数
值的变化趋势，属于基础题．
6．（5分）已知＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则||＝（）
A．2B．C．D．1
【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，代入向量模的计算公式求解．
【解答】解：∵＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），
∴＝（cos75°﹣cos15°，sin75°﹣sin15°），
则＝
＝
＝．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量坐标减法运算，考查向量模的求法，是基础题．
7．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，则使得f（2x
）＞f（）成立的x的
取值范围是（）
第9页（共21页）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，
∴不等式f（2x
）＞f（）等价为f（2x
）＞f（），
即2x
＜，即x＜﹣1，
即x的取值范围是（﹣∞，﹣1），
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决
本题的关键．
8．（5分）如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则＝（）
A．B．C．D．
【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则AC＝1，
则∠ABC＝30°，BC＝，
则＝||||cos（180°﹣∠ABC）＝1×＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是基本知识的考查．
9．（5分）已知α，β为锐角，且tanα＝7，sin（α﹣β）＝，则cos2β＝（）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα，cos（α﹣β）的值，进而
利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵α，β为锐角，且tanα＝7，sin（α﹣β）＝，
