磁场中的动态圆问题

1 磁场中的动态圆问题

一、粒子特点：入射粒子速度的方向相同，速度的大小不同，或者是B的大小变化，从而造成轨迹圆的半径不同。

如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大.或者磁感应强B越小，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO上.

解决方法：放缩圆法。粒子的轨迹圆的的圆心轨迹为一条线段，利用圆规作图，不断改变圆心位置找到符合要求的轨迹圆。

例：（多选）如图2所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )

图2

A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场

B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是23t0

C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0

D.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是53t0

解析 带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T＝2t0.作出粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹，如图所示

发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A正确；作出粒子恰好从ab边射出的临界轨迹③④，（从ab边射出意思是不从ad边出， 2 就是和ad边相切，与ab边相切）由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于512个周期，即56t0；圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于16个周期，即13t0，故B正确；作出粒子恰好从bc边射出的临界轨迹②③，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于23个周期，即43t0；圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于512个周期，即56t0，故C正确；若该带电粒子在磁场中经历的时间是56个周期，即53t0.粒子轨迹的圆心角为θ＝53π，速度的偏向角也为53π，根据几何知识得知，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为30°，必定从cd边射出磁场，故D错误.

答案 ABC

例2、如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足( )

A.B>3mv3aq B.B<3mv3aq

C.B>3mvaq D.B<3mvaq

答案 B

解析 若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，

则粒子运动的半径为r0＝atan 30°＝3a.由qvB＝mv2r得r＝mvqB，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<3mv3aq，选项B正确.

3、(多选)(2018·湖北省十堰市调研)如图12所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个 3 顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝3qBL4m从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )

A．PB<1＋34L B．PB<2＋34L

C．QB≤34L D．QB≤12L

答案 BD

解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：

粒子在磁场中的运动轨迹半径为r＝mvBq，因此可得r＝34L，当入射点为P1，圆心为O1，且此刻轨迹正好与BC相切时，PB取得最大值，若粒子从BC边射出，根据几何关系有PB

二、粒子特点：入射粒子速度的方向不相同，速度的大小相同。这些粒子的圆心轨迹是圆，半径和轨迹圆的半径相等。

方法：画出圆心轨迹，做出符合要求的圆。

例1、如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行.在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比qm＝5.0×107 C/kg.现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度.

4 解析 α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动.用R表示轨迹半径，有qvB＝mv2R，

由此得R＝mvqB，

代入数据解得R＝10 cm，可见R

因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某圆轨迹在如图所示中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点.为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1.从图中几何关系得：NP1＝R2l－R2.

再考虑N的右侧.任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.

从图中几何关系得

NP2＝2R2－l2，

所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，

代入数据解得P1P2＝20 cm.

答案 20 cm

变式1、如图所示，直线MN左下侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在磁场中P点有一个粒子源，可在纸面内向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，已知∠POM＝60°，PO间距为L，粒子速率均为v＝3qBL2m，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )

A.πm2qB B.πm3qB

C.πm4qB D.πm6qB

答案 B

解析 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：Bvq＝mv2R，解得：R＝mvBq＝mBq·3BqL2m＝32L；粒子做圆周运动的周期为：T＝2πRv＝3πL3BqL2m＝2πmBq；因为粒子做圆周运动的半径、周期都不变，那么，粒子转过的圆心角越小，则其弦长越小，运动时间越短；所以，过P点作MN的 5 垂线，可知，粒子运动轨迹的弦长最小为：Lsin 60°＝32L＝R，故最短弦长对应的圆心角为60°，所以，粒子在磁场中运动的最短时间为：tmin＝16T＝πm3Bq，故A、C、D错误，B正确．

例3 (2018·重庆市上学期期末抽测)如图7所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，3a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )

A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a

B．粒子的发射速度大小为4πat0

C．带电粒子的比荷为4π3Bt0

D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0

答案 D

解析 根据题意作出沿y轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示，

圆心为O′，根据几何关系，可知粒子做圆周运动的半径为r＝2a，故A错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为2π3 ，运动时间t0＝2π3×2av0，解得：v0＝4πa3t0，选项B错误；沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为2π3，对应运动时间为t0，所以粒子运动的周期为T＝3t0，由Bqv0＝m2πT2r，则qm＝2π3Bt0，故C错误；在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示，

6 由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为4π3，在磁场中的运动时间为2t0，故D正确．

变式3 如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子，粒子射入磁场的速度v＝2qBd3m，不计粒子的重力，则粒子能从PQ边界射出的区域长度为( )

A．d B.23d C.233d D.32d

答案 C

解析 粒子在磁场中运动的半径R＝mvqB＝23d，粒子从PQ边射出的两个边界粒子的轨迹如图所示：

由几何关系可知，从PQ边射出粒子的区域长度为s＝223d2－13d2＝233d，C项正确．