物理-动态圆问题
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动态圆问题物理题型 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.
2.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”“磁聚焦”等模型的适用条件及解决方法．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故
边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．2．解题步骤
分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形3．常见的几种临界情况
(1)直线边界
最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图1，P为入射点，M为出射点．
图1(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应
的圆心角最大．
当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形
磁场对应的圆心角最大．
题型一 “平移圆”模型适
用
条
件速度大小一
定，方向一
定，但入射
点在同一直粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不
同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场
时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入线上射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示mv0qB
轨迹圆圆心
共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定
方法将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，mv0qB
这种方法叫“平移圆”法例1 (多选)如图2所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁
场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN
平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射
速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )qBdm
图2
A．粒子在磁场中的运动半径为d2
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为πmqB
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为πm3qB
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，mvqB
其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d
处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ
区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最T2πmqB短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项T6πm3qB
D正确．
题型二 “旋转圆”模型
速度大小一定，方
向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，
若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝
，如图所示mv0qB
适
用
条
件
轨迹圆圆
心共圆如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入
射点P为圆心、半径R＝的圆上mv0qB
界定
方法将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界mv0qB
条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 如图3所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度
大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入
质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力2qBd3m
及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为( )
图3A．1∶1 B．2∶3 C.∶2 D.∶333
答案 C
解析 粒子在磁场中运动时，Bqv＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，mv2RmvBq23
粒子沿逆时针方向偏转，做匀速圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最
下端，距A点的竖直距离L1＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达R2－(d－R)233
PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝＝d，所以粒子在PQ边界射出R2－(d－R)233
的区域长度为L＝L1＋L2＝d，因为R
MN边界射出区域的长度为233
L′＝2R＝d，故两区域长度之比为L∶L′＝d∶d＝∶2，故C正确，A、B、D错43233433
误．
题型三 “放缩圆”模型
速度方向一定，
大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子
进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速
圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化适
用
条
件轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，
从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边
界如图4中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半Aab
径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒
子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
图4A. B. C. D.7πm6qB5πm4qB4πm3qB3πm2qB
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决
定．设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示．圆Aab
心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最Aab
大，此时β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C.43θ2π4πm3qB
例4 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同
轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图5所示．一速率为v的电子从圆心沿
半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制
在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
图5
A. B. C. D.3mv2aemvae3mv4ae3mv5ae
答案 C
解析 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径
为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联v2r
立解得B＝，故选C.3mv4ae
题型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图6甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果
轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会
聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量
为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒
子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行
四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
图6
例5 (多选)(2020·山东泰安市一模)如图7所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强
磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以
速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质
量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以
下说法正确的是( )
图7A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上qBRm
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于qBRmπmqB
答案 ACD
解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨
迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子θ2πθmqB
速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根qBRmmvqB
据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹
半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；
根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t
故选项C、D正确．
1.(“旋转圆”模型)(2017·全国卷Ⅱ·18)如图8，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内
沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分
之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带
电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
图8A.∶2 B.∶132C.∶1 D．3∶32
答案 C
解析 根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识
可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，12
由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcos
30°＝R；根据轨道半径公式r＝可32mvqB
知，v2∶v1＝r2∶r1＝∶1，故选项C正确．3
甲 乙2．(“放缩圆”模型)(2020·湖北武汉市高三调考)如图9所示，等腰直角三角形abc区域存
在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个相同的带电粒子从b点沿bc方
向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且
t1∶t2∶t3＝3∶3∶1.直角边bc的长度为L，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是 ( )
