1. 大数定律为数理统计应用于统计学搭起了连接的纽带。大量观察法是现代统计学的基本方法之一，而大数定律又是大量观察法的基础。统计学若没有大量观察法的支撑，则统计分析中的基本指标——平均数与相对数，则失去其应有的作用和意义，可见数理统计在统计方法中的基础地位不容置疑。
2.中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明+只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。
中心极限定理（林得贝格--莱维定理）意义：
如果一个随机现象是由众多的随机因素引起的，而各个因素在总的变化中所处的地位差不多，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。
⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性
依概率收敛：设{X
n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有
P(|X
n−X|≥ϵ)→0(n→∞)
则称序列{X
n}依概率收敛于X，记作X
nP
→X
依概率收敛的性质：若
X
nP
→
a
Y
nP
→
b
则：
X
n±Y
nP
→
a±b
X
nY
nP
→
ab
X
n÷Y
nP
→
a÷b
弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X
1,X
2…的分布函数为F(x),F
1(x),F
2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有
lim
n→∞F
n(x)=F(x)
则称分布函数序列{F
n(x)}弱收敛于F(x),记作
F
n(x)W
→
F(x)
也称{X
n}按分布收敛于X,记作
X
nL
→
X特征函数
特征函数：设X是⼀个随机变量，则
φ(t)=E(eitX
)为X的特征函数。常⽤分布的特征函数
0-1分布：φ(t)=peit
+q
泊松分布:
φ(t)=∑
eitxλk
e−λ
k!
=e−λ∑(λeit
)k
k!
=eλ(eit−1)
均匀分布:
φ(t)=∫b
aeitx
b−a
dx=eitb
−eita
it(b−a)
标准正态分布:
φ(t)=e−1
2t2
证明：
φ(t)=∫∞
−∞eitx1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞∞
∑
n=0(itx)n
n!
e
−1
2x2
dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
[∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
]dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
E(Xn
)
当n为奇数时，
E(Xn
)=∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
dx=0
当n为偶数时，
E(Xn
)=E(X2m
)=∫∞
−∞x2m1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞−x2m−1d(e
−1
2x2
)
=1
√2π
(2m−1)∫∞
−∞x2m−2e
−1
2x2
dx
=(2m−1)(2m−3)…1∫∞
−∞1
√2π
e
−1
2x2
dx
=(2m−1)!!
=2m!
2m
(m−1)!
故φ(t)=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!
E(X2m
)
=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!2m!
2m
(m−1)!
=∞
∑
m=0(−t2
* *
第四章 大数定律与中心极限定理
教学目的与教学要求：了解特征函数的定义和常用分布的特征函数；理解并能应用大数定律；掌握依概率收敛和按分布收敛的概念；掌握并能应用独立同分布下的中心极限定理。
教学重点：大数定律、依概率收敛和按分布收敛的概念、中心极限定理。
教学难点：大数定律和中心极限定理的应用。
教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。
教学时数：12学时
教学过程：
§4.1 特征函数
特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：
(1) 可将求独立随机变量和的分布的卷积运算化成乘法运算；
(2) 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；
(3) 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题等。
§4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设X是一个随机变量，称
()()itXtEe ()t
其中i为虚数单位，为X的特征函数。
注：因为||1itXe，所以()itXEe总是存在的，即任一随机变量的特征函数总* *
是存在的。
特征函数的求法：
(1) 当离散随机变量X的分布列为
()kkppXx (1,2,3,)k
则X的特征函数为
1()kitxkktep ()t；
(2) 当连续随机变量X的密度函数为()px，则X的特征函数为
()()itxtepxdx ()t。
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
(1) 欧拉公式：cos()sin()itxetxitx；
(2) 复数的共轭：abiabi；
(3) 复数的模：22||abiab。
例4.1.1 常用分布的特征函数
(1) 单点分布：()1pXa，其特征函数为()itate；
(2) 01分布：1()(1)xxpXxpp(0,1)x，其特征函数为()ittpeq；
第五章 大数定律及中心极限定理
内容介绍
本章讨论概率论与数理统计的重要理论：大数定律及中心极限定理。
内容讲解
§5.1 切比雪夫不等式
1.切比雪夫不等式定理：设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε＞0，有
因为事件与事件是对立事件，所以
证明：先设X是离散型随机变量，分布律为pk=P{X=xk}，则有
因为 所以，
再设X是连续型随机变量，概率密度为f（x），则有
同理可得另一个不等式.
2.切比雪夫不等式的意义：估计X落入区间（E（X）-ε，E（X）+ε）的概率，当ε很小时此区间也很小，若D（X）也很小时，X几乎不会落到此区间的外部，所以有第一个不等式；反之，有第二个不等式.
例题1. P 117
【例5－1】设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2，2.5，实际计算
并验证切比雪夫不等式成立。
【答疑编号12050101】
例题2. P117
【例5－2】设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。
【答疑编号12050102】
§ 5.2 大数定律
本节从理论高度解决通过试验得到的频率随试验次数增大逐渐稳定于概率等问题.
1.贝努利大数定律
（1）定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对于任意正数ε，有
证明：由已知，m～B（n,p），所以，E（m）=np，D（m）=npq，其中q=1-p；而
由切比雪夫不等式，对任意正数ε＞0，有
当n→∞时，上式右端的极限值为1，而左端的概率不超过1，所以
.
（2）解释：此定理从理论上说明了“概率是频率的稳定值”.
贝努利大数定律表明，当n充分大时，“事件A发生的频率与概率p的绝对偏差小于任意给定的
