1. 大数定律为数理统计应用于统计学搭起了连接的纽带。大量观察法是现代统计学的基本方法之一，而大数定律又是大量观察法的基础。统计学若没有大量观察法的支撑，则统计分析中的基本指标——平均数与相对数，则失去其应有的作用和意义，可见数理统计在统计方法中的基础地位不容置疑。
2.中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路。用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明+只要样本容量足够地大，得自未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。
中心极限定理（林得贝格--莱维定理）意义：
如果一个随机现象是由众多的随机因素引起的，而各个因素在总的变化中所处的地位差不多，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似地服从正态分布。
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理
1. 定义
中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理
中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：
当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用
中心极限定理在实际应用中非常广泛。例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律
1. 定义
大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理
大数定律的原理可以用数学公式表示为：
当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用
大数定律在实际应用中也非常广泛。例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系
1. 相似性
中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别
中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
大数定律和中心极限定理
1 大数定律
这里强调的是总体与样本
大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”
2 赌徒缪误：
1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止
有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，
既（11111）---- 1/32，
(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理
3.1 大数定律和中心极限定理的关系：
上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？
中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）
对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：
但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响
⼤数定律与中⼼极限定理⽬录随机变量序列的两种收敛性
依概率收敛：设{X
n}为⼀随机变量序列，X为⼀随机变量，若对于任意ϵ>0,有
P(|X
n−X|≥ϵ)→0(n→∞)
则称序列{X
n}依概率收敛于X，记作X
nP
→X
依概率收敛的性质：若
X
nP
→
a
Y
nP
→
b
则：
X
n±Y
nP
→
a±b
X
nY
nP
→
ab
X
n÷Y
nP
→
a÷b
弱收敛（按分布收敛）：随机变量X,X
1,X
2…的分布函数为F(x),F
1(x),F
2(x)…，若对于F(x)的任意⼀个连续点x，有
lim
n→∞F
n(x)=F(x)
则称分布函数序列{F
n(x)}弱收敛于F(x),记作
F
n(x)W
→
F(x)
也称{X
n}按分布收敛于X,记作
X
nL
→
X特征函数
特征函数：设X是⼀个随机变量，则
φ(t)=E(eitX
)为X的特征函数。常⽤分布的特征函数
0-1分布：φ(t)=peit
+q
泊松分布:
φ(t)=∑
eitxλk
e−λ
k!
=e−λ∑(λeit
)k
k!
=eλ(eit−1)
均匀分布:
φ(t)=∫b
aeitx
b−a
dx=eitb
−eita
it(b−a)
标准正态分布:
φ(t)=e−1
2t2
证明：
φ(t)=∫∞
−∞eitx1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞∞
∑
n=0(itx)n
n!
e
−1
2x2
dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
[∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
]dx
=∞
∑
n=0(it)n
n!
E(Xn
)
当n为奇数时，
E(Xn
)=∫∞
−∞xn1
√2π
e
−1
2x2
dx=0
当n为偶数时，
E(Xn
)=E(X2m
)=∫∞
−∞x2m1
√2π
e
−1
2x2
dx
=1
√2π
∫∞
−∞−x2m−1d(e
−1
2x2
)
=1
√2π
(2m−1)∫∞
−∞x2m−2e
−1
2x2
dx
=(2m−1)(2m−3)…1∫∞
−∞1
√2π
e
−1
2x2
dx
=(2m−1)!!
=2m!
2m
(m−1)!
故φ(t)=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!
E(X2m
)
=∞
∑
m=0(it)2m
(2m)!2m!
2m
(m−1)!
=∞
∑
m=0(−t2
