大数定律与中心极限定理
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第五章 大数定律与中心极限定理
大数定律：概率论中，说明、提示大量随机现象平均结果的稳固性的一系列定律。
如：前面学习过：(1) 在一样条件下，进展大量重复独立实验时，随机事件发生的频率具有稳固性，即()()AnnfApnn当时。
(2) 实践中得出，大量测量值的平均值也是具有稳固性，
即12...()nXXXXnn常数当时。
大数定律从理论上给出了这种问题的论证。
一、切贝雪夫不等式
1. 切贝雪夫不等式：设随机变量X有数学期望EX及方差DX，那么任意给出0，有
2{||}DXPXEX或
2{||}1DXPXEX。
例 1. 某批产品次品率，试估量10000件产品中，次品数X介于400~600件之间的概率。
解：~(10000,0.05)XB，500EXnp，
(1)100000.050.95475DXnpp，
因此22475{400600}{|500|100}110.525100100DXPXPX。
二、大数定律
1. 依概率收敛：假设存在常数a,使得关于任意正数，有
lim{||}1,nnPXa
那么称随机变量序列{}nX依概率收敛于a.
2. 切比雪夫大数定律：设12,,...XX是彼此独立的随机变量序列，各有数学期望12,,...EXEX及方差12,,...DXDX，而且关于所有1,2...i都有iDXC，其中常数C与i无关，那么关于0，有
1111lim{||}1.nniiniiPXEXnn
3. 贝努里大数定律：设An为n重贝努里实验中事件A发生的次数，p为事件A发生的概率。那么对任意给定的0，有
lim{}1AnnPpn。
贝努里大数定律说明：当n无穷增大时，事件A发生的频率与其概率之间误差无穷减少，因此在实际应用中，当实验次数n专门大时，即可用事件A发生的频率近似代替事件的概率。 4. 辛钦大数定律：设随机变量12,,...,nXXX彼此独立，服从同一散布，且,1,2,...,iEXin，那么对任意给定的0,有
12...lim{}1nnXXXPn。
(1) 辛钦大数定律说明，n无穷增大时，n个独立随机变量的平均值与其数学期望的误差无穷减小，即
12...()nXXXnn当时。
(2) 是实际应用中，为了减少误差而“多次测量取平均值〞的理论依据。
(3) 贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情形。
三、中心极限定理
在概率论中，研究在什么条件下，大量随机变量的和的极限的散布是正态散布的一系列定理。
1．中心极限定理：设12,,,nXXX是独立的且具有一样散布〔〕的随机变量，且
2(),()iiEXDX (1,2,,)in
那么有221lim{}()2xxnnXPxxedx，其中12...nXXXXn。
〔也即当n专门大时，随机变量1niiX近似服从2(,)Nnn〕
例1 一仪器同时收到50个噪声信号(1,2,,50)iUi，设它们是彼此独立的随机变量，且都在区间[0,10]上服从均匀散布，记501iiUU，求{300}PU。
2．(,)XBnp
假设(,)XBnp，那么X可表示成n个彼此独立的01散布的和，即
1niiXX {1},{0}1,1,2,,iiPXpPXpin
(),()(1)iiEXpDXpp (1,2,,)in
(),()(1)EXnpDXnpp
当n专门大时，二项散布(,)Bnp近似服从正态散布(,(1))Nnpnpp，此定理称为德莫佛－拉普拉斯定理(De
Moivre--Laplace)。应用此定理可解决二项散布中n专门大时的计算问题。
例2 某保险公司经连年的资料统计说明，在索赔户中被盗户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X，〔1〕写出X的概率散布；〔2〕求被盗的索赔户数很多于14户且不多于30户的概率的近似值。
小结：
1 引进了大数定律的概念，要了解大数定律的意义和内容，明白得贝努里、辛钦大数定律，了解契比雪夫大数定律。
2 论述了中心极限定理的含义及其客观背景，要把握独立同散布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理， 会利用中心极限定明白得决一样实际应用问题。
