2021-2022学年福建省福州八中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2021-2022学年福建省福州市晋安区九校联考八年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．若等腰三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（）A．12B．15C．12或15D．93．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A．A、C两点之间B．E、G两点之间C．B、F两点之间D．G、H两点之间4．下列计算中，正确的是（）A．（xy）3＝xy3B．a+a＝a2C．b2•b3＝b5D．（y3）3＝y6 5．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，下列哪个条件不能判定△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．BE＝CF C．AB＝DE D．AB∥DE7．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形8．若多项式（2x﹣1）（x﹣m）中不含x的一次项，则m的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣9．如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE＝3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°10．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上．则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）。

2020-2021学年福建省福州十中九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.2. 抛物线y =(x −1)2+2的顶点坐标是( )A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)3. 如果一个一元二次方程的根是x 1=x 2=2，那么这个方程可能是( )A. (x +2)2=0B. (x −2)2=0C. x 2=4D. x 2+4=04. 如图，在△ABC 中，∠CAB =45°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，若∠CAB′=20°，则旋转角的度数为( )A. 20°B. 25°C. 65°D. 70°5. 若关于x 的一元二次方程kx 2−x +1=0有实数根，则k 的取值范围是( )A. k >14且k ≠0B. k <14且k ≠0C. k ≤14且k ≠0D. k <14 6. 已知a 是方程x 2−3x −1=0的一个根，则代数式2a 2−6a +3的值是( )A. 6B. 5C. 12+2√3D. 12−2√37. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC =3，DE =1，则线段BD 的长为( )A. 2√5B. 2√3C. 4D. 2√108. 二次函数y =x 2+2x −1的图象大致是( )A. B.C. D.9.已知二次函数解析式为y=x2−2x+1，它与x轴交点个数的情况是()A. 与x轴没有交点B. 与x轴只有一个交点C. 与x轴有两个交点D. 无法判断10.如图，在平面直角坐标系中，将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为()A. (3,2)B. (3,−1)C. (2,−3)D. (3,−2)二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.正六边形绕着它的中心最少旋转______度后与它本身重合．12.已知二次函数y=x2+2x−1，当x=______，函数y有最小值为______．13.抛物线y=cx2+bx+c经过点(2,5)，(4,5)，则这条抛物线的对称轴是直线______．14.在平面直角坐标系中，已知点A(m,−3)与点B(4,n)关于原点对称，那么m+n的值为______．15.已知二次函数的图象经过点P(2,2)，顶点为O(0,0)，将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为______．16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③b2−4ac=0；④4a+2b≥am2−bm(m为任意实数).其中正确的结论有______.(填序号)三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解方程：(1)x2−6x−7=0；(2)7x(5x+2)=6(5x+2)．18.如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE.求证：FD=BE．19.已知等腰△ABC的底边长为3，另两边长是方程x2−4x−4k=0的解，求△ABC的周长．20.已知抛物线的顶点坐标为(−1,2)，且过点(1,0)(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标．21.如图，点D为等边△ABC的边BC的中点，AB=2.将△ABD绕A点逆时针旋转60°．(1)尺规作图：作出△ABD旋转后的图形(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度．22.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…−2−1012…y…0−4−408…(1)根据表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是______和______；与y轴交点坐标是______；②若y>0，则x的取值范围：______；(2)试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．23.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)24.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．(1)求证：BE+DF=EF．(2)在图中，连接BD，分别与AE、AF相交于点M、N，请依据描述画出相应图形．猜想BM、MN、ND之间的数量关系，并加以证明．25.如图，对称轴为x=1的抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点B(3,0)与y轴交于点C，顶点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)若点P在x轴上，将线段PC绕着点P顺时针旋转90°得到PQ，点Q是否会落在抛物线上？如果会，求出点P的坐标；若果不会，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形的识别，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．2.【答案】A【解析】解：∵y=(x−1)2+2，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，故选：A．由抛物线解析式即可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为x=ℎ．3.【答案】B【解析】解：A、(x+2)2=0的根是：x1=x2=−2，不符合题意；B、(x−2)2=0的根是：x1=x2=2，符合题意；C、x2=4的根是：x1=2，x2=−2，不符合题意；D、x2+4=0没有实数根，不符合题意；故选：B．分别求出四个选项中每一个方程的根，即可判断求解．本题考查了一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．4.【答案】B【解析】解：∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置∴旋转角∠BAB′的度数=∠CAB−∠CAB′=45°−20°=25°故选：B．由旋转的性质可求旋转角的度数．本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−x+1=0有实数根，∴k≠0且△=(−1)2−4k≥0，解得：k≤1且k≠0．4故选：C．根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵a是方程x2−3x−1=0的一个根，∴a2−3a−1=0，整理得，a2−3a=1，∴2a2−6a+3=2(a2−3a)+3=2×1+3=5．故选：B．根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出a2−3a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出a2−3a的值，然后整体代入是解题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转的性质判定△ABD的形状与边AB、AD的长．根据旋转的性质可知：DE=BC=1，AB=AD，应用勾股定理求出AB的长；又由旋转的性质可知：∠BAD=90°，再用勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD，∵在Rt△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得：AB=AD=√32+12=√10．又旋转角为90°，∴∠BAD=90°，∴在Rt△ADB中，BD=√(√10)2+(√10)2=2√5，即：BD的长为2√5．故选：A．8.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=x2+2x−1=(x+1)2−2，a=1>0，顶点为(−1,−2)，∴抛物线开口向上，顶点在第三象限，当x=0时，y=−1，∴抛物线与y轴交于负半轴．故选：C．根据二次函数的性质判断即可．本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵△=(−2)2−4×1=0，∴二次函数解析式为y=x2−2x+1，它与x轴只有一个公共点，故选：B．计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断二次函数与x轴的交点个数．此题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP′Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O=90°，∠QOQ′=90°，P′Q′=PQ=2，OQ′=OQ=3，从而可确定P′点的坐标．【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P(2,3)，∴PQ=2，OQ=3，∵点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP′Q′，∴∠P′Q′O=90°，∠QOQ′=90°，P′Q′=PQ=2，OQ′=OQ=3，∴点P′的坐标为(3,−2)．故选：D．11.【答案】60【解析】解：连接OA、OB，∵O是正六边形的中心，=60°，∴∠AOB=360°6即正六边形绕着它的中心最少旋转60度后与它本身重合．故答案为：60．连接OA、OB，根据正六边形的性质求出中心角∠AOB的度数，根据旋转的性质即可求出答案．本题主要考查对旋转对称图形，正多边形与圆等知识点的理解和掌握，能根据性质求出∠AOB的度数是解此题的关键．12.【答案】−1−2【解析】解：∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，a>0，∴二次函数开口向上，对称轴是直线x=−1，顶点坐标为(−1,−2)，∴函数y的最小值为−2．故答案为：−1，−2．由二次函数解析式求出顶点式，根据顶点式即可得出答案．本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．13.【答案】x=3【解析】解：∵抛物线y=cx2+bx+c经过点(2,5)，(4,5)，=3，∴该抛物线的对称轴为直线x=2+42故答案为：x=3．根据抛物线y=cx2+bx+c经过点(2,5)，(4,5)和二次函数的性质，可知该抛物线的对=3，从而可以解答本题．称轴是直线x=2+42本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14.【答案】−1【解析】解：∵点A(m,−3)与点B(4,n)关于原点对称，∴m=−4，n=3，∴m+n=−4+3=−1．故答案为：−1．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案．此题主要考查了原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．(x−4)215.【答案】y=12【解析】【分析】设原来的抛物线解析式为：y=ax2，利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y=ax2(a≠0)．把P(2,2)代入，得2=4a，，解得a=12x2．故原来的抛物线解析式是：y=12(x−b)2，设平移后的抛物线解析式为：y=12(2−b)2，把P(2,2)代入，得2=12解得b=0(舍去)或b=4，所以平移后抛物线的解析式是：y=12(x−4)2．故答案是：y=12(x−4)2．16.【答案】①④【解析】解：∵−b2a=2，∴4a+b=0，故①正确；当x=−3时，y=9a−3b+c<0，即9a+c<3b，故②不正确；抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故③不正确；∵当x=2时，y最大=4a+2b+c，当x=−m时，y=am2−bm+c，∴4a+2b+c≥am2−bm+c，∴4a+2b≥am2−bm，故④正确；综上所述，正确的结论有：①④，故答案为：①④．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，与x轴的交点以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)x2−6x−7=0，(x−7)(x+1)=0，∴x−7=0或x+1=0，解得：x1=7，x2=−1．(2)7x(5x+2)=6(5x+2)，7x(5x+2)−6(5x+2)=0，(5x+2)(7x−6)=0，则5x+2=0或7x−6=0，解得x1=−25，x2=67．【解析】(1)利用因式分解法求解即可．(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18.【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB =OD ，OA =OC ，∵AF =CE ，∴OF =OE ，∵在△DOF 和△BOE 中{OB =OD ∠DOF =∠BOE OF =OE∴△DOF≌△BOE(SAS)，∴FD =BE ．【解析】根据中心对称得出OB =OD ，OA =OC ，求出OF =OE ，根据SAS 推出△DOF≌△BOE 即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，中心对称的应用，主要考查学生的推理能力．19.【答案】解：∵等腰△ABC 的底边长为3，另两边的长恰好是方程x 2−4x −4k =0的解，∴方程x 2−4x −4k =0有两个相等的实数解，∴Δ=(−4)2−4×(−4k)=0，解得k =−1，此时方程为x 2−4x +4=0，解得x 1=x 2=2，∴△ABC 的周长=2+2+3=7．【解析】根据等腰三角形的性质和判别式的意义得到Δ=(−4)2−4×(−4k)=0，解得k =−1，此时方程为x 2−4x +4=0，解方程后即可计算三角形的周长．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2−4ac 有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的定义．20.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2+2，把(1,0)代入得a⋅(1+1)2+2=0，解得a=−12，所以抛物线解析式为y=−12(x+1)2+2；(2)当x=0时，y=−12(x+1)2+2=32，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,32)；当y=0时，−12(x+1)2+2=0，解得x1=−3，x2=1，则抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)，(1,0)．【解析】(1)设顶点式y=a(x+1)2+2，然后把(1,0)代入求出a即可；(2)计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；解方程−12(x+1)2+ 2=0得抛物线与x轴的交点坐标为(−3,0)，(1,0)．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21.【答案】解：(1)如图，△ACE为所作；(2)∵点D为等边△ABC的边BC的中点，∴AD⊥BD，BD=1，∴AD=√22−12=√3，∵△ABD绕A点逆时针旋转60°得到△ACE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形，∴DE=AD=√3．【解析】(1)利用△ABC为等边三角形，则AC=AB，△ABD绕A点逆时针旋转60°，B点旋转到C点，然后以A点、C点为圆心，AD、BD为半径画弧，两弧的交点E为D点的对应点；(2)先根据等边三角形的性质得到AD⊥BD，BD=1，则可计算出AD=√3，再根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE的长．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质．22.【答案】(−2,0)(1,0)(0,−4)x<−2或x>1【解析】解：(1)①抛物线与x轴的交点坐标是(−2,0)和(1,0)，与y轴交点坐标是(0,−4)；故答案为(−2,0)，(1,0)；(0,−4)；②画出函数的图象：由图象可知：y>0时，x<−2或x>1；故答案为x<−2或x>1；(2)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x−1)，把(0,−4)代入得−4=a×2×(−1)，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2(x+2)(x−1)，即y=2x2+2x−4．(1)①在表中找出函数值为0对应的自变量的值可确定抛物线与x轴的交点坐标；②利用表中函数值的变化，再结合抛物线与x轴的交点坐标得到函数值为正数的自变量的范围；(2)设交点式y=a(x+2)(x−1)，然后把(0,−4)代入求出a即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式．23.【答案】解：(1)由题意得：y=(x−50)[50+5(100−x)]=(x−50)(550−5x)=−5x2+800x−27500，∵每件工艺品的成本是50元，且销售单价不得低于成本，∴50≤x≤100，每天的销售利润y与销售单价x之间的函数关系式为y=−5x2+800x−27500(50≤x≤100)；(2)∵该企业每天的总成本不超过7000元，∴50[50+(100−x)]≤7000，解得：x≥82，由(2)得，y=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500(50≤x≤100)，∵a=−5<0，∴抛物线开口向下，∵对称轴直线为x=80，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，而当x≥82时，该企业每天的总成本不超过7000元，∴当x=82时，y有最大值，最大值为：−5×(82−80)2+4500=4480(元)，故当销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．【解析】(1)根据利润等于单件的利润乘以销售量列出函数关系式，并根据题意写出自变量的取值范围；(2)根据每天的总成本不超过7000元求出自变量的取值范围，再根据(1)中解析式和函数的性质求最大值即可．本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系，写出函数解析式．24.【答案】(1)证明：如图，延长CB到G，使BG=DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠D=90°，∴∠ABG=90°=∠D，在△ABG和△ADF中，{AB=AD∠ABG=∠D BG=DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△AEG和△AEF中，{AG=AF∠GAE=∠EAF AE=AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴GE=EF，∵GE=BG+BE，DF=BG，∴EF=DF+BF；(2)解：数量关系为：MN2=BM2+AD2，理由如下：如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABP，连接BP，PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADN=∠ABM=45°，由旋转可得∠ABP=ADN=45°，BP=DN，AP=AN，∠DAN=∠BAP，∠PBM=90°，∵∠EAF=45°，∴∠PAM=∠BAP+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°=∠MAN，在△PAM和△NAM中，{AP=AN∠PAM=∠NAM AM=AM，∴△PAM≌△NAM(SAS)，∴PM=MN，在Rt△PBM中，PM2=PB2+BM2，∵PM=MN，BP=DN，∴MN2=BM2+AD2．【解析】(1)延长CB到G，使BG=DF，连接AG，求证△ABG≌△ADF，得∠GAE=∠EAF= 45°，进而求证△AEG≌△AEF，可得GE=BG+BE，DF=BG，即可求解；(2)如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABP，连接BP，PM，四边形ABCD是正方形，根据“SAS”判定△PAM≌△NAM，PM=MN，根据勾股定理即可求解．本题主要考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．25.【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=1，点B(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为(−1,0)，则抛物线的表达式为：y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3；(2)设对称轴交直线BC与点H，把点B坐标代入一次函数表达式：y=kx+3得：0=3k+3，解得：k=−1，则直线BC的表达式为：y=−x+3，则点H(1,2)，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴顶点A(1,4)，∴AH=4−2=2，S△ABC=12AH×OB=12×2×3=3；(3)会，理由：在y=−x2+2x+3中，令x=0，则y=3，即点C(0,3)，∴OC=3，∵OB=3，∠BOC=90°，∴点P的坐标(0,0)．【解析】(1)抛物线对称轴为x=1，点B(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为(−1,0)，即可求解；(2)利用S△ABC=12AH×OB即可求解；(3)会，理由：OC=OB=3，∠BOC=90°，即可求得P(0,0)．本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，旋转的性质，数形结合是解题的关键．。

2021-2022学年2022九年级测试 (数学)一、选择题1. 以下关于新型冠状病毒(2019−nCoV)的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 若方程(a−1)x|a|+1+3ax+5=0是关于x的一元二次方程，则( )A.a=±1B.a=1C.a=−1D.a≠±1的一切实数3. 关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥−1B.k≥−1且k≠0C.k≤−1D.k≤1且k≠04. 若一元二次方程x2+kx=0的一个根为x=−1，则k的值为( )A.−1B.1C.0D.−25. 抛物线y=−2(x−1)2−3的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为( )A.−2B.−4C.2D.47. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1, 3)，与x轴的一个交点B(4, 0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(−1, 0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中结论正确的序号是()A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤8. 如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45∘后得到三角形A′OB′，若∠AOB= 21∘，则∠AOB′的度数是( )A.45∘B.21∘C.24∘D.66∘9. 如图，将△ADE绕D点旋转得到△CDB，点A与点C是对应点，点C在DE上，下列说法错误的是( )A.AD=DCB.AE//BDC.DE平分∠ADBD.AE=BC10. 下列方程中关于x的一元二次方程的是（）=0 B.x3+x−1=0A.x2+1x2C.x2+2x−3=0D.x2−2xy+y2=0二、填空题方程2x2−1=6x的二次项系数、一次项系数与常数项之和是________.若抛物线y=−x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．抛物线y=x2−2x+3的最小值为________.若抛物线y=ax2+bx+c与，轴的两个交点坐标是(−6,0)和(4,0)，则该抛物线的对称轴是________.若抛物线C1:y＝x2+mx+2与抛物线C2:y＝x2−3x+n关于y轴对称，则m+n＝________．三、解答题解方程：(1)5x 2=3x ；(2)x 2−5x −6=0；(3)(x −2)(x −5)=−1；(4)4x (2x +1)=3(2x +1)；先化简：(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1，然后从−1≤x ≤2的范围内选取一个你喜欢的整数作为x 的值代入求值．若关于x 的一元二次方程：mx 2+2mx +1=0有两个相等的实数根。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题的下面给出了代号为A 、B 、C 、D 四个答案,其中只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在括号内．1. 使二次根式1-x 有意义的x 的取值范围是 （ ）A. x=1B. x ≠1C. x ＞1D.x ≥12．下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. 322-+x x B .032=+x C . 9)3(22=+x D. 3．在下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ）4．关于x 的方程22(3)10a x ax -++=是一元二次方程的条件是 （ ）A ．0a ≠ B.3a ≠ C.3a ≠ D.3a ≠±5．()()2222+-⋅+=+-+x x x x 成立，那么x 的取值范围是 ( )A.22≤-≥x x 或B.22≤≤-xC.2-≥xD.22<<-x6．下列计算中，正确的是 （ ）4122=+xxA.164=±B.32221-=C.2464÷=D. 7．用配方法解一元二次方程2430x x -+=时可配方得 （ ） Ａ．2(2)7x -= Ｂ．2(2)1x -= Ｃ．2(2)1x += Ｄ．2(2)2x +=8．下列方程中，两根是-2和-3的方程是 ( )9．一元二次方程k 012x 2=--x 有实数根，则k 的取值范围是 （ ）A. k ≥-1且k ≠0B.k ≥-1C.k ≤-1且k ≠0D.k ≥-1或k ≠010．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程0862=+-x x 的解，则这个三角形的周长是 （ ）A.11B.13C.11或13D.11和13二、填空题 (本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 请将正确答案直接填在答题卷上．11．3的倒数是.12．化简2(32)-=________．13．210x x -+________=（x -________）2.14．若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ． 1５．等边三角形至少旋转 °才能与自身重合．16． 一元二次方程x x =2的解为.17. 写出一个无理数，使它与52+的积为有理数____ ____．0650650650652222=++=-+=--=+-x x 、D x x 、C x x B 、x x A 、2632=⨯18.已知0<a ,那么|2|2a a -可化简为.19. 已知反比例函数 ,当0>x 时,y 随x 的增大而增大,则关x 于的方程02=+-b x ax 的解的情况是.20. 已知08)2)((2222=--++n m n m ,则=+22n m ___ .三、解答题（本大题共3个小题，21、22小题各10分，23题18分，共38分）21.（10分）计算：（每小题5分）(1)（2）（125 ﹣20）÷522.(10分) 选择适当的方法解下列方程：（每小题5分）（1）()09122=--x （2）09922=--x x23.解答下列各题(18分):(1)（9分）已知：关于x 的方程0122=-+kx x 一个根是-1，求k 值及另一个根.(2)(9分) 若关于x 的一元二次方程012)2(2=++--a ax x a 没有实数根，求03>+ax 的解集（用含a 的式子表示）四、解答题（本大题共3个小题，第24、25小题各10分，第26小题128321464+-xab y =分，共32分）24.（10分）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，①把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，②以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，。

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区格致中学保福校区九年级第一学期月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（）A．开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点（﹣1，﹣5）B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，5）C．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）D．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）3．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α4．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）5．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点7．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0二、填空题（本大题共5小题，共25分）9．方程（x﹣1）（2x+1）＝2化成一般形式是．10．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝．11．关于x的方程是（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0，那么当m时，方程为一元二次方程．12．若方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中所有正确结论的序号是．三、计算题（本大题共7小题，共85分）14．解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝9；（2）3x2﹣4x﹣1＝0；（3）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．15．在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：（1）画出△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．16．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求：（1）抛物线的解析式；（2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．17．某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数y＝﹣10x+1000，设公司获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为P元．（1）求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若总利润为5250元时，销售单价是多少？（3）根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？18．有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？19．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A 点的直线交抛物线于点D（2，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）点E为x轴上一点，点F为抛物线上一点，是否存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当△AMD的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．参考答案一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（）A．开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点（﹣1，﹣5）B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，5）C．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）D．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象的开口方向由a决定，a＞0时开口向上；a＜0时开口向下；对称轴为直线x＝h和顶点坐标（h，k），选择即可．解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上，∵对称轴为直线x＝h，∴对称轴为直线x＝1，∵顶点坐标（h，k），∴顶点坐标（1，﹣5），故选：D．3．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．解：由题意可得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，故选：C．4．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据点的坐标知对应的线段长度，根据旋转的性质求相应线段的长度，结合点所在象限，确定其坐标．解：作AB⊥x轴于B点，A′B′⊥y轴于B′点．如图所示．∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3．∴OB′＝4，A′B′＝3．∵A′在第四象限，∴A′（3，﹣4）．故选：C．5．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，抛物线y＝（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．6．抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点【分析】因为x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y＝0时的点即可．解：当x＝0时y＝1，当y＝0时，x＝1∴抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．故选：A．7．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．解：在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项A错误；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B 错误；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C 错误；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D 正确；故选：D．8．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，共25分）9．方程（x﹣1）（2x+1）＝2化成一般形式是2x2﹣x﹣3＝0．【分析】方程左边利用多项式乘多项式法则计算，移项即可得到一般形式．解：方程变形得：2x2+x﹣2x﹣1＝2，即2x2﹣x﹣3＝0．故答案为：2x2﹣x﹣3＝010．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝﹣2．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．解：由题意，得b＝﹣3，a﹣2+a＝0，解得a＝1，a+b＝﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．11．关于x的方程是（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0，那么当m≠±1时，方程为一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．解：∵关于x的方程是（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1．故答案为：≠±1．12．若方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜9且k≠0．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，解得k＜9且k≠0．故答案为k＜9且k≠0．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中所有正确结论的序号是①②．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴，∴b＝2a＜0，当x＝0时，y＝c＞0，∴abc＞0，∴①正确，根据图象可得，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，∴②正确，∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，∴③错误，故答案为：①②．三、计算题（本大题共7小题，共85分）14．解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝9；（2）3x2﹣4x﹣1＝0；（3）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用公式法求出解即可；（3）方程整理后，利用配方法求出解即可．解：（1）方程（2x﹣1）2＝9，开方得：2x﹣1＝±3，解得：x1＝2，x2＝﹣1；（2）方程3x2﹣4x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∵△＝b2﹣4ac＝16+12＝28＞0，∴x＝＝＝，解得：x1＝，x2＝；（3）方程整理得：x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．15．在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：（1）画出△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．16．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求：（1）抛物线的解析式；（2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．【分析】（1）求出函数的顶点坐标，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，把点（0，﹣3）代入求出a即可．（2）令函数的解析式中y＝0求得与x轴的交点坐标，点（0，﹣3）即为与y轴的交点．解：（1）∵当x＝1时，二次函数有最大值5，∴二次函数的顶点坐标为（1，5），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，把点（0，﹣3）代入得：a（0﹣1）2+5＝﹣3，解得：a＝﹣8，即此函数的解析式为y＝﹣8（x﹣1）2+5，即y＝﹣8x2+16x﹣3．（2）令y＝0，则﹣8x2+16x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝，∴该函数图象与x轴的交点坐标为（，0）和（，0），∵图象过点（0，﹣3），∴与y轴的交点为（0，﹣3）．17．某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数y＝﹣10x+1000，设公司获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为P元．（1）求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若总利润为5250元时，销售单价是多少？（3）根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？【分析】（1）根据总利润＝总销售额﹣总成本就可以表示出P与x之间的函数关系式；（2）把P＝5250代入（1）的解析式就可以求出结论；（3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论；解：（1）由题意，得P＝y（x﹣50）＝（﹣10x+1000）（x﹣50），P＝﹣10x2+1500x﹣50000（50≤x≤70）；答：P与x之间的函数关系式为P＝﹣10x2+1500x﹣50000，自变量x的取值范围为：50≤x≤70；（2）当P＝5250时，5250＝﹣10x2+1500x﹣50000，解得：x1＝65，x2＝85，∵50≤x≤70，∴x＝65．答：销售单价为65元；（3）∵P＝﹣10x2+1500x﹣50000，∴P＝﹣10（x﹣75）2+6250．∴x＝75时，y最大＝6250．∵50≤x≤70，∴在对称轴的左侧P随x的增大而增大，∴x＝70时，P最大＝6000元．答：当x＝70时，P的值最大，最大值是6000元．18．有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？【分析】（1）由图象可知抛物线的顶点坐标，（2）设这条抛物线所对应的函数关系式为y＝a（x﹣5）2+4，经过原点，求得a，（3）知道函数关系式，令x＝7，求y．解：由题意得：（1）抛物线的顶点坐标为（5，4）；（2）设这条抛物线所对应的函数关系式为y＝a（x﹣5）2+4；因为图象经过（0，0），所以0＝25a+4解得函数关系式为：＝﹣x2+x；（3）如图，当x＝7时，桥洞离水面的高度为．19．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A 点的直线交抛物线于点D（2，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）点E为x轴上一点，点F为抛物线上一点，是否存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当△AMD的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论；（2）分三种情况讨论解答：①当四边形ADFE为平行四边形时，求出DF，利用平行四边形对边相等，求得线段AE的长，进而得出OE的长即可得出结论；②当四边形AEDF 为平行四边形时，利用平行四边形对边相等，求得线段AE的长，进而得出OE的长即可得出结论；③当四边形AFED为平行四边形时，F在x轴的下方，过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AE于点G，通过证明△ADH≌△EFG得到FG＝DH＝3，GE＝AH ＝3，设OE＝a，则OG＝OG﹣GE＝a﹣3，则F（a﹣3，﹣3）．利用点F为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，列出方程即可求得结论；（3）过点M作MN⊥AB于点N，交AD于点C，过点D作DK⊥AB于点K，设M（m，﹣m2+2m+3），则点C（m，m+1），MN＝﹣m2+2m+3，CN＝m+1，MC＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）＝﹣m2+m+2，利用S△AMD＝S△AMC+S△DMC，得到用m表示△AMD的面积的关系式，利用二次函数的性质即可得出结论．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点D（2，3），，解得：．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1．∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：．∴直线AD的解析式为：y＝x+1．（2）存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形．①当四边形ADFE为平行四边形时，如下图，令x＝0，则y＝3，∴F（0，3）．∵D（2，3），∴DF＝2，且DF∥x轴．∴AE＝DF＝2．∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴OE＝OA+AE＝2+1＝3，∴E（﹣3，0）．②当四边形AEDF为平行四边形时，如下图，令x＝0，则y＝3，∴F（0，3）．∵D（2，3），∴DF＝2，且DF∥x轴．∴AE＝DF＝2．∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴OE＝AE﹣OA＝2﹣1＝1．∴E（1，0）．③当四边形AFED为平行四边形时，F在x轴的下方，过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AE于点G，如下图，∵D（2，3），∴OH＝2，DH＝3．∵OA＝1，∴AH＝OA+OH＝3．∵四边形AFED为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF．∴∠DAH＝∠FEH．在△ADH和△EFG中，，∴△ADH≌△EFG（AAS）．∴FG＝DH＝3，GE＝AH＝3．设OE＝a，则OG＝OG﹣GE＝a﹣3，∴F（a﹣3，﹣3）．∵点F为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝﹣3，解得：a＝4±．∴E（4+，0）或（4﹣，0）．综上，存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．（3）过点M作MN⊥AB于点N，交AD于点C，过点D作DK⊥AB于点K，如下图，则AK＝OA+OK＝1+2＝3．∵点M为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，∴设M（m，﹣m2+2m+3），则点C（m，m+1），∴MN＝﹣m2+2m+3，CN＝m+1，∴MC＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）＝﹣m2+m+2．∵S△AMD＝S△AMC+S△DMC，∴＝×MC×（AN+NK）＝×（﹣m2+m+2）×3＝﹣+m+3＝．∵＜0，∴当m＝时，△AMD的面积最大，最大值为，此时，点M的坐标为（，）．∴当△AMD的面积最大时M点的坐标为（，），最大的面积为．。

2021-2022学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在下列事件中，必然事件是()A. 购买一张体育彩票，中奖B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数C. 射击运动员射击一次，命中靶心D. 任意画一个圆的内接四边形，其对角互补3.关于x的一元二次方程x2+2021x+2022=0的根的情况是()A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根4.已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是()A. 4B. 5C. 6D. 85.二次函数y=x(x+2)图象的对称轴是()A. x=−1B. x=−2C. x=2D. y轴6.为创建文明城市，某区2020年投入绿化资金800万元，2022年计划投入960万元，设每年投入资金的平均增长率为x，则下列符合题意的方程是()A. 800(1+2x)=960B. 800(1+x)=960C. 800(1+x)2=960D. 800+800(1+x)+800(1+x)2=9607.下列说法正确的是()A. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似B. 两个矩形一定相似C. 有一个角等于45°的两个等腰三角形相似D. 相似三角形一定不是全等三角形8.已知点A(a,y1)，B(a+1,y2)在反比例函数y=a2+1x(a是常数)的图象上，且y1<y2，则a的取值范围是()A. a<0B. a>0C. 0<a<1D. −1<a<09.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=90°，D是ACB⏜的中点，连接CD，BD交AC于点E，若∠ACD=55°，则∠AED的度数是()A. 80°B. 75°C. 67.5°D. 60°10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,n)，当x>0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是()A. −1B. −14C. 14D. 1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为______．12.一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、2、3、5、5.若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为______．13.若m是方程2x2−3x−3=0的一个根，则4m2−6m+2015的值为______．14.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______．15.如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠BAO=60°，若点A在反比例函数y=−2x的图象上运动，则点B所在的函数解析式为______．16.如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB=90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F.则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF=CF.其中正确的有______.(填序号)三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2+6x−1=0．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）18.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE//AC，∠DEF=∠A.求证：△BDE∽△EFC．19.如图，已知反比例函数y=k图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧)，作xBC⊥y轴，垂足为C，连接AC，AB．(1)求反比例函数的解析式；(2)若△ABC的面积为7，求B点的坐标．20.交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：行驶时间(10～2020～3030～4040～5050～60分钟)驾行L1的人51420183数驾行L2的人1416181数(1)抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；(2)以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？21.如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．(1)求作：这个圆的圆心O(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)在(1)的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC=4，PA=3，请补全图形，并求⊙O的半径．22.为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y(包)与每包售价x(元)满足y=−5x+80，且10≤x≤16．(1)每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？(2)当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值．23.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．(1)求证：BD//AF；(2)若AB=1，BC=2，求AH的长．24.如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G．(1)连接OB，求证：∠ABD=∠OBC；(2)求证：点F，点G关于BC对称；(3)若BF=OB=2，求△ABC面积的最大值．x2．25.已知直线y1=kx+1(k>0)与抛物线y2=14(1)当−4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点(2)如图①，直线y1=kx+1与抛物线y2=14C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF=AC：BC；x2先向上平移1个单位，再沿直线y1=kx+1的方向移动，使向(3)将抛物线y2=14右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1=kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是中心对称图形，故本选项符合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：A.购买一张体育彩票，中奖，这是随机事件，故A不符合题意；B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，这是随机事件，故B不符合题意；C.射击运动员射击一次，命中靶心，这是随机事件，故C不符合题意；D.任意画一个圆的内接四边形，其对角互补．这是必然事件，故D符合题意；故选：D．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：关于x的一元二次方程x2+2021x+2022=0，∵b2−4ac=20212−4×1×2022=4084441−8088=4076353>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．求出方程根的判别式的值，判断方程解的情况即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°，∴360°÷60°=6，∴正多边形的边数为6，故选：C．根据正多边形的半径与边长相等，可知正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，由此求出其中心角的度数，进而求出正多边形的边数．本题考查了正多边形的计算，解决此题的关键是正确的理解正多边形的有关概念，并组成直角三角形求有关线段的长或角的度数，体现了转化思想．5.【答案】A【解析】解：∵二次函数的解析式为：y=x(x+2)，∴此抛物线与x轴的交点为(0,0)，(−2,0)，=−1．∴抛物线的对称轴为直线x=0−22故选：A．先根据二次函数的解析式求出函数图象与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的交点式是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：每年投入资金的平均增长率为x，根据题意得，800(1+x)2=960，故选：C．根据题意得到关系式为：2020年绿化投入的资金×(1+年平均增长率)2=2022年绿化投入的资金，把相关数值代入求得合适的解即可．本题考查了一元二次方程的应用；得到2年后所需资金的关系式是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．故选：A．根据相似图形的定义一一判断即可．本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：∵k=a2+1>0，∴反比例函数y=a2+1(a是常数)的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，x①当A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限，∵y1<y2，∴a>a+1，此不等式无解；②当点A(a,y1)、B(a+1,y2)在不同象限，∵y1<y2，∴a<0，a+1>0，解得：−1<a<0，故选：D．根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限时，②当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在不同象限时．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：连接AD，⏜的中点，∵D是ACB∴AD⏜=BD⏜，∴AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=55°，∴∠ADB=180°−2∠ABD=70°，∵∠ABC=90°，∴∠DBC=90°−∠ABD=35°，∴∠DAC=35°，∴∠AED=180°−∠ADE−∠DAE=180°−70°−35°=75°．故选：B．连接AD，由等腰三角形的性质求出∠DAB=∠ABD=55°，求出∠DAC=35°，由三角形内角和定理可得出答案．此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系以及等腰三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：将(2,n)代入y=ax2+bx+c得n=4a+2b+c，∵x>0时，y≥n，∴抛物线开口向上，∵x≤0时，y≥n+1，∴x=0时，y=c=n+1，把c=n+1代入n=4a+2b+c得n=4a+2b+n+1，整理得4a+2b=−1，∵x>0时，y≥n，∴抛物线顶点纵坐标为y=n，把x=−b2a 代入y=ax2+bx+n+1得y=b24a−b22a+n+1=n，∴b24a=1，即b2=4a，∴4a+2b=b2+2b=−1，解得b=−1，∴a=b24=14．故选：C．将(2,n)代入求出a，b，c与n的关系，由当x>0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1可得抛物线开口向上，顶点纵坐标为n，c=n+1，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．11.【答案】4：9【解析】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．12.【答案】13【解析】解：∵一个质地均匀的小正方体有6个面，其中标有数字5的有2个，∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率=26=13．故答案为：1．3先求出5的总数，再根据概率公式即可得出结论．本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．13.【答案】2021【解析】解：∵m是方程2x2−3x−3=0的一个根，∴2m2−3m−3=0，即2m2−3m=3，∴4m2−6m+2015=2(2m2−3m)+2015=2×3+2015=2021．故答案为：2021．先根据一元二次方程解得定义得到2m2−3m=3，再把4m2−6m+2015变形为2(2m2−3m)+2015，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.【答案】1【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，，根据题意得2πr=90⋅π⋅4180解得r=1，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到2πr=90⋅π⋅4，然后解关于r的方程即可．180本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】y=6x【解析】解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D.设A(a,b)．∵点A在反比例函数y=−2的图象上，x∴ab=2．在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°−∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴OA：OB=1：√3，∴b：BD=a：OD=1：√3，∴BD=√3b，OD=√3a，∴BD⋅OD=3ab=6，又∵点B在第一象限，∴k=6．∴点B所在的函数解析式为y=6，x．故答案为：y=6x如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D.设A(a,b)，则ab=1.根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD⋅OD的积，进而得出结果．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16.【答案】①②④【解析】解：∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，故结论①正确；如图，连接AG，∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∵∠ADG=∠AEG=90°，AG=AG，∴Rt△ADG≌Rt△AEG(HL)，∴GD=GE，∠DAG=∠EAG，∵△ADE是等边三角形，∴直线AG垂直平分DE，∴四边形ADGE是一个轴对称图形，故结论②正确；连接AF，∵∠DAC+∠EAC=60°=∠ACB，∴∠EAC≠∠ACB，∴AE与FC一定不平行，∴四边形AFCE一定不是平行四边形，∴AC，EF一定不互相平分，故结论③错误；∵△ADE是等边三角形，∠ADG=90°，∴∠EDG=∠BDF=30°，∴∠ADF=120°，∴∠ADF+∠ABC=180°，∴A，B，F，D四点共圆，∴∠ADG=∠AFB=90°，根据三线合一，得BF=CF，故结论④正确．故答案为：①②④．根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得证∠DAE=60°，判断结论①正确；连接AG，利用HL判断结论②；连接AF，证明四边形AFCE一定不是平行四边形；利用四点共圆，证明∠AFB=90°，根据三线合一，得BF=CF．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，四点共圆，等腰三角形的三线合一，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17.【答案】解：方程变形得：x2+6x=1，配方得：x2+6x+9=10，即(x+3)2=10，开方得：x+3=±√10，解得：x1=−3+√10，x2=−3−√10．【解析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18.【答案】证明：∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，∠EFC=∠DEF，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠EFC，∴△BDE∽△EFC．【解析】由平行线的性质可得∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，∠EFC=∠DEF，可证∠BDE=∠EFC，可得结论．本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．19.【答案】解：(1)由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为：y=6．x(2)设B点坐标为(a,b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2,b)，∵反比例函数y=6的图象经过点B(a,b)x∴b=6a∴AD=3−6．a∴S△ABC=12BC⋅AD=12a(3−6a)=7，解得a=203，∴b=6203=910∴B(203,910).【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；(2)作AD⊥BC于D，则D(2,b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．20.【答案】解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果情况，其中两人选择不同路线的有6种，所以这2人是选择不同道路到火车站的概率为612=12；(2)驾行L1的所有人用时的平均数为15×560+25×1460+35×2060+45×1860+55×360=35(分)，驾行L2的所有人用时的平均数为15×140+25×440+35×1640+45×1840+55×140=38.5(分)，∵35<38.5，∴从A地到火车站应选择驾行L2的道路进行拓宽改造．【解析】(1)用列表法表示从驾行L1的3人和驾行L2的1人中任意选择2人，得出所有可能出现的结果，进而求出选择不同道路到火车站的概率；(2)根据加权平均数的计算方法计算出驾行L1、驾行L2的所有人用时的平均数，比较得本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)如图，圆心O即为所求；(2)由(1)知：CA⊥PA，∴∠CAP=90°，∵AC=4，PA=3，∴PC=√AC2+PA2=5，∵PA=PB=3，∴BC=PC−PB=2，∵OC=AC−OA=4−OA=4−OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2，∴(4−OB)2=OB2+22，解得OB=3．2∴⊙O的半径为3．2【解析】(1)分别过切点A，B作PA和PB的垂线，交于点O即可；(2)根据勾股定理即可求出⊙O的半径．本题考查作图−复杂作图，切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)设药店的日均利润为w元，由题意得：w=(x−6)y=(x−6)(−5x+80)=−5x2+110x−480=−5(x−11)2+∵−5<0，10≤x≤16，∴当x=11时，w有最大值，最大值为125，∴每包售价定为11元时，药店的日均利润最大，最大为125元；(2)由题意得：w=(x−6−a)(−5x+80)=−5x2+(110+5a)x−480−80a，对称轴为x=−110+80a2×(−5)=11+12a，∴11+12a=13，解得：a=4．【解析】(1)设日均毛利润为w，根据日均利润=每包利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；(2)根据日均利润=每包利润×销售量列出函数解析式，由日均利润达到最大时每包售价应定为13元得出11+12a=13，解之即可．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．23.【答案】(1)证明：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∵∠ABD=∠EAF，∴∠AEB=∠EAF，∴AF//BD；(2)解：∵BD//AF，∴∠DEF=∠AFE，∵∠ADE=∠AFE，∴∠DEF=∠ADE，∴EH=DH，设EH=x，则DH=x，AH=2−x，∵∠HEA=90°，∴x2+12=(2−x)2，解得：x=34，∴AH=2−34=54．【解析】(1)由旋转知AE=AB，得∠AEB=∠ABE，由∠ABD=∠EAF，得∠AEB=∠EAF，从而得出结论AF//BD；(2)由平行线的性质可证EH=DH，设EH=x，则DH=x，AH=2−x，在Rt△AEH中，利用勾股定理即可列出方程解决问题．本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OC，∵BD⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵BC⏜=BC⏜，∴∠BOC=2∠BAC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴2∠OBC+2∠BAC=180°，∴∠OBC+∠BAC=90°，∴∠OBC=∠ABE，即∠OBC=∠ABD，(2)证明：连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，∵点D，F关于AC对称，∴EF=ED，∵BD⊥AC，∴∠AEF=∠AED=90°，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AED(SAS)，∴∠EAF=∠EAD，∠AFE=∠ADE，即∠GAC=∠DAC，∵OC⏜=OC⏜，∴∠DAC=∠DBC，∵GC⏜=GC⏜，∴∠GAC=∠GBC，∴∠DBC=∠GBC，⏜∵AB⏜=AB,∴∠ADB=∠BGA，∵∠AFD=∠BFG，∴∠BFG=∠AGB，∴△BHF≌△BHG(AAS)，∴FH=GH，∠BHF=∠BHG=90°，∴点F，点G关于BC对称；(3)解：连接OG，由(2)得△BHF≌△BHG，∴BF=BG，∵BF=OB=2，∴BG=OB=2，∴OB=OG=BG，∴△OBG为等边三角形，∠BOG=30°，∴∠BOG=60°，∠BAC=12第21页，共24页当AG垂直平分BC时，AH最长，此时S△ABC最大，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，作OM⊥BC，∴OM=12OB=1，BM=√22−12=√3，∴BC=2√3，∴S△ABC=12×BC×AH=12×2√3×(2+1)=3√3，∴S△ABC最大值为3√3．【解析】(1)连接OC，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，得2∠OBC+2∠BAC=180°，由圆周角定理知∠BOC=2∠BAC，从而得到∠OBC+∠BAC=90°，即可证明结论；(2)连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，首先利用SAS证明△AEF≌△AED，得∠EAF=∠EAD，∠AFE=∠ADE，再利用AAS证明△BHF≌△BHG，得FH=GH，∠BHF=∠BHG= 90°；(3)首先可知△OBG为等边三角形，得∠BOG=60°，∠BAC=12∠BOG=30°，当AG垂直平分BC时，AH最长，此时S△ABC最大，∠BAC=60°，从而解决问题．本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力，证明△BHF≌△BHG是解题问题的关键．25.【答案】解：(1)∵抛物线y2=14x2的对称轴为y轴，又−4≤x≤3，∴当x=−4时，函数y2有最大值，y2=14x2=14×(−4)2=4．∵k>0，∴函数y1=kx+1随x的增大而增大，∴当x=3时，函数y1的最大值也是4．将x=3，y=4代入y1=kx+1，得4=3k+1．∴k=1；(2)将x=0代入y1=kx+1得y1=1，∴F(0,1)，∵C点与F点关于原点对称，第22页，共24页第23页，共24页 ∴C(0,−1)．依题意设A 点坐标为(m,14m 2)，代入直线y 1=kx +1的解析式，得14m 2=mk +1，解得k =14m −1m ． ∴y 1=(14m −1m )x +1，由{y =(14m −1m )x +1y =14x 2得mx 2−(m 2−4)x −4m =0． 又由x 1+x 2=m −4m ，x 1=m ，得x 2=−4m ， ∴y 2=4m 2．∴B(−4m ,4m 2).分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q ．可得AP =−m ，PC =14m 2+1+1，BQ =−4m ，QC =4m 2+1．∴APBQ=−m −4m =m 24，CP CQ =14m 2+14m 2+1=m 24， ∴AP BQ =CPCQ ．又∠APC =∠BQC =90°，∴△APC∽△BQC ，∴AC BC =AP BQ ，∵S △ACF =12FC ⋅AP ，S △BCF =12FC ⋅BQ ，∴S △ACF ：S △BCF =AC ：BC ；(3)抛物线y 2=14x 2向上平移1个单位后为y 2=14x 2+1，再沿直线y 1=kx +1的方向，向右平移t 个单位，相当于再向上移动了kt 个单位，平移后的抛物线为y =14(x −t)2+第24页，共24页 (1+kt)……①，则点D 的坐标为(0,14t 2+kt +1)，M 点的坐标为(t,1+kt)．∴直线y =kx +1……②，将①②联立并整理，得x 2−2xt −4kx +t 2+4kt =0，∴x 1+x 2=2t +4k ．依题意，得x 1=x M =t ，∴x 2=x N =t +4k ，则点N 的坐标为(t +4k,kt +4k 2+1)．∵△OEF∽△DNF ，∴∠NDF =∠EOF =90°，∴DN ⊥y 轴，∴y D =y N ，∴14t 2+kt +1=kt +4k 2+1．解得t =4k(t =−4k 不合题意，舍去)，即t 与k 的关系式为t =4k ．【解析】(1)当x =−4时，函数y 2有最大值，y 2=14x 2=14×(−4)2=4.当x =3时，函数y 1的最大值也是4.将x =3，y =4代入y 1=kx +1，得4=3k +1，则可得出答案；(2)求出C(0,−1).依题意设A 点坐标为(m,14m 2)，求出点B 的坐标为(−4m ,4m 2).分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q.证明△APC∽△BQC ，由相似三角形的性质得出AC BC =AP BQ ，则得出结论；(3)证明∠NDF =∠EOF =90°，得出DN ⊥y 轴，可证出y D =y N ，则14t 2+kt +1=kt +4k 2+1.整理可得出结论．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

2021-2022学年福建省福州市晋安区九校联考九年级（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．（4分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）3．（4分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣24．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+35．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2+4x﹣4＝0C．（x﹣2）2﹣3＝0D．3x2+2＝06．（4分）《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作x．则方程可以列为（）A．4.1（1+x）＝4.7B．4.1（1﹣x）2＝4.7C．4.1（1+x）2＝4.7D．4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）2＝4.77．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC 于点F，则∠BAC＝（）A．80°B．85°C．90°D．95°8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A．b＜0B．c＞0C．a+b+c＝0D．b2﹣4ac＜0 9．（4分）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD ＝1，则R的值为（）A．B．C．1D．10．（4分）已知一个二次函数图象经过P1（﹣5，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（5，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y1最小，y4最大B．y3最小，y1最大C．y3最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为．12．（4分）如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A＝75°，则∠C＝度．13．（4分）已知方程x2﹣3x+1＝0有一个根是m，则代数式4m2﹣12m+2025的值为．14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为度．15．（4分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+3的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx ＝0的非零根为．16．（4分）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AB′C′D′，线段CD，B′C′交于点E，若DE＝1，则正方形的边长等于．三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+4x﹣m2＝0（1）若方程有一个根是1，求m的值；（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2；（3）求△ABC的面积．20．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是．21．（8分）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．22．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACD的平分线CF交DE于点F，连接AE、AF．（1）求∠CEA度数；（2）求证：AF⊥CE．23．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．24．（12分）如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．（1）当AE＝AB时，求α的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3，顶点为P（1，4），与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上一点，若∠ABN＝45°，求点N的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围．2021-2022学年福建省福州市晋安区九校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项）1．（4分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（4分）抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）【分析】根据二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．解：∵y＝﹣5（x﹣1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．3．（4分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】将x＝2代入原方程即可求出a的值．解：将x＝2代入x2﹣ax＝0，得4﹣2a＝0，解得a＝2．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+3．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2+4x﹣4＝0C．（x﹣2）2﹣3＝0D．3x2+2＝0【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．解：A．x2﹣2x＝0中Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根；B．x2+4x﹣4＝0中Δ＝42﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，有两个不相等实数根；C．（x﹣2）2﹣3＝0，即x2﹣4x+1＝0中Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，有两个不相等实数根；D．3x2+2＝0中Δ＝02﹣4×3×2＝﹣24＜0，没有实数根；故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．6．（4分）《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作x．则方程可以列为（）A．4.1（1+x）＝4.7B．4.1（1﹣x）2＝4.7C．4.1（1+x）2＝4.7D．4.1+4.1（1+x）+4.1（1+x）2＝4.7【分析】利用第四天的票房＝第二天的票房×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：4.1（1+x）2＝4.7．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC 于点F，则∠BAC＝（）A．80°B．85°C．90°D．95°【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，∴∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝85°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A．b＜0B．c＞0C．a+b+c＝0D．b2﹣4ac＜0【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断a、b、c的符号；根据抛物线与x轴交点个数可判断b2﹣4ac与0的关系，根据图象可判断a+b+c与0的关系．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，即x＝﹣＞0，∴b＞0，故A错误；由图象可知抛物线与y轴的交点（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，故B错误；当x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，故C正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故D错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．9．（4分）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD ＝1，则R的值为（）A．B．C．1D．【分析】由弦AC＝BD，可得，＝，继而可得＝，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE；连接OA，OD，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD＝R，可解答．解：∵弦AC＝BD，∴＝，∴＝，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；如图，连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝1，∴R＝，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．（4分）已知一个二次函数图象经过P1（﹣5，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（5，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y1最小，y4最大B．y3最小，y1最大C．y3最小，y4最大D．无法确定【分析】利用y3＜y2＜y4画出大致抛物线的位置，则可确定抛物线的开口向上，且对称轴与x轴的交点在（0，0）与（2，0）之间，然后比较四个点到对称轴的距离大小确定最大值和最小值．解：∵y3＜y2＜y4，∴抛物线的开口向上，且对称轴与x轴的交点在（0，0）与（2，0）之间，∴点P1到对称轴的距离最大，点P3到对称轴的距离最小，∴y3最小，y1最大．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了二次函数的性质．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，2）．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．解：根据中心对称的性质，可知：点P（1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣1，2）．故答案是：（﹣1，2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．12．（4分）如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A＝75°，则∠C＝105度．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣75°＝105°，故答案为：105．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．（4分）已知方程x2﹣3x+1＝0有一个根是m，则代数式4m2﹣12m+2025的值为2021．【分析】由题意可知：m2﹣3m+1＝0，然后根据整体的思想即可求出答案．解：由题意可知：m2﹣3m+1＝0，∴原式＝4（m2﹣3m）+2025＝4×（﹣1）+2025＝2021，故答案为：2021．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为36度．【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'＝36°，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C+∠CAB＝180°，∵∠C＝36°，∴∠CAB＝180°﹣3×36°＝72°，∴旋转角的度数＝∠BAB'＝∠BAC﹣∠CAB'＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．15．（4分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+3的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx ＝0的非零根为x＝﹣2．【分析】由图可知y＝ax2+bx可以看作是函数y＝ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答．解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），∴关于x的方程ax2+bx+3＝0的根是x1＝﹣3，x2＝1，对称轴是直线x＝﹣1，又∵将抛物线y＝ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到抛物线y＝ax2+bx，∴抛物线y＝ax2+bx与x轴的交点坐标是（0，0）、（﹣2，0）．∴关于x的方程ax2+bx＝0的根为0或﹣2．即关于x的方程ax2+bx＝0的非零根为x＝﹣2．故答案是：x＝﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．16．（4分）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AB′C′D′，线段CD，B′C′交于点E，若DE＝1，则正方形的边长等于．【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠B'，∠BAB'＝60°，证明Rt△AED≌Rt△AEB'（HL），得出∠DAE＝∠DAB'＝15°，在AD上取点M，使AM＝ME，ME＝AM＝2，DM＝，则可得出答案．解：如图，连接AE，∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AB′C′D′，∴∠D＝∠B'，∠BAB'＝60°，∴∠DAB'＝30°，在Rt△AED和Rt△AEB'中，，∴Rt△AED≌Rt△AEB'（HL），∴∠DAE＝∠DAB'＝15°，在AD上取点M，使AM＝ME，∴∠DME＝∠MAE+∠AEM＝30°，∵DE＝1，∴ME＝AM＝2，DM＝，∴AD＝2+．故答案为：2+．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明Rt△AED≌Rt△AEB'（HL）是解题的关键．三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：（1）移项得：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，开方得：x﹣1＝±，则x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵x（x+2）＝3（x+2），∴x（x+2）﹣3（x+2）＝0，∴（x+2）（x﹣3）＝0，则x+2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+4x﹣m2＝0（1）若方程有一个根是1，求m的值；（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【分析】（1）代入x＝1可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4m2+16＞0，由此即可证出：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x＝1代入原方程，得1+4﹣m2＝0，即m2＝5，解得：m＝±．（2）证明：Δ＝42﹣4×1×（﹣m2）＝4m2+16．∵m2≥0，∴4m2+16＞0，即Δ＞0，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入x＝1求出m的值；（2）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（3）利用分割法求解即可．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作；点A1（4，﹣1），B1（1，1），C1（3，﹣2）；（2）如图所示，△A2BC2即为所求作；（3）△ABC的面积＝3×3﹣2×3﹣1×1﹣3×2＝2.5．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）它与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x…01234…y…30﹣103…（3）结合图象直接回答：当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1＜y＜3．【分析】（1）令x＝0，即可求出函数与y轴的交点坐标，配方之后即可求出函数的顶点坐标；（2）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标，即可画出函数图象；（3）根据函数图象直接得到答案．解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），故答案为：（0，3），（2，﹣1）；（2）列表：x…01234…y…30﹣103…描点、连线，如图，（3）由（2）中的函数图象知，当0＜x＜3时，则y的取值范围是﹣1＜y＜3；故答案为：﹣1＜y＜3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与二次函数的画法，要对二次函数有一个明确的认识方可正确解答．21．（8分）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD ＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．解：连接AO，∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C为AB的中点，∴AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱门所在圆的半径是15分米．【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．22．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACD的平分线CF交DE 于点F，连接AE、AF．（1）求∠CEA度数；（2）求证：AF⊥CE．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CE ＝BC，∠BCE＝90°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△DCF≌△ACF，可得∠FAC＝∠D＝60°＝∠ACB，可证AF∥BC，则结论得证．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∴CE＝BC，∠BCE＝90°，AC＝CD，∴CE＝AC，∵∠BCE＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，∴∠CEA＝（180°﹣∠ACE）＝75°．（2）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠D＝60°，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF，∵∠ACF＝∠DCF，CF＝CF，CA＝CD，∴△DCF≌△ACF（SAS），∴∠FAC＝∠D＝60°，∴∠FAC＝∠ACB，∴AF∥BC，∵∠BCE＝90°，∴AF⊥CE．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．23．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；（2）利用商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数＝（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（50﹣x）（40+2x）＝2400，解得：x1＝10，x2＝20，因为尽量减少库存，x1＝10舍去．答：每件衬衫应降价20元．（2）设每天盈利为W元，则W＝（50﹣x）（40+2x）＝﹣2（x﹣15）2+2450，当x＝15时，W最大为2450．答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．24．（12分）如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．（1）当AE＝AB时，求α的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．【分析】（1）可证△AED是等边三角形，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠DCE＝∠DEC＝，由三角形内角和定理可求解；（3）由“AAS”可证△ABG≌△CBH，可得BG＝BH，可证矩形BGFH是正方形，可得∠HFB＝45°＝∠AEF，可得结论．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝DC，由旋转可知，DC＝DE，∵AE＝AB，∴AE＝AD＝DE，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ADC＝90°，∴α＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：在△CDE中，DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝，在△ADE中，AD＝ED，∠ADE＝90°﹣α，∴∠DAE＝∠DEA＝，∴∠AEC＝∠DEC+∠DEA＝＝135°，∴∠AEF＝45°；（3）证明：过点B作BG∥CF与AF的延长线交于点G，过点B作BH∥GF与CF交于点H，则四边形BGFH是平行四边形，∵AF⊥CE，∴平行四边形BGFH是矩形，∵∠AFP＝∠ABC＝90°，∠APF＝∠BPC，∴∠GAB＝BCP，在△ABG和△CBH中，，∴△ABG≌△CBH（AAS），∴BG＝BH，∴矩形BGFH是正方形，∴∠HFB＝45°，由（2）可知：∠AEF＝45°，∴∠HFB＝∠AEF＝45°，∴AE∥FB．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3，顶点为P（1，4），与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上一点，若∠ABN＝45°，求点N的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围．【分析】（1）根据顶点为（1，4），代入顶点公式即可求得a，b，从而可求抛物线的解析式；（2）连接AB，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，先证明△ABO≌△GAH（AAS），从而GH＝AO，AH＝BO，再由A、B的坐标求出G的坐标，再求出直线BN的解析式，求出直线BN与抛物线交点即可；（3）由△CEO≌△DOF得OE＝DF、OF＝CE，从而得，再由p≠q得，再由﹣p2+2p+3﹣q＝得当时，m最大值为，即可求得m的取值范围．解：（1）∵抛物线顶点为P（1，4），∴，∵a≠0，∴a＝﹣1，b＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）连接AB，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，∵GA⊥AB，GH⊥x轴，∴∠BAG＝90°，∠GHA＝90°，∵∠ABN＝45°，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AB＝AG，∵∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠HAG＝90°，∴∠ABO＝∠HAG，∴在△ABO和△GAH中，，∴△ABO≌△GAH（AAS），∴GH＝AO，AH＝BO，令y＝0时，即﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），抛物线与y轴交于点B（0，3），∴GH＝AO＝1，AH＝BO＝3，∴G（2，﹣1），设直线BN的解析式为y＝kx+n，∵图象经过B（0，3），G（2，﹣1），∴，解得，∴直线BN的解析式为y＝﹣2x+3，联立，解得或，∴N（4，﹣5）；（3）∵新抛物线是将原抛物线沿对称轴平移，∴设新抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3﹣m，∵△CEO≌△DOF，∴OE＝DF，OF＝CE，∴设点C（p，q），则点D的坐标为（q，p），将点C，D的坐标代入抛物线表达式，得，由①﹣②并整理得：（p﹣q）（p+q﹣3）＝0，由题意得：p≠q，∴p+q﹣3＝0，即q＝3﹣p，∵p≠q，∴，∵p＞0，q＞0，∴q＝3﹣p＞0，∴0＜p＜3且，由①得﹣p2+2p+3﹣m＝q，得﹣p2+2p+3﹣q＝m＝﹣p2+2p+3﹣（3﹣p）＝﹣p2+3p＝，∵﹣1＜0，∴该抛物线开口向下，当时，m最大值为，当p＝3或0时，m最小值为0，∵0＜p＜3且，∴．【点评】此题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、求两函数的交点，解决此题的关键是通过构造全等三角形将（2）问的N点转化为直线BN与抛物线交点以及因式分解求得．。

2021-2022学年福建省福州市晋安区九校联考九年级（上）期中数学试卷1.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=−5(x−1)2+2的顶点坐标为()A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (2,1)3.若x=2是关于x的一元二次方程x2−ax=0的一个根，则a的值为()A. 1B. −1C. 2D. −24.将抛物线y=2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线是()A. y=2(x−2)2+3B. y=2(x−2)2−3C. y=2(x+2)2−3D. y=2(x+2)2+35.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x=0B. x2+4x−4=0C. (x−2)2−3=0D. 3x2+2=06.《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已突破48亿．第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房为4.7亿元，若把增长率记作x.则方程可以列为()A. 4.1(1+x)=4.7B. 4.1(1−x)2=4.7C. 4.1(1+x)2=4.7D. 4.1+4.1(1+x)+4.1(1+x)2=4.77.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=()A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是()A. b<0B. c>0C. a+b+c=0D. b2−4ac<09.如图，半径为R的⊙O的弦AC=BD，且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD=1，则R的值为()A. 12B. √22C. 1D. √210.已知一个二次函数图象经过P1(−5,y1)，P2(−1,y2)，P3(1,y3)，P4(5,y4)四点，若y3<y2<y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是()A. y1最小，y4最大B. y3最小，y1最大C. y3最小，y4最大D. 无法确定11.在平面直角坐标系中，点P(1,−2)关于原点对称的点的坐标为______ ．12.如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A=75°，则∠C=______度．13.已知方程x2−3x+1=0有一个根是m，则代数式4m2−12m+2025的值为______．14.如图，在△ABC中，∠C=36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则旋转角为______度．15.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+3的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx=0的非零根为______．16.解方程：(1)x2−2x−1=0；(2)x(x+2)=3x+6．17.已知：关于x的一元二次方程x2+4x−m2=0(1)若方程有一个根是1，求m的值；(2)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−4,1)，B(−1,−1)，C(−3,2)．(1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2BC2，画出△A2BC2；(3)求△ABC的面积．19.对于抛物线y=x2−4x+3．(1)它与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x…______ ______ ______ ______ ______ …y…______ ______ ______ ______ ______ …(3)结合图象直接回答：当0<x<3时，则y的取值范围是______．20.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆的半径．21.如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∠ACD的平分线CF交DE于点F，连接AE、AF．(1)求∠CEA度数；(2)求证：AF⊥CE．22.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．(1)若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？(2)试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．23.如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF⊥CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．(1)当AE=AB时，求α的度数；(2)求证：∠AEF=45°；(3)求证：AE//FB．24.如图1，抛物线y=ax2+bx+3，顶点为P(1,4)，与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上一点，若∠ABN=45°，求点N的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选：B．根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：∵y=−5(x−1)2+2，∴此函数的顶点坐标是(1,2)．故选：A．根据二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是直线x=ℎ．3.【答案】C【解析】解：将x=2代入x2−ax=0，得4−2a=0，解得a=2．故选：C．将x=2代入原方程即可求出a的值．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4.【答案】A【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y=2(x−2)2+3．故选：A．根据函数图象平移的法则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．5.【答案】D【解析】解：A.x2−2x=0中△=(−2)2−4×1×0=4>0，有两个不相等实数根；B.x2+4x−4=0中△=42−4×1×(−4)=32>0，有两个不相等实数根；C.(x−2)2−3=0，即x2−4x+1=0中△=(−4)2−4×1×1=12>0，有两个不相等实数根；D.3x2+2=0中△=02−4×3×2=−24<0，没有实数根；故选：D．根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．6.【答案】C【解析】解：依题意得：4.1(1+x)2=4.7．故选：C．利用第四天的票房=第二天的票房×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，∴∠BAD=65°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°．故选：B．由旋转的性质可得∠BAD=65°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC= 20°，即可求解．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，>0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，即x=−b2a∴b>0，故A错误；由图象可知抛物线与y轴的交点(0,c)在y轴的负半轴，∴c<0，故B错误；当x=1时，y=0，∴a+b+c=0，故C正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2−4ac>0，故D错误；故选：C．根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断a、b、c的符号；根据抛物线与x轴交点个数可判断b2−4ac与0的关系，根据图象可判断a+b+c与0的关系．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．9.【答案】B【解析】解：∵弦AC=BD，∴AC⏜=BD⏜，∴BC⏜=AD⏜，∴∠ABD=∠BAC，∴AE=BE；如图，连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴∠AOD=2∠ABE=90°，∵OA=OD，∴AD=√2R，∵AD=1，∴R=√2，2故选：B．由弦AC=BD，可得，AC⏜=BD⏜，继而可得BC⏜=AD⏜，然后由圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=√2R，可解答．此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10.【答案】B【解析】解：∵y3<y2<y4，∴抛物线的开口向上，且对称轴与x轴的交点在(0,0)与(2,0)之间，∴点P1到对称轴的距离最大，点P3到对称轴的距离最小，∴y3最小，y1最大．故选：B．利用y3<y2<y4画出大致抛物线的位置，则可确定抛物线的开口向上，且对称轴与x轴的交点在(0,0)与(2,0)之间，然后比较四个点到对称轴的距离大小确定最大值和最小值．本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了二次函数的性质．11.【答案】(−1,2)【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点P(1,−2)关于原点O中心对称的点的坐标为(−1,2)．故答案是：(−1,2)．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，然后直接作答即可．本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．12.【答案】105【解析】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=75°，∴∠C=180°−∠A=180°−75°=105°，故答案为：105．根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13.【答案】2021【解析】解：由题意可知：m2−3m+1=0，∴原式=4(m2−3m)+2025=4×(−1)+2025=2021，故答案为：2021．由题意可知：m2−3m+1=0，然后根据整体的思想即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．14.【答案】36【解析】解：∵AB′=CB′，∴∠C=∠CAB′=36°，∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∴∠C=∠C′，AB=AB′，∴∠B=∠AB′B=2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∴3∠C+∠CAB=180°，∵∠C=36°，∴∠CAB=180°−3×36°=72°，∴旋转角的度数=∠BAB′=∠BAC−∠CAB′=36°，故答案为：36．由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．15.【答案】x=−2【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(1,0)，∴关于x的方程ax2+bx+3=0的根是x1=−3，x2=1，对称轴是直线x=−1，又∵将抛物线y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到抛物线y=ax2+bx，∴抛物线y=ax2+bx与x轴的交点坐标是(0,0)、(−2,0)．∴关于x的方程ax2+bx=0的根为0或−2．即关于x的方程ax2+bx=0的非零根为x=−2．故答案是：x=−2．由图可知y=ax2+bx可以看作是函数y=ax2+bx+3的图象向下平移3个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答．本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．16.【答案】解：(1)移项得：x2−2x=1，配方得：x2−2x+1=2，即(x−1)2=2，开方得：x−1=±√2，则x1=1+√2，x2=1−√2；(2)∵x(x+2)=3(x+2)，∴x(x+2)−3(x+2)=0，∴(x+2)(x−3)=0，则x+2=0或x−3=0，解得x1=−2，x2=3．【解析】(1)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；(2)移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．17.【答案】(1)解：将x=1代入原方程，得1+4−m2=0，即m2=5，解得：m=±√5．(2)证明：△=42−4×1×(−m2)=4m2+16．∵m2≥0，∴4m2+16>0，即△>0，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：(1)代入x=1求出m的值；(2)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”．(1)代入x=1可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；(2)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m2+16>0，由此即可证出：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求作；点A1(4,−1)，B1(1,1)，C1(3,−2)；(2)如图所示，△A2BC2即为所求作；(3)△ABC的面积=3×3−12×2×3−12×1×1−12×3×2=2.5．【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．(3)利用分割法求解即可．本题考查作图−旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】(0,3)(2,−1)0123430−103−1<y<3【解析】解：(1)当x=0时，y=x2−4x+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴抛物线的顶点坐标为(2,1)，故答案为：(0,3)，(2,−1)；(2)列表：x…01234…y…30−103…描点、连线，如图，(3)由(2)中的函数图象知，当0<x<3时，则y的取值范围是−1<y<3；故答案为：−1<y<3．(1)令x=0，即可求出函数与y轴的交点坐标，配方之后即可求出函数的顶点坐标；(2)找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标，即可画出函数图象；(3)根据函数图象直接得到答案．本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的图象与二次函数的画法，要对二次函数有一个明确的认识方可正确解答．20.【答案】解：连接AO，∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB，∵AB=18，C为AB的中点，∴AC=BC=9，设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，∵CD=27，∴OC=27−x，在Rt△OAC中，AC2+OC2=OA2，∴92+(27−x)2=x2，∴x=15(分米)，答：拱门所在圆的半径是15分米．【解析】连接AO，根据垂径定理求得AC=BC=9，设圆的半径为x分米，则OA=OD=x，OC=27−x，根据勾股定理即可求得x．本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，BC=AC，∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∴CE=BC，∠BCE=90°，AC=CD，∴CE=AC，∵∠BCE=90°，∠ACB=60°，∴∠ACE=∠BCE−∠ACB=30°，∴∠CEA=1(180°−∠ACE)=75°．2(2)证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠D=60°，∵CF平分∠ACD，∴∠ACF=∠DCF，∵∠ACF=∠DCF，CF=CF，CA=CD，∴△DCF≌△ACF(SAS)，∴∠FAC=∠D=60°，∴∠FAC=∠ACB，∴AF//BC，∵∠BCE=90°，∴AF⊥CE．【解析】(1)由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，BC=AC，由旋转的性质可得CE= BC，∠BCE=90°，由等腰三角形的性质可求解；(2)由“SAS”可证△DCF≌△ACF，可得∠FAC=∠D=60°=∠ACB，可证AF//BC，则结论得证．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．22.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，由题意得：(50−x)(40+2x)=2400，解得：x1=10，x2=20，因为尽量减少库存，x1=10舍去．答：每件衬衫应降价20元．(2)设每天盈利为W元，则W=(50−x)(40+2x)=−2(x−15)2+2450，当x=15时，W最大为2450．答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．【解析】(1)利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=(50−降低的价格)×(40+增加的件数)，把相关数值代入即可求解；(2)利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=(50−降低的价格)×(40+增加的件数)，利用二次函数最值求法得出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．23.【答案】(1)解：在正方形ABCD中，AB=AD=DC，由旋转可知，DC=DE，∵AE=AB，∴AE=AD=DE，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°，∴∠ADC=90°，∴α=∠ADC−∠ADE=90°−60°=30°；(2)证明：在△CDE中，DC=DE，∴∠DCE=∠DEC=180°−α2=90°−α2，在△ADE中，AD=ED，∠ADE=90°−α，∴∠DAE=∠DEA=180°−(90°−α)2=45°+α2，∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=90°−α2+45°+α2=135°，∴∠AEF=45°；(3)证明：过点B作BG//CF与AF的延长线交于点G，过点B作BH//GF与CF交于点H，则四边形BGFH是平行四边形，∵AF⊥CE，∴平行四边形BGFH是矩形，∵∠AFP=∠ABC=90°，∠APF=∠BPC，∴∠GAB=BCP，在△ABG和△CBH中，{∠GAB=∠HCB ∠BGA=∠BHC AB=CB，∴△ABG≌△CBH(AAS)，∴BG=BH，∴矩形BGFH是正方形，∴∠HFB=45°，由(2)可知：∠AEF=45°，∴∠HFB=∠AEF=45°，∴AE//FB．【解析】(1)可证△AED是等边三角形，即可求解；(2)由等腰三角形的性质可求∠DCE=∠DEC=180°−α2=90°−α2，由三角形内角和定理可求解；(3)由“AAS”可证△ABG≌△CBH，可得BG=BH，可证矩形BGFH是正方形，可得∠HFB=45°=∠AEF，可得结论．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线顶点为P(1,4)，∴{−b2a=14a×3−b24a=4，∵a≠0，∴a=−1，b=2，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；(2)连接AB，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，∵GA⊥AB，GH⊥x轴，∴∠BAG=90°，∠GHA=90°，∵∠ABN=45°，∴△ABG是等腰直角三角形，∴AB=AG，∵∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠HAG=90°，∴∠ABO=∠HAG，∴在△ABO和△GAH中，{∠AOB=∠GHO ∠ABO=∠GAH AB=GA，∴△ABO≌△GAH(AAS)，∴GH=AO，AH=BO，令y=0时，即−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，抛物线与y轴交于点B(0,3)，∴GH=AO=1，AH=BO=3，∴G(2,−1)，设直线BN 的解析式为y =kx +n ，∵图象经过B(0,3)，G(2,−1)，∴{2k +n =−1n =3， 解得{k =−2n =3， ∴直线BN 的解析式为y =−2x +3，联立{y =−2x +3y =−x 2+2x +3， 解得{x 1=0y 1=3或{x 2=4y 2=−5， ∴N(4,−5)；(3)∵新抛物线是将原抛物线沿对称轴平移，∴设新抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3−m ，∵△CEO≌△DOF ，∴OE =DF ，OF =CE ，∴设点C(p,q)，则点D 的坐标为(q,p)，将点C ，D 的坐标代入抛物线表达式，得{−p 2+2p +3−m =q①−q 2+2q +3−m =p②， 由①−②并整理得：(p −q)(p +q −3)=0，由题意得：p ≠q ，∴p +q −3=0，即q =3−p ，∵p ≠q ，∴p ≠32，∵p >0，q >0，∴q =3−p >0，∴0<p <3且p ≠32，由①得−p 2+2p +3−m =q ，得−p 2+2p +3−q =m =−p 2+2p +3−(3−p)=−p 2+3p =−(p −32)2+94， ∵−1<0，∴该抛物线开口向下，当p =32时，m 最大值为94，当p =3或0时，m 最小值为0，∵0<p <3且p ≠32，∴0<m <94．【解析】(1)根据顶点为(1,4)，代入顶点公式即可求得a ，b ，从而可求抛物线的解析式；(2)连接AB ，过点A 作GA ⊥AB 交BN 于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为点H ，先证明△ABO≌△GAH(AAS)，从而GH =AO ，AH =BO ，再由A 、B 的坐标求出G 的坐标，再求出直线BN 的解析式，求出直线BN 与抛物线交点即可；(3)由△CEO≌△DOF 得OE =DF 、OF =CE ，从而得{−p 2+2p +3−m =q①−q 2+2q +3−m =p②，再由p ≠q 得p ≠32，再由−p 2+2p +3−q =−(p −32)2+94得当p =32时，m 最大值为94，即可求得m 的取值范围．此题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、求两函数的交点，解决此题的关键是通过构造全等三角形将(2)问的N 点转化为直线BN 与抛物线交点以及因式分解求得p ≠32．。

2021-2022学年福建省龙岩中学九年级（上）第一次月考数学试卷1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A. x2−2x=x2+1B. ax2+bx+c=0C. (x−1)(x−2)=1D. x2−2xy−3y2=02.若x=2是关于x的一元二次方程x2−mx+8=0的一个解．则m的值是( )A. 6B. 5C. 2D. −63.已知一元二次方程x2+4x−3=0，下列配方正确的是( )A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x+2)2=7D. (x−2)2=74.二次函数y=−3(x−2)2+5的图象的顶点坐标是( )A. (−2,5)B. (−2,−5)C. (2,−5)D. (2,5)5.二次函数y=x2+4x+5的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是( )A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位6.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为( )A. 2(1+x)2=8B. 2(1−x)2=8C. 2+2(1+x)+2(1+x)2=8D. 2(1+x)+2(1+x)2=87.已知点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在函数y=−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为( )A. y1<y3<y2B. y3<y1<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y38.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的，则竖彩条宽度为( ) 宽度比为2：1.如果要使彩条所占面积是图案面积的1975A. 1 cmB. 1.5cmC. 2 cmD. 2.5cm9.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠OBC=45∘，则下列各式成立的是( )A. b+c−1=0B. b+c+1=0C. b−c+1=0D. b−c−1=010.已知点P(−2,y1)，Q(4,y2)，M(m,y3)均在抛物线y=ax2+bx+c上，其中2am+b=0.若y3≥y2>y1，则m的取值范围是( )A. m<−2B. m>1C. −2<m<1D. 1<m<411.一元二次方程x2−25=0的解为______ .12.篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为______.13.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是______14.二次函数y=x2−4x+3的对称轴方程是______.15.抛物线y=12x2+mx+m+12经过定点的坐标是______16.我们约定：(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为(m,−m−2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为______.17.解下列方程：(1)x2+2x−3=0；(2)x(x−4)=12−3x.18.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m−1=0，(1)求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．19.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0，那么我们称这个方程为“星辰方程”．(1)判断一元二次方程3x2+7x+4=0是否为星辰方程，说明理由．(2)已知4x2−mx+n=0是关于x的星辰方程，若m是此星辰方程的一个根，求m的值．20.已知抛物线y=ax2经过点A(−2,−8).(1)求a的值；(2)若点P(m,−6)在此抛物线上，求点P的坐标．21.已知函数y=−12(x+1)2−2(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______(2)当x______时，y随x的增大而增大(3)怎样移动抛物线y=−12x2就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−222.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(−1,0)，B点坐标为(5,0)点C(0,5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△MBC的面积．23.如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙).用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？24.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？25.二次函数y=ax2−4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B(3,6).(1)试求二次函数的解析式及点A的坐标；(2)若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，设点D在直线AB上方的抛物线上，当∠CBD=∠ABC时，求出点D的坐标；(3)若在抛物线的对称轴上有一点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，试直接写出符合题意的所有的点P的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.化简后不合二次项，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B.当a=0时不合二次项，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C.是一元二次方程，故此选项符合题意；D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C.利用一元二次方程定义进行解答即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一次方程即可．【解答】解：把x=2代入方程得：4−2m+8=0，解得m=6.故选：A.3.【答案】C【解析】解：方程移项得：x2+4x=3，配方得：x2+4x+4=7，即(x+2)2=7，故选C.方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】D【解析】解：二次函数y=−3(x−2)2+5的图象的顶点坐标是(2,5).故选D.根据二次函数的性质即可直接求解．本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x+ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标是(−ℎ,k).5.【答案】C【解析】解：根据题意y=x2+4x+5=(x+2)2+1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到．故选：C.把二次函数y=x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y=x2的图象平移而得到．此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．6.【答案】D【解析】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得：2(1+x)+2(1+x)2=8.故选：D.关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额=8，把相关数值代入即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．根据二次函数图象具有对称性和二次函数的增减性，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=−x2−2x+b，∴函数y=−x2−2x+b的对称轴为直线x=−1，开口向下，当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，∵−1−(−3)=2，−1−(−1)=0，2−(−1)=3，∴y3<y1<y2，故选B.8.【答案】A【解析】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则)，(30−2x)(20−4x)=30×20×(1−1975整理得：x2−20x+19=0，解得：x1=1，x2=19(不合题意，舍去).答：竖彩条的宽度为1cm.故选：A.，可可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的1975列方程求解．本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积作为等量关系列方程求解．9.【答案】B【解析】解：∵∠OBC=45∘，∴OB=OC，∴点C，B的坐标为(0,c)，(c,0)；把点B(c,0)代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，即c(c+b+1)=0，∵c≠0，∴b+c+1=0.故选：B.根据∠OBC=45∘，有OB=OC，可设点C，B的坐标为(0,c)，(c,0)，把点B(c,0)代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，从而求出关系式．此题考查了抛物线与x轴的交点．根据题意得到点C、B的坐标是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵2am+b=0，∴m=−b，2a∵直线x=−b为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴，2a∴点M(m,y3)是该抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为x=m，∵点P(−2,y1)，Q(4,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上，且y3≥y2>y1，∴m>−2+4，2解得m>1，故选：B.先证得点M(m,y3)是该抛物线的顶点，根据点P(−2,y1)，Q(4,y2)均在抛物线y=ax2+ bx+c上，y3≥y2>y1，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线x=m，则m>−2+4，2从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】x1=5，x2=−5【解析】解：x2−25=0，x2=25，上式两边开方得：x=±5，即x1=5，x2=−5，故答案为：x1=5，x2=−5.先移项，再开方，即可得出答案．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．12.【答案】1x(x−1)=362【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．，即可列方程．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数为x(x−1)2【解答】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，x(x−1)=36.由题意得：1213.【答案】−1<x<3【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，所以当−1<x<3时，y>0.故答案为−1<x<3.利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，然后写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．14.【答案】x=2【解析】解：∵y=x2−4x+3，=2.∴对称轴方程是：x=−−42×1故答案为：x=2.，根据对称轴公式求解即可．二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=−b2a本题考查了根据二次函数的一般式求对称轴的公式，需要熟练掌握．15.【答案】(−1,1)【解析】解：∵y=12x2+(x+1)m+12，∵抛物线经过定点，∴x+1=0，∴x=−1，y=1，∴定点坐标为(−1,1)，故答案为(−1,1)由y=12x2+(x+1)m+12，抛物线经过定点，可得x+1=0，由此即可解决问题；本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.【答案】(1,0)、(2,0)或(0,2)【解析】解：根据题意，令y=0，将关联数(m,−m−2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+(−m−2)x+2=0，∵关联数为(m,−m−2,2)的函数图象与x轴有两个整交点∴△=(−m−2)2−4×2m=(m−2)2>0∴m≠2由求根公式可得x=m+2±√(−m−2)2−8m2m =m+2±|m−2|2m所以：x1=m+2+(m−2)2m=1，x2=m+2+2−m2m=42m=2m当m=1时满足题意，此时x2=2所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标为(0,2).综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)和(0,2)；故答案为：(2,0)，(1,0)和(0,2).根据题意令y=0，将关联数(m,−m−2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+ (−m−2)x+2=0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2).本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．17.【答案】解：(1)∵x2+2x−3=0，∴(x+3)(x−1)=0，则x+3=0或x−1=0，解得x=−3或x=1；(2)∵x(x−4)+3(x−4)=0，∴(x−4)(x+3)=0，则x−4=0或x+3=0，解得x=4或x=−3.【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用因式分解法求解可得；(2)利用因式分解法求解可得．18.【答案】解：(1)证明：Δ=(4m+1)2−4(2m−1)=16m2+8m+1−8m+4=16m2+5>0，∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵1x1+1x2=−12，即x1+x2x1x2=−12，∴由根与系数的关系可得−4m−12m−1=−12，解得m=−12，经检验得出m=−12是原方程的根，即m的值为−12.【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，把求未知系数的范围问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．(1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明Δ>0即可；(2)因为1x1+1x2=x1+x2x1x2=−12，所以由根与系数的关系可得−4m−12m−1=−12，解方程可得m的值．19.【答案】解：(1)一元二次方程3x2+7x+4=0为星辰方程．理由如下：∵当x=−1时，3−7+4=0，∴一元二次方程3x2+7x+4=0为星辰方程；(2)∵4x2−mx+n=0是关于x的星辰方程，∴4+m+n=0，即n=−(m+4)，∵m是此星辰方程的一个根，∴4m2−m2+n=0，即n=−3m2，∴−3m2=−(m+4)，整理得3m2−m−4=0，解得m1=43，m2=−1，∴m的值为43或−1.【解析】(1)根据“星辰方程”的定义，方程3x2+7x+4=0有一个根为−1，从而判断方程3x2+7x+4=0是星辰方程；(2)先根据“星辰方程”的定义得到4+m+n=0，再根据一元二次方程根的定义得到4m2−m2+n=0，则消去n得到m的一元二次方程，然后解关于m的一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．20.【答案】解：(1)把点A(−2,−8)代入y=ax2，得4a=−8，∴a=−2；(2)把点P(m,−6)代入y=−2x2中，得−2m2=−6，∴m=±√3，∴P(±√3,−6).【解析】(1)把点A(−2,−8)代入y=ax2求得a即可；(2)再把点P(m,−6)代入抛物线解析式中即可得出m的值，从而得出点P坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．21.【答案】(1)向下，直线x=−1，(−1,−2)；(2)<−1；(3))将抛物线y=−12x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−2.【解析】解：(1)∵函数y=−12(x+1)2−2，∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x=−1，顶点坐标是(−1,−2)，故答案为：向下，直线x=−1，(−1,−2)；(2)∵函数y=−12(x+1)2−2，∴当x<−1时，y随x的增大而增大，故答案为：x<−1；(3)将抛物线y=−12x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−2.(1)根据题目中的函数解析式可以解答本题；(2)根据二次函数的性质可以解答本题；(3)根据平移的性质可以解答本题．本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)，把C(0,5)代入得5=a×1×(−5)，解得a=−1，∴抛物线解析式为y=−(x+1)(x−5)，即y=−x2+4x+5；(2)过M点作MH⊥y轴于H，如图，∵y=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，∴顶点M的坐标为(2,9)，∴S△MBC=S梯形MHOB−S△MCH−S△OBC=12×(2+5)×9−12×2×(9−5)−12×5×5=15.【解析】(1)设交点式y=a(x+1)(x−5)，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；(2)过M点作MH⊥y轴于H，如图，先把解析式配成顶点式得到顶点M的坐标为(2,9)，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式，利用S△MBC=S梯形MHOB−S△MCH−S△OBC进行计算．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质．23.【答案】解：(1)设矩形花园BC的长为x米，则其宽为12(60−x+2)米，依题意列方程得：12(60−x+2)x=300，即x2−62x+600=0，解得：x1=12，x2=50，∵28<50，∴x2=50不合题意，舍去，∴x=12，即当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米.(2)12(60−x+2)x=480，即x2−62x+960=0，解得：x1=32，x2=30，∵28<30<32，∴x1=32，x2=30均不合题意，舍去，∴不能围成480平方米的矩形花园.答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．【解析】设BC=x米，则AB=12(60−x+2)米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．24.【答案】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，则每件商品的利润为：(60−50+x)元，总销量为：(200−10x)件，商品利润为：y=(60−50+x)(200−10x)，=(10+x)(200−10x)，=−10x2+100x+2000.∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0<x≤12且x为正整数；(2)y=−10x2+100x+2000，=−10(x2−10x)+2000，=−10(x−5)2+2250.故当x=5时，最大月利润y=2250元．这时售价为60+5=65(元).【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式．(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值．25.【答案】解：(1)把B(3,6)代入y=ax2−4ax+2，得9a−12a+2=6，解得，a=−43，∴二次函数的解析式为y=−43x2+163x+2；当x=0时，y=−43x2+163x+2=2，∴A(0,2).(2)如图1，∵y=−43x2+163x+2=−43(x−2)2+223，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵点C 与点B(3,6)关于直线x =2对称，∴C(1,6)，∴BC//x 轴，作点A(0,2)关于直线BC 的对称点E ，交抛物线于点D ，则E(0,10)，∵BC 垂直平分AE ，∴AB =AE ，∴∠CBD =∠ABC ，设直线BD 的解析式为y =kx +10，则3k +10=6，解得，k =−43， ∴y =−43x +10， 由{y =−43x +10y =−43x 2+163x +2，得{x 1=2,y 1=223，{x 2=3y 2=6， ∴D(2,223)；当点D′与点A(0,2)重合时，则∠CBD′=∠ABC ，∴D′(0,2)，综上所述，点D 的坐标为(2,223)或(0,2).(3)设P(2,m)，∵A(0,2)，B(3,6)，∴AB 2=32+(6−2)2=25，当AP =AB 时，如图2，由AP 2=AB 2得，22+(m −2)2=25，整理得，m 2−4m −17=0，解得，m 1=2+√21，m 2=2−√21，∴P(2,2+√21)或P′(2,2−√21)，当PB =AB 时，如图3，由PB 2=AB 2，得(3−2)2+(6−m)2=25，整理得，m 2−12m +12=0，解得，m 1=6−2√6，m 2=6+2√6，∴P(2,6−2√6)或P′(2,6+2√6)，综上所述，点P 的坐标为P(2,2+√21)或(2,2−√21)或(2,6−2√6)或(2,6+2√6).【解析】(1)把B(3,6)代入y =ax 2−4ax +2，列方程求a 的值，求出二次函数的解析式，再令x =0，求出点A 的纵坐标；(2)先作点A 关于直线BC 的对称点E ，交抛物线于点D ，得到∠CBD =∠ABC ，求直线BD 的解析式且与二次函数的解析式组成方程组，解方程组求出点D 的坐标；还有一个符合条件的点D ，即点D 与点A 重合，此时点D 与点A 的坐标相同；(3)以AB为腰的等腰三角形PAB，可按以BP为底边或以AP为底边两种情况分类讨论，由AP2=AB2或PB2=AB2列方程，分别求出相应的点P的坐标．此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、解一元二次方程、二次根式的化简及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．。

2021-2022学年福建省福州十九中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.如图，直角坐标系中以坐标原点为圆心，1为半径作⊙O，则此坐标系中点(12,12)与⊙O的位置关系是()A. 在圆内B. 在圆外C. 在圆上D. 无法确定2.将二次函数图象y=2x2向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是()A. y=2x2+1B. y=2x2−1C. y=2(x−1)2D. y=2(x+1)23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD=2：1，若反比例函数y=kx经过A，B两点，则k的值为()A. √5B. −√5C. √3D. −√34.若方程x2−5x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是()A. 9B. 8C. 7D. 65.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是()A. 45°B. 38°C. 36°D. 30°6.某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数关系式是()A. y=(200−5x)(40−20+x)B. y=(200+5x)(40−20−x)C. y=200(40−20−x)D. y=200−5x7.下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的()A. 平行四边形B. 正方形C. 矩形D. 菱形8.某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是()A. 18B. 16C. 14D. 139.在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB=20°，旋转角的度数是()A. 110°B. 90°C. 70°D. 20°10.“翻开九年级上册数学书，恰好翻到第100页”，这个事件是()A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.点A(−2,3)关于原点对称的点的坐标是______．12.在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则盒子中白球有______个．13.抛物线y=x2+4x+17上的点到x轴最短距离是______．(k>0)的图象上，则y1______y2(填14.已知点A(−1,y1)，B(−2,y2)在反比例函数y=kx“>”“<”或“=”)．15.若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是______．16.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点H在CD上，且CH=1，动点E在正方形ABCD内外运动，且满足BE=1，在CE的上方作正方形EFGC，则线段FH的最小值是______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.已知抛物线y=x2+bx+c经过(−2,t)、B(3,t)两点．(1)求b的值；(2)当−2<x<2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；(3)若方程x2+bx+c=0的两实根x1、x2，满足1<x1−x2≤5，且P=x12+2x22，求P的最大值．18.解方程：x2+10x+16=0．19.计算：√8×√6−√12+(√3+1)(√3−1)．20.如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF=∠D．(1)求证：AD⊥BC；(2)点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG=2∠D．①求证：AG与⊙O相切：②当AFBF =37，CE=3时，求CG的长．21.国庆期间有多部电影上映，电影公司随机收集了《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》、《五个扑水的少年》这四部电影的有关数据，经整理得到下表：①若甲同学从四部电影中随机选择一部观看，则甲选中《长津湖》观看的概率为______；②根据调查反馈：《长津湖》上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率×0.8，《我和我的父辈》上座率与好评率的关系约为：上座率好评率×0.8+0.1.某影院准备将《长津湖》和《我和我的父辈》这两部电影安排在最大放映厅放映，最大放映厅的满座人数为1000人，且两部电影每天都要排片．最大放映厅每天有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，应该如何分配《长津湖》和《我和我的父辈》两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？22.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展以“弘扬红色文化，重走长征路”为主题的教育学习活动，郑州市“二七纪念堂“成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万，5月份接待参观人数增加到12.1万．求这两个月参观人数的月平均增长率．23.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，∠EAF=∠B.求证：△ABF∽△ECA．24.如图，在正方形网格中，△ABC的4个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为(−2,4)、(−2,0)、(−4,1)，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△AB1C1．(1)画出△AB1C1；(2)求点C走过的路线长．25.如图，已知一次函数y=12x−2与反比例函数y=kx的图象在第一、三象限分别交于A，B两点，点B的横坐标为−2，连接OA，OB．(1)求k的值；(2)求△AOB的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：设点P 的坐标是(12,12)， ∴OP =√(12)2+(12)2=√22， 而⊙O 的半径为1， ∴OP 小于圆的半径， ∴点P 在在圆内． 故选：A ．先计算出OP 的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．2.【答案】B【解析】解：∵抛物线y =2x 2的顶点坐标为(0,0)，向下平移1个单位长度的顶点坐标为(0,−1)，∴所得二次函数的解析式是y =2x 2−1． 故选：B ．原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(0,−1)，据此写出平移后抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．3.【答案】D【解析】解：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ， ∵A 、B 关于原点对称， ∴OA =OB ，∵△ABC 为直角三角形，∴CO=12AB=12×4=2，∵CD：AD=2：1，∴S△CDO：S△ADO=2：1，∵S△CDO=12OD⋅OC，S△ADO=12AE⋅OD，∴OC：AE=2：1，∴AE=1，∴OE=√OA2−AE2=√3，∴A(√3,−1)，把A的坐标代入y=kx可得k=−√3．故选：D．过点A作AE⊥x轴于点E，根据A、B关于原点对称，得到OA=OB，根据直角三角形的性质得到CO=12AB=12×4=2，求得S△CDO：S△ADO=2：1，得到AE=1，根据勾股定理得到OE=√OA2−AE2=√3，求得A(√3,−1)，把A的坐标代入y=kx即可得到结论．本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形面积的计算，正确的求出k的值是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵方程x2−5x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−5)2−4c>0，解得：c<614，即只有6符合，故选：D．根据方程有两个不相等的实数根得出△=b2−4ac=(−5)2−4c>0，求出不等式的解集即可．本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式得出关于c的不等式是解此题的关键．5.【答案】C×(5−2)×180=108°，AB=BC，【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠B=15(180°−108°)=36°．∴∠BAC=∠BCA=12故选：C．由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．6.【答案】A【解析】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为(40−20+x)元，每星期的销售量为(200−5x)件，∴每星期售出商品的利润y=(200−5x)(40−20+x)．故选：A．由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为(40−20+x)元，每星期的销售量为(200−5x)件，再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．7.【答案】A【解析】解：A.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；B.正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；C.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；D.菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．8.【答案】B【解析】解：根据题意画图如下：共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，则恰好选中甲、乙两位选手的概率是212=16．故选：B．根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.【答案】B【解析】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∴旋转角为∠DAB，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，故选：B．根据图形旋转前后对应点与旋转中心的连线的夹角即为旋转角确定把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF后旋转角即为∠DAB，然后根据正方形的性质求解．本题考查旋转的性质，理解旋转角的概念是解题基础．10.【答案】B【解析】解：“翻开九年级上册数学书，恰好翻到第100页”，这本书不到100页，故这个事件是随机事件．故选：B．根据随机事件的概念即可求解．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11.【答案】(2,−3)【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(−2,3)关于原点O的对称点是P′(2,−3)．本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．【解答】解：根据两个点关于原点对称，∴点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)；故答案为(2,−3)．12.【答案】40【解析】解：因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，所以摸到白球的概率约为0.2，所以白球有200×0.2=40，故答案为：40．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13.【答案】13【解析】解：∵抛物线y=(x+2)2+13，∴抛物线开口向上，顶点为(−2,13)∴当x=−2时，函数有最小值13，∴点到x轴最短的距离是13，故答案为：13．根据抛物线的顶点式得到开口方向和顶点坐标，即可得到函数的最小值，从而得到结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14.【答案】<(k>0)，【解析】解：∵y=kx∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，(k>0)的图象上，−1>−2，∵点A(−1,y1)，B(−2,y2)在反比例函数y=kx∴y1<y2，故答案为：<．根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．15.【答案】12π【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×4÷2=12π．故答案为：12π．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．16.【答案】5−√2【解析】解：连接AF 、AC ． ∵AC BC =FC EC =√2，∠FCA =∠ECB ，∴△AFC∽△BEC ．∴FAEB =√2． ∵E 点是以B 为圆心，BE =1为半径是圆上运动，∴F 点是以A 点为圆心，AF =√2为半径的圆上运动．当A 、F 、H 三点共线时，FH 有最小值．此时AH =√AD 2+DH 2=5，FH =5−√2．故答案为：5−√2．连接AF 、AC 、FH ，证明△AFC∽△BEC ，从而根据E 点运动轨迹发现F 点是以A 点为圆心，AF =√2为半径的圆上运动．当A 、F 、H 三点共线时，FH 有最小值．本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质，找到F 点运动的轨迹是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过(−2,t)、B(3,t)两点，∴−b 2=−2+32，∴b =−1；(2)由(1)知抛物线为y =x 2−x +c ，∵抛物线与x 轴有公共点，∴对于方程x 2−x +c =0，判别式Δ=1−4c ≥0，∴c ≤14，①当c =14时，由方程x 2−x +14=0，解得x 1=x 2=12.此时抛物线为y =x 2−x +14与x 轴只有一个公共点(12,0)；②当c <14时，x 1=−2时，y 1=4+2+c =6+c ；x 2=2时，y 2=4−2+c =2+c ；由已知−2<x <2时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x =12， 应有y 1≥0，且y 2<0，即6+c ≥0，且2+c <0，解得：−6≤c <−2．综合①，②得c 的取值范围是：c =14或−6≤c <−2．(3)由(1)知b =−1，∵x 2−x +c =0的两实根为x 1，x 2，∴抛物线y =x 2−x +c 与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2，∴x 1+x 22=12， ∴x 1+x 2=1.即x 2=1−x 1，∵1<x 1−x 2≤5，∴1<x 1−(1−x 1)≤5，∴1<x 1≤3，∴p =x 12+2 x 22=x 12+2(1−x 1)2=3(x 1−23)2+23， ∵当1<x 1≤3时，p 随x 1的增大而增大，∴当x 1=3时，p 最大值为17．【解析】(1)根据抛物线y =x 2+bx +c 经过(−2,t)、B(3,t)两点，可得−b 2=−2+32，故b =−1；(2)由抛物线与x 轴有公共点，可得Δ=1−4c ≥0，c ≤14，①当c =14时，此时抛物线为y =x 2−x +14与x 轴只有一个公共点(12,0)；②当c <14时，由已知−2<x <2时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，对称轴为x =12，可得y 1≥0，且y 2<0，即6+c ≥0，且2+c <0，可得−6≤c <−2．(3)由x 2−x +c =0的两实根为x 1，x 2，得x 1+x 22=12，即x 2=1−x 1，而1<x 1−x 2≤5，可得1<x 1≤3，又p =x 12+2 x 22=3(x 1−23)2+23，即可求出当x 1=3时，p 最大值为17． 本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，能熟练运用一元二次方程根与系数的关系．18.【答案】解：x 2+10x +16=0，(x +2)(x +8)=0，x +2=0，x +8=0，x 1=−2，x 2=−8．【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．19.【答案】解：原式=√6×8−2√3+3−1=4√3−2√3+2=2√3+2．【解析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和平方差公式是解决问题的关键．20.【答案】(1)证明∵EF ⊥AB ，∴∠AFE =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°，∵∠AEF =∠D ，∠ABE =∠D ，∴∠ABE +∠EAF =90°，∴∠AEB =90°，∴AD ⊥BC ；(2)①证明：如图，连接OA ，∵AD ⊥BC ，∴AE =ED ，∴CA=CD，∴∠D=∠CAD，∵∠GAE=2∠D，∴∠CAG=∠CAD=∠D，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠CAG+∠OAC=90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线；②解：如图，如图，连接OA，AC∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠EFB=90°，∴EF//AC，∴AFBF =CEBE=37，∴BE=7，∴BC=7+3=10，∴OC=OA=10÷2=5，∴OE=OC−OE=5−3=2，在Rt△OEA中，∵∠OEA=90°，∴AE=√52−22=√21，∵∠OAE+∠GAE=90°，∠OAE+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠GAE，又∵∠AEG=∠OEA，∴△AEG∽△OEA，∴AEOE =EGAE，∴√212=√21，∴EG=212，∴CG=EG−EC=212−3=152，【解析】(1)证明：∠ABE+∠EAF=90°，即可得解；(2)①连接OA，想办法证明OA⊥AG即可解决问题；②先求出CE=3，BE=7，从而得到OE=2，利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性质求出EG即可得解．本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定及相似三角形的判定与性质是解此题的关键．21.【答案】14【解析】解：①∵甲同学从四部电影中随机选择一部观看，共有4种等可能结果，甲选中《长津湖》观看的只有1种结果，∴甲选中《长津湖》观看的概率为14，故答案为：14．②《长津湖》上座率=0.75×0.8=0.6，《我和我的父辈》上座率=0.7×0.8+0.1=0.66，排一场《长津湖》收入=0.6×1000×50=30000(元)，排一场《我和我的父辈》收入=0.66×1000×45=29700(元)，由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排《长津湖》两个场次，《我和我的父辈》一个场次．①直接根据概率公式求解即可；②求得《长津湖》，《我和我的父辈》上座率和排一场《长津湖》，《我和我的父辈》电影的收入，即可得到答案此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；读懂图表，从图表中找到必要的数据是解题的关键．22.【答案】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意，得：10(1+x)2=12.1，解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去)，答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．【解析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，4月份该基地接待参观人数是10(1+x)万人，在4月的基础上再增长x，就是5月份该基地接待参观人数，即可列出方程求解．本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+月平均增长率)月数=增长后的量．23.【答案】证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠BAF=∠EAF+∠BAE，∠EAF=∠B，∴∠AEC=∠BAF，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABF∽△ECA．【解析】由三角形外角的性质证出∠AEC=∠BAF，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，则可得出结论．本题主要考查相似三角形的判定和等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．24.【答案】解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求．(2)∵∠CAC1=90°，AC=√22+32=√13，∴90⋅π⋅√13180=√132π.【解析】(1)分别作出点B 、C 绕着点A 逆时针旋转90°得到的对应点，再与点A 首尾顺次连接即可；(2)根据弧长公式求解即可．本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．25.【答案】解：(1)把A(6,1)代入y 2=kx 中，解得：k =6；(2)把B(a,−3)代入y 2=6x ，解得a =−2，故B (−2,−3)，把A(6,1)，B(−2,−3)代入y 1=kx +b ，得{6k +b =1−2k +b =−3，解得：{k =12b =−2， ∴一次函数解析式为y 1=12x −2；如图，设一次函数y 1=12x −2与x 轴交于点C ，令y =0，得x =4．∴点C 的坐标是(4,0)，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×4×1+12×4×3=8．【解析】(1)首先把A(6,1)代入反比例函数解析式中确定m ，然后把B(a,−3)代入反比例函数的解析式确定a ，然后根据A ，B 两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；(2)求得一次函数与x 轴的交点，根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 即可求解；此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．。